1 00:00:00,000 --> 00:00:00,600 ¿Tenemos límites? 2 00:00:01,520 --> 00:00:03,620 No tenemos límites. 3 00:00:05,059 --> 00:00:05,240 ¿Vale? 4 00:00:05,400 --> 00:00:06,059 ¿Tema 6, no? 5 00:00:09,820 --> 00:00:11,419 Mario, Mario, yo voy a decirlo. 6 00:00:12,980 --> 00:00:14,240 ¿Nos quedáis ya perdidos? 7 00:00:16,980 --> 00:00:17,519 Ya, 8 00:00:17,980 --> 00:00:19,120 es un poco perdidos, ¿eh? 9 00:00:20,100 --> 00:00:21,980 Porque esto va a llevarme a un tema anterior. 10 00:00:22,320 --> 00:00:22,679 Pero bueno. 11 00:00:24,480 --> 00:00:25,379 Estáis a tiempo. 12 00:00:30,000 --> 00:01:01,960 Vale, aquí os suena el límite. 13 00:01:01,960 --> 00:01:04,359 ¿Para qué creéis que será más de un límite? 14 00:01:07,680 --> 00:01:08,420 Más o menos. 15 00:01:09,659 --> 00:01:11,500 ¿A qué os suena? Venga, más ideas. 16 00:01:12,000 --> 00:01:12,859 ¿A qué os suena el límite? 17 00:01:14,859 --> 00:01:15,060 ¿Ah? 18 00:01:16,980 --> 00:01:19,400 Sí, pero ¿qué es el límite de una función? 19 00:01:22,540 --> 00:01:24,400 Algo máximo a lo que puede llegar, por ejemplo. 20 00:01:25,120 --> 00:01:25,980 Hacia dónde tiende. 21 00:01:26,799 --> 00:01:28,060 Hacia dónde tiende. 22 00:01:28,760 --> 00:01:29,180 Vale. 23 00:01:29,180 --> 00:01:29,239 Vale. 24 00:01:31,959 --> 00:01:34,620 vale, en realidad el concepto 25 00:01:34,620 --> 00:01:36,680 o sea, la idea, la palabra está bien puesta 26 00:01:36,680 --> 00:01:38,519 es bastante intuitiva, el límite 27 00:01:38,519 --> 00:01:39,319 justo es 28 00:01:39,319 --> 00:01:42,579 ¿qué va a pasar cuando yo me quiero acercar mucho a algo? 29 00:01:43,219 --> 00:01:44,799 es de los pocos conceptos 30 00:01:44,799 --> 00:01:47,040 este año en mates que no os voy a definir 31 00:01:47,040 --> 00:01:48,480 ¿vale? directamente 32 00:01:48,480 --> 00:01:49,680 vamos a trabajar con él 33 00:01:49,680 --> 00:01:52,120 os voy a dar la idea, os voy a hacer una definición 34 00:01:52,120 --> 00:01:54,579 intuitiva que se llama, pero no voy a dar la definición 35 00:01:54,579 --> 00:01:55,920 de mates, ¿vale? 36 00:01:57,780 --> 00:01:58,379 voy, voy 37 00:01:58,379 --> 00:02:00,439 porque es relativamente complicada 38 00:02:00,439 --> 00:02:02,200 y para hacer la que se da en bachillerato 39 00:02:02,200 --> 00:02:03,939 hay que recordar una cosa del tercero de la ESO 40 00:02:03,939 --> 00:02:05,500 que dudo mucho que os acordéis ninguno. 41 00:02:05,620 --> 00:02:07,900 Que son sucesiones. ¿Os acordáis de sucesiones? 42 00:02:08,180 --> 00:02:08,360 No. 43 00:02:10,039 --> 00:02:12,120 Pues los límites se definirían así. 44 00:02:12,300 --> 00:02:14,259 Entonces, como es mucho jaleo y no lo vamos a usar para nada, 45 00:02:15,099 --> 00:02:15,319 ¿eh? 46 00:02:16,479 --> 00:02:17,360 Con sucesiones. 47 00:02:18,020 --> 00:02:19,180 Ah, eso no lo quieren hacer. 48 00:02:20,439 --> 00:02:22,000 Esto, con esto. Por ahí, 49 00:02:22,120 --> 00:02:23,520 así se definen los límites. Pero, 50 00:02:24,180 --> 00:02:25,740 como es un poco complicado, me lo voy a saltar. 51 00:02:25,819 --> 00:02:28,159 Porque no aporta mucho. Lo que voy a hacer es, os explico 52 00:02:28,159 --> 00:02:30,419 más o menos lo que es el concepto para que lo entendáis 53 00:02:30,419 --> 00:02:32,080 y luego ya, como siempre en mates, damos 54 00:02:32,080 --> 00:02:33,599 propiedades y empezamos a hacer ejercicios. 55 00:02:34,919 --> 00:02:36,479 La idea de límites, para que lo 56 00:02:36,479 --> 00:02:38,300 entendáis, en realidad gráficamente ya hemos 57 00:02:38,300 --> 00:02:40,280 hecho límites. Lo que pasa es que yo no le he puesto palabra. 