1
00:00:00,500 --> 00:00:08,619
Bueno, el objetivo de este vídeo es comentar dos tipos de matrices que tienen una particularidad muy importante.

2
00:00:09,000 --> 00:00:17,219
La primera de ellas son las matrices indecontentes, que son aquellas matrices que son iguales a su cuadrado.

3
00:00:17,460 --> 00:00:21,160
Es decir, si yo tengo A por A, me da ella misma.

4
00:00:21,539 --> 00:00:26,739
Es decir, la matriz al cuadrado, el cuadrado de la matriz, es igual a ella misma.

5
00:00:26,739 --> 00:00:27,960
Vamos a ver un ejemplo.

6
00:00:28,960 --> 00:00:37,460
Nosotros tenemos nuestra matriz A, que es una matriz 2x2, donde tenemos 2 tercios, 1 tercio, 2 tercios y 1 tercio.

7
00:00:37,460 --> 00:00:50,399
Si nosotros calculamos el cuadrado de la matriz A al cuadrado, hacemos el producto de matrices A por A, es decir, multiplicamos la matriz A por sí misma.

8
00:00:51,119 --> 00:00:58,399
Recordamos que para multiplicar cogemos primero la fila 1 y la multiplicamos por la columna 1

9
00:00:58,399 --> 00:01:03,640
y nos da como resultado el elemento A11.

10
00:01:04,340 --> 00:01:11,640
Aquí tenemos 2 tercios por 2 tercios son cuadro novenos, más 1 tercio por 2 tercios, 2 novenos.

11
00:01:12,620 --> 00:01:23,519
Para calcular el elemento A1-2, cogemos la primera fila otra vez, la primera fila, pero ahora la segunda columna, ¿de acuerdo?

12
00:01:24,519 --> 00:01:31,359
Entonces tenemos 2 tercios por 1 tercio son 2 novenos, y 1 tercio por 1 tercio, 1 noveno.

13
00:01:31,540 --> 00:01:41,560
Para calcular el elemento A2-1, cogemos la fila 2 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz.

14
00:01:41,640 --> 00:01:54,799
Es decir, para calcular el elemento A21, cogemos la segunda fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz, que en este caso son iguales.

15
00:01:54,799 --> 00:02:07,700
Por lo tanto, tenemos 2 tercios más 2 tercios, 2 tercios por 2 tercios son 4 novenos, más 1 tercio por 2 tercios, 2 novenos.

16
00:02:07,700 --> 00:02:26,240
Para calcular el elemento ASUS22, pues lo que cogemos nosotros es la segunda fila de la matriz 1 y segunda columna de la matriz 2.

17
00:02:26,240 --> 00:02:48,560
Por lo tanto, tenemos 2 tercios por 2 tercios, que es igual a, perdón, a 2 tercios por 1 tercio, que son 2 novenos, ¿vale? Es decir, 2 tercios de aquí que multiplican 1 tercio de aquí me hacen 2 novenos, y luego 1 tercio de aquí y 1 tercio de aquí que multiplicado es 1 noveno.

18
00:02:48,560 --> 00:03:03,919
Si nosotros operamos, tenemos que 4 novenos más 2 novenos son 6 novenos, 2 novenos más 1 noveno son 3 novenos, 4 novenos más 2 novenos son 6 novenos y 2 novenos más 1 noveno son 9 novenos.

19
00:03:03,919 --> 00:03:18,780
Si todos estos elementos los dividimos entre 3, 6 novenos se convierte en 2 tercios, 3 novenos se convierte en 1 tercio, 6 novenos vemos también que se convierte en 2 tercios, y 3 novenos se convierte en 1 tercio.

20
00:03:18,840 --> 00:03:21,120
Y eso precisamente qué es, pues la matriz.

21
00:03:21,840 --> 00:03:22,099
¿Vale?

22
00:03:22,500 --> 00:03:28,620
Entonces, este tipo de matriz cumple que su cuadrado es igual a sí mismo.

23
00:03:28,840 --> 00:03:32,000
Y son las llamadas matrices idempotentes.

24
00:03:32,000 --> 00:03:36,259
¿Qué particularidades tienen estas matrices?

