1
00:00:00,000 --> 00:00:08,580
Bueno, vamos a hacer la actividad que nos piden como último ejercicio de esta actividad de la parábola que hemos hecho antes.

2
00:00:09,320 --> 00:00:15,220
En el último apartado nos decía que repitiéramos el mismo ejercicio con la función esta.

3
00:00:16,100 --> 00:00:26,179
Bien, a ver, en realidad todos estos preguntas que nos hacen en la actividad anterior,

4
00:00:26,179 --> 00:00:48,780
Hemos aquí el enunciado, lo hicimos con esta función, repito que vamos a hacer este último apartado, pero en realidad, pues, todas estas preguntas que nos hacemos tienen como finalidad representar la gráfica de esta función que sabemos que es parabólica, dado que es un polinomio de grado 2.

5
00:00:48,780 --> 00:00:53,200
Pues bien, lo que nosotros vamos a hacer es un poco ir más al grano

6
00:00:53,200 --> 00:00:56,799
No hace falta hacer exactamente todos los apartados

7
00:00:56,799 --> 00:01:03,500
Aunque de algún modo vamos a hacerlo muy parecido y nos va a servir de orientación

8
00:01:03,500 --> 00:01:06,299
En primer lugar, darnos cuenta de una cuestión

9
00:01:06,299 --> 00:01:16,010
Para representar una parábola, fijaos, imaginaos que yo tengo una parábola dibujada

10
00:01:16,010 --> 00:01:16,909
Puede ser esta

11
00:01:16,909 --> 00:01:19,769
No importa donde esté

12
00:01:19,769 --> 00:01:22,989
No importa si los cuernos van para arriba o van para abajo

13
00:01:22,989 --> 00:01:26,269
Bueno, supongamos esta parábola

14
00:01:26,269 --> 00:01:27,049
Un segundo

15
00:01:27,049 --> 00:01:38,349
Mirad, esto es una parábola

16
00:01:38,349 --> 00:01:42,379
¿En qué caracteriza esta parábola?

17
00:01:42,480 --> 00:01:43,099
Pues mirad

18
00:01:43,099 --> 00:01:46,659
Lo que caracteriza esta parábola es su eje de simetría

19
00:01:46,659 --> 00:01:48,739
Su vértice

20
00:01:48,739 --> 00:01:50,739
Y digamos la apertura

21
00:01:50,739 --> 00:01:54,500
Porque la parábola podría estar

22
00:01:54,500 --> 00:01:55,980
Está haciendo así

23
00:01:55,980 --> 00:01:59,680
Pero podría estar haciendo así

24
00:01:59,680 --> 00:02:00,980
Más cerrada

25
00:02:00,980 --> 00:02:03,739
o más abierta

26
00:02:03,739 --> 00:02:06,239
y sigue siendo una parábola

27
00:02:06,239 --> 00:02:09,000
todas estas parábolas que estoy pintando

28
00:02:09,000 --> 00:02:09,979
como veis

29
00:02:09,979 --> 00:02:11,479
diríamos que

30
00:02:11,479 --> 00:02:14,240
tienen el mismo eje de simetría

31
00:02:14,240 --> 00:02:16,919
y tienen el mismo vértice

32
00:02:16,919 --> 00:02:18,620
ahora

33
00:02:18,620 --> 00:02:20,439
lo que nos va a hablar de la apertura

34
00:02:20,439 --> 00:02:22,560
lo que nos va a caracterizar

35
00:02:22,560 --> 00:02:23,759
esta apertura es

36
00:02:23,759 --> 00:02:26,819
dos puntos que sean simétricos

37
00:02:26,819 --> 00:02:28,719
y es que

38
00:02:28,719 --> 00:02:30,300
en realidad toda parábola

39
00:02:30,300 --> 00:02:35,560
tiene por cada punto de la gráfica de una parábola

40
00:02:35,560 --> 00:02:41,599
tenemos otro que es simétrico respecto del eje de simetría

41
00:02:41,599 --> 00:02:44,120
esto es importante

42
00:02:44,120 --> 00:02:45,840
por ejemplo

43
00:02:45,840 --> 00:02:50,000
una por ejemplo lo pintemos con los cuernos para abajo

44
00:02:50,000 --> 00:02:50,740
no importa

45
00:02:50,740 --> 00:02:53,219
si este fuera el eje de simetría

46
00:02:53,219 --> 00:02:56,159
y este el vértice de la parábola

47
00:02:56,159 --> 00:03:03,439
y yo conozco que pasa por aquí y por aquí

48
00:03:03,439 --> 00:03:05,280
Pues ya la puedo dibujar

49
00:03:05,280 --> 00:03:13,189
En consecuencia, lo que necesito para representar una parábola es

