1
00:00:00,510 --> 00:00:09,150
Bueno chavales, venga, empezamos la clase, hoy es día 29 y me gustaría que todo lo que hemos visto

2
00:00:09,150 --> 00:00:15,029
que hicierais ustedes, que os he dejado cosas para hacer en el sentido de que os pongáis ustedes

3
00:00:15,029 --> 00:00:23,969
tres vectores, tres vectores, intentad que sean linealmente independientes y allá las coordenadas

4
00:00:23,969 --> 00:00:27,410
de otro cuarto vector en función de esos mismos, ¿vale?

5
00:00:27,570 --> 00:00:30,589
Yo ayer lo resolví sin hacer todo el proceso

6
00:00:30,589 --> 00:00:32,670
y os invité a que lo hicierais.

7
00:00:32,750 --> 00:00:34,270
No sé si alguno lo ha hecho o no,

8
00:00:34,770 --> 00:00:38,590
pero lo suyo es que os tenía que haber salido el 2, el 1 y el 0

9
00:00:38,590 --> 00:00:42,429
como coordenadas de W respecto a esos tres vectores, ¿vale?

10
00:00:42,869 --> 00:00:46,710
Bueno, ahora vamos a pasar a una cosa que ya visteis en el primero,

11
00:00:47,250 --> 00:00:49,350
que es el producto escalar de vectores, ¿vale?

12
00:00:49,729 --> 00:00:52,149
Entonces, lo que sí quiero que veáis es,

13
00:00:52,149 --> 00:00:54,850
Como siempre vamos a analizar las palabras, ¿de acuerdo?

14
00:00:55,189 --> 00:00:56,810
Un producto que es, ¿ya vale?

15
00:00:58,469 --> 00:01:02,770
Una multiplicación y una escala que es un número.

16
00:01:02,909 --> 00:01:05,030
Por lo tanto, lo que tenemos que tener claro es eso.

17
00:01:05,409 --> 00:01:09,489
Si yo hago el producto escalar de dos vectores,

18
00:01:09,930 --> 00:01:13,530
lo que voy a obtener es un número.

19
00:01:14,049 --> 00:01:18,170
Porque luego vamos a ver el producto vectorial de vectores.

20
00:01:18,670 --> 00:01:21,150
Entonces, cuando yo haga el producto vectorial de vectores,

21
00:01:21,150 --> 00:01:21,989
¿qué voy a obtener?

22
00:01:22,150 --> 00:01:45,030
Un vector, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? La definición, definición de producto escalar, ¿vale? Yo tengo dos vectores, u y v, entiendo que tanto u como v son distintos de cero, por lo tanto, la definición de producto escalar es el módulo de u, ¿os acordáis cómo se llama el módulo de u?

23
00:01:45,030 --> 00:01:46,989
el módulo de un vector, la raíz cuadrada

24
00:01:46,989 --> 00:01:48,810
de cada uno de los componentes al cuadrado

25
00:01:48,810 --> 00:01:50,609
por el módulo de v

26
00:01:50,609 --> 00:01:52,430
¿de acuerdo? que es

27
00:01:52,430 --> 00:01:55,069
lo diré, la raíz

28
00:01:55,069 --> 00:01:57,069
cuadrada de cada componente al cuadrado

29
00:01:57,069 --> 00:01:58,870
por el coseno del ángulo

30
00:01:58,870 --> 00:02:00,930
que forma, es decir, si yo tengo

31
00:02:00,930 --> 00:02:02,870
aquí chavales, este es

32
00:02:02,870 --> 00:02:04,629
mi v

33
00:02:04,629 --> 00:02:06,269
y yo tengo aquí

34
00:02:06,269 --> 00:02:08,889
mi u, ¿de acuerdo?

35
00:02:09,009 --> 00:02:10,969
tengo dos vectores y aquí hay

36
00:02:10,969 --> 00:02:12,789
un ángulo alfa, ¿vale?

37
00:02:12,789 --> 00:02:14,569
es el ángulo que los separa

38
00:02:14,569 --> 00:02:16,030
Entonces, ¿qué ocurre?

39
00:02:16,509 --> 00:02:19,830
Que yo lo que tendría que multiplicar es,

40
00:02:20,129 --> 00:02:22,689
hallo el módulo de u, hallo el módulo de v,

41
00:02:23,069 --> 00:02:26,009
que el módulo de u que me va a dar un...

42
00:02:26,009 --> 00:02:27,409
¿Qué me da el módulo de u?

43
00:02:27,909 --> 00:02:31,129
Un número, porque además siempre es positivo, ¿verdad?

44
00:02:31,189 --> 00:02:32,050
Porque es lo que mide.

45
00:02:32,810 --> 00:02:37,229
El módulo de v también es positivo, ¿de acuerdo?

46
00:02:37,530 --> 00:02:41,729
Luego, el coseno del ángulo, eso ya puede variar.

47
00:02:41,729 --> 00:03:06,289
¿Entre qué dos valores varía el coseno de un ángulo? ¿Entre qué dos valores varía el coseno de un ángulo? Entre menos uno y uno, ¿de acuerdo? Entre menos uno y uno, ¿de acuerdo? Y entonces, eso también nos va a decir mucha información respecto a cómo están los vectores entre ellos, ¿vale?

48
00:03:06,830 --> 00:03:11,050
Entonces, el módulo de u es un número, el módulo de v es un número,

49
00:03:11,469 --> 00:03:17,490
el coseno del ángulo que forman u y v va a estar entre menos 1 y 1,

50
00:03:17,930 --> 00:03:21,710
por lo tanto, yo al multiplicar tres números, ¿qué me va a dar?

51
00:03:21,889 --> 00:03:23,289
Pues otro número, ¿vale?

52
00:03:23,969 --> 00:03:26,569
Entonces, chavales, si el ángulo es agudo,

53
00:03:26,930 --> 00:03:28,689
si el ángulo es agudo, ¿qué era un ángulo agudo?

54
00:03:30,069 --> 00:03:31,090
Menos de 90.

55
00:03:31,090 --> 00:03:36,189
El coseno es positivo, por lo tanto, u y v, ¿vale?

56
00:03:36,289 --> 00:03:50,550
Es positivo. Sin embargo, si el ángulo es obtuso, ¿de acuerdo? Si el ángulo es obtuso, pues el coseno del ángulo es menor que cero y por lo tanto u y v es negativo, ¿vale?

57
00:03:51,129 --> 00:04:01,719
Siempre se coge como ángulo el más chico de los dos, me refiero, si yo tengo aquí este es mi vector u y este es mi vector v, ¿vale?

58
00:04:02,620 --> 00:04:08,599
En vez de coger este ángulo de aquí, se coge el más chico, ¿vale? Este es el ángulo alfa, ¿de acuerdo?

59
00:04:09,159 --> 00:04:15,379
Y aquí, ¿qué ocurre? Aquí, como el ángulo de este alfa es mayor que 90, ¿vale?

60
00:04:15,379 --> 00:04:25,579
Es mayor que 90 grados, mayor que pi medio, entonces el coseno es negativo y el producto escalar de los dos es negativo, ¿vale?

61
00:04:25,800 --> 00:04:34,060
En este caso de aquí, como alfa es más chico que 90, es un ángulo agudo, el coseno es positivo y el producto escalar es positivo.

62
00:04:34,160 --> 00:04:34,279
Dime.

63
00:04:41,069 --> 00:04:42,149
¿Así va bien, Guillo?

64
00:04:42,930 --> 00:04:43,110
Sí.

65
00:04:44,129 --> 00:04:44,970
Vale, perdona.

66
00:04:45,589 --> 00:04:45,790
¿Vale?

67
00:04:45,790 --> 00:04:51,490
Entonces, ¿todo el mundo bien con esto?

68
00:04:52,170 --> 00:04:53,410
¿Sí? Vale

69
00:04:53,410 --> 00:04:55,870
Pues entonces, ¿qué ocurre?

70
00:04:56,350 --> 00:04:59,129
Que evidentemente una propiedad de Perogrullo

71
00:04:59,129 --> 00:05:02,930
Si el vector u o el vector v es el vector nulo

72
00:05:02,930 --> 00:05:04,410
¿Cuánto vale su módulo?

73
00:05:05,370 --> 00:05:05,970
Cero

74
00:05:05,970 --> 00:05:08,889
Y cuando yo multiplico un número por cero, ¿cuánto da?

75
00:05:09,370 --> 00:05:09,970
Cero

76
00:05:09,970 --> 00:05:11,850
Entonces, ¿qué es lo que ocurre?

77
00:05:11,850 --> 00:05:14,370
Que el producto escalar de dos vectores

78
00:05:14,370 --> 00:05:22,649
siendo uno de ellos cero es cero vale sí o no y luego también otra súper importante súper

79
00:05:22,649 --> 00:05:29,970
importante que esto nos va a proporcionar muchísima muchísima información es el producto escalar de

80
00:05:29,970 --> 00:05:38,250
dos vectores que no son nulos vale cero cuando son perpendiculares de acuerdo que quiere decir

81
00:05:38,250 --> 00:05:46,920
que dos vectores sean perpendiculares chavales alguien me lo sabe decir forma un ángulo de 90

82
00:05:46,920 --> 00:05:58,360
¿De acuerdo? Es decir, dos vectores son perpendiculares y se representan con este símbolo de aquí, ¿vale?