25
00:03:36,800 --> 00:03:43,460
Pues que la matriz impotente es aquella cuyo cuadrado es igual a 5

26
00:03:43,460 --> 00:03:46,840
Entonces si vamos a calcular cuánto vale a cubo

27
00:03:46,840 --> 00:03:50,860
Pues hacemos a cubo es igual a a cuadrado por a

28
00:03:50,860 --> 00:03:54,560
Pero como hemos dicho que a cuadrado vale a

29
00:03:54,560 --> 00:03:57,719
Pues entonces sustituimos a cuadrado por a

30
00:03:57,719 --> 00:04:05,699
Con lo cual, a al cubo es igual a a por a, y precisamente a por a que es a al cuadrado.

31
00:04:06,120 --> 00:04:16,180
¿Y qué era a al cuadrado? Pues a. Parece un poco lío, pero si lo hacéis paso por paso, veréis cómo se cumplen todas estas propiedades.

32
00:04:16,180 --> 00:04:21,660
a al cubo, al cubo lo ponemos como a al cuadrado por a

33
00:04:21,660 --> 00:04:26,139
a al cuadrado por definición, que es una matriz importante

34
00:04:26,139 --> 00:04:30,019
a al cuadrado es igual a a, pues sustituyo a al cuadrado por a

35
00:04:30,019 --> 00:04:33,079
y luego esta a de aquí la vuelvo a poner aquí

36
00:04:33,079 --> 00:04:37,060
pero entonces ¿qué tenemos? a por a, y a por a es a al cuadrado

37
00:04:37,060 --> 00:04:39,740
y a al cuadrado por definición es a

38
00:04:39,740 --> 00:04:45,600
con lo cual tenemos que a al cubo es lo mismo que a al cuadrado y a la vez es igual que a

39
00:04:45,600 --> 00:04:48,600
vamos a ver que ocurre ahora con A a la cuarta

40
00:04:48,600 --> 00:04:50,920
A a la cuarta lo podemos descomponer

41
00:04:50,920 --> 00:04:52,920
como A al cubo por A

42
00:04:52,920 --> 00:04:55,139
pero este A al cubo

43
00:04:55,139 --> 00:04:56,920
hemos visto que es igual a

44
00:04:56,920 --> 00:04:58,579
A al cuadrado y que inclusive A

45
00:04:58,579 --> 00:05:01,199
pues yo sustituyo este A al cubo

46
00:05:01,199 --> 00:05:02,139
por A

47
00:05:02,139 --> 00:05:04,600
y este A lo pongo aquí

48
00:05:04,600 --> 00:05:06,459
y A por A que es

49
00:05:06,459 --> 00:05:08,839
A al cuadrado y como por definición

50
00:05:08,839 --> 00:05:10,339
una matriz idempotente

51
00:05:10,339 --> 00:05:12,459
A al cuadrado es igual que A

52
00:05:12,459 --> 00:05:14,699
pues tenemos que A a la cuarta

53
00:05:14,699 --> 00:05:19,100
es a su vez igual que a al cubo, que a al cuadrado, que a.

54
00:05:19,620 --> 00:05:24,180
Y así sucesivamente, con a5 lo vemos, tenemos a a la cuarta por a,

55
00:05:24,660 --> 00:05:29,120
donde a a la cuarta, hemos visto aquí que a a la cuarta es lo mismo que a,

56
00:05:29,420 --> 00:05:33,519
lo sustituimos aquí, a pasa a ser también a,

57
00:05:33,959 --> 00:05:38,800
y ahora que tenemos a por a es igual a a al cuadrado, que es igual a a por definición.

58
00:05:38,800 --> 00:05:47,720
Entonces vemos que A a la quinta es igual que A a la cuarta, que es igual que A al cubo, A al cuadrado es igual que A.

59
00:05:47,720 --> 00:05:56,800
Y así sucesivamente, toda matriz A elevada a cualquier exponente, por ejemplo, A elevado a 1000 es igual a A,

60
00:05:57,199 --> 00:06:07,339
o A elevado a 8503 es igual a la matriz A, o A elevado a 18 es igual a la matriz A, ¿vale?

61
00:06:07,339 --> 00:06:13,160
solamente las matrices idempotentes cumplen esa propiedad, ¿vale?

62
00:06:13,860 --> 00:06:20,420
En la cual a elevada a cualquier potencia, pues es igual que ella misma.

