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00:00:00,000 --> 00:00:09,000
Buenos días a todos. En este vídeo vamos a aprender cómo se opera con matrices, matrices que tienen un parámetro

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00:00:09,000 --> 00:00:14,000
y aprenderemos también a calcular la inversa cuando el parámetro toma un valor determinado.

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00:00:14,000 --> 00:00:22,000
Es un ejercicio que se presentó en la BAO del curso pasado y con una matriz 3x3.

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00:00:22,000 --> 00:00:29,000
El enunciado es el siguiente. Se considera la matriz A dada de la siguiente manera.

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00:00:29,000 --> 00:00:36,000
Observamos que aparece aquí un parámetro, un parámetro m desconocido y el ejercicio se compone de dos apartados.

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00:00:36,000 --> 00:00:42,000
El primer apartado, calcular el valor de sm para que se cumpla esta igualdad, una igualdad entre matrices,

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00:00:42,000 --> 00:00:50,000
donde i es la identidad, y el apartado b, donde se dice que para un valor concreto de m, en este caso para m igual a 1,

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00:00:50,000 --> 00:01:00,000
se indique si la matriz tiene inversa, es decir, es invertible, y en caso afirmativo, en caso de que sea inversible o invertible,

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00:01:00,000 --> 00:01:05,000
calculemos su inversa, es decir, calculemos a menos 1, en el caso de que se pueda.

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00:01:05,000 --> 00:01:14,000
Empezamos con el apartado a. En el apartado a tenemos que calcular el valor de m para que se cumpla la igualdad de esta expresión.

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00:01:14,000 --> 00:01:20,000
Esta expresión es a cuadrado menos 5a igual a menos 4i, donde i es la identidad.

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00:01:20,000 --> 00:01:27,000
Recordad que la matriz identidad es la matriz que tiene unos en la diagonal principal y fuera de ella todo cero.

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00:01:27,000 --> 00:01:38,000
Hacemos la operación a por a, que sería a cuadrado, a por a, menos 5 por a, igual a menos 4i.

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00:01:38,000 --> 00:01:45,000
Lo que hemos hecho es sustituir en esta expresión por el valor de a y por el valor de i.

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00:01:45,000 --> 00:01:55,000
Ahora tenemos que hacer esta operación a por a, recordad que para multiplicar dos matrices se multiplica primera fila por primera columna y se pone aquí,

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00:01:55,000 --> 00:02:02,000
primera fila por segunda columna se pone aquí, primera fila por tercera columna se pone aquí, y se repite con la demás fila,

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00:02:02,000 --> 00:02:06,000
es decir, segunda fila por primera columna iría aquí.

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00:02:06,000 --> 00:02:16,000
Si hacemos esta operación sería 3 por 3, 9, más 1 por 0, 0, más 2 por 1, 2, 9 más 0 más 2, 11.

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00:02:16,000 --> 00:02:26,000
3 por 1, 3, 1 por m, m, 2 por menos 1, menos 2, 3 más m menos 2, m más 1.

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00:02:26,000 --> 00:02:33,000
3 por 2, 6, 1 por 0, 0, 2 por 2, 4, 6 más 4, 10.

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00:02:33,000 --> 00:02:41,000
Segunda fila por primera columna, 0 por 3, 0, m por 0, 0, 0 por 1, 0, total 0.

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00:02:41,000 --> 00:02:48,000
0 por 1, 0, m por m, m cuadrado, 0 por menos 1, 0, total m cuadrado.

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00:02:48,000 --> 00:02:55,000
0 por 2, 0, m por 0, 0, 0 por 2, 0, total 0.

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00:02:55,000 --> 00:03:02,000
1 por 3, 3, menos 1 por 0, 0, 2 por 1, 2, 3 más 2, 5.

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00:03:02,000 --> 00:03:09,000
1 por 1, 1, menos 1 por m, menos m, 2 por menos 1, menos 2.

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00:03:09,000 --> 00:03:14,000
1 menos m, menos 2, es menos m menos 1.

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00:03:14,000 --> 00:03:23,000
1 por 2, 2, menos 1 por 0, 0, 2 por 2, 4, 2 más 0 más 4, total 6.

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00:03:23,000 --> 00:03:26,000
Ahora multiplicamos 5 por esta matriz.