83
00:05:58,980 --> 00:06:10,089
Perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados, ¿vale?

84
00:06:10,470 --> 00:06:12,629
¿Y cuánto es el coseno de 90 grados?

85
00:06:13,850 --> 00:06:15,629
Un ángulo de 90 grados.

86
00:06:15,629 --> 00:06:39,750
Entonces, como el coseno de 90 grados es 0, pues resulta que u por v es igual a 0 si solo si u es perpendicular a v si u es distinto de 0 y v es distinto de 0.

87
00:06:39,750 --> 00:06:46,790
porque si no, resulta que el producto me puede dar cero si yo estoy multiplicando algún vector en u.

88
00:06:47,069 --> 00:06:50,189
¿Hasta ahí bien? ¿Ya vale? ¿Sí? Vale.

89
00:06:51,529 --> 00:06:53,310
Entonces, una cosita.

90
00:06:54,050 --> 00:07:02,709
La definición de producto escalar u por v, como hemos dicho que es el módulo de u por el módulo de v

91
00:07:02,709 --> 00:07:08,930
por el coseno del ángulo que forman u y v, ¿vale?

92
00:07:08,930 --> 00:07:24,529
Esto me permite a mí hallar muchas cosas, ¿vale? Me permite hallar muchas cosas. Si yo sé el producto escalar, sé el módulo de 1, sé el ángulo que forman, ¿verdad? Puedo hallar el módulo del otro, ¿verdad?

93
00:07:24,529 --> 00:07:42,310
O si yo, por ejemplo, tengo cuánto vale el producto escalar o lo puedo hallar con otra fórmula que ahora veremos, si es el módulo de u y el módulo de v, yo puedo hallar el coseno del ángulo que los forma y, por ende, puedo hallar el ángulo que forman los dos. ¿Sí o no? ¿Sí?

94
00:07:42,310 --> 00:07:51,050
¿Qué más, qué más? Pues dependiendo, yo aquí tengo al final 1, 2, 3, 4 parámetros, ¿de acuerdo?

95
00:07:51,389 --> 00:07:57,589
Si yo sé 3 de ellos, al final es despejar. Por lo tanto, esta fórmula de aquí, súper importante, ¿vale?

96
00:07:58,129 --> 00:08:04,500
Muy importante y nos la tenemos que saber.

97
00:08:05,100 --> 00:08:10,240
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que a partir de ahí vienen una serie de definiciones, ¿vale?

98
00:08:10,259 --> 00:08:13,120
Que es el módulo, el ángulo y la proyección.

99
00:08:13,120 --> 00:08:40,860
Entonces, precisamente relacionado con lo que hemos dicho, ¿cómo sé yo el módulo de un vector? El módulo de un vector coincide también con la raíz del producto escalar de ese vector consigo mismo.

100
00:08:40,860 --> 00:09:05,259
Es decir, si yo hago el producto escalar de ese vector con eso mismo y le hago la raíz, tengo el módulo del vector. ¿Vale? Porque si yo tengo mi vector u, ¿vale? Yo ahora hallo el producto escalar con mi vector u, que es el mismo, ¿vale? ¿Cuál es el ángulo que forma u consigo mismo?

101
00:09:05,259 --> 00:09:07,539
¿Cuál es el ángulo que forma U consigo mismo?

102
00:09:08,019 --> 00:09:08,659
Cero.

103
00:09:09,820 --> 00:09:13,899
¿Y sabe alguien decirme cuánto vale el coseno de cero grado?

104
00:09:14,299 --> 00:09:14,940
Uno.

105
00:09:16,320 --> 00:09:22,940
Por lo tanto, si yo hago el producto escalar de un vector consigo mismo,

106
00:09:23,419 --> 00:09:25,019
es el módulo de U, ¿verdad?

107
00:09:25,799 --> 00:09:33,669
Por el módulo de U, por el coseno de U con U, que es el sí mismo,

108
00:09:33,669 --> 00:09:37,190
Hemos dicho que esto, ¿cuánto vale? Esto vale 1, ¿verdad?

109
00:09:38,309 --> 00:09:42,429
Y entonces, ¿qué me queda? Módulo de u por módulo de u.

110
00:09:42,649 --> 00:09:44,809
¿Y el módulo de u por módulo de u qué es?

111
00:09:46,669 --> 00:09:48,230
Módulo de u al cuadrado.

112
00:09:48,889 --> 00:09:49,389
¿Sí o no?

113
00:09:50,409 --> 00:10:00,000
Entonces, si yo tengo que el producto escalar de u por u, si yo tengo que u por u es igual al módulo de u al cuadrado, ¿verdad?

114
00:10:00,000 --> 00:10:02,620
si yo hago la raíz a todo

115
00:10:02,620 --> 00:10:04,379
que tengo, que el módulo de U

116
00:10:04,379 --> 00:10:06,679
es igual a la raíz

117
00:10:06,679 --> 00:10:07,779
de

118
00:10:07,779 --> 00:10:10,539
producto escalar de un vector

119
00:10:10,539 --> 00:10:11,059
consigo.

120
00:10:12,139 --> 00:10:12,559
¿Sí o sí?

121
00:10:15,200 --> 00:10:16,399
Lo que has puesto

122
00:10:16,399 --> 00:10:17,379
debajo de la flecha

123
00:10:17,379 --> 00:10:19,720
es debajo de eso.

124
00:10:20,580 --> 00:10:21,679
¿El producto escalar?

125
00:10:22,799 --> 00:10:23,879
No, no, perdón.

126
00:10:24,379 --> 00:10:25,620
Es el producto escalar, ¿vale?

127
00:10:26,399 --> 00:10:28,519
Y ahora, ¿cuál es el ángulo

128
00:10:28,519 --> 00:10:45,100
¿Qué es lo que hay entre dos vectores? Pues yo, de mi fórmula de la definición, recordar que u por v es igual al módulo de u por el módulo de v por el coseno de uv.

129
00:10:45,100 --> 00:10:51,200
Si yo despejo el coseno de uv, ¿verdad?

130
00:10:51,820 --> 00:10:52,899
¿Qué es lo que tengo?

131
00:10:53,320 --> 00:10:55,440
Pues el producto escalar de u por v

132
00:10:55,440 --> 00:11:01,320
y pasa dividiendo el módulo de u y el módulo de v.

133
00:11:02,460 --> 00:11:05,299
¿Cómo hallo yo luego el ángulo como tal?

134
00:11:05,559 --> 00:11:06,519
¿Qué tengo que aplicar?

135
00:11:06,559 --> 00:11:08,100
Pues yo aquí sé el coseno del ángulo.

136
00:11:08,240 --> 00:11:09,179
¿Cómo sé el ángulo?

137
00:11:10,879 --> 00:11:12,279
Con el arcoseno.

138
00:11:12,840 --> 00:11:13,019
¿Vale?

139
00:11:13,139 --> 00:11:14,320
¿Todo el mundo sabe eso o no?

140
00:11:14,320 --> 00:11:16,860
por ejemplo

141
00:11:16,860 --> 00:11:18,519
un ejemplito

142
00:11:18,519 --> 00:11:30,019
un ejemplo

143
00:11:30,019 --> 00:11:31,840
¿vale? es que luego hay otra fórmula

144
00:11:31,840 --> 00:11:33,879
para hallar el producto escalar

145
00:11:33,879 --> 00:11:35,000
que es un poquito

146
00:11:35,000 --> 00:11:37,559
más sencilla que esta ¿vale?

147
00:11:37,600 --> 00:11:38,840
pero entonces si a mí me dice

148
00:11:38,840 --> 00:11:41,139
que u por v ¿vale?

149
00:11:41,919 --> 00:11:44,039
es igual a

150
00:11:44,039 --> 00:11:45,639
a 3

151
00:11:45,639 --> 00:11:47,200
¿vale?

152
00:11:47,899 --> 00:11:49,539
el módulo de u

153
00:11:49,539 --> 00:11:51,919
es igual a

154
00:11:51,919 --> 00:11:52,500
2

155
00:11:52,500 --> 00:11:57,600
que el módulo de V es igual a 4, ¿vale?

156
00:11:58,639 --> 00:12:02,860
¿Cómo hallo el ángulo entre U y V?

157
00:12:03,960 --> 00:12:05,500
¿Cómo lo hallaría, chavales?

158
00:12:06,000 --> 00:12:07,580
Pues si yo aplico la fórmula, ¿no?

159
00:12:08,200 --> 00:12:10,620
El coseno entre U y V, ¿verdad?

160
00:12:11,019 --> 00:12:11,940
¿A qué es igual?

161
00:12:12,539 --> 00:12:18,700
El producto escalar de U por V partido del módulo de U por módulo de V, ¿verdad?

162
00:12:19,220 --> 00:12:21,299
¿Cuánto es el producto escalar?

163
00:12:21,299 --> 00:12:23,460
¿cuánto vale el módulo?

164
00:12:23,740 --> 00:12:25,159
un 2, ¿cuánto vale el otro?

