1
00:00:00,880 --> 00:00:07,860
Vamos a demostrar ahora la fórmula que os explicaba antes de distancia de un punto a una recta.

2
00:00:08,080 --> 00:00:12,199
Si os acordáis, hemos dicho que la distancia de un punto P a una recta R,

3
00:00:12,580 --> 00:00:21,219
donde P tiene por coordenadas AB y donde R tiene por ecuación general AX más BI más C igual a cero,

4
00:00:21,920 --> 00:00:29,539
era lo mismo que escribir en el numerador la expresión de la recta sustituyendo X e Y por las coordenadas del punto

5
00:00:29,539 --> 00:00:36,700
y abajo el módulo del vector normal a la recta, ¿vale?

6
00:00:37,500 --> 00:00:38,920
Esto es lo que vamos a demostrar.

7
00:00:39,259 --> 00:00:44,479
Bueno, pues suponer que tenemos la recta R, ¿vale?

8
00:00:45,000 --> 00:00:47,539
Aquí tenemos el punto de coordenadas AB,

9
00:00:48,079 --> 00:00:52,659
la recta ya sabéis que es ax más bi más c igual a cero,

10
00:00:53,280 --> 00:00:56,600
y lo que andamos buscando es la distancia del punto a la recta,

11
00:00:56,659 --> 00:00:59,299
es decir, lo que mide esto, ¿vale?

12
00:00:59,299 --> 00:01:20,780
Esto es lo que andamos buscando. Bueno, vamos a considerar un punto de la recta, un punto cualquiera de la recta R. Como yo no sé dónde corta, considero un punto genérico cualquiera de la recta, que no sé si va a ser este o no, a priori.

13
00:01:20,780 --> 00:01:25,480
Voy a coger uno cualquiera, Q, de coordenadas fijas, X0, Y0, ¿vale?

14
00:01:25,680 --> 00:01:30,560
Puede ser que fuera el punto de corte o puede ser que no fuera el punto de corte, este, ¿vale?

15
00:01:30,700 --> 00:01:35,900
Pues cojo uno de la recta y como no he hecho los cálculos suficientes, pues no sé si es este o no.

16
00:01:36,040 --> 00:01:38,680
Luego cojo un punto cualquiera, concreto.

17
00:01:40,959 --> 00:01:49,439
Bueno, pues si yo trazo esta línea, aquí lo que tengo es el vector QP, ¿vale?

18
00:01:49,439 --> 00:01:56,920
El vector QP tendrá de coordenadas A-X0 y B-Y0, que nos va a servir.

19
00:01:57,400 --> 00:02:03,219
Si yo considero el vector normal de la recta, este ya sabemos que tiene de coordenadas AB.

20
00:02:04,079 --> 00:02:10,050
Si lo traslado aquí, cojo su representante que parte de Q,

21
00:02:12,740 --> 00:02:19,039
el vector QP y el vector normal forman un ángulo alfa, que por construcción es igual que este.

22
00:02:19,780 --> 00:02:28,599
¿Qué ocurre? Que ya en cuanto involucro ángulos y vectores, lo que me viene a mí a la cabeza es el producto escalar, ¿vale?

23
00:02:29,759 --> 00:02:36,199
Si yo empiezo a hablar del producto escalar con respecto a este ángulo alfa que acabo de pintar aquí,

24
00:02:36,199 --> 00:02:48,219
Y el coseno de alfa sería el producto escalar de QP por NR, ¿vale?

25
00:02:48,360 --> 00:02:50,840
Porque es el ángulo que forma, QP con NR, ¿vale?

26
00:02:50,979 --> 00:02:56,180
Coseno del ángulo que forman, el coseno de alfa es el coseno del ángulo que forman QP y NR.

27
00:02:57,180 --> 00:03:00,039
Y ya digo, porque como me sé la fórmula del producto escalar,

28
00:03:00,039 --> 00:03:03,699
el coseno de alfa es lo mismo que escribir valor absoluto del producto escalar este

29
00:03:03,699 --> 00:03:09,080
partido del módulo de Coupé por el módulo del vector normal.

30
00:03:10,219 --> 00:03:13,819
Bueno, pues vamos a reflexionar un poco sobre lo que tenemos aquí.

31
00:03:14,599 --> 00:03:19,639
Como yo he cogido un punto cualquiera de la recta, pues no sé si es el que me interesa que se esté o no.

32
00:03:20,939 --> 00:03:29,020
Este punto, el que me interesa, sería el que forma con el vector normal un ángulo de 0 grados

33
00:03:29,020 --> 00:03:33,560
y por tanto el coseno sería 1, ¿vale? Este es el que ando buscando.

34
00:03:33,699 --> 00:03:40,879
Luego voy a obligar a que esto sea 1 y voy a ver qué es lo que tiene que pasar con las coordenadas correspondientes.

35
00:03:42,259 --> 00:03:47,099
Luego arriba no voy a hacer otra cosa que el producto escalar coordenada a coordenada.

36
00:03:47,300 --> 00:03:54,599
Primera coordenada de QP por primera coordenada de NR más segunda coordenada de QP por segunda coordenada de NR.

37
00:03:54,599 --> 00:04:16,759
pues lo pongo, ¿vale? a menos x0 por a más b menos y0 por b, todo esto en valor absoluto, partido del módulo de qp, pero es que el módulo de qp es la distancia que hay de p a q o de q a p,

38
00:04:16,759 --> 00:04:23,019
que es precisamente lo que yo quiero buscar cuando el coseno sea 1, ¿vale?

39
00:04:23,019 --> 00:04:24,939
Cuando el ángulo que formo sea 0, ¿vale?

40
00:04:24,939 --> 00:04:29,759
Si este ángulo alfa resulta que es 0, la distancia que tengo es la que estoy buscando.

41
00:04:31,759 --> 00:04:35,500
Bueno, pues esto ya lo voy a llamar d,

42
00:04:36,120 --> 00:04:39,500
que es lo que ando buscando ahora, la distancia del punto a la recta.

43
00:04:39,920 --> 00:04:45,279
Entonces, esto va a ser d por el módulo del vector normal,

44
00:04:45,279 --> 00:04:49,540
Es decir, a al cuadrado, primera coordenada al cuadrado más segunda coordenada al cuadrado.

45
00:04:49,779 --> 00:04:52,220
Bueno, pues ahora solo queda hacer las cuentas aquí arriba.

46
00:04:54,000 --> 00:05:05,579
Esto quedaría a por a menos a por x0 más b por b menos b por y0 partido de d,

47
00:05:05,800 --> 00:05:10,120
esto es valor absoluto, partido de d por el módulo del vector normal.

48
00:05:10,120 --> 00:05:23,160
Pero fijaos que si yo cojo esto, como q, x0 y y0 es un punto de la recta, verifica su ecuación

49
00:05:23,160 --> 00:05:39,610
Luego ax0 más by0 más c es igual a 0, lo que es lo mismo c, es lo mismo que menos ax0 menos by0

50
00:05:39,610 --> 00:05:53,519
Luego, esto que he escrito aquí en rojo lo puedo escribir como c, así que me quedaría a por a más b por b más c partido de d por el módulo del vector normal,

51
00:05:53,939 --> 00:06:03,660
pero como yo ando buscando que esto sea igual a 1, pues directamente paso la de multiplicando y ya he demostrado lo que yo quería.