58 00:02:40,479 --> 00:02:42,280 En realidad vosotros, si os pongo una gráfica, 59 00:02:42,759 --> 00:02:43,780 sabéis hacer límites. 60 00:02:48,360 --> 00:02:49,120 Bueno, vamos a empezar 61 00:02:49,120 --> 00:02:51,060 por la última. El límite 62 00:02:51,060 --> 00:02:53,180 lo que me dice es cuánto vale 63 00:02:53,180 --> 00:02:54,919 una función cuando me acerco mucho 64 00:02:54,919 --> 00:02:56,740 a un valor pero sin llegar a tocar ese valor. 65 00:02:57,280 --> 00:02:57,759 Una síntoma. 66 00:02:59,699 --> 00:03:00,979 Por ejemplo, una síntoma 67 00:03:00,979 --> 00:03:02,020 justo, para eso no va a dar 68 00:03:02,020 --> 00:03:03,219 por ejemplo 69 00:03:03,219 --> 00:03:06,039 el límite, cuando x tiende 70 00:03:06,039 --> 00:03:08,900 es 3 y luego lo voy siguiendo 71 00:03:08,900 --> 00:03:12,879 cuando x es 72 00:03:12,879 --> 00:03:13,800 casi 3 73 00:03:13,800 --> 00:03:16,800 2,9999999999 74 00:03:16,800 --> 00:03:18,740 por 2, más 1, ¿cuánto da? 75 00:03:22,840 --> 00:03:23,919 el límite me dice 76 00:03:23,919 --> 00:03:26,500 cuando x es casi 3, sin ser 3 77 00:03:26,500 --> 00:03:29,120 ¿cuánto me da esto? 78 00:03:29,340 --> 00:03:30,860 2,99999999 79 00:03:30,860 --> 00:03:31,979 por 2, más 1, ¿cuánto da? 80 00:03:32,800 --> 00:03:38,000 Casi 7, ¿no? Pero 6 con 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, en realidad es 7, ¿no? 81 00:03:38,560 --> 00:03:38,800 No. 82 00:03:40,020 --> 00:03:40,460 Casi. 83 00:03:40,639 --> 00:03:42,599 Estamos abriendo la x por 3. 84 00:03:42,819 --> 00:03:44,000 Sustituye la x por 3. 85 00:03:44,539 --> 00:03:55,300 Pero en realidad, si f de x es 2x más 1, f de 3 es 7 también, ¿no? 86 00:03:56,000 --> 00:03:56,680 Es la cifra y. 87 00:03:56,939 --> 00:03:58,900 ¿Qué diferencia hay entre estas dos cosas? 88 00:03:58,900 --> 00:04:00,280 el límite me dice 89 00:04:00,280 --> 00:04:02,479 cuando la variable 90 00:04:02,479 --> 00:04:05,180 toma un cierto valor, cuando se acerca 91 00:04:05,180 --> 00:04:06,939 a un cierto valor sin ser ese valor 92 00:04:06,939 --> 00:04:09,400 pues eso, ¿qué número se acerca a 3 93 00:04:09,400 --> 00:04:10,500 pero no es 3? 94 00:04:13,400 --> 00:04:14,699 con infinitos 9, ¿no? 95 00:04:14,939 --> 00:04:16,899 eso no es 3, pero se acerca a 3 96 00:04:16,899 --> 00:04:19,139 si hago 2 por eso más 1 97 00:04:19,139 --> 00:04:21,100 me das 7, bueno, me das 6 con 98 00:04:21,100 --> 00:04:23,139 9, 9, 9, 9, pero es para nosotros 7 99 00:04:23,139 --> 00:04:26,319 porque nunca llega a tocar 100 00:04:26,319 --> 00:04:34,259 porque aquí tienes infinitos decimales 101 00:04:34,259 --> 00:04:35,860 infinitos nueves 102 00:04:35,860 --> 00:04:37,600 6 con infinitos nueves 103 00:04:37,600 --> 00:04:38,779 es casi 7 104 00:04:38,779 --> 00:04:44,180 ahora vamos a ver 105 00:04:44,180 --> 00:04:45,819 cuándo nos aproximamos, cuándo usamos el límite 106 00:04:45,819 --> 00:04:47,459 este era el ejemplo para que veáis 107 00:04:47,459 --> 00:04:48,720 que yo puedo hacer el límite 108 00:04:48,720 --> 00:04:51,600 y sustituir en el punto 109 00:04:51,600 --> 00:04:53,560 viene a ser más o menos lo mismo 110 00:04:53,560 --> 00:04:56,040 ¿vale? lo que tenemos que hacer es 111 00:04:56,040 --> 00:04:58,259 utilizarlo con cabezas, hasta ver cuándo 112 00:04:58,259 --> 00:04:58,899 lo vamos a usar. 113 00:05:01,040 --> 00:05:02,420 La f de, si la función 114 00:05:02,420 --> 00:05:04,420 es 2x más 1, pues f de 3 es 7. 115 00:05:04,579 --> 00:05:05,800 ¿Veis que es lo mismo prácticamente? 