63
00:06:22,019 --> 00:06:29,379
Eso son las matrices idempotentes, que se definen como a al cuadrado igual a a.

64
00:06:30,620 --> 00:06:34,639
Otro tipo de matrices que no tienen nombre, no vamos a entrar en eso,

65
00:06:34,639 --> 00:06:39,639
Son aquellas matrices que su cuadrado es igual a la identidad.

66
00:06:40,439 --> 00:06:43,379
Antes la idempotente era a al cuadrado igual a a.

67
00:06:43,860 --> 00:06:50,259
Y ahora estas matrices, cuando hacemos la multiplicación de esa matriz por sí misma, nos da la identidad.

68
00:06:50,480 --> 00:06:54,259
Por ejemplo, tenemos la matriz 5 menos 4 es 6 menos 5.

69
00:06:54,819 --> 00:07:02,079
Que si calculamos a al cuadrado, que es a por a, pues multiplicamos la matriz a por ella misma.

70
00:07:02,079 --> 00:07:06,319
y entonces vemos aquí que 5 por 5 es 25

71
00:07:06,319 --> 00:07:11,720
más menos 4 por 6, menos 24, 25 menos 24

72
00:07:11,720 --> 00:07:14,639
nos da 1, ¿de acuerdo?

73
00:07:17,000 --> 00:07:19,920
vamos a calcular el 0 este de aquí

74
00:07:19,920 --> 00:07:21,779
¿cómo sería? pues primera fila, ¿no?

75
00:07:21,980 --> 00:07:25,000
segunda columna, 5 por menos 4, menos 20

76
00:07:25,000 --> 00:07:29,339
menos 4, menos 5, más 20, menos 20, más 20, 0

77
00:07:29,339 --> 00:07:32,019
vamos a calcular este de aquí

78
00:07:32,019 --> 00:07:37,199
sería primera fila de la primera matriz

79
00:07:37,199 --> 00:07:41,899
segunda fila de la primera matriz

80
00:07:41,899 --> 00:07:44,680
por la primera columna de la segunda matriz

81
00:07:44,680 --> 00:07:46,920
este es el A21

82
00:07:46,920 --> 00:07:49,060
entonces la segunda fila de la primera matriz

83
00:07:49,060 --> 00:07:51,540
primera columna de la segunda matriz

84
00:07:51,540 --> 00:07:52,779
6 por 5, 30

85
00:07:52,779 --> 00:07:54,480
y menos 5 por 6, menos 30

86
00:07:54,480 --> 00:07:56,399
30 menos 30, 0

87
00:07:56,399 --> 00:07:59,439
y este de aquí que es el elemento A22

88
00:07:59,439 --> 00:08:06,180
dos, cogemos la segunda fila de la primera matriz y segunda columna de la segunda matriz.

89
00:08:06,560 --> 00:08:17,500
6 por menos 4 es menos 24, menos 24 más menos 5 por menos 5, que es 25, 25 menos 4, 1. ¿Vale?

90
00:08:17,939 --> 00:08:25,160
Entonces, esta matriz de aquí se caracteriza porque al multiplicar por sí misma, es decir,

91
00:08:25,160 --> 00:08:28,839
La A al cuadrado es igual que la matriz identidad, ¿vale?

92
00:08:29,480 --> 00:08:32,620
A al cuadrado es igual a la matriz identidad.

93
00:08:33,240 --> 00:08:35,519
¿Y qué ocurre con estas matrices?

94
00:08:35,799 --> 00:08:39,919
Pues que si yo hallo A al cubo, si yo hallo A al cubo,

95
00:08:40,159 --> 00:08:43,460
pues yo A al cubo lo puedo descomponer como A al cuadrado por A.

96
00:08:44,059 --> 00:08:45,059
Pero ¿qué pasa?

97
00:08:45,120 --> 00:08:49,539
Que por definición, A al cuadrado, aquí hemos dicho que es a la matriz identidad.

98
00:08:49,539 --> 00:08:52,799
Por lo cual, A al cuadrado lo sustituimos por la matriz identidad.

99
00:08:52,799 --> 00:08:55,240
Y este A nos lo llevamos aquí.

100
00:08:55,820 --> 00:08:58,919
Entonces, ¿qué hemos dicho también para todas las matrices?

