1
00:00:02,609 --> 00:00:14,250
Vamos a hacer ahora el dominio de esta función, k de x, que es un logaritmo decimal de esta expresión, que es una función racional, una fracción algebraica.

2
00:00:15,529 --> 00:00:25,589
Entonces, como siempre, para calcular dominios a partir de la expresión analítica, nos preguntamos, ¿para hacer este cálculo hay alguna condición?

3
00:00:25,589 --> 00:00:34,689
Y al haber un logaritmo y una fracción algebraica, por un lado, el denominador de la fracción algebraica debe ser distinto de cero.

4
00:00:35,670 --> 00:00:42,590
Y además, lo de dentro del logaritmo, para poder hacerlo, tiene que ser positivo.

5
00:00:43,689 --> 00:00:49,590
Y positivo no nulo, porque el logaritmo de cero no existe.

6
00:00:51,530 --> 00:00:54,850
Vamos a plasmar esa condición, como siempre, en una inequación.

7
00:00:55,590 --> 00:00:58,310
Una o varias. En este caso, con una lo tenemos todo.

8
00:00:58,689 --> 00:01:03,049
Que sería que lo de dentro del logaritmo sea mayor que cero.

9
00:01:04,209 --> 00:01:13,069
Con eso, al resolviendo esa inequación, ya al resolverla, estaríamos quitando también los ceros del denominador.

10
00:01:13,530 --> 00:01:20,230
Porque si hay algún cero en el denominador, no lo podemos meter en esta solución, porque no estaría definido.

11
00:01:21,450 --> 00:01:22,870
Pues vamos a resolver la inequación.

12
00:01:22,870 --> 00:01:27,709
¿Vale? Entonces esta es la inequación

13
00:01:27,709 --> 00:01:32,430
¿Cómo resolver las inequaciones de este tipo en el que tenemos una fracción algebraica

14
00:01:32,430 --> 00:01:35,409
y queremos que su signo sea positivo o negativo

15
00:01:35,409 --> 00:01:38,450
o decir, mayor o menor que cero?

16
00:01:39,390 --> 00:01:43,549
Pues lo primero es factorizar tanto el numerador como el denominador

17
00:01:43,549 --> 00:01:46,909
y buscar los puntos críticos, que son los números que anulan

18
00:01:46,909 --> 00:01:51,890
las valores de la x, las raíces, los que anulan el numerador y los que anulan el denominador

19
00:01:51,890 --> 00:01:58,730
Entonces, para factorizar el numerador, como es una ecuación de segundo grado, la resolvemos

20
00:01:58,730 --> 00:02:03,109
Obtenemos ya las dos soluciones, 3 y menos 2, que serán dos puntos críticos

21
00:02:03,109 --> 00:02:11,430
Y, utilizando eso para factorizar, pues tenemos que el coeficiente principal, que es 1, que es el coeficiente de la x al cuadrado

22
00:02:11,430 --> 00:02:17,050
Por x menos 3 y por x menos menos 2, que es x más 2

23
00:02:17,050 --> 00:02:20,569
Luego me queda x menos 3 por x más 2, factorizado el numerador

24
00:02:21,250 --> 00:02:22,229
Vamos con el denominador.

25
00:02:22,909 --> 00:02:26,229
Pues el denominador, nos fijamos que lo podíamos hacer igual que arriba,

26
00:02:26,610 --> 00:02:32,090
pero en este caso observamos que es el desarrollo de la suma de x más 1 al cuadrado.

27
00:02:32,650 --> 00:02:33,930
Por así identidades notables, ¿no?

28
00:02:33,930 --> 00:02:36,810
Cuadrado del primero, doble del primero por el segundo y cuadrado del segundo.

29
00:02:37,650 --> 00:02:40,090
Entonces ya tenemos factorizado también el denominador.

30
00:02:40,090 --> 00:02:47,210
Es decir, el primer miembro de la inequación, la fracción algebraica, factorizada nos queda de esta manera.

31
00:02:47,210 --> 00:02:50,729
Vamos ahora a los puntos críticos

32
00:02:50,729 --> 00:02:52,150
Los puntos críticos

33
00:02:52,150 --> 00:02:54,449
Tenemos por un lado

34
00:02:54,449 --> 00:02:56,009
Los que anulan el numerador

35
00:02:56,009 --> 00:02:58,349
Que son los puntos críticos que yo les llamo permitidos

36
00:02:58,349 --> 00:02:59,210
¿Permitidos por qué?