165
00:12:25,740 --> 00:12:26,320
un 4

166
00:12:26,320 --> 00:12:29,360
entonces, dime, dime

167
00:12:29,360 --> 00:12:30,820
lo único que yo sustituí

168
00:12:30,820 --> 00:12:36,639
es el ángulo que forma

169
00:12:36,639 --> 00:12:39,259
u y v, que es lo que me pide

170
00:12:39,259 --> 00:12:43,779
es que en principio

171
00:12:43,779 --> 00:12:45,480
tu fórmula es hecha

172
00:12:45,480 --> 00:12:46,340
¿vale?

173
00:12:46,340 --> 00:13:00,080
si tú defines que alfa es el ángulo

174
00:13:00,080 --> 00:13:02,059
entre u y v, sí, pero tienes que definir

175
00:13:02,059 --> 00:13:03,940
eso me ha pasado también en algunos

176
00:13:03,940 --> 00:13:06,000
exámenes, un momentillo Elena, ahora me pregunta

177
00:13:06,000 --> 00:13:07,940
en algunos exámenes hay alguien

178
00:13:07,940 --> 00:13:09,799
que sin decirme cuál es la

179
00:13:09,799 --> 00:13:11,679
prima o la a estrella y demás

180
00:13:11,679 --> 00:13:13,860
me ha hallado el rango, entonces

181
00:13:13,860 --> 00:13:15,960
claro, yo te pregunto, y bueno, ¿y qué es

182
00:13:15,960 --> 00:13:17,860
a estrella? ¿vale? entonces

183
00:13:17,860 --> 00:13:19,840
si tú quieres utilizar alfa

184
00:13:19,840 --> 00:13:22,159
define, alfa es el ángulo

185
00:13:22,159 --> 00:13:24,100
que hay entre los vectores u y v

186
00:13:24,100 --> 00:13:25,980
y ya lo puedes utilizar, dime Elena

187
00:13:25,980 --> 00:13:31,830
porque

188
00:13:31,830 --> 00:13:34,529
¿cuánto vale el ángulo que forma

189
00:13:34,529 --> 00:13:35,830
un ángulo consigo mismo?

190
00:13:39,539 --> 00:13:41,259
yo tengo mi ángulo u

191
00:13:41,259 --> 00:13:43,539
perdona, mi vector u, discúlpame

192
00:13:43,539 --> 00:13:45,039
y ahora tengo

193
00:13:45,039 --> 00:13:46,700
voy a hacer el producto escalar

194
00:13:46,700 --> 00:13:48,600
de u consigo mismo

195
00:13:48,600 --> 00:13:49,539
¿vale?

196
00:13:50,759 --> 00:13:52,919
entonces, yo tengo que hacer

197
00:13:52,919 --> 00:13:55,039
el producto escalar de este vector u

198
00:13:55,039 --> 00:14:03,620
con el mismo? ¿Cuánto es el ángulo que forma U consigo mismo? Cero. ¿Y cuánto vale el coseno de

199
00:14:03,620 --> 00:14:11,980
cero? Uno. ¿Vale? Por eso vale U. ¿Vale? Paula, me tiras el chicle, no te importa. Gracias, mi

200
00:14:11,980 --> 00:14:21,299
hermana. Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuánto vale, cuánto vale la fuerza de U y V, chavales? Es el

201
00:14:21,299 --> 00:14:25,940
arcoceno, el arcococeno, perdonad, ¿vale? De hecho lo voy a echar a una mejita más

202
00:14:25,940 --> 00:14:35,600
para acá, para que me quede para aquí, ¿vale? Es el arcococeno de 3 octavos, ¿vale? ¿Y

203
00:14:35,600 --> 00:14:47,980
esto cuánto es? 68, que rima con la vida. 68 grados aproximadamente, ¿vale? Sí, aproximadamente.

204
00:14:47,980 --> 00:15:04,960
Más o menos, ¿vale? Los ciudadanos mejor que deis dos decimales, una cosilla así. Chavales, una pregunta, una pregunta, una pregunta. Si el módulo, si el producto extra de UV hubiese sido 9, ¿qué hubiese ocurrido aquí?

205
00:15:04,960 --> 00:15:14,200
muy bien Andrés

206
00:15:14,200 --> 00:15:15,659
¿había escuchado a Andrés?

207
00:15:16,580 --> 00:15:18,200
escucharlo sí, entenderlo no

208
00:15:18,200 --> 00:15:20,559
venga, vale, te lo compro

209
00:15:20,559 --> 00:15:22,379
yo lo que le he preguntado

210
00:15:22,379 --> 00:15:24,080
a Andrés es

211
00:15:24,080 --> 00:15:26,500
¿podría ser posible

212
00:15:26,500 --> 00:15:27,700
esto? es decir

213
00:15:27,700 --> 00:15:29,000
u por v

214
00:15:29,000 --> 00:15:30,580
¿qué he dicho? ¿9?

215
00:15:30,960 --> 00:15:34,080
el módulo de u era 2

216
00:15:34,080 --> 00:15:36,220
¿verdad? y el módulo de v

217
00:15:36,220 --> 00:15:37,480
era 4

218
00:15:37,480 --> 00:15:40,139
me preguntan, ese alfa entre

219
00:15:40,139 --> 00:15:53,759
u y v verdad entonces alfa es verdad que es el arco coseno de u por v partido de u entre v ya

220
00:15:53,759 --> 00:16:03,960
despejado toda la fórmula vale entonces esto es el arco coseno de 9 octavos tenéis calculadora

221
00:16:03,960 --> 00:16:05,820
chicos dice

222
00:16:05,820 --> 00:16:07,879
y por qué

223
00:16:07,879 --> 00:16:13,240
porque el argumento

224
00:16:13,240 --> 00:16:15,279
un coseno, esto de aquí

225
00:16:15,279 --> 00:16:16,820
es mayor que 1, vale chavales

226
00:16:16,820 --> 00:16:18,899
es mayor que 1

227
00:16:18,899 --> 00:16:21,000
y entonces no existe

228
00:16:21,000 --> 00:16:23,220
el arco coseno

229
00:16:23,220 --> 00:16:25,100
de un valor que no esté

230
00:16:25,100 --> 00:16:26,820
entre menos 1

231
00:16:26,820 --> 00:16:29,940
y 1

232
00:16:29,940 --> 00:16:32,159
vale chavales

233
00:16:32,159 --> 00:16:33,580
here's the

234
00:16:33,580 --> 00:16:35,379
power ranger

235
00:16:35,379 --> 00:16:38,460
vale

236
00:16:39,080 --> 00:16:40,039
Entonces, chavales.

237
00:16:44,919 --> 00:16:47,899
El coseno de un ángulo siempre está entre menos uno y uno.

238
00:16:48,100 --> 00:16:54,240
Entonces, claro, si yo voy a hallar el arcocoseno de algo que es mayor que uno o más chico que menos uno,

239
00:16:54,460 --> 00:16:56,259
pues me va a decir que es natillas de anones, ¿vale?

240
00:16:56,940 --> 00:16:57,159
¿Sí?

241
00:16:59,000 --> 00:17:02,580
Venga, esto de aquí que le suele costar un poquito a la gente, ¿vale?

242
00:17:02,580 --> 00:17:03,980
Que es el vector proyección.

243
00:17:05,700 --> 00:17:06,180
Natillas.

244
00:17:08,549 --> 00:17:09,809
A ver si soy capaz de...

245
00:17:09,809 --> 00:17:16,470
Aquí, ¿vale?

246
00:17:17,930 --> 00:17:19,730
Se ve muy chico, ¿verdad, Raúl Padré?

247
00:17:21,930 --> 00:17:23,390
Bueno, esto está en el libro, ¿vale?

248
00:17:23,410 --> 00:17:27,769
Lo que pasa es que lo he querido coger todo para verlo más grande.

249
00:17:28,529 --> 00:17:30,069
Entonces, ¿qué ocurre, chavales?

250
00:17:30,230 --> 00:17:33,109
Esto lo habéis visto ya en física realmente, ¿vale?

251
00:17:33,750 --> 00:17:36,390
Usted lo que habéis visto en física, no sé si os acordáis,

252
00:17:36,390 --> 00:17:39,410
es decir, yo tengo aquí una fuerza, ¿vale?

253
00:17:39,829 --> 00:17:40,789
Yo tengo una fuerza.

254
00:17:41,549 --> 00:17:42,630
¿Os acordáis más o menos?

255
00:17:42,930 --> 00:17:47,750
Y si este era el eje X y este era el eje Y,

256
00:17:49,809 --> 00:17:52,369
yo mi fuerza la podía descomponer, ¿verdad?

257
00:17:52,450 --> 00:17:54,809
Como F sub X y F sub Y.

258
00:17:55,390 --> 00:17:57,069
¿Eso más o menos ustedes os acordáis?

259
00:17:57,930 --> 00:17:58,029
¿Sí?

260
00:17:58,529 --> 00:17:59,049
Vale.

261
00:17:59,150 --> 00:18:00,309
¿Todo el mundo da física aquí?

262
00:18:03,000 --> 00:18:04,059
Algunos son felices.

263
00:18:04,200 --> 00:18:05,119
Entonces, ¿qué ocurre?

264
00:18:06,180 --> 00:18:09,059
A mí me gusta la física, pero me gustan mucho más las mates.

265
00:18:10,240 --> 00:18:11,460
Entonces, ¿qué ocurre?

266
00:18:12,160 --> 00:18:14,240
Con fx y con fi, ¿vale?

