1
00:00:01,139 --> 00:00:05,459
Vamos a hacer un ejemplo de cálculo de asíntotas con una función racional.

2
00:00:05,980 --> 00:00:09,019
Para eso vamos a empezar por las asíntotas verticales.

3
00:00:20,579 --> 00:00:27,000
Las asíntotas verticales de existir van a estar situadas en puntos de discontinuidad de nuestra función.

4
00:00:27,620 --> 00:00:32,200
En nuestro caso, cuando es discontinua la función, cuando el denominador va a ir cero.

5
00:00:38,990 --> 00:00:42,469
Por tanto, mi función podrá tener o no tener asíntotas verticales,

6
00:00:42,469 --> 00:00:46,789
pero si las tiene, tienen que estar o en x igual a 3 o en x igual a menos 3.

7
00:00:48,030 --> 00:01:00,310
Ahora, para saber si tiene asíntotas verticales en este punto, lo que vamos a hacer es calcular este límite.

8
00:01:01,189 --> 00:01:15,170
Si sustituimos, en la función nos queda 3 por 3, 9, por 2, 18, 13, partido de 0.

9
00:01:15,310 --> 00:01:21,230
13 partido de 0 sabemos que quiere decir que el límite es infinito o menos infinito.

10
00:01:21,230 --> 00:01:24,310
Por tanto, ahí sí va a haber una asíntota vertical.

11
00:01:25,030 --> 00:01:28,750
Pero tenemos que ver qué pasa cuando nos acercamos por la izquierda y por la derecha,

12
00:01:28,890 --> 00:01:33,049
porque justo en el 3 no existe necesariamente límite como tal.

13
00:01:40,959 --> 00:01:43,739
Estudiamos los límites laterales.

14
00:01:44,500 --> 00:01:51,819
En este caso, podemos comprobar que este límite nos va a quedar más infinito.

15
00:01:53,159 --> 00:01:54,439
¿Cómo lo vamos a comprobar?

16
00:01:54,439 --> 00:01:58,219
pues sustituís en vez de en 3, cogéis un número muy próximo

17
00:01:58,219 --> 00:02:01,599
pero un poco mayor que el 3, por ejemplo el 3,1

18
00:02:01,599 --> 00:02:04,540
si sustituís en la función veréis que esto os queda positivo

19
00:02:04,540 --> 00:02:09,000
por tanto quiere decir que la función se está acercando a este valor

20
00:02:09,000 --> 00:02:12,300
por valores positivos y por tanto el límite es más infinito

21
00:02:12,300 --> 00:02:15,580
hacemos lo mismo por la izquierda

22
00:02:15,580 --> 00:02:27,120
si calculáis este límite veréis que nos queda menos infinito

23
00:02:27,120 --> 00:02:31,259
porque si sustituís por ejemplo el 2,9 veréis que es negativo

24
00:02:31,259 --> 00:02:38,479
y por tanto quiere decir que esta función cerca del 3, acercándonos por números más pequeños,

25
00:02:38,620 --> 00:02:40,659
toma valores negativos cada vez más grandes.

26
00:02:42,099 --> 00:02:46,960
De aquí deducimos que sí tenemos una asíntota vertical en el punto x igual a 3.

27
00:02:47,680 --> 00:02:51,939
Pero lo que pasa en x igual a 3 no implica nada respecto al x igual a menos 3,

28
00:02:52,080 --> 00:02:54,439
tenemos que ver qué pasa en x igual a menos 3.

29
00:03:01,300 --> 00:03:19,740
Si sustituimos en menos 3 nos vuelve a quedar 13 partido por 0,

30
00:03:19,740 --> 00:03:23,919
Quiere decir que esta función se va a acercar a más infinito o menos infinito

31
00:03:23,919 --> 00:03:27,500
Volvemos a calcular los límites laterales

32
00:03:27,500 --> 00:03:48,509
Bueno, si aquí sustituís en un número muy cercano a menos 3 pero un poco mayor que él

33
00:03:48,509 --> 00:03:50,210
Por ejemplo, menos 2,9

34
00:03:50,210 --> 00:03:56,569
Veréis que esto toma valores negativos y por tanto esto va tomando valores negativos cada vez más grandes

35
00:03:56,569 --> 00:03:58,250
Es decir, tiende a menos infinito

36
00:03:58,250 --> 00:04:00,689
Y ahora el límite por la izquierda

37
00:04:00,689 --> 00:04:11,879
Veréis, por ejemplo, usando el menos 3,1

38
00:04:11,879 --> 00:04:14,620
Veréis que este límite se hace positivo.

39
00:04:15,620 --> 00:04:23,899
Por tanto, de este primer cálculo deducimos que x igual a 3 va a ser una asíntota vertical

40
00:04:23,899 --> 00:04:32,589
y de este segundo cálculo que x igual a menos 3 también es una asíntota vertical.

41
00:04:35,639 --> 00:04:40,639
Y con esto habríamos terminado el cálculo de las asíntotas verticales.

42
00:04:41,339 --> 00:04:44,120
Pasamos ahora a estudiar las asíntotas horizontales.