37
00:02:59,569 --> 00:03:02,590
Porque en un momento dado la X puede tomar ese valor

38
00:03:02,590 --> 00:03:04,169
Ya veremos si sí o si no

39
00:03:04,169 --> 00:03:06,250
Depende de si es solución de la inequación o no

40
00:03:06,250 --> 00:03:07,530
Pero lo puede tomar

41
00:03:07,530 --> 00:03:09,229
Porque eso anula el numerador

42
00:03:09,229 --> 00:03:11,409
Y en una división el numerador se puede anular

43
00:03:11,409 --> 00:03:13,449
Y luego los prohibidos

44
00:03:13,449 --> 00:03:15,169
Que son los que anulan el denominador

45
00:03:15,169 --> 00:03:19,009
Ya sabemos que el denominador nunca puede ser cero porque no podemos dividir por cero.

46
00:03:19,650 --> 00:03:26,610
Entonces, tenemos un punto crítico que anula el denominador, que sería la raíz de este polinomio, que es menos uno,

47
00:03:27,169 --> 00:03:28,990
y ese es un punto crítico prohibido.

48
00:03:29,150 --> 00:03:36,729
Es decir, en ningún caso, tengamos o no aquí un igual, en ningún caso el menos uno puede tomarse como valor.

49
00:03:38,030 --> 00:03:44,870
Y ahora, segundo paso, una vez que tenemos factorizado y tenemos los puntos críticos,

50
00:03:44,870 --> 00:03:51,030
lo que vamos a hacer es dividir la recta en intervalos usando los tres puntos críticos

51
00:03:51,030 --> 00:03:58,729
y vamos a ver el signo que toma cada uno de los factores que son x menos 3, x más 2 y x más 1 al cuadrado

52
00:03:58,729 --> 00:04:04,770
y teniendo el signo de cada uno de los factores luego multiplicamos todos.

53
00:04:05,270 --> 00:04:07,469
¿Y por qué multiplicamos los signos?

54
00:04:07,550 --> 00:04:10,610
¿Por qué multiplicamos cuando aquí hay alguno que está dividiendo?

55
00:04:10,610 --> 00:04:15,229
Porque ya sabemos que la regla de los signos es la misma para la multiplicación que para la división.

56
00:04:17,350 --> 00:04:18,870
Vamos a hacer un poquito de sitio aquí.

57
00:04:21,350 --> 00:04:23,589
Entonces, vamos a ver cómo hacemos esto.

58
00:04:23,970 --> 00:04:26,209
Entonces, vamos a ver el cuadro cómo queda.

59
00:04:26,990 --> 00:04:32,230
Tenemos desde menos infinito hasta más infinito, metemos los tres puntos críticos.

60
00:04:32,410 --> 00:04:35,269
Por orden, de menos a mayor serían menos 2, menos 1 y 3.

61
00:04:35,730 --> 00:04:39,829
Por lo tanto, tengo 1, 2, 3 y 4 intervalos.

62
00:04:41,230 --> 00:04:46,329
El menos uno lo he rodeado con una esta roja para indicar que está prohibido.

63
00:04:46,670 --> 00:04:56,230
Que en ningún caso, sea cual sea la igualdad aquí, la desigualdad aquí, tengamos o no igual, el menos uno nunca se va a coger porque lo que me está anulando es el denominador.

64
00:04:57,310 --> 00:05:06,170
Los que están permitidos son que me anulan el numerador y cero partido por algo, si lo de abajo no es cero, cero partido por algo es cero.

65
00:05:06,170 --> 00:05:10,610
Por lo tanto, ese es un valor que, en el caso de que tuviéramos el igual, habría que cogerlo.

66
00:05:10,709 --> 00:05:13,050
Aquí no lo tenemos, luego tampoco habrá que cogerlos.

67
00:05:14,129 --> 00:05:18,870
Luego colocamos los tres factores, que son x menos 3, x más 2, que son del numerador,

68
00:05:19,410 --> 00:05:21,930
y x más 1 al cuadrado, que es del denominador.

69
00:05:23,550 --> 00:05:30,569
Ahora vemos los signos de esta expresión según el valor de x esté en este intervalo, en este, en este o en este.