267
00:18:14,859 --> 00:18:22,599
Realmente, si yo proyecto mi fuerza sobre el eje x, voy a obtener,

268
00:18:22,599 --> 00:18:27,279
obtengo aquí, ¿verdad?, la componente x de la fuerza.

269
00:18:27,839 --> 00:18:35,339
Si yo proyecto este vector f sobre el eje y, tengo aquí la componente y de mi fuerza.

270
00:18:36,079 --> 00:18:40,460
Eso más o menos lo recordáis cuando hacíais los problemas de fuerzas y demás,

271
00:18:40,460 --> 00:18:42,980
que había aquí un arfa

272
00:18:42,980 --> 00:18:45,220
y que f de x

273
00:18:45,220 --> 00:18:47,019
precisamente era f

274
00:18:47,019 --> 00:18:48,799
por el coseno de arfa

275
00:18:48,799 --> 00:18:51,180
y que fi era igual a

276
00:18:51,180 --> 00:18:52,759
f por el seno de arfa

277
00:18:52,759 --> 00:18:54,019
eso más o menos

278
00:18:54,019 --> 00:18:55,460
more or less

279
00:18:55,460 --> 00:18:57,720
oh yeah, you're a good person

280
00:18:57,720 --> 00:18:59,680
entonces, ¿qué ocurre?

281
00:19:00,680 --> 00:19:01,680
que yo ahora

282
00:19:01,680 --> 00:19:04,319
yo realmente no tengo

283
00:19:04,319 --> 00:19:05,740
una fuerza única

284
00:19:05,740 --> 00:19:08,220
yo tengo dos vectores, tengo aquí

285
00:19:08,220 --> 00:19:10,059
mi u y mi v, de hecho

286
00:19:10,059 --> 00:19:18,279
Lo voy a poner aquí y voy a coger esto para que se vea más grande, ¿vale?

287
00:19:19,000 --> 00:19:24,059
Entonces, si yo tengo aquí mis dos vectores u y v, ¿vale?

288
00:19:24,339 --> 00:19:29,900
Yo puedo hallar la proyección de u sobre v, ¿lo puedo hallar?

289
00:19:30,960 --> 00:19:36,599
Sí, ¿no? Sin problema, ¿vale?

290
00:19:37,079 --> 00:19:38,839
Entonces, ¿qué es lo que ocurre?

291
00:19:38,839 --> 00:20:00,990
Que la proyección de u sobre v, si te fijas, si nos vamos a esta formulita de aquí, la proyección de u sobre v a que es igual al módulo de u, ¿verdad? Por el coseno, si esto es alfa, ¿vale? Por el coseno de alfa.

292
00:20:00,990 --> 00:20:03,430
¿Eso todo el mundo lo ve?

293
00:20:04,849 --> 00:20:06,029
¿Eso todo el mundo lo ve?

294
00:20:07,009 --> 00:20:07,930
¿Circing o Norcing?

295
00:20:09,130 --> 00:20:09,650
¿Norcing?

296
00:20:10,549 --> 00:20:11,910
Do you want me to repeat?

297
00:20:14,309 --> 00:20:15,750
Aquí tienes tu vector U

298
00:20:15,750 --> 00:20:17,309
y aquí tienes tu vector V

299
00:20:17,309 --> 00:20:18,250
¿Vale?

300
00:20:18,630 --> 00:20:20,549
Realmente puede tener cualquier posición

301
00:20:20,549 --> 00:20:22,509
pero yo si lo desplazo todo

302
00:20:22,509 --> 00:20:24,990
al final el ángulo que forman U y V

303
00:20:24,990 --> 00:20:26,029
es el mismo

304
00:20:26,029 --> 00:20:27,089
¿Sí o no?

305
00:20:28,069 --> 00:20:29,450
Entonces, si yo ahora

306
00:20:29,450 --> 00:20:30,910
imaginaros que estoy con las fuerzas

307
00:20:30,910 --> 00:20:33,089
¿tú has entendido que la f de x

308
00:20:33,089 --> 00:20:35,130
era f por el coseno y la f de y

309
00:20:35,130 --> 00:20:36,250
era f por el seno?

310
00:20:37,390 --> 00:20:37,630
¿sí?

311
00:20:39,630 --> 00:20:41,150
aquí esto viene chavales

312
00:20:41,150 --> 00:20:42,690
esto se da en

313
00:20:42,690 --> 00:20:44,930
el cuarto de la esotriconometría

314
00:20:44,930 --> 00:20:47,089
cuando tenemos un ángulo agudo

315
00:20:47,089 --> 00:20:49,109
¿alguien me sabe decir la definición

316
00:20:49,109 --> 00:20:50,450
de coseno de un ángulo?

317
00:20:50,950 --> 00:20:55,140
el caputeto contiguo

318
00:20:55,140 --> 00:20:57,119
el caputeto contiguo

319
00:20:57,119 --> 00:20:58,759
entre la hipotenusa

320
00:20:58,759 --> 00:21:01,039
¿vale? realmente

321
00:21:01,039 --> 00:21:04,240
¿Veis aquí todo el mundo que esto es un triángulo rectángulo?

322
00:21:07,069 --> 00:21:09,230
¿Veis que esto es un triángulo rectángulo o no?

323
00:21:10,289 --> 00:21:11,329
Os conozco bien.

324
00:21:17,579 --> 00:21:20,559
Esto de aquí, chavales, fijarse.

325
00:21:20,720 --> 00:21:21,880
Uy, ahí va a ver hostia, María.

326
00:21:22,359 --> 00:21:23,000
Con la noa.

327
00:21:26,140 --> 00:21:27,000
Reventa de la cabeza.

328
00:21:27,700 --> 00:21:28,880
Esto es mi fuerza, ¿vale?

329
00:21:31,650 --> 00:21:32,789
Esta es mi fuerza.

330
00:21:34,230 --> 00:21:35,269
Este es mi arfa.

331
00:21:36,269 --> 00:21:38,549
Esto es 90 grados, ¿vale?

332
00:21:38,549 --> 00:21:51,809
Esta es mi f de x. Aquí realmente, esto de aquí, si yo me llevo esto de aquí, que es mi f de y, aquí miden lo mismo, pues esto es mi f de y, ¿vale?

333
00:21:52,150 --> 00:22:00,289
La definición, si os acordáis, coseno de arfa era cateto contiguo partido de hipotenusa.

334
00:22:00,910 --> 00:22:06,029
Y el seno de arfa era cateto opuesto partido de hipotenusa.

335
00:22:06,029 --> 00:22:13,529
Estos chavales, solamente es viable esta definición si el ángulo es agudo, ¿vale?

336
00:22:13,950 --> 00:22:15,190
Si el ángulo es agudo.

337
00:22:15,609 --> 00:22:21,109
Si el ángulo no es agudo, hay una cosa, una monja muy buena,

338
00:22:21,849 --> 00:22:28,640
se llama sorcartoa, sorcartoa.

339
00:22:29,420 --> 00:22:30,660
Sorcartoa, ¿qué quiere decir?

340
00:22:31,079 --> 00:22:34,359
Que el seno, esto es válido para todos los ángulos, ¿eh?

341
00:22:34,359 --> 00:22:39,359
El seno es igual a la ordenada, a la ordenada a partir del radio.

342
00:22:40,099 --> 00:22:48,019
El coseno es la abscisa partido del radio y la tangente es la ordenada partido de la abscisa.

343
00:22:48,779 --> 00:22:52,220
¿Por qué? Porque yo al final puedo hacer una circunferencia, ¿de acuerdo?

344
00:22:52,400 --> 00:22:58,180
Yo tengo una circunferencia, puedo al final hallar esto de que viene, chavales.

345
00:22:58,880 --> 00:22:59,140
A ver.

346
00:23:00,539 --> 00:23:02,319
Uy, este es el cartón, creo que hay otro sitio.

347
00:23:03,160 --> 00:23:06,460
Quedate un segundo porque si no...

348
00:23:06,460 --> 00:23:11,220
A ver, es que se me va en la grabación, me achaca lo otro, no sé por qué, tío.

349
00:23:14,430 --> 00:23:23,569
A ver, yo lo que quiero que veáis es que esta definición de cateto contiguo con hipotenusa solamente es válido, ¿vale?

350
00:23:25,410 --> 00:23:27,650
En este contexto de ángulo agudo, ¿vale?

351
00:23:27,809 --> 00:23:32,809
Pero que realmente hay una ayuda, que es una regla memotécnica, que es esto, el sol cartoa.

352
00:23:32,809 --> 00:23:43,569
Cuando yo tengo aquí, por ejemplo, yo tengo esto de aquí y quiero hallar el seno o el coseno de este ángulo de aquí alfa, ¿vale?

353
00:23:44,069 --> 00:23:49,410
Pues si yo tengo aquí este punto, yo tengo aquí una ordenada, ¿verdad?

354
00:23:49,650 --> 00:23:52,809
Y tengo aquí una cisa, ¿vale?

355
00:23:53,410 --> 00:23:58,549
Entonces, si yo divido, y aquí tengo un módulo que es mi radio, ¿vale?

356
00:23:58,549 --> 00:24:09,049
Si yo divido para el seno la ordenada entre el módulo, tengo lo que es el seno de ese ángulo, ¿vale?

357
00:24:09,250 --> 00:24:14,930
Y si yo divido la ascisa por su módulo, que es el radio, tengo el coseno de ese ángulo.