101
00:08:59,039 --> 00:09:00,279
¿Qué ocurre para todas las matrices?

102
00:09:00,419 --> 00:09:04,539
Si tú multiplicas la matriz de identidad por una matriz, te queda ella misma.

103
00:09:05,120 --> 00:09:10,500
Con lo cual vemos que A al cubo es lo mismo que A.

104
00:09:11,620 --> 00:09:13,559
Vamos a ver qué pasa con A al cuadrado.

105
00:09:13,879 --> 00:09:16,399
A al cuadrado es lo mismo que A al cubo por A.

106
00:09:16,399 --> 00:09:23,600
Pero hemos visto justo anteriormente que A al cubo es lo mismo que A.

107
00:09:23,960 --> 00:09:27,039
Aquí vemos que A al cubo es igual que A.

108
00:09:27,320 --> 00:09:30,379
Por lo tanto, sustituimos A al cubo por A.

109
00:09:30,899 --> 00:09:33,100
Y esta A la llevamos aquí.

110
00:09:33,379 --> 00:09:34,679
¿Y cuánto es A por A?

111
00:09:34,840 --> 00:09:41,500
Pues precisamente con la definición, A por A es igual a la matriz de identidad.

112
00:09:41,500 --> 00:09:46,820
con lo cual tenemos que A a la cuarta es igual a la matriz identidad

113
00:09:46,820 --> 00:09:49,299
vamos a ver que pasa con A5

114
00:09:49,299 --> 00:09:51,980
A5 es igual que A4 por A

115
00:09:51,980 --> 00:09:55,580
pero este A4 acabamos de ver que es la matriz identidad

116
00:09:55,580 --> 00:09:57,320
A es ella misma

117
00:09:57,320 --> 00:10:01,000
y toda matriz que se multiplica por la matriz identidad

118
00:10:01,000 --> 00:10:02,519
queda la matriz A

119
00:10:02,519 --> 00:10:04,740
por lo tanto I por A es igual a A

120
00:10:04,740 --> 00:10:09,000
entonces tenemos que A a la quinta es igual que la matriz A

121
00:10:09,000 --> 00:10:11,419
vamos a hacer un último ejemplo

122
00:10:11,419 --> 00:10:18,779
con A a la 6. A a la 6 que es igual a A a la 5 por A. Aquí vemos que A a la 5 es igual

123
00:10:18,779 --> 00:10:25,460
que A, con lo cual sustituimos A a la 5 por A y esta A la ponemos aquí. ¿Y A por A qué

124
00:10:25,460 --> 00:10:30,879
es? Pues en este tipo de matrices A por A es igual a la identidad, con lo cual tenemos

125
00:10:30,879 --> 00:10:38,720
A a la 6 igual a la matriz identidad. Si nosotros continuamos, pues A a la 7 va a ser A y A

126
00:10:38,720 --> 00:10:45,779
a la octava va a ser la identidad, a la novena va a ser a, a la décima va a ser la matriz de identidad.

127
00:10:45,919 --> 00:10:55,799
Es decir, siempre que el exponente de la matriz sea un número par, con 2k representamos todos los números pares,

128
00:10:55,799 --> 00:11:04,720
pues tú sabes que todos los números pares es un múltiplo de 2, pues con 2k es la forma de representar los números pares, ¿vale?

129
00:11:04,720 --> 00:11:07,039
con 2K representamos los números pares.

130
00:11:07,200 --> 00:11:11,379
Entonces, A elevado a 2K es igual que a la matriz de identidad.

131
00:11:11,559 --> 00:11:18,159
Lo hemos visto con A al cuadrado, lo hemos visto con A a la cuarta y lo hemos visto con A a la sexta.

132
00:11:20,080 --> 00:11:28,299
Sin embargo, con 2K más 1 representamos los números impares, es decir, el siguiente al número par es un número impar.

133
00:11:28,299 --> 00:11:40,519
Entonces, cuando el exponente de la matriz está elevado a un exponente impar, entonces es igual que la matriz.

134
00:11:41,059 --> 00:11:42,519
Vamos a poner ejemplos.

135
00:11:42,879 --> 00:11:52,059
En este caso de aquí, si yo tengo, cálculame cuánto vale a elevado a 3003.

