1
00:00:00,000 --> 00:00:11,000
En el ejercicio 5 nos piden calcular la potencia de una matriz a elevado a 134.

2
00:00:11,000 --> 00:00:18,000
Entonces lo primero que hacemos es a calcular, cuando tenemos una matriz que te piden una potencia,

3
00:00:18,000 --> 00:00:27,000
calculamos el cuadrado, 3 4 menos 1 menos 2 menos 3, 1 menos 2 menos 3, 0.

4
00:00:27,000 --> 00:00:36,000
Lo multiplicamos por sí mismo, por 3 4 menos 1 menos 2 menos 3, 1 menos 2 menos 3, 0.

5
00:00:36,000 --> 00:00:48,000
Al calcular esta matriz nos sale 3 3 1 menos 2 menos 2 menos 1, 0 1 menos 1.

6
00:00:48,000 --> 00:01:03,000
Ahora calculamos al cubo, 3 4 menos 1 menos 2 3 1 menos 2 menos 3, que es multiplicar la matriz A por la matriz A al cuadrado que acabamos de calcular.

7
00:01:08,000 --> 00:01:12,000
Y esto ya nos sale la matriz identidad.

8
00:01:12,000 --> 00:01:14,000
¿Qué significa esto?

9
00:01:15,000 --> 00:01:17,000
¿Qué significa esto?

10
00:01:17,000 --> 00:01:30,000
Que la siguiente, A elevado a 4, va a ser igual a A elevado a 5, va a ser igual a A al cuadrado, A elevado a 6, otra vez la identidad, y así sucesivamente.

11
00:01:30,000 --> 00:01:32,000
Es decir, se van repitiendo cada 3.

12
00:01:32,000 --> 00:01:38,000
Entonces vamos a ver a cuál se corresponde con la matriz A elevado a 134.

13
00:01:38,000 --> 00:01:43,000
Como queremos 134, pues dividimos 134 entre 3.

14
00:01:43,000 --> 00:01:50,000
Pues nos queda 4, nos damos 1, al 14, otra vez al 4, y de resto nos queda 2.

15
00:01:50,000 --> 00:01:59,000
Eso significa que 134 lo podemos poner como 44 por 3 más 2.

16
00:02:00,000 --> 00:02:18,000
Por tanto, A elevado a 134 es igual a A elevado a 44 por 3 más 2, que es lo mismo que A elevado a 44 por 3 por A al cuadrado, lo que es lo mismo.

17
00:02:20,000 --> 00:02:27,000
Esto no lo hemos visto así en clase, pero es la forma ideal de escribirlo.

18
00:02:29,000 --> 00:02:34,000
44 por 3, lo ponemos como una potencia elevada a una potencia.

19
00:02:34,000 --> 00:02:39,000
Entonces es la matriz identidad A elevado a 44 por A al cuadrado.

20
00:02:39,000 --> 00:02:44,000
Esto es la identidad por A al cuadrado, igual a A al cuadrado.

21
00:02:45,000 --> 00:02:59,000
Por tanto, A elevado a 134 coincide con A al cuadrado, que es 3, 3, 1, menos 2, menos 2, menos 1, 0, 1, menos 1.

22
00:02:59,000 --> 00:03:02,000
No os olvidéis de escribir la matriz 134.

23
00:03:04,000 --> 00:03:09,000
Esto de aquí arriba, por lo menos tenemos que escribir este de aquí y este de aquí.

24
00:03:10,000 --> 00:03:26,000
También teníamos en este un apartado B, que en el apartado B nos dicen que escribir todas las matrices que conmutan con la matriz A.

25
00:03:26,000 --> 00:03:32,000
Es decir, tenemos que ver cuando AX es igual a X por A.

26
00:03:32,000 --> 00:03:55,000
Pues nada, hagamos primero por un lado A por X, 2, 1, menos 1, 0, por ABCD, 2A más C, 2B más D, menos A y menos B.

27
00:03:55,000 --> 00:03:58,000
Y por otro lado vamos a hacer X por A.

28
00:03:58,000 --> 00:04:15,000
ABCD por 2, 1, menos 1, 0, igual a 2A menos B, A, 2C menos B, y C.

29
00:04:15,000 --> 00:04:22,000
Entonces tenemos que 2A más C tiene que ser igual a 2A menos B.

30
00:04:23,000 --> 00:04:26,000
De donde sacamos que C es igual a menos B.

31
00:04:27,000 --> 00:04:33,000
Por otro lado, 2B más D es igual a A.

32
00:04:37,000 --> 00:04:43,000
De la tercera, menos A es igual a 2C menos D.

33
00:04:44,000 --> 00:04:54,000
Y luego tenemos una más, que es menos B es igual a C.

34
00:04:55,000 --> 00:05:01,000
Que coincide con la de arriba, C igual a menos B.

35
00:05:01,000 --> 00:05:09,000
Por tanto, como esta ecuación la tenemos repetida, la podemos tachar, no nos podemos olvidar de ella.

36
00:05:10,000 --> 00:05:16,000
Utilizando que C es igual a menos B, pues sustituimos en esta de aquí.

37
00:05:18,000 --> 00:05:25,000
Vamos a cambiarle todo de signo, A es igual a menos 2C más D.

38
00:05:26,000 --> 00:05:32,000
Y como C es igual a menos B, nos queda 2B más D.

39
00:05:33,000 --> 00:05:38,000
Que es exactamente lo mismo que la segunda ecuación.

40
00:05:38,000 --> 00:05:40,000
Por tanto, también nos podemos olvidar.

41
00:05:40,000 --> 00:05:47,000
Es decir, nos hemos quedado solamente con C igual a menos B, y A igual a 2B más D.

42
00:05:48,000 --> 00:05:54,000
Por tanto, tenemos dos ecuaciones, y vamos a quedarnos con dos letras.

43
00:05:54,000 --> 00:05:58,000
¿Cuáles son las letras que vamos a elegir? La B y la D.

44
00:05:58,000 --> 00:06:04,000
Es decir, en nuestra matriz nos quedamos con la letra B y nos quedamos con la letra D.

45
00:06:04,000 --> 00:06:07,000
¿Dónde pone C? ¿Qué tenemos que poner? Menos B.

46
00:06:07,000 --> 00:06:11,000
¿Dónde pone A? ¿Qué tenemos que poner? 2B más D.

47
00:06:11,000 --> 00:06:15,000
Y esta es nuestra matriz X.

48
00:06:15,000 --> 00:06:20,000
2B más D, D menos B y D.

49
00:06:20,000 --> 00:06:22,000
Esa es la forma que tienen todas estas matrices.

50
00:06:22,000 --> 00:06:25,000
Y con esto ya estaría acabado el ejercicio 5.