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00:00:05,099 --> 00:00:11,279
Hola chicos, os voy a explicar cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones

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00:00:11,279 --> 00:00:15,759
logarítmicas. Bueno, en primer lugar deciros que un sistema de ecuaciones

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00:00:15,759 --> 00:00:21,140
logarítmicas es un sistema en el que una o dos ecuaciones aparecen las

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00:00:21,140 --> 00:00:27,079
incógnitas dentro de logaritmos. Lo que vamos a hacer son tres ejemplos. Yo creo

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00:00:27,079 --> 00:00:30,640
que los tres son un poco distintos pero también en el fondo al final veréis que

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00:00:30,640 --> 00:00:36,399
son más o menos iguales. Este es el primero en el que la primera ecuación es una ecuación lineal

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00:00:36,399 --> 00:00:43,899
normal y corriente y la segunda es una ecuación logarítmica. Este segundo, la primera ecuación

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00:00:43,899 --> 00:00:50,840
es una ecuación logarítmica y la segunda es una ecuación exponencial. Y el tercero es un sistema

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00:00:50,840 --> 00:00:57,939
en que las dos ecuaciones son logarítmicas. Bueno, vamos con el primero. El primero es un sistema,

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00:00:57,939 --> 00:01:28,000
Muy fácil de resolver. La primera ecuación la dejamos como está, x más y igual a 22. Y la segunda, usando las propiedades de los logaritmos, lo vamos a poner como logaritmo de x partido de y igual...

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00:01:28,000 --> 00:01:37,819
Bueno, voy a poner aquí, para que quede logaritmo igual a logaritmo, logaritmo de 10, porque ya sabéis que el exponente al que hay que elevar la base de estos logaritmos,

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00:01:37,819 --> 00:01:49,120
que como no pone nada es logaritmo decimal, el logaritmo al que hay que elevar 10 para que quede 10 es 1, ¿vale? Entonces el logaritmo en base de 10 es 1.

13
00:01:49,120 --> 00:02:01,719
Y, bueno, seguimos aquí, bueno, la primera ecuación seguimos sin tocarla, 22, y de aquí deducimos entonces que x partido por y es 10.

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00:02:02,540 --> 00:02:10,439
También podríamos haber dejado aquí el 1, o sea, podríamos haber dejado aquí el 1 y haber aplicado la definición del logaritmo.

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00:02:10,620 --> 00:02:18,199
El logaritmo de x partido de y igual a 1 significa que 1 es el exponente al que hay que elevar la base, que es 10, para que de x partido por y.

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00:02:18,199 --> 00:02:30,340
Es decir, que al final quedaría que 10 elevado a 1 es X partido por Y. Por cierto, acabo de ver que aquí me he dejado el 10.

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00:02:30,979 --> 00:02:41,319
Y esto ya es un sistema normal y corriente que lo voy a resolver por sustitución, porque si aquí despejo X, queda que X es 10Y, sustituyo en la de arriba,

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00:02:41,319 --> 00:03:07,240
y queda que 10Y más Y igual a 22, es decir, que queda que 11Y es 22, así que Y igual a 2. Y X sería entonces 10Y, es decir, 10X es igual a 10 por 2, que sería 20.

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00:03:07,240 --> 00:03:24,240
Por lo tanto, la solución de este sistema sería 22 y ya estaría resuelto. Ya veis que no tiene mucha complicación.

20
00:03:25,240 --> 00:03:34,639
Bueno, vamos con el segundo. El segundo aparentemente es un sistema muy complicado porque tiene ahí una ecuación logarítmica, tiene una ecuación exponencial, pero bueno, vamos a ver que es más o menos igual.

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00:03:34,639 --> 00:03:50,340
Por cierto, como os dije el otro día, con las ecuaciones exponenciales y también con las logarítmicas, para que un sistema de ecuaciones exponenciales y logarítmicas salga, tiene que estar más o menos preparado.