136
00:11:53,399 --> 00:11:58,139
Como 3003 es un número impar, pues yo sé que es igual a.

137
00:11:58,299 --> 00:12:04,240
¿Cuánto vale a elevado a 22.408?

138
00:12:04,559 --> 00:12:08,500
Como sé que es par, pues igual a la matriz identidad.

139
00:12:09,419 --> 00:12:09,639
¿Vale?

140
00:12:10,080 --> 00:12:16,820
Otra cosa muy importante que cumplen estas matrices cuyo cuadrado es igual a la identidad.

141
00:12:16,820 --> 00:12:24,279
¿Vale? Estas matrices, su cuadrado es igual a la identidad.

142
00:12:24,620 --> 00:12:30,220
¿Vale?

143
00:12:30,860 --> 00:12:35,039
Pues yo tengo A por A es igual a la identidad por la definición.

144
00:12:35,659 --> 00:12:39,879
Si ahora nosotros multiplicamos por la izquierda esta igualdad que tenemos aquí,

145
00:12:39,879 --> 00:12:48,600
la multiplicamos por A-1, pues tenemos A-1 por A por A, que es igual a A-1 por I.

146
00:12:48,899 --> 00:12:53,059
Es igual que los sistemas de ecuaciones matriciales, ¿vale?

147
00:12:53,379 --> 00:12:58,720
Pero ¿qué ocurre? Que por definición, si tú multiplicas una matriz por su inversa,

148
00:12:58,720 --> 00:13:01,639
Pues es igual a la matriz identidad.

149
00:13:02,320 --> 00:13:05,679
La multiplicación de una matriz por su inversa es igual a la identidad.

150
00:13:05,799 --> 00:13:10,679
Con lo cual, a-1, que es la inversa de a, por a, es igual a la identidad.

151
00:13:11,059 --> 00:13:12,220
Este a es aquí.

152
00:13:12,860 --> 00:13:13,620
¿Y qué ocurre?

153
00:13:13,679 --> 00:13:17,419
Que toda matriz multiplicada por la identidad es ella misma.

154
00:13:17,659 --> 00:13:22,299
Con lo cual, la inversa de a por i es igual a la inversa de a.

155
00:13:22,779 --> 00:13:28,080
Por ese mismo motivo, cualquier matriz multiplicada por la identidad es ella misma.

156
00:13:28,080 --> 00:13:33,320
Como aquí tenemos la matriz de identidad por A, pues I por A es igual a A.

157
00:13:34,019 --> 00:13:36,059
Y de aquí tenemos que es la inversa.

158
00:13:36,139 --> 00:13:47,080
Con lo cual, todas las matrices cuyo cuadrado sea igual a la identidad, además cumplen que A es igual a su inversa.

159
00:13:48,419 --> 00:13:55,179
Esto es súper importante para saberlo de cara a hacer sistemas de ecuaciones matriciales.

160
00:13:55,179 --> 00:13:57,940
O aquí, por ejemplo, nos piden pues eso, ¿no?

161
00:13:58,080 --> 00:14:02,759
¿cuánto vale A elevado a 5.005?

162
00:14:03,220 --> 00:14:05,419
pues como sé que es un número impar

163
00:14:05,419 --> 00:14:06,860
pues es igual que A

164
00:14:06,860 --> 00:14:09,639
y si A está elevado a un exponente par

165
00:14:09,639 --> 00:14:11,720
pues sé que es igual a la identidad

166
00:14:11,720 --> 00:14:14,759
pero es que además sé que si me piden

167
00:14:14,759 --> 00:14:16,419
hallar la inversa

168
00:14:16,419 --> 00:14:19,100
pues yo sé que por esa propiedad de aquí

169
00:14:19,100 --> 00:14:20,899
se cumple siempre

170
00:14:20,899 --> 00:14:23,799
por esto de aquí, esto habría que ponerlo en el examen

171
00:14:23,799 --> 00:14:24,100
¿vale?

172
00:14:24,840 --> 00:14:26,519
habría que ponerlo en el examen

173
00:14:26,519 --> 00:14:30,419
a es igual a a menos 1

174
00:14:30,419 --> 00:14:31,460
¿vale?

175
00:14:32,759 --> 00:14:34,019
cualquier duda de aquí

176
00:14:34,019 --> 00:14:35,139
me preguntáis