43
00:04:44,120 --> 00:04:49,399
Una función, si tiene asíntotas horizontales, no las va a tener oblicuas y viceversa.

44
00:04:49,800 --> 00:04:54,160
Por tanto, si tenemos suerte y nos encontramos asíntotas verticales, habremos terminado.

45
00:04:54,279 --> 00:04:56,180
Si no, tendríamos que comprobar las oblicuas.

46
00:04:57,379 --> 00:04:59,180
Pues vamos a por las verticales.

47
00:05:18,550 --> 00:05:25,970
Estamos buscando una recta horizontal a la cual se nos acerca la función cuando nos vamos a más infinito o a menos infinito.

48
00:05:25,970 --> 00:05:32,069
Por tanto, lo que tenemos que estudiar es el límite de la función cuando se nos va a más infinito o menos infinito

49
00:05:32,069 --> 00:05:41,110
Y ese límite tendría que salirnos un número real para poder decir que en ese punto tenemos una asítota

50
00:05:41,110 --> 00:05:47,160
Vamos a empezar con más infinito

51
00:05:47,160 --> 00:06:02,800
Aquí si sustituís veis que nos queda una indeterminación, infinito partido por infinito

52
00:06:02,800 --> 00:06:06,500
que estas las sabemos resolver sin problemas

53
00:06:06,500 --> 00:06:11,540
así que sabemos que tenemos que dividir por la parte literal del término de mayor grado

54
00:06:11,540 --> 00:06:12,879
en este caso x cuadrado

55
00:06:12,879 --> 00:06:32,810
simplificamos lo que se pueda simplificar

56
00:06:32,810 --> 00:06:38,459
estos términos, 5 partido de x cuadrado, 9 partido de x cuadrado

57
00:06:38,459 --> 00:06:41,060
se van a cero, por tanto desaparecen

58
00:06:41,060 --> 00:06:44,459
nos quedaría 2 entre 1, es decir, 2

59
00:06:44,459 --> 00:06:48,259
así que cuando nos vamos hacia el más infinito

60
00:06:48,259 --> 00:06:52,819
mi función se va a acercar a la recta horizontal y igual a 2.

61
00:06:53,220 --> 00:06:55,160
Vamos a ver qué pasa en menos infinito.

62
00:07:12,680 --> 00:07:16,319
Nos vuelve a quedar lo mismo, una indeterminación que resolvemos de la misma forma,

63
00:07:16,420 --> 00:07:19,160
dividiendo todos los términos entre x al cuadrado.

64
00:07:34,949 --> 00:07:38,269
Igual que antes, este término y este término se van a cero,

65
00:07:38,389 --> 00:07:41,230
por tanto me queda 2 partido de 1, que será 2.

66
00:07:42,529 --> 00:07:49,129
Así que hacia menos infinito, la recta y igual a 2 también va a ser una asíntota horizontal.

67
00:07:56,639 --> 00:08:01,360
Entonces, os habréis dado cuenta que nos ha quedado lo mismo en ambos sentidos.

68
00:08:01,540 --> 00:08:04,300
Esto no es casualidad porque mi función es racional.

69
00:08:04,740 --> 00:08:07,379
En las funciones racionales esto siempre nos va a pasar.

70
00:08:07,819 --> 00:08:11,720
Por tanto, en realidad, me hubiera bastado con calcular el primer límite.

71
00:08:12,800 --> 00:08:14,379
Y así lo vamos a hacer a partir de ahora.

72
00:08:14,600 --> 00:08:19,439
Pero sí tened en cuenta que va a haber funciones no racionales,

73
00:08:19,459 --> 00:08:23,740
de otro tipo de funciones, donde puedo tener una asíntota de un tipo hacia un lado

74
00:08:23,740 --> 00:08:28,100
y de otro tipo hacia otro, no tener asíntota por un lado, puede encontrar funciones con

75
00:08:28,100 --> 00:08:32,100
todas las combinaciones posibles, pero las racionales, que son las que más manejamos

76
00:08:32,100 --> 00:08:36,860
nosotros, funcionan bien en este sentido y hacer uno de los dos cálculos me hubiera

77
00:08:36,860 --> 00:08:45,019
sido suficiente. Ya lo hemos dicho, pero bueno, lo vamos a dejar por escrito. Como hemos visto

78
00:08:45,019 --> 00:09:01,759
que hay asíntotas horizontales, vamos a decir que asíntotas oblicuas no tiene, puesto que

79
00:09:01,759 --> 00:09:14,929
tiene con centavos. Y ya he dado toda la información sobre todas las asíntotas posibles. Vamos

80
00:09:14,929 --> 00:09:20,730
ahora a representar las asíntotas que nos permite hacer un primer esquema de la función,

81
00:09:20,950 --> 00:09:24,110
aunque a lo largo del curso veremos que hay que estudiar muchas más cosas para hacer

82
00:09:24,110 --> 00:09:29,870
una gráfica bien hecha. Pero bueno, una primera aproximación es situar las asíntotas. Os

