1
00:00:00,510 --> 00:00:06,110
Hola, vamos a hacer este ejercicio en el que me dan una recta en implícitas, es decir, como intersección de dos planos

2
00:00:06,110 --> 00:00:11,689
y en el apartado A me piden calcular el plano que contiene a la recta y que pasa por el origen de coordenadas.

3
00:00:12,429 --> 00:00:18,170
Lo primero que tenemos que recordar, para calcular la ecuación o para calcular un plano necesitamos un punto

4
00:00:18,170 --> 00:00:22,789
que el punto ya lo tenemos porque nos dicen que pasa por el origen de coordenadas

5
00:00:22,789 --> 00:00:27,489
y necesitamos o bien el vector normal o bien dos vectores directores.

6
00:00:27,489 --> 00:00:41,810
Como me dicen que la recta R pertenece o está contenida en el plano pi, el vector director de la recta R será también uno de los vectores directores del plano pi, ¿vale?

7
00:00:42,229 --> 00:00:46,490
Por lo tanto, calculo, ¿vale? Está claro lo que acabo de decir, ¿verdad?

8
00:00:47,250 --> 00:00:54,390
Bien, pues entonces vamos a llamar v, que va a ser el vector director de la recta y también va a ser un vector director del plano pi.

9
00:00:54,390 --> 00:01:01,250
¿Cómo se calcula el vector director de una recta cuando viene dada en la forma implícita?

10
00:01:01,250 --> 00:01:07,129
Pues es el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de los planos

11
00:01:07,129 --> 00:01:17,260
El vector normal del primer plano es 2-1,0 por el vector normal del segundo plano que es 1,0,1

12
00:01:20,390 --> 00:01:34,109
Calculamos este producto vectorial, ponemos la i, jk, ponemos el primer vector, 2, menos 1, 0, el segundo vector, 1, 0, 1,

13
00:01:34,109 --> 00:01:43,709
y si desarrollamos directamente, ya voy a poner el resultado sin poner el i, jk, me va a dar menos 1, menos 2 y 1.

14
00:01:44,209 --> 00:01:49,670
Pues este es el vector director de la recta y por lo tanto va a ser también un vector director del plano.

15
00:01:49,849 --> 00:01:57,769
¿Cómo calculamos otro vector director del plano? Pues a ver, la forma de sacar un vector es a partir de dos puntos.

16
00:01:58,310 --> 00:02:01,689
Me dan un punto que pertenece al plano, el origen, y además, ¿qué es lo que vemos?

17
00:02:01,790 --> 00:02:07,049
Que el cero, el origen de coordenadas, no pertenece a la recta R, ¿vale?

18
00:02:07,109 --> 00:02:13,870
¿Y por qué lo sé? Porque si sustituimos en la ecuación primera cero menos cero menos cinco, no es cero, ¿vale?

19
00:02:13,870 --> 00:02:20,069
no cumple las dos ecuaciones, por lo tanto el punto o no pertenece a la recta.

20
00:02:20,689 --> 00:02:26,750
Pues ahora vamos a calcular un punto que sí que pertenezca a la recta y así ya tendríamos dos puntos en el plano

21
00:02:26,750 --> 00:02:32,650
que me dan un vector director. Entonces para calcular el punto a, ¿qué es lo que vamos a hacer?

22
00:02:32,930 --> 00:02:39,509
Vamos a escribir, como está dado en implícitas la recta, en la primera ecuación solamente tenemos x e y,

23
00:02:39,509 --> 00:02:51,129
En la segunda x y z pues vamos a dejarlo todo despejado en función de la x, por tanto la primera ecuación me queda que esto es igual a y igual a 2x menos 5, ¿vale?

24
00:02:51,409 --> 00:02:55,189
Y en la segunda la z la puedo despejar como 2 menos x.

25
00:02:55,969 --> 00:03:05,129
Y ahora para calcular las coordenadas del punto A lo más fácil es dar por ejemplo a la x el valor 0, siempre el valor más sencillo, ¿vale?

26
00:03:05,129 --> 00:03:12,330
si sustituyo en cada una de las ecuaciones, obtengo el valor de i que sería menos 5 y el valor de la z que sería 2.

27
00:03:12,909 --> 00:03:21,270
Y como ya tengo los dos puntos que pertenecen al plano, el o y el a, pues ahora tenemos el vector oa,

28
00:03:22,569 --> 00:03:28,810
que le voy a llamar por ejemplo el vector u, da lo mismo el nombre, que coincide justamente, sería a menos 0,

29
00:03:28,810 --> 00:03:40,449
es decir, las coordenadas 0, menos 5, 2, ¿vale? Pero ahora ya es un vector, y ahora ya lo tenemos todo, ¿quién va a ser, cuál va a ser la ecuación del punto del plano pi?

30
00:03:41,210 --> 00:03:49,689
Pues es el determinante de, tendríamos que poner x menos coordenada del punto, y menos coordenada del punto, z menos coordenada del punto,

31
00:03:49,689 --> 00:04:02,849
que en este caso como es el origen es 0, 0, 0, ponemos uno de los vectores directores, menos 1, menos 2 y 1 y el segundo vector director que es 0, menos 5, 2.

32
00:04:04,370 --> 00:04:08,110
Y la ecuación viene dada por este determinante igual a 0.

33
00:04:08,110 --> 00:04:33,579
Desarrollamos el determinante y me queda menos 4x más 5z, 0, 0, más 2y, más 5x, igual a 0.

34
00:04:33,579 --> 00:04:48,000
Por lo tanto, el plano pi tiene por ecuación, operamos, 5x menos 4x es x, más 2y más 5z igual 0, ¿vale?

35
00:04:48,319 --> 00:04:52,459
Este es el plano que buscamos del primer apartado.

36
00:04:53,420 --> 00:05:00,899
Para el apartado b, voy a subir un poco, me piden la recta perpendicular a pi que pasa por el punto 1, 0, 1, ¿vale?

37
00:05:00,899 --> 00:05:07,920
es decir, me piden que calcule una recta, vamos a llamarla S, que tiene que ser perpendicular a pi

38
00:05:07,920 --> 00:05:14,720
y además el punto 1, 0, 1 pertenece a mi recta S.

39
00:05:15,240 --> 00:05:25,040
Pues a ver, si S y pi son perpendiculares, eso quiere decir que el vector normal de pi es un vector paralelo a S.

40
00:05:25,040 --> 00:05:33,220
por lo tanto el vector director de mi recta S le voy a llamar Vs

41
00:05:33,220 --> 00:05:37,839
que va a ser el vector normal del plano pi

42
00:05:37,839 --> 00:05:42,600
que es 1, 2, 5

43
00:05:42,600 --> 00:05:45,060
por lo tanto ¿cuál va a ser la ecuación?

44
00:05:45,060 --> 00:05:48,500
como no me especifican el tipo de ecuación

45
00:05:48,500 --> 00:05:50,699
la voy a poner en la forma continua que es el más fácil

46
00:05:50,699 --> 00:05:53,079
¿y cuál sería la ecuación de la recta S?

47
00:05:53,079 --> 00:06:11,319
Pues S vendría dada por x menos el punto que es 1 partido por 1, coordenada y, x del vector, igual a y menos 0 partido por 2, igual a z menos 1, que es la coordenada z, entre 5.

48
00:06:12,220 --> 00:06:14,500
Y esta sería la recta S.

49
00:06:15,000 --> 00:06:21,720
Cuando no te piden tipo de ecuación lo podemos dar como queramos, no haría falta operar más, lo podríamos dejar así.