50
00:03:13,189 --> 00:03:15,949
Puntos simétricos

51
00:03:15,949 --> 00:03:20,229
Con un par de ellos valdría, pero mejor si tengo dos parejitas

52
00:03:20,229 --> 00:03:24,990
A, A', B y B'

53
00:03:24,990 --> 00:03:31,009
Si tengo también el eje de simetría y el vértice

54
00:03:31,009 --> 00:03:35,150
Con estos elementos puedo dibujar perfectamente la parábola

55
00:03:35,150 --> 00:03:44,909
¿De acuerdo? Ahora, ¿cómo consigo todos estos elementos de una parábola a partir de la expresión algebraica?

56
00:03:45,250 --> 00:03:50,849
Esta es la cuestión. Pues nada, daros cuenta de una cuestión importante.

57
00:03:54,780 --> 00:04:09,400
Lo primero que puedo encontrar son los puntos simétricos. Los puedo obtener a partir de la imagen de un valor cualquiera.

58
00:04:09,400 --> 00:04:15,639
No un valor cualquiera, sino un valor que pertenezca al recorrido de la función

59
00:04:15,639 --> 00:04:19,899
Fijaos, el recorrido de esta función, de esta parábola sería

60
00:04:19,899 --> 00:04:34,420
Todos los números reales desde este valor, t, hasta el menos infinito en este caso

61
00:04:34,420 --> 00:04:39,379
Pues si escoges cualquier valor de y del conjunto imagen

62
00:04:39,379 --> 00:04:44,480
Este es el conjunto x, que es el del conjunto origen

63
00:04:44,480 --> 00:04:52,339
este el conjunto y que es el conjunto final si coges cualquier valor t del conjunto final del recorrido

64
00:04:52,339 --> 00:05:00,699
pues fíjate que la anti imagen me va a llevar generalmente a dos puntos que son simétricos

65
00:05:00,699 --> 00:05:15,740
este valor es la x y es del punto a y este a prima sería la x del punto a prima

66
00:05:15,740 --> 00:05:20,339
y estos puntos serían de coordenadas A, T

67
00:05:20,339 --> 00:05:23,879
y este sería de coordenada A' T

68
00:05:23,879 --> 00:05:30,839
Por lo tanto, lo que vamos a hacer para encontrar puntos simétricos

69
00:05:30,839 --> 00:05:34,779
como digo, es calcular la antiimagen de un valor T cualquiera

70
00:05:34,779 --> 00:05:37,100
que pertenezca al partido de la función

71
00:05:37,100 --> 00:05:41,740
Podríamos coger otro valor T' por aquí

72
00:05:41,740 --> 00:05:45,939
para obtener otros dos puntos simétricos

73
00:05:45,939 --> 00:05:54,199
Una vez que tenemos los puntos simétricos, encontrar el eje de simetría es fácil porque está justo en medio

74
00:05:54,199 --> 00:05:58,899
Mira, este eje de simetría está en medio de este valor y este

75
00:05:58,899 --> 00:06:03,899
Que son las coordenadas en X de dos puntos simétricos

76
00:06:03,899 --> 00:06:09,860
Si hubiéramos cogido otros dos puntos simétricos, también en medio está el eje de simetría

77
00:06:09,860 --> 00:06:15,639
Por lo tanto, el primer paso será, como digo, encontrar dos parejitas

78
00:06:15,639 --> 00:06:17,680
O una, me valdría, pero voy a hacerlo dos

79
00:06:17,680 --> 00:06:21,600
Dos parejitas de valores simétricos de la parábola

80
00:06:21,600 --> 00:06:25,060
En medio tengo el eje de simetría

81
00:06:25,060 --> 00:06:29,680
Y finalmente buscaremos el vértice

82
00:06:29,680 --> 00:06:32,699
¿Cómo buscaremos el vértice?