116 00:05:05,980 --> 00:05:06,920 Yo he sustituido la f. 117 00:05:07,680 --> 00:05:09,579 Esto en realidad es 118 00:05:09,579 --> 00:05:15,180 6 con 9, 9, 9 119 00:05:15,180 --> 00:05:16,519 infinitas veces, ¿no? 120 00:05:16,920 --> 00:05:17,980 Y esto decimos que es 7. 121 00:05:19,240 --> 00:05:20,279 ¿Vale? No hay ningún 122 00:05:20,279 --> 00:05:22,139 ordenador del mundo que vaya a ser capaz 123 00:05:22,139 --> 00:05:24,339 de diferenciarse 6 con infinitos 9 124 00:05:24,339 --> 00:05:24,779 y 7. 125 00:05:26,040 --> 00:05:28,720 Llega un momento que tienes que 126 00:05:28,720 --> 00:05:30,660 igual que la calculadora, la calculadora llega un momento 127 00:05:30,660 --> 00:05:32,560 que para ella 6 son, si pones 10 9 128 00:05:32,560 --> 00:05:34,639 al final te pones 7, la calculadora 129 00:05:34,639 --> 00:05:35,459 porque entonces está 130 00:05:35,459 --> 00:05:37,819 de alta precisión 131 00:05:37,819 --> 00:05:40,879 Entonces, esto sería 132 00:05:40,879 --> 00:05:42,560 7, la pregunta es 133 00:05:42,560 --> 00:05:44,860 ¿para qué queremos 134 00:05:44,860 --> 00:05:45,319 el límite? 135 00:05:46,819 --> 00:05:48,379 Si ya sabemos sustituir en la función 136 00:05:48,379 --> 00:05:52,139 Yo no entiendo 137 00:05:52,139 --> 00:05:52,839 por ejemplo 138 00:05:52,839 --> 00:05:54,240 nada 139 00:05:54,240 --> 00:05:55,220 o sea 140 00:05:55,220 --> 00:05:56,220 entiendo esto 141 00:05:56,220 --> 00:05:56,879 pero entiendo 142 00:05:56,879 --> 00:05:57,980 nada 143 00:05:57,980 --> 00:05:58,860 ¿qué es? 144 00:05:59,959 --> 00:06:00,519 claro 145 00:06:00,519 --> 00:06:01,560 ahora vamos 146 00:06:01,560 --> 00:06:02,459 ahora vamos 147 00:06:02,459 --> 00:06:03,060 ¿para qué sirve? 148 00:06:03,939 --> 00:06:04,459 entonces 149 00:06:04,459 --> 00:06:05,079 esto 150 00:06:05,079 --> 00:06:06,279 no tiene mucho sentido 151 00:06:06,279 --> 00:06:07,379 si es exactamente lo mismo 152 00:06:07,379 --> 00:06:07,579 ¿no? 153 00:06:08,279 --> 00:06:08,459 ¿sí? 154 00:06:08,680 --> 00:06:09,180 es decir 155 00:06:09,180 --> 00:06:10,839 en la función 2x más 1 156 00:06:10,839 --> 00:06:16,189 si yo hago el límite 157 00:06:16,189 --> 00:06:18,449 cuando x tiende a 3 158 00:06:18,449 --> 00:06:20,230 f de x 159 00:06:20,230 --> 00:06:20,870 me da 7 160 00:06:20,870 --> 00:06:23,269 y si hago f de 3 161 00:06:23,269 --> 00:06:24,250 me da 7 162 00:06:24,250 --> 00:06:26,410 No tiene mucho sentido hacer el límite aquí, ¿no? 163 00:06:27,269 --> 00:06:29,970 ¿Dónde creéis que puede tener sentido hacer el límite? 164 00:06:33,389 --> 00:06:36,730 Por ejemplo, vamos a probar con otra. 165 00:06:40,329 --> 00:06:41,629 Vamos a probar con otra. 166 00:06:46,110 --> 00:06:47,509 ¿Cuánto es g de 3 aquí? 167 00:06:51,360 --> 00:06:53,519 ¿Cuánto es g de 3? Entiéndelo, Inés. 168 00:06:53,899 --> 00:06:55,439 Y luego vea porque no entiendes. 169 00:06:55,660 --> 00:06:56,019 ¿Cuánto? 170 00:06:56,399 --> 00:06:56,879 No. 171 00:06:57,699 --> 00:06:57,899 No. 172 00:06:59,980 --> 00:07:01,399 ¿Puedo sustituir el 3 aquí? 173 00:07:01,540 --> 00:07:01,699 ¿Qué onda? 174 00:07:03,220 --> 00:07:05,160 1 partido de 0. 175 00:07:05,279 --> 00:07:06,079 ¿Esto se puede hacer en mate? 176 00:07:07,399 --> 00:07:08,079 No existe. 177 00:07:08,920 --> 00:07:10,620 No es infinito ni menos infinito. 178 00:07:10,819 --> 00:07:12,920 No es, ostias, no existe. Punto y final. 179 00:07:13,259 --> 00:07:14,819 1 entre 0 no se puede hacer en matemáticas. 180 00:07:15,680 --> 00:07:17,319 ¿Vale? Ahora, si cogéis 181 00:07:17,319 --> 00:07:18,740 la calculadora y hacéis 182 00:07:18,740 --> 00:07:20,779 1 entre 0 con 183 00:07:20,779 --> 00:07:23,160 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 184 00:07:23,160 --> 00:07:23,720 ¿Qué os sale? 185 00:07:25,040 --> 00:07:26,420 0, 0, 0, 0, 0. 