358
00:24:15,490 --> 00:24:22,829
Y si yo divido la ordenada por la ascisa, yo tengo la tangente de ese ángulo, ¿vale?

359
00:24:22,829 --> 00:24:47,490
Eso como recordatorio. Aquí como tal no lo vamos a utilizar, pero que sepáis que estas definiciones solamente son válidas si el ángulo es agudo. ¿Vale? Entonces, basándome en eso, veis que si yo, Diego, si yo proyecto este de aquí, este u sobre v que está aquí, yo aquí también tengo un triángulo rectángulo, ¿sí o no?

360
00:24:47,490 --> 00:25:01,450
Y precisamente la proyección de u sobre v es mi módulo de u, pero lo tengo que multiplicar por el coseno del ángulo que forman u y v.

361
00:25:02,650 --> 00:25:04,650
¿Sí o no?

362
00:25:05,650 --> 00:25:08,289
¿Y con eso qué hay?

363
00:25:08,410 --> 00:25:13,210
Pues hay precisamente la proyección de un vector sobre otro.

364
00:25:13,210 --> 00:25:35,210
¿Qué ocurre? Que yo luego, si lo vemos aquí en grande, ¿lo veis? La proyección de u sobre v es el u por el coseno del ángulo que forma. Y el coseno del ángulo que forma lo vimos antes, ¿verdad? Era el producto escalar de u por v, ¿lo veis? Partido del módulo de u por el módulo de v.

365
00:25:35,210 --> 00:25:38,630
si yo ahora aquí

366
00:25:38,630 --> 00:25:40,089
tacho esto con esto

367
00:25:40,089 --> 00:25:42,109
me queda la proyección realmente

368
00:25:42,109 --> 00:25:44,569
el producto escalar de U con V

369
00:25:44,569 --> 00:25:45,670
partido

370
00:25:45,670 --> 00:25:47,329
del módulo

371
00:25:47,329 --> 00:25:50,190
del módulo del vector V

372
00:25:50,190 --> 00:25:52,289
que es sobre el que yo he hecho la proyección

373
00:25:52,289 --> 00:25:54,130
¿vale? entonces

374
00:25:54,130 --> 00:25:55,289
si yo imaginaros

375
00:25:55,289 --> 00:25:57,210
si yo proyecto al final

376
00:25:57,210 --> 00:25:59,750
un vector A sobre un vector B

377
00:25:59,750 --> 00:26:01,970
para que esto es la

378
00:26:01,970 --> 00:26:02,829
mnemotécnica ¿vale?

379
00:26:02,829 --> 00:26:12,750
Este que está aquí abajo es sobre el que proyecto, ¿verdad? Pues módulo de B. Y luego aquí arriba es el producto escalar de A por B.

380
00:26:13,930 --> 00:26:18,869
Más o menos, chavales, pero ¿entendéis de dónde viene la fórmula o no? ¿Vale?

381
00:26:20,690 --> 00:26:28,430
Entonces, ¿qué ocurre? Pues la proyección de uso BV realmente es la longitud del segmento AB.

382
00:26:28,430 --> 00:26:42,380
Y el signo más o menos depende de si el ángulo es agudo, como es aquí, esto es agudo, y esto de aquí, ¿qué ocurre? Que es obtuso.

383
00:26:43,500 --> 00:26:56,980
Y aquí igual. Aquí si yo proyecto u sobre la dirección de v, esta es mi proyección, esto de aquí es mi proyección de u sobre el vector v, esto de aquí.

384
00:26:56,980 --> 00:26:58,460
vale chavales

385
00:26:58,460 --> 00:27:01,779
que igualmente me forma un triángulo

386
00:27:01,779 --> 00:27:02,960
rectángulo

387
00:27:02,960 --> 00:27:05,819
y estoy como las fuerzas de física

388
00:27:05,819 --> 00:27:07,319
vale

389
00:27:07,319 --> 00:27:08,740
lo que pasa que ocurre

390
00:27:08,740 --> 00:27:10,240
como el ángulo es obtuso

391
00:27:10,240 --> 00:27:11,640
fijaros la proyección

392
00:27:11,640 --> 00:27:14,680
la proyección tiene la misma dirección que V

393
00:27:14,680 --> 00:27:17,240
tiene la misma dirección que V

394
00:27:17,240 --> 00:27:19,660
tiene la misma dirección que V

395
00:27:19,660 --> 00:27:21,700
tiene la misma

396
00:27:21,700 --> 00:27:22,859
dirección que V

397
00:27:22,859 --> 00:27:24,319
si

398
00:27:24,319 --> 00:27:26,099
tiene el mismo sentido

399
00:27:26,099 --> 00:27:44,579
No. Y aquí, esta es la proyección de U sobre V. ¿Tiene la misma dirección U y V? ¿Y tienen el mismo sentido? Sí. ¿Vale? ¿Nadie la tiene chicle? Venga, sin cartiz, que aquí ya no te tenga que llamar la atención más.

400
00:27:44,579 --> 00:27:47,220
¿vale chavales? ¿entendéis

401
00:27:47,220 --> 00:27:49,480
de dónde viene esta fórmula que al final

402
00:27:49,480 --> 00:27:51,099
puede ser una regla memotécnica?

403
00:27:51,960 --> 00:27:53,700
la proyección de u sobre v

404
00:27:53,700 --> 00:27:55,599
lo de abajo, el módulo

405
00:27:55,599 --> 00:27:57,339
de abajo y al final es

406
00:27:57,339 --> 00:27:59,420
el producto escalar de los dos, pero viene de todo

407
00:27:59,420 --> 00:28:01,420
este desarrollo de aquí y que

408
00:28:01,420 --> 00:28:03,619
si yo soy antifórmula

409
00:28:03,619 --> 00:28:05,319
yo de esta fórmula nunca

410
00:28:05,319 --> 00:28:07,339
yo lo explico ahora, mañana

411
00:28:07,339 --> 00:28:08,980
se me olvida, pasado se me olvida

412
00:28:08,980 --> 00:28:11,339
¿vale? la del producto escalar

413
00:28:11,339 --> 00:28:12,819
no, la del producto escalar

414
00:28:12,819 --> 00:28:14,859
esa hay que saberla, ¿de acuerdo?

415
00:28:15,480 --> 00:28:17,279
el producto escalar que es módulo de u

416
00:28:17,279 --> 00:28:18,799
por módulo de v por el coseno

417
00:28:18,799 --> 00:28:21,180
de la angulo que forma, esa hay que saberla

418
00:28:21,180 --> 00:28:23,240
la proyección

419
00:28:23,240 --> 00:28:25,339
es una fórmula que oye, que si la sabéis

420
00:28:25,339 --> 00:28:27,400
pues para adelante, yo es que soy antifórmula

421
00:28:27,400 --> 00:28:29,019
y a mí se me olvidan las fórmulas

422
00:28:29,019 --> 00:28:30,380
pero yo la

423
00:28:30,380 --> 00:28:32,380
la consigo en un momento

424
00:28:32,380 --> 00:28:35,140
y si encima, si me dan ya el truquito este

425
00:28:35,140 --> 00:28:37,180
pues oye, si la recuerdas así, pues para adelante

426
00:28:37,180 --> 00:28:38,779
pero lo que yo quiero que vengáis

427
00:28:38,779 --> 00:28:41,220
que sepáis de dónde viene, dime hija

428
00:28:41,220 --> 00:28:45,599
¿Lo que ponía arriba, lo de Q por V partido de módulo de la cuadrada?

429
00:28:45,900 --> 00:28:46,099
Sí.

430
00:28:47,339 --> 00:28:51,039
Esto es el vector proyector de U sobre V.

431
00:28:51,599 --> 00:28:51,839
¿Vale?

432
00:28:52,460 --> 00:28:54,940
El vector proyector de aquí.

433
00:28:55,140 --> 00:28:56,160
Pero no es lo mismo que lo de abajo.

434
00:28:56,640 --> 00:28:58,539
El otro es la proyección.

435
00:28:59,380 --> 00:29:05,299
Esto es la proyección y este es el vector proyección, que es distinto.

436
00:29:06,099 --> 00:29:06,859
Eso se multiplica.

437
00:29:06,980 --> 00:29:08,400
La V de la derecha está multiplicando.

438
00:29:08,400 --> 00:29:09,599
¿La V de la derecha?

439
00:29:10,119 --> 00:29:10,859
¿Esto de aquí?

440
00:29:11,220 --> 00:29:17,519
el vector proyección de u sobre v

441
00:29:17,519 --> 00:29:19,099
si te das cuenta, aquí

442
00:29:19,099 --> 00:29:21,960
yo tengo

443
00:29:21,960 --> 00:29:24,519
a ver, lo voy a hacer en otra

444
00:29:24,519 --> 00:29:41,349
a ver, aquí de todas formas creo que viene

445
00:29:41,349 --> 00:29:45,329
dice, recuerda que la proyección de u

446
00:29:45,329 --> 00:29:48,609
es esto de aquí, ahora sustituyo

447
00:29:48,609 --> 00:29:51,630
en la longitud del segmento a y b del margen con signo más o menos

448
00:29:51,630 --> 00:29:53,750
dependiendo del ángulo, si es agudo o

449
00:29:53,750 --> 00:29:55,670
ostuso, dice, si este número

450
00:29:55,670 --> 00:29:57,630
lo multiplicamos por el vector

451
00:29:57,630 --> 00:29:59,769
unitario, por el vector

452
00:29:59,769 --> 00:30:01,690
unitario, que aquí es donde yo quería

453
00:30:01,690 --> 00:30:03,730
llegar, ¿vale? ¿Esto es

454
00:30:03,730 --> 00:30:05,230
un vector unitario, chavales?