83
00:06:33,259 --> 00:06:36,319
Pues es fácil, porque si tengo el eje de simetría

84
00:06:36,319 --> 00:06:40,279
Si este valor de x es s

85
00:06:40,279 --> 00:06:47,930
Pues el vértice será de coordenada en X, S

86
00:06:47,930 --> 00:06:53,290
Y aquí será F de S

87
00:06:53,290 --> 00:06:56,269
Estas serían las coordenadas del vértice

88
00:06:56,269 --> 00:06:57,949
De este punto

89
00:06:57,949 --> 00:07:02,129
S, F de S

90
00:07:02,129 --> 00:07:07,490
Así que con esta explicación procedemos a realizar el ejercicio

91
00:07:07,490 --> 00:07:10,649
Entonces, como digo, lo primero que buscaremos es

92
00:07:10,649 --> 00:07:13,850
La antiimagen de un valor

93
00:07:13,850 --> 00:07:17,269
Ahora, una cuestión interesante

94
00:07:17,269 --> 00:07:20,709
No lo voy a hacer por tanteo

95
00:07:20,709 --> 00:07:22,470
Imagínate que quieres hacer la cal...

96
00:07:22,470 --> 00:07:25,129
Si quedas que calculas la antiimagen de este valor

97
00:07:25,129 --> 00:07:27,350
Pues no tiene antiimagen

98
00:07:27,350 --> 00:07:31,610
Porque está fuera del recorrido

99
00:07:31,610 --> 00:07:36,009
Para buscar un punto T que pertenezca al recorrido

100
00:07:36,009 --> 00:07:40,329
Para garantizar esto lo que voy a hacer es calcular la imagen de cualquier valor

101
00:07:40,329 --> 00:07:43,430
Porque date cuenta que si escojo al azar, por ejemplo

102
00:07:43,430 --> 00:07:46,269
un valor cualquiera A

103
00:07:46,269 --> 00:07:49,470
y calculo su imagen

104
00:07:49,470 --> 00:07:52,269
este valor que es la imagen de A

105
00:07:52,269 --> 00:07:57,129
de seguro que pertenece al recorrido de la función

106
00:07:57,129 --> 00:08:03,120
es un poco por ganar tiempo

107
00:08:03,120 --> 00:08:03,740
¿de acuerdo?

108
00:08:06,550 --> 00:08:11,970
por tanto, aquí tenemos nuestra expresión algebraica de la función

109
00:08:11,970 --> 00:08:15,810
calculemos puntos simétricos

110
00:08:15,810 --> 00:08:19,949
lo primero que hacemos es, como digo

111
00:08:19,949 --> 00:08:22,509
Calcular la imagen de un valor cualquiera

112
00:08:22,509 --> 00:08:23,850
He escogido el 0

113
00:08:23,850 --> 00:08:29,129
Porque se opera fácil al sustituir aquí

114
00:08:29,129 --> 00:08:31,110
Calculamos la imagen

115
00:08:31,110 --> 00:08:34,389
F de 0 y nos da menos 12

116
00:08:34,389 --> 00:08:35,789
Bien

117
00:08:35,789 --> 00:08:40,590
De esta manera garantizamos que el valor menos 12

118
00:08:40,590 --> 00:08:42,190
Pertenece al recorrido de F

119
00:08:42,190 --> 00:08:45,590
Porque es imagen de 1

120
00:08:45,590 --> 00:08:46,929
De al menos 1

121
00:08:46,929 --> 00:08:57,769
Entonces calculamos la antiimagen del menos 12, con la finalidad de buscar, como digo, dos puntos simétricos de la parábola.

122
00:08:58,830 --> 00:09:08,309
Y ya sabemos cómo se hace. Para calcular la imagen del menos 12, igualamos la expresión algebraica menos 12 y despejamos x.

123
00:09:09,210 --> 00:09:19,029
Tenemos aquí la ecuación planteada, que al resolver nos da x igual a 0 y x igual a 8.

124
00:09:19,269 --> 00:09:28,269
Por lo tanto, la antiimagen del menos 12 serían los valores 0 y 8

125
00:09:28,269 --> 00:09:31,679
¿En qué se traduce esto?

126
00:09:32,980 --> 00:09:42,639
Pues que la parábola pasa por los puntos de coordenadas 0, menos 12

127
00:09:42,639 --> 00:09:47,980
Y por el punto 8 de coordenadas 8, menos 12

128
00:09:47,980 --> 00:10:01,720
Y además, estos dos puntos, que voy a llamar A y A', son puntos simétricos

129
00:10:01,720 --> 00:10:06,169
Los voy a representar en el sistema de ejes

130
00:10:06,169 --> 00:10:11,840
Tenemos aquí nuestro sistema de ejes

131
00:10:11,840 --> 00:10:19,269
Y como digo, vamos a representar los puntos A y A', ¿vale?