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00:03:50,780 --> 00:03:56,860
Porque si no, lo más probable es que nos encontremos con sistemas que no tenemos ni idea de por dónde cogerlos.

23
00:03:57,500 --> 00:04:04,800
Entonces, bueno, todos estos, pues por ejemplo aquí fijaos un 2 a la 11 y tal, o un logaritmo de 33 que parecen cosas muy raras,

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00:04:05,159 --> 00:04:10,680
es porque están preparados para que salgan las soluciones sean números sencillos.

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00:04:10,680 --> 00:04:19,300
Entonces, bueno, lo mismo, primera ecuación, aplico las propiedades de los logaritmos y queda que el logaritmo de x más y

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00:04:19,300 --> 00:04:33,139
por x menos y es igual al logaritmo de 33. Si hay una suma de logaritmos, eso viene de hacer un producto.

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00:04:33,360 --> 00:04:41,060
Y la segunda ecuación, aplico las propiedades de las potencias y queda que 2 elevado a x más y es 2 elevado a 11.

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00:04:42,019 --> 00:04:47,959
Con lo cual el sistema se nos ha quedado así. En la primera ecuación, como dos logaritmos son iguales,

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00:04:47,959 --> 00:05:04,240
Entonces, significa que si son iguales, pues lo de dentro es lo mismo. X más Y por X menos Y es 33. Y en el de abajo queda X más Y igual a 11.

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00:05:04,439 --> 00:05:11,220
Con lo cual, bueno, nos hemos librado de los logaritmos, las exponenciales y queda este sistema que, a ver, podéis hacer dos cosas.

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00:05:11,220 --> 00:05:29,779
Aquí, perdón, he puesto un 1 y es un 11. Podéis hacer dos cosas. Atajo x más y es 11, entonces sustituís el 11 aquí. Es decir, quedaría 11 por x menos y es 33.

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00:05:29,779 --> 00:05:59,079
Es decir, X menos Y igual a 3 y X más Y es 11. Con lo cual, tendríamos este sistema que es muy fácil de resolver sumando las dos ecuaciones queda 2X igual a 14, es decir, X es 7 y la Y, por ejemplo, de aquí podemos sacar la Y ya que queda que 7 más Y es 11, es decir, que Y es 4.

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00:05:59,779 --> 00:06:19,459
Así que la solución es 7, 4. Si no os dais cuenta de este atajo no pasa nada porque esta primera ecuación quedaría x cuadrado menos y cuadrado aplicando los productos notables igual a 33 y x más y igual a 11.

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00:06:19,459 --> 00:06:38,540
Con lo cual, es un poco más complicado, pero de aquí podéis despejar, por ejemplo, la Y, que es 11 menos X y sustituís en la ecuación de arriba y al final vais a obtener la misma solución.

35
00:06:38,540 --> 00:06:49,300
De acuerdo, o sea que eso no habría ningún problema si uno no se da cuenta de eso, pero bueno, si uno ve un atajo y ve que lo puede aprovechar, pues se puede aprovechar.

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00:06:49,459 --> 00:07:03,860
Bueno, vamos con el último. El último se puede hacer también de dos maneras. Yo os lo voy a hacer primero de la manera fácil y todos este tipo de sistemas yo creo que lo mejor es hacerlos de esta forma.

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00:07:03,860 --> 00:07:12,980
Fijaos que esto, si en vez de poner logaritmo de X y logaritmo de Y pusiera X e Y solamente, es un sistema normal y corriente, es un sistema lineal.

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00:07:13,660 --> 00:07:18,860
Entonces yo puedo resolverlo como si fuera un sistema lineal, por ejemplo, por reducción.

39
00:07:19,699 --> 00:07:28,579
La segunda ecuación la voy a multiplicar por menos 2, voy a ponerlo así, por menos 2, con lo cual va a quedar así.