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00:03:26,000 --> 00:03:30,000
Recordad que hay que multiplicar el 5 por cada uno de los elementos.

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00:03:30,000 --> 00:03:34,000
Y sería el menos se deje igual y 5 por 3, 15.

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00:03:34,000 --> 00:03:37,000
5 por 1, 5. 5 por 2, 10.

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00:03:37,000 --> 00:03:41,000
5 por 0, 0. 5 por m, 5m.

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00:03:41,000 --> 00:03:44,000
5 por 0, 0. 5 por 1, 5.

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00:03:44,000 --> 00:03:47,000
5 por menos 1, menos 5. 5 por 2, 10.

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00:03:48,000 --> 00:03:53,000
Hacemos lo mismo con esta matriz, multiplicando menos 4 por cada uno de estos elementos.

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00:03:53,000 --> 00:03:57,000
Multiplicamos menos 4 por 0, por los elementos que son 0, damos 0.

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00:03:57,000 --> 00:04:01,000
Y solamente entonces tendríamos que hacer menos 4 por los elementos de la matriz,

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00:04:01,000 --> 00:04:06,000
de la diagonal principal, que sería menos 4, menos 4, menos 4 y el resto 0.

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00:04:06,000 --> 00:04:08,000
Ahora tenemos que hacer esta operación.

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00:04:09,000 --> 00:04:13,000
Tenemos que 11 le tenemos que restar 15.

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00:04:13,000 --> 00:04:17,000
A m más 1 tenemos que restarle 5.

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00:04:17,000 --> 00:04:19,000
A 10 tenemos que restarle 10.

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00:04:19,000 --> 00:04:21,000
A 0 tenemos que restarle 0.

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00:04:21,000 --> 00:04:26,000
Es decir, restar elemento a elemento e igualar a los elementos de esta matriz.

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00:04:26,000 --> 00:04:29,000
Si hacemos esta operación, que se encuentra en la página siguiente,

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00:04:29,000 --> 00:04:41,000
obtendríamos menos 4 m, menos 4, 0, 0, m cuadrado menos 5m, 0, 5, 4 menos m, menos 4.

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00:04:42,000 --> 00:04:57,000
Aquí observamos que menos 4 es igual a menos 4, m menos 4 es igual a 0, 0 es igual a 0, 0 es igual a 0, m cuadrado menos 5m es igual a menos 4, 0 es igual a 0, 5 igual a 0, 4 menos m es igual a 0, y menos 4 es igual a menos 4.

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00:04:57,000 --> 00:05:02,000
Aquí observamos que el ejercicio está mal o hay un error porque 5 no puede ser igual a 0.

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00:05:02,000 --> 00:05:07,000
Entonces volvemos aquí atrás y evidentemente nos hemos equivocado.

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00:05:07,000 --> 00:05:14,000
Fijaros, 5 menos 5 tiene que aparecer 0.

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00:05:14,000 --> 00:05:18,000
Por lo tanto, este valor es 0.

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00:05:20,000 --> 00:05:28,000
Eso nos puede pasar en cualquier ejercicio porque tiene que ser cada elemento de esta primera matriz igual a este elemento.

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00:05:28,000 --> 00:05:31,000
No puede suceder que 5 fuese igual a 0.

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00:05:31,000 --> 00:05:35,000
Entonces aquí igualamos cada una.

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00:05:35,000 --> 00:05:37,000
El menos 4 es igual a menos 4. Perfecto.

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00:05:37,000 --> 00:05:53,000
Se cumple m menos 4 es igual a 0, 0 es igual a 0, m cuadrado menos 5m es igual a menos 4, 0 es igual a 0, 4 menos m es igual a 0, y menos 4 es igual a menos 4.

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00:05:53,000 --> 00:05:54,000
Perfecto.

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00:05:54,000 --> 00:06:00,000
De aquí obtenemos los posibles valores de m, ¿vale?

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00:06:00,000 --> 00:06:02,000
Los posibles valores de m que cumplen la igualdad.

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00:06:02,000 --> 00:06:04,000
¿Qué tenemos que hacer ahora?

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00:06:04,000 --> 00:06:06,000
Fijaros, resolver esto.

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00:06:06,000 --> 00:06:10,000
¿Cómo sería? De aquí sacamos que m vale 4, ¿vale?