132
00:10:20,029 --> 00:10:30,840
Bien, los tenemos aquí, 0 menos 12, es uno de ellos, es A

133
00:10:30,840 --> 00:10:44,149
que estaría aquí, aquí está el valor menos 12

134
00:10:44,149 --> 00:10:49,740
y el punto 0 menos 12 es este

135
00:10:49,740 --> 00:10:52,480
que hemos llamado A

136
00:10:52,480 --> 00:11:02,220
y el otro punto simétrico es A' que es de coordenadas 8 menos 12

137
00:11:02,220 --> 00:11:19,379
8 está en la X aquí, menos 12

138
00:11:19,379 --> 00:11:41,980
Por lo tanto, el punto A' es este, A' de coordenadas 8 menos 2, ya digo que este es el de coordenadas 0 menos 2, y son dos puntos simétricos.

139
00:11:41,980 --> 00:11:48,740
Esto ya nos dice donde está el eje de simetría

140
00:11:48,740 --> 00:11:50,919
Porque ha de estar en medio de estos dos

141
00:11:50,919 --> 00:11:54,200
Del 0 y del 8

142
00:11:54,200 --> 00:11:55,759
3 y 4

143
00:11:55,759 --> 00:11:58,360
Aquí es donde está el eje de simetría

144
00:11:58,360 --> 00:12:04,029
Simplemente con encontrar dos valores simétricos

145
00:12:04,029 --> 00:12:19,240
Ya obtenemos el eje de simetría de manera sencilla

146
00:12:19,240 --> 00:12:20,000
Sería esto

147
00:12:20,000 --> 00:12:25,419
Está en x igual a

148
00:12:25,419 --> 00:12:37,610
Como digo, es el punto medio entre los valores de x de estos puntos simétricos, a y a.

149
00:12:38,389 --> 00:12:43,909
En general, para encontrar el punto medio entre un valor a y a, entre este valor y este,

150
00:12:44,289 --> 00:12:46,509
lo que haremos es sumar y dividir entre 2.

151
00:12:46,769 --> 00:12:52,950
Fijaros que el 4 sale de sumar 0 más 8 entre 2, que es 4.

152
00:12:54,830 --> 00:12:59,149
Lo digo porque aquí se ve a ojo fácil, pero si fuera un número decimal,

153
00:12:59,149 --> 00:13:06,889
para encontrar el punto medio exacto, pues ya digo que sumaríamos este valor y este

154
00:13:06,889 --> 00:13:10,350
y lo dividimos entre 2 y eso nos da el punto medio.

155
00:13:12,549 --> 00:13:20,990
Bien, vamos a representar ahora, tenemos otro par de puntos simétricos por ahí,

156
00:13:22,450 --> 00:13:28,909
cuando hemos calculado los correspondientes al cálculo de la antihimagen del menos 5.

157
00:13:28,909 --> 00:13:41,490
Aquí tenemos, para encontrar otros dos puntos simétricos, pues he calculado f de 1 que me da menos 5

158
00:13:41,490 --> 00:13:50,230
De esta manera garantizamos que menos 5 pertenece al recorrido de f y por tanto va a tener antiimagen del menos 5

159
00:13:50,230 --> 00:13:56,470
Calculamos la antiimagen de menos 5 y nos va a dar lugar a dos puntos simétricos

160
00:13:56,470 --> 00:14:02,460
Igualamos a 5 la expresión algebraica

161
00:14:02,460 --> 00:14:07,080
Y obtenemos la antiimagen de menos 5

162
00:14:07,080 --> 00:14:08,460
Igualamos a menos 5, perdón

163
00:14:08,460 --> 00:14:10,919
Y así obtenemos la antiimagen de menos 5

164
00:14:10,919 --> 00:14:13,139
Aquí lo tenemos

165
00:14:13,139 --> 00:14:15,600
Y la solución de la ecuación es esta

166
00:14:15,600 --> 00:14:17,340
Por lo tanto

167
00:14:17,340 --> 00:14:20,179
Decimos que

168
00:14:20,179 --> 00:14:23,139
Decimos que

169
00:14:23,139 --> 00:14:27,799
La antiimagen de menos 5 es

170
00:14:27,799 --> 00:14:30,720
1 y 7

171
00:14:30,720 --> 00:14:35,399
El conjunto numérico formado por los números 1 y 7

172
00:14:35,399 --> 00:14:40,399
Esto me da lugar a dos puntos simétricos

173
00:14:40,399 --> 00:14:45,460
Que son b de coordenadas 1, menos 5

174
00:14:45,460 --> 00:14:49,759
Y b' de coordenadas 7, menos 5

175
00:14:49,759 --> 00:14:53,860
¿Qué puedo representar aquí?