186 00:07:26,420 --> 00:07:27,480 ponelo 187 00:07:27,480 --> 00:07:32,800 no, un millón 188 00:07:32,800 --> 00:07:34,300 no, mil millones, no sé cuántos 189 00:07:34,300 --> 00:07:44,589 no, un millón 190 00:07:44,589 --> 00:07:56,970 ah, entonces entre 0 no se puede dividir 191 00:07:56,970 --> 00:07:59,110 Pero entre 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 192 00:07:59,110 --> 00:08:00,110 Si se puede dividir 193 00:08:00,110 --> 00:08:02,689 Y si pongo más ceros 194 00:08:02,689 --> 00:08:03,149 ¿Qué pasará? 195 00:08:04,250 --> 00:08:05,610 Porque me saldrá un número más grande 196 00:08:05,610 --> 00:08:08,430 Entonces en realidad esto en maths no tiene sentido hacerlo 197 00:08:08,430 --> 00:08:10,269 Porque no lo puedo hacer nunca, es imposible 198 00:08:10,269 --> 00:08:12,490 G de 3 199 00:08:12,490 --> 00:08:13,990 1 partido de 0 no lo puedo hacer 200 00:08:13,990 --> 00:08:16,509 Lo que sí puedo hacer es el límite 201 00:08:16,509 --> 00:08:18,290 Cuando x tiende a 3 de g de x 202 00:08:18,290 --> 00:08:21,050 Que esto sería 1 entre 0, 0, 0, 0 203 00:08:21,050 --> 00:08:22,250 Y también infinito 204 00:08:22,250 --> 00:08:23,069 ¿Entendéis? 205 00:08:24,009 --> 00:08:26,850 Lo que quiere decir límite cuando x tiende a algo 206 00:08:26,850 --> 00:08:28,750 es lo más cerca posible 207 00:08:28,750 --> 00:08:30,410 a ese número sin ser ese número. 208 00:08:31,689 --> 00:08:32,169 ¿Vale? 209 00:08:33,110 --> 00:08:35,049 3 con infinitos ceros 210 00:08:35,049 --> 00:08:36,629 y un 1. Si yo hago aquí 211 00:08:36,629 --> 00:08:38,149 3 con infinitos ceros y un 1 212 00:08:38,149 --> 00:08:40,850 menos 3, me queda 0, infinitos ceros 213 00:08:40,850 --> 00:08:42,450 y un 1, ¿no? Eso es un 214 00:08:42,450 --> 00:08:44,490 mil millón 215 00:08:44,490 --> 00:08:46,750 mil millón, no sé ni decirlo. 216 00:08:47,110 --> 00:08:47,389 ¿De verdad? 217 00:08:48,029 --> 00:08:49,029 En la letra real 218 00:08:49,029 --> 00:08:52,509 hay infinitos números 219 00:08:52,509 --> 00:08:54,470 pero también hay infinitos aros. 220 00:08:54,909 --> 00:08:56,629 Claro. Entonces hay 0, infinitos 221 00:08:56,629 --> 00:09:00,450 ¿Qué significa? 222 00:09:00,590 --> 00:09:01,110 Buena pregunta 223 00:09:01,110 --> 00:09:04,850 La idea de los límites 224 00:09:04,850 --> 00:09:06,049 El primer ejemplo que os he dado es 225 00:09:06,049 --> 00:09:08,450 El límite me va a calcular cuando vaya a la función 226 00:09:08,450 --> 00:09:09,669 Lo más cerca de un valor 227 00:09:09,669 --> 00:09:11,309 Sin llegar a ser ese valor 228 00:09:11,309 --> 00:09:12,809 ¿Lo puedo calcular aquí? 229 00:09:13,149 --> 00:09:13,830 Sí, me da 7 230 00:09:13,830 --> 00:09:15,610 ¿Puedo hacer un f de 3? 231 00:09:15,750 --> 00:09:16,610 Sí, me da 7 también 232 00:09:16,610 --> 00:09:21,309 Es que si cuando se acerca lo máximo que se pueda a 3 233 00:09:21,309 --> 00:09:23,110 Sin ser 3, me da 7 234 00:09:23,110 --> 00:09:24,509 Y en 3 me da 7 también 235 00:09:24,509 --> 00:09:26,230 Entonces, ¿qué sentido tiene hacer el límite? 236 00:09:26,629 --> 00:09:29,509 El límite me va a interesar hacerlo en momentos así. 237 00:09:29,889 --> 00:09:34,490 Por ejemplo, aquí cuando la x vale 3, yo no puedo calcular esta función directamente. 238 00:09:34,990 --> 00:09:35,830 ¿Qué me interesará saber? 239 00:09:36,990 --> 00:09:40,009 Pues que vale cuando estoy muy cerca del 3, a ver qué pasa alrededor. 