455
00:30:05,630 --> 00:30:07,690
¿O no es un vector unitario? Esto de aquí.

456
00:30:08,849 --> 00:30:09,869
¿Por qué es un vector

457
00:30:09,869 --> 00:30:10,509
unitario?

458
00:30:13,710 --> 00:30:14,990
Si yo tengo cualquier

459
00:30:14,990 --> 00:30:17,029
vector, lo divido por su

460
00:30:17,029 --> 00:30:19,049
módulo, tengo un vector unitario.

461
00:30:19,309 --> 00:30:20,829
¿Vale? Por ejemplo, ejemplo,

462
00:30:20,829 --> 00:30:23,450
Katia, dime tres números al azar

463
00:30:23,450 --> 00:30:27,960
¿Vale?

464
00:30:28,339 --> 00:30:30,079
Este vector es unitario, chavales

465
00:30:30,079 --> 00:30:31,779
Si yo hallo el módulo

466
00:30:31,779 --> 00:30:33,779
Esto es C de Katia

467
00:30:33,779 --> 00:30:37,660
Esto es C de Katia

468
00:30:37,660 --> 00:30:39,259
Si yo hago el módulo de C

469
00:30:39,259 --> 00:30:41,180
Esto realmente, chavales

470
00:30:41,180 --> 00:30:43,640
Es 49 más 9 más 16

471
00:30:43,640 --> 00:30:44,119
¿Sí o no?

472
00:30:45,400 --> 00:30:47,660
¿Sí? Y esto es distinto de 1

473
00:30:47,660 --> 00:30:49,779
¿Estáis de acuerdo o no?

474
00:30:50,480 --> 00:30:50,940
De hecho

475
00:30:50,940 --> 00:30:59,170
De hecho, chavales

476
00:30:59,170 --> 00:31:15,150
Entonces, esto de aquí, si no me equivoco, es la raíz de 58, ¿no? 58 y 16 son 74, ¿no? La raíz de 74. No sé si me he equivocado, a ver si alguien me lo puede confirmar.

477
00:31:15,150 --> 00:31:34,789
Entonces, ¿cuál sería el vector unitario en el sentido de f? Sería 7 partido de raíz de 74, 3 partido de raíz de 74. ¿Está bien hecho lo de 74, chavales? Sí. Raíz de 74. ¿Vale?

478
00:31:34,789 --> 00:32:04,230
Y os invito a que si a ustedes le halláis el módulo de esto, os va a dar 1, ¿vale? Os va a dar 1, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Si a todo esto de aquí, que es la proyección sobre v, lo multiplicamos por el vector unitario que tiene la misma dirección y el mismo sentido que v, se obtiene el vector proyección.

479
00:32:04,789 --> 00:32:11,250
estos son conceptos un poquito abstractos

480
00:32:11,250 --> 00:32:14,609
pero el vector proyección de u sobre v

481
00:32:14,609 --> 00:32:17,950
es la proyección que hemos visto anteriormente

482
00:32:17,950 --> 00:32:21,470
multiplicado por el vector unitario

483
00:32:21,470 --> 00:32:23,269
en la dirección de v

484
00:32:23,269 --> 00:32:24,650
¿vale?

485
00:32:25,809 --> 00:32:27,809
que al final ¿qué es decir esto?

486
00:32:28,150 --> 00:32:29,329
esto es un módulo es uno

487
00:32:29,329 --> 00:32:30,849
pues que esto es

488
00:32:30,849 --> 00:32:33,450
realmente esto me va a dar un valor ¿verdad?

489
00:32:33,609 --> 00:32:35,170
pues entonces aquí en este caso

490
00:32:35,170 --> 00:32:38,690
A ojo, U realmente es 2 veces V, ¿no?

491
00:32:39,250 --> 00:32:40,309
¿Lo veis así más o menos?

492
00:32:41,470 --> 00:32:43,849
Bueno, 1,70 y algo, 1,80.

493
00:32:44,470 --> 00:32:44,650
¿Vale?

494
00:32:44,730 --> 00:32:45,910
Yo mi vista no es mi fuerte.

495
00:32:46,390 --> 00:32:48,170
Y aquí U, ¿qué sería?

496
00:32:48,470 --> 00:32:53,130
Como menos 2,8, menos 2,8V.

497
00:32:53,789 --> 00:32:54,670
¿Lo veis?

498
00:32:56,130 --> 00:32:56,490
¿Sí o no?

499
00:32:58,049 --> 00:32:58,829
¿Sí o no?

500
00:32:59,029 --> 00:32:59,170
Sí.

501
00:32:59,910 --> 00:33:00,269
Dime.

502
00:33:00,650 --> 00:33:04,509
Y lo de la fórmula, lo de arriba siempre tiene que ser positivo.

503
00:33:04,509 --> 00:33:07,970
La proyección, no.

504
00:33:08,349 --> 00:33:09,529
Depende del ángulo, ¿no?

505
00:33:10,970 --> 00:33:13,710
El ángulo, el coseno puede ser positivo o negativo.

506
00:33:16,250 --> 00:33:17,089
¿El qué, hijo?

507
00:33:18,769 --> 00:33:19,849
La proyección.

508
00:33:19,990 --> 00:33:24,250
Lo que pasa es que en física las fuerzas siempre son positivas.

509
00:33:24,809 --> 00:33:24,869
¿No?

510
00:33:25,410 --> 00:33:26,569
¿Qué es lo que ocurre aquí?

511
00:33:26,690 --> 00:33:30,710
Que aquí el signo lo que me dice es el sentido.

512
00:33:31,289 --> 00:33:33,470
Si va en la misma dirección o no va...

513
00:33:33,470 --> 00:33:37,430
Perdona, me dicen el sentido, en la misma dirección siempre va a ir, ¿vale?

514
00:33:37,450 --> 00:33:41,670
La proyección de u sobre v siempre va a ir en la misma dirección que v,

515
00:33:42,150 --> 00:33:46,130
pero el signo más o menos me dicen si va en el mismo sentido o en el sentido contrario.

516
00:33:47,190 --> 00:33:48,049
¿Sí, chavales, o no?

517
00:33:53,640 --> 00:33:53,920
Venga.

518
00:33:56,369 --> 00:34:02,809
Entonces, chavales, la operativa con el número, con la escala y las propiedades, ¿vale?

519
00:34:03,589 --> 00:34:07,150
Pues se cumple, chavales, que es conmutativo.

520
00:34:07,150 --> 00:34:10,809
¿Por qué es conmutativo el producto escalar?

521
00:34:11,210 --> 00:34:12,230
¿Por qué es conmutativo?

522
00:34:13,530 --> 00:34:15,349
Porque al final son dos números

523
00:34:15,349 --> 00:34:16,389
¿Y qué ocurre?

524
00:34:17,070 --> 00:34:18,630
Que yo, por ejemplo, si hallo

525
00:34:18,630 --> 00:34:21,210
El u por v

526
00:34:21,210 --> 00:34:22,489
Fijaros, u por v

527
00:34:22,489 --> 00:34:24,750
Eso aquí es igual a módulo de u, ¿verdad?

528
00:34:25,349 --> 00:34:26,550
Por el módulo de v

529
00:34:26,550 --> 00:34:28,650
Por el coseno

530
00:34:28,650 --> 00:34:30,090
Vamos a llamarle alfa

531
00:34:30,090 --> 00:34:33,250
Alfa es igual a uv

532
00:34:33,250 --> 00:34:34,469
Así

533
00:34:34,469 --> 00:34:36,170
¿Vale? ¿Sí o no?

534
00:34:37,150 --> 00:34:38,670
Eso es el u por v.

535
00:34:38,809 --> 00:34:42,809
Y si yo hago, chavales, v por u, ¿qué ocurre?

536
00:34:43,250 --> 00:34:44,769
Bueno, voy a ponerlo mejor esto.

537
00:34:44,929 --> 00:34:46,829
No voy a utilizar alfa, ahora digo por qué.

538
00:34:47,389 --> 00:34:50,829
Es u, v, casita.

539
00:34:51,389 --> 00:34:58,650
Esto es módulo de v por módulo de u por el coseno del ángulo que forma v con u.

540
00:34:59,849 --> 00:35:00,329
¿Sí?

541
00:35:00,710 --> 00:35:01,789
Por definición.

542
00:35:01,929 --> 00:35:02,829
Esto es la definición.

543
00:35:03,449 --> 00:35:06,809
Y ahora yo os digo, ¿el módulo de u es igual al módulo de u?

544
00:35:07,150 --> 00:35:09,769
¿El módulo de v es igual al módulo de v?

545
00:35:10,389 --> 00:35:14,090
¿El ángulo que forma u con v es el mismo que forma v con u?

546
00:35:14,409 --> 00:35:14,849
Sí.

547
00:35:15,130 --> 00:35:16,449
Por lo tanto, ¿esto qué es?