176
00:14:54,659 --> 00:14:56,639
En el sistema de Gés Cartesiano

177
00:14:56,639 --> 00:15:19,769
1 menos 5 está aquí, aquí está el 1 y aquí el menos 5, pues este punto sería el punto B de coordenadas 1 menos 5

178
00:15:19,769 --> 00:15:31,120
el otro punto es B' que es 7 menos 5, aquí está el 7, aquí el menos 5

179
00:15:31,120 --> 00:15:41,549
Este es B' de coordenadas 7, menos 5

180
00:15:41,549 --> 00:15:49,389
Y como podemos observar, en medio entre el 1 y el 7, dado que son simétricos

181
00:15:49,389 --> 00:15:54,090
Sigue estando justamente el 4, que es donde está el eje de simetría

182
00:15:54,090 --> 00:15:55,750
¿De acuerdo?

183
00:15:56,690 --> 00:15:59,730
Como no puede ser de otra manera, porque son puntos simétricos

184
00:15:59,730 --> 00:16:03,970
Lo que he buscado al calcular la antiimagen del menos

185
00:16:03,970 --> 00:16:22,769
Pues bien, ya tenemos dos parejas de puntos simétricos, los puntos A y A', que son simétricos, los puntos B y B', que son simétricos.

186
00:16:22,769 --> 00:16:41,419
Tenemos que el eje de simetría pasa, el eje de simetría, por x igual a 4, me faltaría buscar el vértice de la parábola.

187
00:16:42,179 --> 00:16:50,480
Como sabemos que el vértice se encuentra en algún lugar del punto, podría estar aquí, o aquí, o aquí, o más abajo,

188
00:16:50,480 --> 00:16:54,220
Como se encuentra en algún lugar del eje de simetría

189
00:16:54,220 --> 00:16:59,059
Sabemos que de v, del vértice, sabemos una coordenada

190
00:16:59,059 --> 00:17:02,019
La coordenada en x

191
00:17:02,019 --> 00:17:08,019
De v, por lo tanto, del vértice, sabemos que pasa por 4

192
00:17:08,019 --> 00:17:10,940
Y la y la desconocemos

193
00:17:10,940 --> 00:17:15,819
Pero la podemos calcular porque es f de 4

194
00:17:15,819 --> 00:17:20,319
Así pues calculamos f de 4

195
00:17:20,319 --> 00:17:25,539
g de 4, perdón, la hemos llamado g

196
00:17:25,539 --> 00:17:28,940
g de 4 que es menos 4 al cuadrado

197
00:17:28,940 --> 00:17:32,500
más 8 por 4, menos 12

198
00:17:32,500 --> 00:17:36,119
que sería menos 16

199
00:17:36,119 --> 00:17:40,690
más 32 menos 12

200
00:17:40,690 --> 00:17:44,150
que es igual a 4

201
00:17:44,150 --> 00:17:49,609
g de 4 vale 4, por lo tanto el vértice

202
00:17:49,609 --> 00:18:00,049
va a ser el de coordenadas 4, g de 4, como digo, que es 4, 4.

203
00:18:00,549 --> 00:18:03,329
Pasa por 4, 4 y ese es el vértice.

204
00:18:05,299 --> 00:18:12,920
Aquí tenemos el punto de coordenadas 4, 4, que es el vértice.

205
00:18:14,140 --> 00:18:17,119
Y por tanto ya tenemos la parábola resuelta.

206
00:18:17,119 --> 00:18:27,339
pasa por aquí, pasa por estos dos puntos que son simétricos, b y b', pasa por a y a',

207
00:18:27,339 --> 00:18:32,960
así que necesariamente ha de hacer así.

208
00:18:36,670 --> 00:18:37,750
Ya la podemos dibujar.

209
00:18:38,549 --> 00:18:40,690
Esto ha sido un poco así chapucero, pero...

210
00:18:44,059 --> 00:18:50,740
Una cuestión interesante es que cuando corta al eje de las x, que no siempre lo hará,

211
00:18:51,319 --> 00:18:54,700
pero cuando corta ha de hacerlo en puntos simétricos.