240 00:09:40,309 --> 00:09:41,710 ¿Entendéis? Aquí hay un problema en mate. 241 00:09:42,029 --> 00:09:44,149 Hay un problema muy gordo y es que esta función no la puedo calcular. 242 00:09:45,070 --> 00:09:48,330 Pues la siguiente pregunta lógica será, vale, yo en 3 no la puedo calcular. 243 00:09:49,809 --> 00:09:52,009 Pero, ¿qué pasa a los lados de 3? 244 00:09:52,169 --> 00:09:53,970 No hay función, pero ¿a los lados qué hay? 245 00:09:54,429 --> 00:09:55,789 ¿Hay algo? ¿Dónde va la cosa? 246 00:09:56,629 --> 00:09:59,110 Yo sé que en el 3 247 00:09:59,110 --> 00:10:01,669 en el 3 no puedo 248 00:10:01,669 --> 00:10:02,470 calcular la función. 249 00:10:07,769 --> 00:10:09,190 Claro, es para salvar 250 00:10:09,190 --> 00:10:11,870 esos problemas que nos aparecen en mates, como por ejemplo 251 00:10:11,870 --> 00:10:13,909 dividir entre 0. Yo dividir entre 0 252 00:10:13,909 --> 00:10:15,830 es un problema que no se va a poder resolver. Nunca. 253 00:10:16,509 --> 00:10:17,889 ¿Vale? Esta división no la voy a 254 00:10:17,889 --> 00:10:19,909 poder hacer jamás. Lo que sí podemos hacer es decir 255 00:10:19,909 --> 00:10:21,350 vale, como esto yo no lo puedo hacer 256 00:10:21,350 --> 00:10:23,389 vamos a ver qué pasa justo 257 00:10:23,389 --> 00:10:25,629 a la derecha y justo a la izquierda. 258 00:10:25,629 --> 00:10:28,169 aquí, pues dará, en este da más infinito 259 00:10:28,169 --> 00:10:29,129 y en este da menos infinito 260 00:10:29,129 --> 00:10:31,210 vale, yo esta división no la puedo hacer 261 00:10:31,210 --> 00:10:33,970 pero sé que si me acerco todo lo que puedo por la izquierda 262 00:10:33,970 --> 00:10:35,409 me va menos infinito 263 00:10:35,409 --> 00:10:37,690 si me acerco todo lo que puedo por la derecha 264 00:10:37,690 --> 00:10:38,730 me va más infinito 265 00:10:38,730 --> 00:10:41,210 ¿entendéis? planteamiento 266 00:10:41,210 --> 00:10:44,769 esta es una primera actividad 267 00:10:44,769 --> 00:10:46,549 ¿vale? 268 00:10:48,250 --> 00:10:49,909 la idea es esta, yo esto no lo puedo hacer 269 00:10:49,909 --> 00:10:50,330 nunca 270 00:10:50,330 --> 00:10:53,370 como no lo puedo hacer en mates 271 00:10:53,370 --> 00:10:55,789 y estamos con una función, la pregunta lógica será 272 00:10:55,789 --> 00:10:58,230 vale, yo en el punto x igual a 3 273 00:10:58,230 --> 00:10:59,250 no existe punto, seguro 274 00:10:59,250 --> 00:11:01,830 pero injusto pegado 275 00:11:01,830 --> 00:11:02,750 al 3, ¿qué pasa? 276 00:11:03,970 --> 00:11:05,210 ¿Injusto pegado al 3 existe? 277 00:11:05,590 --> 00:11:07,870 Sí, infinito o lo que sea 278 00:11:07,870 --> 00:11:09,909 pero la idea es, en este punto 279 00:11:09,909 --> 00:11:11,990 yo no puedo hacer nada, ¿qué puedo hacer a los lados? 280 00:11:12,110 --> 00:11:13,549 ¿Puedo hacer algo? ¿Qué pasa alrededor? 281 00:11:14,269 --> 00:11:15,610 Ya sabemos que aquí no hay nada 282 00:11:15,610 --> 00:11:17,850 Ya sabemos que aquí no hay nada 283 00:11:17,850 --> 00:11:19,549 Vamos a mirar que es así 284 00:11:19,549 --> 00:11:21,490 haciendo un circulito al lado 285 00:11:21,490 --> 00:11:23,549 ¿Y eso es lo que hacen los límites? 286 00:11:23,730 --> 00:11:31,690 Sí, está bien tal, pero normalmente sigue vueltando la rachota. 287 00:11:32,490 --> 00:11:37,570 No, tú no sabes calcular esto, tú no sabes por qué 1 entre 3 es infinito. 288 00:11:37,929 --> 00:11:38,409 Sí, pero... 289 00:11:38,409 --> 00:11:38,970 Sin límites. 290 00:11:41,110 --> 00:11:43,549 Pues anda que no han salido así en todas las en el tema anterior. 291 00:11:46,070 --> 00:11:47,289 Esta es una de las utilidades. 