83
00:09:29,870 --> 00:09:34,230
vamos a hacer un poco de trampa y lo vamos a hacer con GeoGebra. Empezamos con las asíntotas

84
00:09:34,230 --> 00:09:44,740
verticales. Las rectas, x igual a 3, x igual a menos 3. Y luego la horizontal. Con esto

85
00:09:44,740 --> 00:09:50,220
ya sabemos hacia dónde van las ramas, pero no qué hace la función entre ellas. Bueno,

86
00:09:50,360 --> 00:09:55,700
pues nuestra función es esta, es una función que si os fijáis es bastante simétrica,

87
00:09:55,700 --> 00:10:00,139
bueno, tiene muchas propiedades que iremos viendo cómo estudiarlas a lo largo de este

88
00:10:00,139 --> 00:10:09,019
curso pero este dibujo bueno esta rama esta rama así a ojo la podríamos hacer para situar bien una

89
00:10:09,019 --> 00:10:16,340
función nos interesa tener algún elemento que nos la fije la forma más sencilla de fijar algunos

90
00:10:16,340 --> 00:10:24,620
puntos concretos es buscar los puntos de corte con los ejes claro aquí no es fácil ver exactamente

91
00:10:24,620 --> 00:10:31,500
los puntos, no nos quedan números enteros, pero si es fácil calcularlos, porque sabemos

92
00:10:31,500 --> 00:10:36,100
calcular los puntos de corte con los ejes, vamos a calcularlos un momentito en la otra

93
00:10:36,100 --> 00:10:40,759
pantalla para que veamos cómo hubiéramos encontrado estos puntos para poder hacer un

94
00:10:40,759 --> 00:10:48,259
primer dibujo de la función. ¿Puntos de corte con los ejes? ¿Qué puntos estamos

95
00:10:48,259 --> 00:10:53,299
buscando? Aquellos donde o bien la coordenada X o bien la coordenada Y vale cero. Vamos

96
00:10:53,299 --> 00:11:00,679
a empezar por ver qué pasa cuando la x vale cero, es decir, estamos buscando dónde corta

97
00:11:00,679 --> 00:11:09,000
la función al eje vertical, al eje de las i. Lo que hacemos es sustituir la x por cero

98
00:11:09,000 --> 00:11:22,440
y calcular el valor de la función en ese punto. Nos queda un decimal, perdón, cinco

99
00:11:22,440 --> 00:11:27,679
novenos que sería aproximadamente cero y pico como habíais visto en la gráfica bien

100
00:11:27,679 --> 00:11:35,860
representada por GeoGebra. ¿Qué pasa cuando la Y vale 0? Buscamos los cortes con el eje

101
00:11:35,860 --> 00:11:40,519
horizontal. Aquí solo me va a salir 1 porque solo va a haber un punto en la función donde

102
00:11:40,519 --> 00:11:47,340
la X vale 0. Aquí me pueden aparecer más de 1. Estoy buscando aquellos valores de la

103
00:11:47,340 --> 00:11:57,580
X que hacen que la función vale 0, pero como mi función es racional, para que esto

104
00:11:57,580 --> 00:12:07,080
valga cero, tiene que valer cero el numerador. Así que lo que estoy buscando son los ceros

105
00:12:07,080 --> 00:12:22,629
de un polinomio, de este polinomio en particular. Bueno, sería una ecuación incompleta. Entonces,

106
00:12:22,830 --> 00:12:26,990
esta función, si la fuéramos a representar a mano, ya damos por hecho que de forma muy

107
00:12:26,990 --> 00:12:33,409
exacta no vamos a ser capaces. Sabemos que esto es un número decimal entre cero y uno,

108
00:12:33,409 --> 00:12:37,429
un número que estará aproximadamente entre 1 y 2

109
00:12:37,429 --> 00:12:41,809
con estos puntos un dibujo perfecto no nos saldría

110
00:12:41,809 --> 00:12:44,230
pero sí que para tener una buena aproximación

111
00:12:44,230 --> 00:12:46,649
y poder hacer una buena aproximación de la gráfica

112
00:12:46,649 --> 00:12:47,710
sí seríamos capaces

113
00:12:47,710 --> 00:12:49,669
los puntos de corte serían entonces

114
00:12:49,669 --> 00:12:55,100
en el primer eje 0, 5 novenos

115
00:12:55,100 --> 00:12:58,419
y en el vertical

116
00:12:58,419 --> 00:13:11,399
perdón, en el eje horizontal

117
00:13:11,399 --> 00:13:13,740
nos quedarían dos puntos de corte

118
00:13:13,740 --> 00:13:17,240
que estarían simétricos respecto al origen de coordenadas.

119
00:13:17,240 --> 00:13:21,539
Bueno, pues aquí hemos situado los tres puntos de corte,

120
00:13:21,539 --> 00:13:24,539
con el eje vertical y los dos con el eje horizontal.

121
00:13:24,539 --> 00:13:28,639
No es inmediato esto dibujarlo, pero en GeoGebra se ve muy bien.

122
00:13:28,639 --> 00:13:31,820
Os subiremos también este archivo GeoGebra,