70
00:05:31,629 --> 00:05:34,290
Aquí está el tercero, este es todo más.

71
00:05:34,290 --> 00:05:35,829
¿Por qué? Porque está elevado al cuadrado.

72
00:05:35,829 --> 00:05:40,129
Entonces me da igual que x más 1 sea positivo o negativo, al elevar al cuadrado va a ser siempre positivo.

73
00:05:41,930 --> 00:05:44,610
Luego, el denominador aquí, esto siempre es positivo.

74
00:05:45,529 --> 00:05:46,089
O cero.

75
00:05:46,970 --> 00:05:47,829
Positivo o cero.

76
00:05:48,009 --> 00:05:49,370
Cero sería para este menos 1.

77
00:05:49,490 --> 00:05:50,930
Para todo lo demás sería positivo.

78
00:05:53,629 --> 00:05:54,649
x menos 3.

79
00:05:54,970 --> 00:06:00,050
Pues a la izquierda de 3, que es donde se anula, esto va a ser negativo.

80
00:06:00,649 --> 00:06:03,189
Podemos dar aquí un valor, por ejemplo, el menos 3.

81
00:06:03,550 --> 00:06:05,750
Menos 3 menos 3 menos 6, negativo.

82
00:06:06,410 --> 00:06:12,670
Buscamos un valor aquí, por ejemplo, el menos 1,5, menos 1,5 menos 3, menos 4,5, negativo.

83
00:06:13,250 --> 00:06:19,389
Y podemos dar un valor aquí entre el menos 1 y el 3, por ejemplo, el 0, 0 menos 3, menos 3, negativo.

84
00:06:20,050 --> 00:06:24,930
Y por último un valor entre el 3 infinito, por ejemplo, el 4, 4 menos 3, 1, positivo.

85
00:06:25,490 --> 00:06:29,629
Entonces efectivamente a la izquierda de 3 negativo, a la derecha de 3 positivo.

86
00:06:29,629 --> 00:06:33,129
El x más 2 que se anula para menos 2

87
00:06:33,129 --> 00:06:35,110
Pues será negativo a la izquierda de menos 2

88
00:06:35,110 --> 00:06:37,629
Menos y positivo a la derecha

89
00:06:37,629 --> 00:06:38,610
Más, más, más

90
00:06:38,610 --> 00:06:41,829
Y este ya hemos visto que al estar al cuadrado siempre es positivo

91
00:06:41,829 --> 00:06:43,829
Vale, ahora multiplicamos todos los signos

92
00:06:43,829 --> 00:06:45,670
Ya digo, esto en realidad sería dividir

93
00:06:45,670 --> 00:06:47,310
Pero la regla de los signos es la misma

94
00:06:47,310 --> 00:06:49,689
Entonces menos por menos

95
00:06:49,689 --> 00:06:51,850
Más y por más, más

96
00:06:51,850 --> 00:06:54,550
Menos por más, menos

97
00:06:54,550 --> 00:06:57,449
Por más, menos

98
00:06:57,449 --> 00:07:02,430
lo mismo, menos, y aquí todos positivos

99
00:07:02,430 --> 00:07:06,370
más, ¿vale? basta con contar el número de signos menos, si es par será positivo

100
00:07:06,370 --> 00:07:10,269
si es impar será negativo, vale, entonces la fracción

101
00:07:10,269 --> 00:07:14,129
no la he escrito, aquí esta que expresión es, pues toda esta, ¿vale?

102
00:07:14,230 --> 00:07:17,850
no la he escrito, simplemente la pongo, la fracción, ¿qué signo toma?

103
00:07:18,250 --> 00:07:22,350
pues en este primer intervalo positivo, entre menos 2 y menos 1 negativo

104
00:07:22,350 --> 00:07:25,930
entre menos 1 y 3 también negativo, y entre 3 infinito positivo

105
00:07:26,810 --> 00:07:34,970
Cuidado, ¿eh? Porque entre menos 2 y menos 1 es negativo, y entre menos 1 y 3 es negativo, no significa que entre menos 2 y 3 sea negativo.

106
00:07:35,389 --> 00:07:39,329
Porque ahí estaría cogiendo el menos 1, y para el menos 1 ni siquiera está definido.