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00:06:10,000 --> 00:06:13,000
Tanto en la primera ecuación como en la última.

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00:06:13,000 --> 00:06:20,000
Y solamente nos faltaría aquí m cuadrado menos 5m más 4 igual a 0.

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00:06:20,000 --> 00:06:29,000
Resolver esta ecuación que sería...

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00:06:29,000 --> 00:06:32,000
Y daría...

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00:06:32,000 --> 00:06:45,000
Estos son 9, que son 3, daría por un lado 4 y por otro lado daría 1, ¿vale?

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00:06:45,000 --> 00:06:50,000
Entonces, el único valor que hace, tenemos dos valores, 4 y 1.

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00:06:50,000 --> 00:06:56,000
De la primera hemos sacado que m vale 4 y de la última también que m vale 4.

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00:06:56,000 --> 00:06:59,000
La pregunta es, ¿puede ser m igual a 1?

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00:06:59,000 --> 00:07:06,000
No, evidentemente m no puede ser igual a 1 porque si fuera m igual a 1 esta expresión de aquí no se cumpliría.

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00:07:06,000 --> 00:07:19,000
Por lo tanto, la respuesta a calcular el valor de m para que se cumpla la igualdad tendría que ser m igual a 4, m igual a 4, m igual a 4 y este valor m igual a 1 se desecharía.

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00:07:19,000 --> 00:07:21,000
¿De acuerdo?

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00:07:21,000 --> 00:07:28,000
En el segundo apartado lo que vamos a hacer es, para ese valor de m igual a 1 que nos dice el enunciado, calcular la inversa.

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00:07:28,000 --> 00:07:30,000
¿Qué es lo que tenemos que hacer?

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00:07:30,000 --> 00:07:38,000
Pues lo que tenemos que hacer es sustituir en la matriz que teníamos m por 1 y obtenemos una matriz, esta matriz A.

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00:07:38,000 --> 00:07:42,000
Para ver si tiene inversa lo primero que tenemos que hacer es calcular su determinante.

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00:07:42,000 --> 00:07:43,000
¿Cómo se calcula el determinante?

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00:07:43,000 --> 00:07:58,000
3 por 1 por 2, 6, 1 por 0 por 1, 0 por menos 1 por 2, menos 1 por 1 por 2, 0 por 1 por 2, menos 1 por 0 por 3.

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00:07:58,000 --> 00:08:02,000
Si hacemos esta operación, 6 menos 2 es igual a 4.

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00:08:02,000 --> 00:08:09,000
Por lo tanto, aquí podemos decir ya que existe la inversa.

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00:08:09,000 --> 00:08:15,000
Una vez que existe la inversa lo que vamos a hacer es calcular dicha inversa.

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00:08:15,000 --> 00:08:17,000
¿Cómo se calcula la inversa?

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00:08:17,000 --> 00:08:24,000
A menos 1 es 1 partido determinante de A por la traspuesta de ese adjunto.

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00:08:24,000 --> 00:08:25,000
¿Qué tenemos que hacer ahora?

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00:08:25,000 --> 00:08:27,000
Calcular cada uno de los adjuntos.

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00:08:27,000 --> 00:08:36,000
Calcular los adjuntos, como es una matriz de orden 3 por 3, una matriz cuadrada, tendrá 9 adjuntos que tenemos que calcular.

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00:08:36,000 --> 00:08:39,000
Empezamos calculando el A11.

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00:08:39,000 --> 00:08:47,000
El A11 sería menos 1 elevado a 2, que sería la soma de 1 más 1, y el resultado de tachar el elemento 11.

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00:08:47,000 --> 00:08:50,000
Y quedaría el determinante 10 menos 12.

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00:08:50,000 --> 00:08:55,000
Queda 2, esto es 0, y esto es positivo, total 2.

92
00:08:55,000 --> 00:09:00,000
A12 sería menos 1 elevado al cubo, que viene a sumar 1 más 2.

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00:09:00,000 --> 00:09:09,000
Tachamos el A12 y quedaría 0012, que un determinante con una fila de ceros vale 0.

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00:09:09,000 --> 00:09:12,000
Si no lo hacemos y resulta que también vale 0.