548
00:35:16,750 --> 00:35:17,449
Lo mismo, ¿verdad?

549
00:35:17,829 --> 00:35:21,630
Entonces yo puedo decir que u por v es lo mismo que v.

550
00:35:22,369 --> 00:35:23,869
Esto se supone que son flechas, ¿eh?

551
00:35:24,550 --> 00:35:25,250
Que v por u.

552
00:35:26,150 --> 00:35:26,389
¿Vale?

553
00:35:26,809 --> 00:35:31,210
La asociativa, la asociativa que me dice que si yo tengo un escalar lambda,

554
00:35:31,210 --> 00:35:33,389
es un escalar, ¿eh?

555
00:35:34,349 --> 00:35:36,469
Y yo multiplico, chavales.

556
00:35:36,469 --> 00:35:51,530
Es decir, yo hago primero el producto escalar de u por v, lo multiplico por lambda, es lo mismo que si yo lambda lo multiplico por un vector, ¿vale? Por un vector y al multiplicar lambda por un vector le hago el producto escalar con el otro.

557
00:35:51,530 --> 00:35:55,150
o multiplico lambda por el otro vector

558
00:35:55,150 --> 00:35:59,150
y le hago el producto escalar con el otro vector.

559
00:35:59,690 --> 00:36:01,670
Y después la distributiva es

560
00:36:01,670 --> 00:36:05,670
que si yo tengo el producto escalar de un vector

561
00:36:05,670 --> 00:36:08,210
con la suma de vectores,

562
00:36:08,710 --> 00:36:11,269
eso es lo mismo que si yo hago el producto escalar

563
00:36:11,269 --> 00:36:13,530
del u con v primero,

564
00:36:13,530 --> 00:36:16,889
le sumo el producto escalar de u con v2.

565
00:36:17,690 --> 00:36:17,809
¿Vale?

566
00:36:18,610 --> 00:36:18,909
¿Sí?

567
00:36:19,349 --> 00:36:21,250
Esto es la propiedad distributiva de toda la vida.

568
00:36:21,530 --> 00:36:38,630
¿Sí, chavales, o no? Vale. Entonces, esta es la expresión que más nos suele gustar, ¿vale? Y es la que más se utiliza y más fácil es de hallar. Bueno, viene después de esto, ¿vale? Pero bueno.

569
00:36:38,630 --> 00:37:06,059
A ver chavales, ¿alguien recuerda IJK que eran? ¿IJK qué es? Son IJK y JK son vectores unitarios y además ¿qué ocurre? Que son perpendiculares entre sí, son perpendiculares entre sí.

570
00:37:06,059 --> 00:37:09,619
Esto es lo que representamos, chavales

571
00:37:09,619 --> 00:37:14,639
Si yo tengo aquí esto, esto y esto

572
00:37:14,639 --> 00:37:20,679
Esto podría ser la Y

573
00:37:20,679 --> 00:37:22,380
Si esto es la X

574
00:37:22,380 --> 00:37:24,199
Esto era la J

575
00:37:24,199 --> 00:37:25,539
Si esto es Y

576
00:37:25,539 --> 00:37:26,980
Y esto es la Z

577
00:37:26,980 --> 00:37:28,480
¿Vale?

578
00:37:29,079 --> 00:37:29,800
Ay, qué coño

579
00:37:29,800 --> 00:37:31,000
Esto es Y, J, K, ¿no?

580
00:37:31,539 --> 00:37:31,780
K

581
00:37:31,780 --> 00:37:33,579
Si esto era la Z

582
00:37:33,579 --> 00:37:34,539
¿De acuerdo?

583
00:37:35,219 --> 00:37:38,019
Entonces, son vectores unitarios

584
00:37:38,019 --> 00:37:39,980
y además perpendiculares entre sí.

585
00:37:40,539 --> 00:37:41,780
Entonces, chavales, ¿qué ocurre?

586
00:37:41,880 --> 00:37:45,099
Si yo multiplico dos vectores unitarios,

587
00:37:45,179 --> 00:37:46,619
es decir, y por sí mismo,

588
00:37:47,079 --> 00:37:48,619
¿cuánto es el módulo de y?

589
00:37:49,679 --> 00:37:50,159
Uno.

590
00:37:50,280 --> 00:37:50,659
¿Por qué?

591
00:37:52,119 --> 00:37:53,360
Porque es unitario.

592
00:37:53,820 --> 00:37:54,059
¿Vale?

593
00:37:54,360 --> 00:37:56,079
¿Cuánto es el módulo de y otra vez?

594
00:37:56,519 --> 00:37:57,940
Uno, porque es unitario.

595
00:37:57,940 --> 00:38:00,800
¿Cuánto es el coseno que forma un ángulo consigo mismo?

596
00:38:02,619 --> 00:38:03,099
Cero.

597
00:38:03,219 --> 00:38:04,619
¿Cuánto es el coseno de cero?

598
00:38:04,920 --> 00:38:05,400
Uno.

599
00:38:05,679 --> 00:38:07,940
Por lo tanto, y por y, ¿veis que es uno?

600
00:38:08,019 --> 00:38:11,960
¿Veis que pasa lo mismo con J con J?

601
00:38:12,480 --> 00:38:14,920
Y pasa lo mismo con K y con K

602
00:38:14,920 --> 00:38:18,320
Estoy aplicando la definición de producto escalar

603
00:38:18,320 --> 00:38:18,920
¿Vale?

604
00:38:19,719 --> 00:38:26,179
Recordad, U por V es igual al módulo de U por el módulo de V

605
00:38:26,179 --> 00:38:29,940
Por el coseno que forman U y V

606
00:38:29,940 --> 00:38:32,179
¿Vale?

607
00:38:32,179 --> 00:38:35,000
todo el mundo ve que si yo hago

608
00:38:35,000 --> 00:38:37,340
el producto de dos vectores

609
00:38:37,340 --> 00:38:39,079
de dos vectores

610
00:38:39,079 --> 00:38:39,920
perpendiculares

611
00:38:39,920 --> 00:38:42,579
es perpendicular a J

612
00:38:42,579 --> 00:38:45,059
entonces si yo hago

613
00:38:45,059 --> 00:38:46,099
por J

614
00:38:46,099 --> 00:38:48,619
esto que es el módulo de I

615
00:38:48,619 --> 00:38:51,320
por el módulo de J

616
00:38:51,320 --> 00:38:53,380
por el coseno

617
00:38:53,380 --> 00:38:55,239
¿qué ángulo forma IJ?

618
00:38:55,800 --> 00:38:57,119
90 grados

619
00:38:57,119 --> 00:38:59,159
¿cuánto es el módulo

620
00:38:59,159 --> 00:39:01,400
de I chavales?

621
00:39:01,400 --> 00:39:03,260
1 y dj

622
00:39:03,260 --> 00:39:05,300
1 y el coseno de 90

623
00:39:05,300 --> 00:39:07,400
0, ¿cuánto da esto? 0

624
00:39:07,400 --> 00:39:08,599
¿lo ves?

625
00:39:09,780 --> 00:39:11,500
basándonos en esto de aquí

626
00:39:11,500 --> 00:39:13,920
basándonos en esto de aquí

627
00:39:13,920 --> 00:39:15,480
es lo que ocurre

628
00:39:15,480 --> 00:39:16,980
que nos simplifica mucho

629
00:39:16,980 --> 00:39:18,380
una cosita

630
00:39:18,380 --> 00:39:21,900
ay, perdóname

631
00:39:21,900 --> 00:39:26,570
hija, anterior

632
00:39:26,570 --> 00:39:28,949
¿vale?

633
00:39:29,630 --> 00:39:31,309
si yo basándome

634
00:39:31,309 --> 00:39:33,510
en una base, fijaros lo importante

635
00:39:33,510 --> 00:39:35,050
de ser una base ortonormal?

636
00:39:35,210 --> 00:39:36,550
¿Qué era una base ortonormal?

637
00:39:37,489 --> 00:39:39,590
Una base, ¿cómo tienen que ser?

638
00:39:39,670 --> 00:39:41,750
Este en este caso son tres vectores.

639
00:39:42,449 --> 00:39:43,909
¿Cómo tienen que ser?

640
00:39:44,010 --> 00:39:46,210
Tres vectores para que formen una base.

641
00:39:48,269 --> 00:39:49,690
Linealmente independiente.

642
00:39:50,530 --> 00:39:51,690
Linealmente independiente.

643
00:39:51,789 --> 00:39:53,309
¿Qué significa que tres vectores

644
00:39:53,309 --> 00:39:55,170
sean linealmente independientes?

645
00:39:55,829 --> 00:39:57,469
Que no son coplanarios.

646
00:39:58,010 --> 00:39:58,210
¿Vale?

647
00:39:58,769 --> 00:39:59,909
No son coplanarios.

648
00:39:59,909 --> 00:40:01,610
Son linealmente independientes.

649
00:40:01,610 --> 00:40:05,309
¿Qué significa que sea una base ortogonal?

650
00:40:06,090 --> 00:40:07,030
¿Qué era ortogonal?

651
00:40:07,429 --> 00:40:10,210
Que sean perpendiculares entre sí.

652
00:40:10,670 --> 00:40:13,789
Y si ya son ortonormales, ¿qué era?