292 00:11:47,429 --> 00:11:49,870 Una de las utilidades es, yo tengo un problema de mates. 293 00:11:49,870 --> 00:11:51,669 Tengo un problema que no puedo hacer nada. 294 00:11:52,070 --> 00:11:53,090 Vamos a ver qué pasa alrededor. 295 00:11:53,809 --> 00:11:53,970 ¿Vale? 296 00:11:54,330 --> 00:11:55,370 Otra de las utilidades. 297 00:11:55,549 --> 00:11:57,710 ¿Qué otro cálculo no podemos hacer nunca en matemática? 298 00:12:00,919 --> 00:12:01,799 ¿Reacción negativa? 299 00:12:02,740 --> 00:12:03,639 Sí, pero no. 300 00:12:05,480 --> 00:12:08,240 ¿Por qué no podemos sustituir nunca en la función? 301 00:12:09,580 --> 00:12:10,580 Por ejemplo, esta. 302 00:12:11,840 --> 00:12:16,220 Nosotros aquí cogíamos y decíamos, aquí va al infinito. 303 00:12:17,059 --> 00:12:19,740 Aquí se acerca a cero, hay un asíntota horizontal, no sé qué, ¿no? 304 00:12:19,740 --> 00:12:21,299 ¿no? ¿Sí? En realidad, 305 00:12:21,379 --> 00:12:23,559 nosotros decíamos, cuando la X 306 00:12:23,559 --> 00:12:25,679 vale mucho, cuando la X es un número muy grande, 307 00:12:26,200 --> 00:12:27,659 el concepto de un número muy grande, 308 00:12:28,299 --> 00:12:29,500 ¿qué es un número muy grande? 309 00:12:31,240 --> 00:12:32,259 Un infinito 310 00:12:32,259 --> 00:12:33,600 no es un número, es un concepto. 311 00:12:34,059 --> 00:12:35,799 ¿Qué es un número muy grande, Matías? 312 00:12:38,509 --> 00:12:39,710 10 millones, yo lo tengo. 313 00:12:40,169 --> 00:12:40,789 Bueno, depende. 314 00:12:41,169 --> 00:12:43,529 Si estás estudiando el radio del universo, 315 00:12:43,649 --> 00:12:45,769 10 millones es muy poco. 316 00:12:46,210 --> 00:12:47,590 Si estás estudiando el tamaño de un átomo, 317 00:12:47,690 --> 00:12:49,529 10 millones es una cantidad absurda. 318 00:12:49,710 --> 00:12:50,889 No tiene ni sentido hablar de ella. 319 00:12:50,889 --> 00:12:58,809 Efectivamente, esa es la cosa 320 00:12:58,809 --> 00:13:00,830 El infinito es relativo de lo que estamos estudiando 321 00:13:00,830 --> 00:13:02,629 El infinito es un concepto, no es un número 322 00:13:02,629 --> 00:13:05,370 Yo aquí decía, cuando la X es muy muy muy grande 323 00:13:05,370 --> 00:13:07,049 ¿Cuánto vale la función? ¿Os acordáis? 324 00:13:08,090 --> 00:13:09,450 ¿Vale? Pero muy muy muy grande 325 00:13:09,450 --> 00:13:10,730 Dependerá de lo que estoy estudiando 326 00:13:10,730 --> 00:13:12,490 Si estoy estudiando un átomo 327 00:13:12,490 --> 00:13:14,850 Un kilómetro ya es muy muy muy grande 328 00:13:14,850 --> 00:13:16,669 Si estoy estudiando el radio del universo 329 00:13:16,669 --> 00:13:17,610 Un kilómetro no es nada 330 00:13:17,610 --> 00:13:20,750 Para el concepto infinito, lo que es 331 00:13:20,750 --> 00:13:25,429 Lo que es ya un número gigantesco, se utiliza el índice. 332 00:13:28,980 --> 00:13:32,200 Yo no puedo sustituir nunca, no puedo decir F de infinito. 333 00:13:32,279 --> 00:13:33,659 ¿Qué es infinito? ¿Qué número pongo aquí? 334 00:13:34,460 --> 00:13:36,539 Si estuviésemos en la calculadora, ¿qué número pongo aquí? 335 00:13:37,120 --> 00:13:38,960 Para hacer 1 entre infinito menos 3. 336 00:13:39,720 --> 00:13:42,480 No hay ningún número, en la calculadora no hay un símbolo infinito. 337 00:13:42,980 --> 00:13:43,980 Tiene que hacer el tiempo. 338 00:13:44,860 --> 00:13:46,480 Tiende a... 339 00:13:46,480 --> 00:13:50,000 No, pues, a un número, pero puede decir que tiende hacia eso. 340 00:13:50,679 --> 00:13:51,940 Claro, que tiende hacia eso. 341 00:13:51,940 --> 00:13:55,419 Esto es. La idea es, infinito no es un número, no se puede sustituir. 