1
00:00:00,000 --> 00:00:02,720
En este vídeo vamos a resolver este problema de optimización.

2
00:00:03,279 --> 00:00:11,720
Leemos, se dispone de 6 metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa.

3
00:00:12,179 --> 00:00:15,679
¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen cerrado sea máximo?

4
00:00:16,800 --> 00:00:22,100
Bueno, lo primero es dibujar una caja con las especificaciones que nos digan.

5
00:00:22,859 --> 00:00:26,859
Como nos dicen de base cuadrada, pues dibujaremos un cuadrado, más o menos.

6
00:00:26,859 --> 00:00:33,399
Y como es un prisma, pues hemos de suponer que será así.

7
00:00:35,119 --> 00:00:44,420
Bueno, voy a borrar y empezar para que me quede bien.

8
00:00:47,719 --> 00:00:55,560
¿Vale? Sería un prisma de base cuadrada, más o menos, pues sería un prisma así.

9
00:00:58,490 --> 00:01:00,710
¿Vale? Mucho mejor ahora.

10
00:01:02,570 --> 00:01:03,770
Sería así.

11
00:01:03,770 --> 00:01:18,030
Y como dice de base cuadrada, pues esto lo vamos a llamar x, como es cuadrada x y la altura la llamaremos y.

12
00:01:18,269 --> 00:01:27,230
Por lo tanto, el volumen de un prisma ya sabéis que es la multiplicación de las tres dimensiones, o el área de la base por la altura.

13
00:01:27,650 --> 00:01:32,469
En este caso, el volumen va a ser x al cuadrado por y.

14
00:01:33,510 --> 00:01:41,019
Me aparecen dos letras. No puedo manejar funciones de dos letras, así que tenemos que buscar alguna relación.

15
00:01:41,019 --> 00:02:01,700
Aquí la relación me la va a dar los 6 metros cuadrados, porque si hago el desarrollo, el papel que voy a gastar sería el cuadrado de abajo, cuya área es x al cuadrado, más el cuadrado de arriba, cuya área es x por x, más 4 laterales.

16
00:02:01,700 --> 00:02:08,620
Los laterales van a tener dimensiones x por y, luego 4 por x por y.

17
00:02:09,219 --> 00:02:20,259
Es decir, el área, el cartón que voy a tener, va a ser 2x al cuadrado más 4 por x por y.

18
00:02:20,479 --> 00:02:25,219
Y esto tiene que ser igual a 6 metros cuadrados de cartón.

19
00:02:26,439 --> 00:02:29,479
Y es aquí donde voy a poder relacionar la x con la y.

20
00:02:29,479 --> 00:02:52,439
Si despejo la y, como vemos tenemos 2x cuadrado más 4xy igual a 6, puedo dividir todo entre 3, siempre conviene simplificar para ahorrarme cuentas, sobre todo si no se me dan bien, vale, entonces esto va a quedar más 2xy igual a 3.

21
00:02:52,439 --> 00:03:17,979
Si despejo, pues tendremos que 2XY es igual a 3 menos X cuadrado y por tanto la Y será igual a 3 menos X al cuadrado partido de 2X.

22
00:03:17,979 --> 00:03:27,639
Esta relación nos va a permitir, en la función que nos calcula el volumen, poder derivar.

23
00:03:27,639 --> 00:03:46,800
O sea que el volumen en función de la letra x va a ser igual a x cuadrado por 3 menos x al cuadrado partido de 2 por x.

24
00:03:47,979 --> 00:04:10,180
Entonces antes de multiplicar a lo loco nos damos cuenta que este x cuadrado se va a ir con esta x y por tanto lo que nos queda va a ser x por 3 menos x al cuadrado partido de 2.

25
00:04:10,180 --> 00:04:16,220
Y esta es nuestra función que nos da el volumen en función de la base del prisma.

26
00:04:16,480 --> 00:04:29,079
Si derivamos, bueno, vemos que el 1 medio es una constante, no se os ocurra usar la derivación por cociente, porque no.

27
00:04:30,120 --> 00:04:34,360
Esto lo puedo poner así como 1 medio, y ahora tengo que hacer la derivada de esto.

28
00:04:34,360 --> 00:04:47,000
Bueno, podría haber puesto aquí esta expresión que quizás es más fácil y entonces esto va a ser el 1 medio porque es una constante.

29
00:04:47,879 --> 00:04:54,980
La derivada de 3x es 3 y la derivada de x cubo es 3x cuadrado.

30
00:04:56,079 --> 00:05:06,079
Vale, bien, recordando ahora la utilidad de la derivada, estamos buscando un punto donde la pendiente sea 0 porque será máximo o mínimo.

31
00:05:06,079 --> 00:05:27,120
Por lo tanto, ¿qué tengo que hacer ahora? Pues v' de x igual a 0. Esto me va a decir, me dice que un medio por 3 menos 3x al cuadrado es igual a 0.

32
00:05:27,120 --> 00:05:39,600
Obviamente un medio no es 0, por lo tanto de aquí se deduce que 3 menos 3x al cuadrado tiene que ser 0

33
00:05:39,600 --> 00:05:49,779
Lo cual implica que 3x al cuadrado es igual a 3, lo cual implica que x al cuadrado es igual a 1

34
00:05:49,779 --> 00:05:58,060
y por tanto me sale que la x vale 1 y la x vale menos 1.

35
00:05:59,540 --> 00:06:05,439
Menos 1 no tiene sentido porque no va a haber una distancia negativa, por lo tanto la solución es 1.

36
00:06:07,639 --> 00:06:11,120
Vamos a comprobar si es un máximo. Para eso vamos a hacer la segunda derivada.

37
00:06:13,420 --> 00:06:17,319
La segunda derivada, pues el 1 medio vuelve a ser constante

38
00:06:17,319 --> 00:06:26,800
y ahora la derivada de 3 es 0 y esto es menos 6x, por menos 6x.

39
00:06:28,240 --> 00:06:38,920
Luego, si sustituyo el valor de 1, pues me va a salir menos 3, que es menor que 0.

40
00:06:40,620 --> 00:06:43,459
Por tanto, efectivamente, es un máximo.

41
00:06:43,459 --> 00:06:55,540
En x igual a 1, v de x, que es la función volumen, acordaros, tiene un máximo.

42
00:07:11,680 --> 00:07:30,579
¿Cuánto vale? Bueno, pues como tenemos que está en x igual a 1, pues si sustituyo aquí la y, la y será igual a 3 menos 1 partido de 2, igual a 1.

43
00:07:33,269 --> 00:07:37,889
Es decir, que tanto la base como la altura miden 1.

44
00:07:39,899 --> 00:07:43,759
Y resulta que sale un cubo, que es lo que maximiza el volumen.

45
00:07:44,879 --> 00:07:45,779
Y ya estaría.