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00:09:12,000 --> 00:09:15,000
A13 sería menos 1 elevado a 4.

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00:09:15,000 --> 00:09:22,000
Tachamos la fila 1 y la columna 3 y nos queda 011-1.

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00:09:22,000 --> 00:09:28,000
Quedaría 0-1, y esto es positivo, total menos 1.

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00:09:28,000 --> 00:09:40,000
A21 sería menos 1 elevado a 3, 12-12, y esto daría 2 más 2.

99
00:09:40,000 --> 00:09:44,000
2 más 2 que es 4, con este menos 1, sería menos 4.

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00:09:45,000 --> 00:09:57,000
A22 sería menos 1 elevado a 4, 3-2-1-2, 2x3-6-2-4, esto es positivo, total 6-2-4.

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00:09:57,000 --> 00:10:06,000
A23 sería menos 1 elevado a la quinta, de sumar 2 más 3, y entonces sería 3-1-1-1.

102
00:10:06,000 --> 00:10:14,000
Esto es menos 3, menos 1 es menos 4, con un menos 1 total, menos 1 por menos 4, más 4.

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00:10:14,000 --> 00:10:18,000
Nos faltaría solamente calcular A31, A32 y A33.

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00:10:18,000 --> 00:10:24,000
A31 es menos 1 a la cuarta, y quedaría 1210.

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00:10:24,000 --> 00:10:29,000
Esto da 0, menos 2, esto es positivo, total menos 2.

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00:10:29,000 --> 00:10:40,000
A32 sería menos 1 a la quinta, que es menos 1, y sería 3-2-0-0, 3x0-0, 0x2-0, total 0.

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00:10:40,000 --> 00:10:47,000
A33 sería menos 1 elevado a 6, que sería 3x1-3, 0x1-0, esto es positivo, total 3.

108
00:10:47,000 --> 00:10:51,000
Ahora lo que hacemos es A-1, la inversa, y será 1 por el terminante de A.

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00:10:51,000 --> 00:10:56,000
El terminante de A era 4, pues ponemos 1 partido por 4.

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00:10:56,000 --> 00:11:00,000
Ahora, a continuación, esto era A11, A12 y A13.

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00:11:00,000 --> 00:11:02,000
Lo podemos ver aquí, ¿vale?

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00:11:02,000 --> 00:11:08,000
Que era 2, 0, menos 1, 2, 0, menos 1.

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00:11:08,000 --> 00:11:12,000
Esto era A21, A22, A23.

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00:11:12,000 --> 00:11:17,000
Pues aquí veremos que era menos 4, 4, 4.

115
00:11:17,000 --> 00:11:20,000
Volvemos, menos 4, 4, 4.

116
00:11:20,000 --> 00:11:28,000
Y aquí tienen que ir A31, A32, A33, que serían menos 2, 0 y 3.

117
00:11:28,000 --> 00:11:33,000
Una vez que tenemos puesto esto, tenemos que hacer la operación 1 cuarto por cada uno de ellos.

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00:11:33,000 --> 00:11:37,000
2 por 1 cuarto sería 2 cuartos, que es 1 medio.

119
00:11:37,000 --> 00:11:39,000
Menos 4 por 1 cuarto sería menos 1.

120
00:11:39,000 --> 00:11:41,000
Menos 2 por 1 cuarto sería menos 1 medio.

121
00:11:41,000 --> 00:11:43,000
0 por 1 cuarto sería 0.

122
00:11:43,000 --> 00:11:45,000
4 por 1 cuarto sería 1.

123
00:11:45,000 --> 00:11:47,000
0 por 1 cuarto sería 0.

124
00:11:47,000 --> 00:11:49,000
Menos 1 por 1 cuarto, menos 1 cuarto.

125
00:11:49,000 --> 00:11:51,000
4 por 1 cuarto, 1.

126
00:11:51,000 --> 00:11:53,000
Porque sería 4 cuartos.

127
00:11:53,000 --> 00:11:55,000
Y 3 por 1 cuarto, 3 cuartos.

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00:11:55,000 --> 00:12:03,000
Finalmente, esta es la matriz inversa para el caso del parámetro M igual a 1.

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00:12:03,000 --> 00:12:09,000
¿Vale? Bueno, espero que os hayáis enterado y os sirva este ejercicio para repasar.