342 00:13:56,080 --> 00:13:59,399 Igual que esto en matemáticas no se puede hacer, esto en matemáticas no se puede hacer, es imposible. 343 00:14:00,240 --> 00:14:02,360 Infinito es un concepto, no es un número, no se puede sustituir. 344 00:14:02,519 --> 00:14:07,100 Lo que sí que podemos hacer es salvar ese error, igual que hemos salvado este, 345 00:14:07,600 --> 00:14:10,840 diciendo, vale, yo por infinito no puedo sustituir, 346 00:14:11,179 --> 00:14:15,879 pero sí puedo calcular qué pasa cuando yo me acerco a un número infinitamente grande. 347 00:14:22,309 --> 00:14:25,789 Si X es un número infinitamente grande, ¿cuánto me daría esta división? 348 00:14:25,789 --> 00:14:30,549 ¿Cuánto es 1 entre 999.999.000 menos 3? 349 00:14:30,870 --> 00:14:36,129 No, no es infinito, no es la calculadora 350 00:14:36,129 --> 00:14:47,009 Aquí en X, 9.999.000 menos 3 millones, 999.999.000 351 00:14:47,009 --> 00:14:50,250 1 entre S menos 3, ¿cuánto da? 352 00:14:51,250 --> 00:14:53,009 Bueno, voy a ponerlo en... 353 00:14:53,009 --> 00:15:01,730 Yo voy a intentar no ponerlo nunca. 354 00:15:01,850 --> 00:15:04,049 Se me escapará alguna vez, pero voy a intentar no ponerlo nunca. 355 00:15:04,210 --> 00:15:04,710 Porque no me gusta. 356 00:15:05,710 --> 00:15:06,889 Claro, si divides un euro 357 00:15:06,889 --> 00:15:10,230 entre todas las personas 358 00:15:10,230 --> 00:15:12,330 que ha habido en la humanidad 359 00:15:12,330 --> 00:15:14,129 hay y habrá, a cada uno 360 00:15:14,129 --> 00:15:16,309 les das cero como... O sea, les das muy poquito. 361 00:15:16,409 --> 00:15:17,789 A cada uno le das algo. Sí, pero es tan 362 00:15:17,789 --> 00:15:20,090 tan poco que es cero. 363 00:15:20,370 --> 00:15:21,309 Cero. Claro. 364 00:15:21,309 --> 00:15:23,450 ¿Vale? Y si pones 365 00:15:23,450 --> 00:15:25,690 si aumentas la x, si le metes más 9 366 00:15:25,690 --> 00:15:27,110 te van a salir más decimales de 0 367 00:15:27,110 --> 00:15:29,549 ¿No es de definición? 368 00:15:29,549 --> 00:15:31,070 ¿Se tendría que poner en este 369 00:15:31,070 --> 00:15:32,289 aproximado? 370 00:15:32,690 --> 00:15:35,490 No, porque el límite, es que es lo que os he dicho 371 00:15:35,490 --> 00:15:37,009 que yo no os voy a dar la definición, ¿vale? 372 00:15:37,669 --> 00:15:40,049 El límite en sí es una aproximación 373 00:15:40,049 --> 00:15:41,649 Entonces el límite en sí 374 00:15:41,649 --> 00:15:43,789 ya te está diciendo que esto es aproximado 375 00:15:43,789 --> 00:15:45,490 pero le llamas 0, ¿vale? 376 00:15:47,149 --> 00:15:48,470 A lo mejor me dirás más 377 00:15:48,470 --> 00:15:50,269 Es que para el que yo le estoy 378 00:15:50,269 --> 00:15:55,049 no, es que la definición 379 00:15:55,049 --> 00:15:56,970 de límite no es 380 00:15:56,970 --> 00:15:57,529 nada fácil 381 00:15:57,529 --> 00:16:01,129 cuando lo veamos prácticamente lo vais a entender bien 382 00:16:01,129 --> 00:16:02,210 primero quiero que veáis 383 00:16:02,210 --> 00:16:04,889 primero quería que vierais que es cuando me acerco a 3 384 00:16:04,889 --> 00:16:06,909 que cuando me acerco a infinito 385 00:16:06,909 --> 00:16:08,389 o a menos infinito también 386 00:16:08,389 --> 00:16:12,950 y ahora os voy a hacer un dibujo que lo vais a ver claro 387 00:16:12,950 --> 00:16:14,049 lo de arriba es como si 388 00:16:14,049 --> 00:16:16,590 hubiera uno entre infinitas partes 389 00:16:16,590 --> 00:16:17,490 claro 390 00:16:17,490 --> 00:16:20,090 claro, justo 391 00:16:20,090 --> 00:16:22,289 es tu dívidas un euro entre esos 392 00:16:22,289 --> 00:16:24,490 todas las personas que hay, que ha habido y que habrá 393 00:16:24,490 --> 00:16:26,250 ¿cuánto dinero le das a cada uno? ¿les das algo? 394 00:16:26,490 --> 00:16:28,629 sí, les das tan tan tan 395 00:16:28,629 --> 00:16:30,350 tan poco que lo llamamos cero ¿no? 396 00:16:31,250 --> 00:16:31,450 ¿sí? 397 00:16:32,789 --> 00:16:34,149 ¿vale? entonces los límites 398 00:16:34,149 --> 00:16:36,629 principalmente, lo primero, ¿por qué los damos ahora? 