107
00:07:40,069 --> 00:07:44,970
¿Vale? Entonces mucho cuidado con juntar todo esto junto. Por eso este rojo aquí nos ayuda.

108
00:07:45,529 --> 00:07:51,550
En estos valores, menos 2, menos 1 y 3, la fracción o vale 0 o no existe.

109
00:07:52,550 --> 00:07:55,670
En menos 2 y 3 vale 0 y en el menos 1 no existe.

110
00:07:55,930 --> 00:08:02,910
Y luego es en los demás, en todos los demás que están aquí, que no son ninguno de esos tres valores, donde será o positivo o negativo.

111
00:08:04,810 --> 00:08:12,689
Bien, entonces, ahora, ¿es solución? Pues la inequación es mayor que cero, pues será solución cuando es positivo.

112
00:08:12,689 --> 00:08:18,670
Entonces este intervalo, menos infinito y menos dos, sí, este no, este no, y entre tres infinito también.

113
00:08:19,290 --> 00:08:26,889
Por lo tanto, vamos a poner ahí arriba, la solución será de menos infinito a menos 2, unión de 3 a infinito.

114
00:08:27,230 --> 00:08:29,930
¿Y cogemos el menos 2, el 3 o el menos 1?

115
00:08:30,629 --> 00:08:32,029
Pues no lo cogemos. ¿Por qué?

116
00:08:32,429 --> 00:08:35,610
Porque tenemos un distinto de 0 y no un igual a 0.

117
00:08:35,610 --> 00:08:43,610
Si tuviéramos aquí un mayor o igual que 0, incluiríamos el menos 2, incluiríamos el 3 y el menos 1 no lo incluiríamos porque está prohibido.

118
00:08:44,690 --> 00:08:46,409
Pero en este caso es abierto.

119
00:08:46,409 --> 00:08:50,549
Entonces, volvemos a nuestro ejercicio

120
00:08:50,549 --> 00:08:52,190
Ya tenemos resuelta la inequación

121
00:08:52,190 --> 00:08:53,870
Esa es la solución

122
00:08:53,870 --> 00:08:56,029
Y entonces ahora, ¿eso qué es?

123
00:08:56,090 --> 00:08:58,029
Pues eso es el dominio, lo vamos a expresar

124
00:08:58,029 --> 00:09:01,330
Estos son los valores para los cuales esto es positivo

125
00:09:01,330 --> 00:09:04,570
Y cuando esto es positivo, el logaritmo se puede calcular

126
00:09:04,570 --> 00:09:10,149
Por lo tanto, el dominio es esa unión de intervalos

127
00:09:10,149 --> 00:09:11,029
O ese intervalo

128
00:09:11,029 --> 00:09:12,990
De menos infinito a menos 2 abierto

129
00:09:12,990 --> 00:09:14,929
Unión de 3 a infinito abierto

130
00:09:14,929 --> 00:09:23,149
Y como siempre vamos a ver la gráfica para comprobar que si a partir de esa gráfica obtendríamos el mismo dominio.

131
00:09:24,470 --> 00:09:28,629
Esta sería la gráfica, la hemos dibujado en GeoGebra, la gráfica de esta función.

132
00:09:29,490 --> 00:09:33,669
Como veis, ¿cuál es el dominio? Pues viene desde menos infinito hasta menos 2.

133
00:09:34,029 --> 00:09:41,070
El menos 2 no lo llega a tomar, me acerco a él y cuando me voy acercando a él hay una asíntota que va a menos infinito,

134
00:09:41,070 --> 00:09:45,090
pero nunca alcanza el menos 2, luego el menos 2 es abierto

135
00:09:45,090 --> 00:09:47,669
y desde 3 a infinito pasa exactamente lo mismo

136
00:09:47,669 --> 00:09:51,409
luego el dominio sería de menos infinito a menos 2 abierto

137
00:09:51,409 --> 00:09:54,570
y de 3 a infinito abierto

138
00:09:54,570 --> 00:09:57,190
y entre el menos 2 y el 3, incluyendo el menos 2 y el 3

139
00:09:57,190 --> 00:09:58,929
no toma la función ningún valor

140
00:09:58,929 --> 00:10:04,029
luego efectivamente el dominio que sacamos viendo la gráfica

141
00:10:04,029 --> 00:10:05,990
es el mismo que hemos obtenido analíticamente