653
00:40:14,389 --> 00:40:17,289
Que eran precisamente perpendiculares entre sí

654
00:40:17,289 --> 00:40:19,309
y de módulo unitario los tres.

655
00:40:19,889 --> 00:40:22,590
Por eso en física se utiliza siempre el IJK.

656
00:40:23,269 --> 00:40:23,510
¿Vale?

657
00:40:23,869 --> 00:40:26,070
Entonces es una base muy especial,

658
00:40:26,070 --> 00:40:28,469
una base que además nos facilita mucho

659
00:40:28,469 --> 00:40:32,670
para nosotros hacer la representación gráfica en tres dimensiones.

660
00:40:32,670 --> 00:40:33,690
Entonces, ¿qué ocurre?

661
00:40:34,250 --> 00:40:38,050
Pues que basándonos precisamente cuando yo tengo

662
00:40:38,050 --> 00:40:41,469
las coordenadas de mi vector u y v

663
00:40:41,469 --> 00:40:43,550
respecto al i, j, k

664
00:40:43,550 --> 00:40:47,070
o respecto a cualquier base ortonormal,

665
00:40:47,670 --> 00:40:52,690
resulta que precisamente por las propiedades estas de aquí,

666
00:40:52,829 --> 00:40:54,170
de que i por i es 1,

667
00:40:54,690 --> 00:40:56,289
de que i por j es 0,

668
00:40:56,730 --> 00:40:58,250
de que j por j es 1

669
00:40:58,250 --> 00:41:00,489
y demás, que aquí está la demostración

670
00:41:00,489 --> 00:41:02,269
que yo os invito a que la veáis

671
00:41:02,269 --> 00:41:04,429
resulta que el producto

672
00:41:04,429 --> 00:41:06,329
escalar de un vector que es donde yo

673
00:41:06,329 --> 00:41:07,989
quería llegar, que es mucho más fácil

674
00:41:07,989 --> 00:41:10,409
el producto escalar

675
00:41:10,409 --> 00:41:12,110
de un vector es

676
00:41:12,110 --> 00:41:14,449
realmente la multiplicación

677
00:41:14,449 --> 00:41:15,969
de las componentes sumadas

678
00:41:15,969 --> 00:41:18,369
¿vale? fijaros un

679
00:41:18,369 --> 00:41:19,250
momentillo una cosa

680
00:41:19,250 --> 00:41:21,750
si yo mi vector u

681
00:41:21,750 --> 00:41:25,110
es 3, 4, 7

682
00:41:25,110 --> 00:41:26,869
mi vector v

683
00:41:26,869 --> 00:41:29,989
es 2, 0, 1

684
00:41:29,989 --> 00:41:31,190
¿vale?

685
00:41:31,989 --> 00:41:32,670
¿quiere ir al baño?

686
00:41:34,510 --> 00:41:35,409
vale, un segundo

687
00:41:35,409 --> 00:41:37,630
y yo voy rápido, ¿vale? que esto me interesa mucho

688
00:41:37,630 --> 00:41:39,530
aquí yo sé cuánto vale

689
00:41:39,530 --> 00:41:40,030
el ángulo

690
00:41:40,030 --> 00:41:43,130
¿sé cuánto vale el ángulo de ellos?

691
00:41:43,449 --> 00:41:45,869
no, están referenciados

692
00:41:45,869 --> 00:41:47,349
a una base

693
00:41:47,349 --> 00:41:48,789
de IJK

694
00:41:48,789 --> 00:41:51,389
me lo tendrían que decir, sería un detalle

695
00:41:51,389 --> 00:41:52,889
¿vale? pero se supone que sí, ¿vale?

696
00:41:53,309 --> 00:41:55,210
pues entonces ¿qué ocurre? que el producto

697
00:41:55,210 --> 00:41:56,630
escalar de U por V

698
00:41:56,630 --> 00:42:04,989
Es tan fácil como hacer 3 por 2 más 4 por 0 más 7 por 1, ¿vale, chavales?

699
00:42:05,329 --> 00:42:05,690
¿Sí o no?

700
00:42:06,510 --> 00:42:07,949
¿Y esto cuánto es?

701
00:42:08,329 --> 00:42:11,150
6, 7, 13 con premio, ¿vale?

702
00:42:11,510 --> 00:42:13,090
Es más, es más.

703
00:42:13,329 --> 00:42:14,309
Fijaros una cosa.

704
00:42:15,150 --> 00:42:16,570
¿Sé el ángulo qué es?

705
00:42:17,030 --> 00:42:18,389
¿Sé cuánto vale el ángulo?

706
00:42:18,710 --> 00:42:19,309
No.

707
00:42:19,750 --> 00:42:23,050
¿Pero qué dijimos que era el ángulo de U y de V?

708
00:42:23,150 --> 00:42:23,750
¿Os acordáis?

709
00:42:24,050 --> 00:42:24,710
¿Qué es lo que era?

710
00:42:24,710 --> 00:42:27,769
si yo despejaba en las fórmulas, ¿acordáis?

711
00:42:29,030 --> 00:42:31,590
el producto escalar de u por v

712
00:42:31,590 --> 00:42:35,250
partido del módulo de u por el módulo de v

713
00:42:35,250 --> 00:42:37,369
¿sé cuánto vale el producto escalar?

714
00:42:37,869 --> 00:42:40,369
¿cuánto? 13 con premio

715
00:42:40,369 --> 00:42:43,550
y el otro que es, esto es 3 al cuadrado

716
00:42:43,550 --> 00:42:46,030
más 4 al cuadrado más 7 al cuadrado

717
00:42:46,030 --> 00:42:49,789
multiplicado por 2 al cuadrado más 1 al cuadrado

718
00:42:49,789 --> 00:42:51,670
y lo que ve, ¿vale?

719
00:42:51,670 --> 00:42:54,489
le hallo el arco coseno

720
00:42:54,489 --> 00:42:55,530
y tengo el ángulo

721
00:42:55,530 --> 00:42:56,710
¿lo veis?

722
00:42:57,530 --> 00:43:00,010
si alguien me ayuda, 13, esto cuánto es

723
00:43:00,010 --> 00:43:01,070
la raíz de cuánto

724
00:43:01,070 --> 00:43:04,010
49 más 9

725
00:43:04,010 --> 00:43:06,050
58

726
00:43:06,050 --> 00:43:07,269
más 16

727
00:43:07,269 --> 00:43:09,909
74, ¿no?

728
00:43:09,929 --> 00:43:11,789
lo que teníamos antes, ¿verdad? 74

729
00:43:11,789 --> 00:43:13,789
y esto es raíz de 5, no sé si lo he hecho bien

730
00:43:13,789 --> 00:43:15,969
si me hace esta división, ¿cuánto da?

731
00:43:21,860 --> 00:43:22,880
multiplica primero esto

732
00:43:22,880 --> 00:43:24,960
luego le dais al inverso y multiplicáis por 13

733
00:43:24,960 --> 00:43:27,380
0,67

734
00:43:27,380 --> 00:43:29,380
y ahora me hallas el arco coseno

735
00:43:29,380 --> 00:43:34,050
vale, tened mucho cuidado cuando

736
00:43:34,050 --> 00:43:35,809
hagáis la calculadora esto, vale

737
00:43:35,809 --> 00:43:37,869
40

738
00:43:37,869 --> 00:43:41,070
47,9

739
00:43:41,070 --> 00:43:41,369
47,9, ¿verdad?

740
00:43:41,750 --> 00:43:43,710
pues dejadme un segundillo solo

741
00:43:43,710 --> 00:43:48,530
dime hijo

742
00:43:48,530 --> 00:43:55,710
ahora voy con ustedes, vale

743
00:43:55,710 --> 00:43:57,429
dame un segundo

744
00:43:57,429 --> 00:44:04,590
¿Alguien me dice

745
00:44:04,590 --> 00:44:06,150
cuáles eran los vectores, chavales?

746
00:44:07,349 --> 00:44:08,369
¿El U qué era?

747
00:44:08,730 --> 00:44:09,710
¿3, 4, 7?

748
00:44:10,489 --> 00:44:12,449
¿3, 4, 7? ¿Vale? ¿Y el V?

749
00:44:13,730 --> 00:44:14,849
¿2, 0, 1?

750
00:44:15,309 --> 00:44:16,610
¿Sí? Vale.

751
00:44:16,690 --> 00:44:18,309
Voy a ver si soy capaz de

752
00:44:18,309 --> 00:44:19,789
hallar el ángulo

753
00:44:19,789 --> 00:44:21,590
entre U

754
00:44:21,590 --> 00:44:23,550
y V.

755
00:44:24,590 --> 00:44:26,630
47,48. ¿Nos daba eso?

756
00:44:27,429 --> 00:44:30,230
¿Vale? Porque habrá...

757
00:44:30,230 --> 00:44:33,630
¿Vale? Lo veis, 47,48 grados.

758
00:44:33,969 --> 00:44:35,429
¿Lo ve todo el mundo esto o no?

759
00:44:36,349 --> 00:44:36,750
¿Seguro?

760
00:44:38,610 --> 00:44:40,849
Oye, venga, voy a repartir los exámenes, ¿vale?

761
00:44:50,289 --> 00:44:51,110
A ver, venga.

762
00:44:51,510 --> 00:44:54,269
Voy a capturar esto, voy a parar la clase, ¿no?