40
00:07:28,579 --> 00:07:44,240
menos 2 logaritmo de x, menos 2 logaritmo de y, igual a menos 2. Y la ecuación de arriba la pongo tal cual, 2 logaritmo de x, menos 3 logaritmo de y, igual a 7.

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00:07:44,740 --> 00:07:50,980
Sumo las dos ecuaciones y me queda menos 5 logaritmo de Y igual a 5.

42
00:07:51,180 --> 00:07:55,040
Es decir, logaritmo de Y igual a menos 1.

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00:07:55,040 --> 00:08:01,560
Y luego aquí, pues, o menos 1 lo convertís en un logaritmo, que es el logaritmo de 10 a la menos 1,

44
00:08:02,240 --> 00:08:07,459
porque el exponente que hay que elevar 10 para que 10 a la menos 1 es menos 1, o podéis aplicar la definición de logaritmo.

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00:08:08,160 --> 00:08:14,120
El logaritmo en base 10 de Y es menos 1, significa que menos 1 es el exponente que hay que elevar la base,

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00:08:14,240 --> 00:08:21,639
que es 10, para que dé y. Es decir, menos 1 es el exponente al que hay que elevar la base, para que dé y.

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00:08:21,980 --> 00:08:30,000
Así que ya tengo la y, ¿vale? Y lo voy a poner mejor así, pero bueno, se puede dejar así, como 10 a la menos 1.

48
00:08:30,199 --> 00:08:40,919
Y una vez que tengo esto, pues ahora tenemos varias opciones para seguir. Puedo sustituir la y en el sistema de partida

49
00:08:40,919 --> 00:08:49,019
y despejar logaritmo de X. Pero también podemos coger un atajo y es que el logaritmo de Y es menos 1.

50
00:08:49,159 --> 00:08:54,779
Es decir, que yo podría poner esto. Me cojo, por ejemplo, la ecuación de abajo que es más sencilla

51
00:08:54,779 --> 00:09:00,779
y tengo logaritmo de X más el logaritmo de Y que es menos 1 igual a 1.

52
00:09:00,779 --> 00:09:06,799
Es decir, queda logaritmo de X igual a 2 y ahora vuelvo a aplicar la propiedad de los logaritmos

53
00:09:06,799 --> 00:09:10,279
o convierto 2 en un logaritmo decimal que sería el logaritmo de 100.

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00:09:10,279 --> 00:09:17,799
Entonces el logaritmo de base 10 de x es 2 significa que 2 es el exponente al que hay que elevar 10 para que de x

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00:09:17,799 --> 00:09:22,419
Es decir, 2 es el exponente al que hay que elevar 10 para que de x

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00:09:22,419 --> 00:09:26,039
Y ya tengo entonces que x es 10 al cuadrado o 100

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00:09:26,039 --> 00:09:33,179
Y la solución sería pues 100, 1 partido de 10

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00:09:33,179 --> 00:09:37,840
Y ya tengo resuelto el último sistema

59
00:09:37,840 --> 00:09:58,080
Vale, otra cosa que podéis hacer es aplicar otra vez el método de reducción, pero en este caso para, en vez de despejar logaritmo de y, para que quedase logaritmo de x. Por ejemplo, podéis multiplicar la ecuación de abajo por 3 y sumarlas y entonces al final también sale logaritmo de 3.

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00:09:58,080 --> 00:10:19,860
Y bueno, normalmente la mayoría de los sistemas que vamos a resolver nosotros son parecidos a estos tres. Serán o de este tipo, que ya veréis que son la mayoría de los que vamos a hacer, van a ser así, o del primer tipo, ¿de acuerdo? En el que una ecuación ya no tiene logaritmo ni tiene, es una ecuación normal y corriente.

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00:10:19,980 --> 00:10:27,059
Vale, bueno, pues con esto termino y espero que os sirva para hacer los ejercicios que os mandaré en la tarea.