212
00:18:55,480 --> 00:18:58,539
respecto del eje de simetría

213
00:18:58,539 --> 00:19:01,880
y podríamos encontrar estos puntos

214
00:19:01,880 --> 00:19:03,019
¿Cómo?

215
00:19:03,019 --> 00:19:05,480
pues son justamente

216
00:19:05,480 --> 00:19:12,069
los puntos que se obtienen calculando la antiimagen del cero

217
00:19:12,069 --> 00:19:14,910
lo hacemos para terminar el ejercicio

218
00:19:14,910 --> 00:19:16,710
serán los puntos de corte

219
00:19:16,710 --> 00:19:18,009
k

220
00:19:18,009 --> 00:19:21,210
k' vamos a por ello

221
00:19:21,210 --> 00:19:26,309
calculamos como digo la antiimagen del cero

222
00:19:26,309 --> 00:19:32,450
Porque en estos puntos la Y vale cero, puntos de corte.

223
00:19:32,450 --> 00:20:07,069
Así que para calcular los puntos de corte, para calcular los puntos de corte con el eje OX calculamos la antiimagen del cero.

224
00:20:07,069 --> 00:20:10,029
Esto es f a la menos 1 de 0

225
00:20:10,029 --> 00:20:14,490
¿Cómo? Pues como siempre, igualando mi expresión algebraica a 0

226
00:20:14,490 --> 00:20:20,349
En este caso a 0, porque es la antiimagen que quiero calcular

227
00:20:20,349 --> 00:20:25,099
Resolvemos esta ecuación

228
00:20:25,099 --> 00:20:30,059
Bien, es una ecuación de grado 2

229
00:20:30,059 --> 00:20:34,119
Y aplicando la fórmula de la ecuación completa de grado 2

230
00:20:34,119 --> 00:20:36,980
Obtengo dos soluciones, 2 y 6

231
00:20:36,980 --> 00:20:41,200
Por lo tanto, la antiimagen del 0 es 2 y 6.

232
00:20:41,700 --> 00:20:55,460
Y los puntos de corte, por tanto, serán los de coordenadas 2, 0, este es K, y K' que será de coordenadas 6, 0.

233
00:20:57,400 --> 00:20:59,740
Lo representamos, 2, 0 y 6, 0.

234
00:21:00,140 --> 00:21:06,579
Ya lo tenemos aquí, este es de coordenada 2, 0 y este es 6, 0.

235
00:21:06,579 --> 00:21:15,279
Fijaros como nuevamente observamos que el punto medio entre el 2 y el 6 es el 4

236
00:21:15,279 --> 00:21:18,039
Que es donde está el eje de simetría

237
00:21:18,039 --> 00:21:26,920
Así que a modo de resumen, para representar una parábola, repito

238
00:21:26,920 --> 00:21:31,700
Hemos calculado la antiimagen de dos valores

239
00:21:31,700 --> 00:21:39,200
Cada antiimagen nos da lugar a dos puntos simétricos

240
00:21:39,200 --> 00:21:41,380
Dos parejitas de puntos simétricos

241
00:21:41,380 --> 00:21:58,539
Con estos puntos simétricos se puede encontrar el eje de simetría y con el eje de simetría ya podemos calcular el vértice, porque donde se encuentra el eje de simetría es el valor de la x del vértice.

242
00:21:58,539 --> 00:22:04,160
solo faltaría obtenerla ahí calculando la imagen de este valor

243
00:22:04,160 --> 00:22:08,259
y ya una vez que tengo el vértice y los puntos simétricos

244
00:22:08,259 --> 00:22:12,900
que también pueden ser puntos de corte por ejemplo

245
00:22:12,900 --> 00:22:16,099
que podría ser lo primero que busquemos si queréis

246
00:22:16,099 --> 00:22:22,559
obtenemos ya rápidamente y de manera sencilla la gráfica

247
00:22:22,559 --> 00:22:25,599
lo único a decir que los puntos de corte es un poco delicado

248
00:22:25,599 --> 00:22:27,700
Ir directamente a por ellos

249
00:22:27,700 --> 00:22:31,220
Bueno, saber que puede no tener puntos de corte

250
00:22:31,220 --> 00:22:32,700
Imagínate que la parábola hace así

251
00:22:32,700 --> 00:22:34,799
Pues esta no tiene puntos de corte

252
00:22:34,799 --> 00:22:37,940
O hace así, tampoco tiene puntos de corte

253
00:22:37,940 --> 00:22:38,619
En fin

254
00:22:38,619 --> 00:22:42,440
Con esto cortamos el vídeo ya