399 00:16:39,360 --> 00:16:40,259 ¿y qué sentido tiene? 400 00:16:40,399 --> 00:16:41,440 ¿y por qué ahora y no después? 401 00:16:43,279 --> 00:16:44,159 vamos a dar así 402 00:16:44,159 --> 00:16:48,460 ¿por qué estás poniendo 403 00:16:48,460 --> 00:16:49,580 que es como dos? 404 00:16:49,580 --> 00:16:53,460 nada, nada, no, esto es para deciros 405 00:16:53,460 --> 00:16:55,220 una aplicación del límite es ver 406 00:16:55,220 --> 00:16:57,379 en un punto que yo tengo un problema de mates 407 00:16:57,379 --> 00:16:58,480 ver qué pasa cerca 408 00:16:58,480 --> 00:17:01,320 y otra es decir, vale, cuando algo es infinito 409 00:17:01,320 --> 00:17:03,200 cuando algo es infinito 410 00:17:03,200 --> 00:17:05,240 cuando la x tiende a infinito o menos infinito 411 00:17:05,240 --> 00:17:07,359 ¿qué pasa? ¿qué pasa cuando la x es tan, tan, tan 412 00:17:07,359 --> 00:17:09,579 grande que yo la considero 413 00:17:09,579 --> 00:17:10,200 fuera de la función? 414 00:17:11,200 --> 00:17:13,180 como estas cinco bocas 415 00:17:13,180 --> 00:17:13,680 de espulas 416 00:17:13,680 --> 00:17:16,299 acercarse a la función 417 00:17:16,299 --> 00:17:19,059 ahora, eso lo vamos a ver todo, porque en realidad 418 00:17:19,059 --> 00:17:21,119 acercarse a 3, tampoco es trivial. 419 00:17:21,599 --> 00:17:23,200 ¿Qué es acercarse a 3? O sea, ¿qué es 420 00:17:23,200 --> 00:17:25,240 lo más cerca de 3 posible? ¿2 con 9, 9, 421 00:17:25,299 --> 00:17:25,980 9, 9, 9? 422 00:17:27,079 --> 00:17:28,960 ¿O 3 con 0, 0, 0, 0, 1? 423 00:17:29,960 --> 00:17:31,039 Depende de por dónde vayas. 424 00:17:31,140 --> 00:17:31,660 ¿No es lo mismo? 425 00:17:32,339 --> 00:17:35,460 No, pero ¿por qué se limitan 426 00:17:35,460 --> 00:17:37,019 y que tiene que ser sin llegar a 3? 427 00:17:37,160 --> 00:17:38,819 Sí, pero no es lo mismo, porque tú puedes 428 00:17:38,819 --> 00:17:40,900 acercarte lo máximo posible sin llegar a 3. 429 00:17:41,259 --> 00:17:43,119 ¿Como 2 con 9, 9, 9? ¿O como 430 00:17:43,119 --> 00:17:44,259 3 con 0, 0, 0, 1? 431 00:17:44,420 --> 00:17:47,059 Yo aquí en realidad he puesto cuando aquí tienen la 3 432 00:17:47,059 --> 00:17:49,039 ha sido buena pregunta, Alonso. Pero esto es 433 00:17:49,039 --> 00:17:51,299 una trampa, no os he explicado todavía 434 00:17:51,299 --> 00:17:53,039 qué significa esto, os lo voy a explicar 435 00:17:53,039 --> 00:17:54,099 después de las operaciones 436 00:17:54,099 --> 00:18:00,759 eso es, lógicamente 437 00:18:00,759 --> 00:18:03,059 pero no tiene por qué ser lo mismo 438 00:18:03,059 --> 00:18:05,759 de hecho aquí es radicalmente distinto 439 00:18:05,759 --> 00:18:08,440 esta función, por ejemplo 440 00:18:08,440 --> 00:18:19,900 esta función 441 00:18:19,900 --> 00:18:22,400 en realidad ya hemos hecho límites 442 00:18:22,400 --> 00:18:23,720 lo que pasa es que no lo habéis visto 443 00:18:23,720 --> 00:18:25,220 no 444 00:18:25,220 --> 00:18:27,000 es mi pérdida 445 00:18:27,000 --> 00:18:28,700 esto 446 00:18:28,700 --> 00:18:31,859 ¿os acordáis que decíamos aquí? 447 00:18:32,460 --> 00:18:34,019 que había una acentuada horizontal, ¿no? 448 00:18:37,019 --> 00:18:38,140 en y igual a 2 449 00:18:38,140 --> 00:18:39,619 ¿y qué quería decir esto? 450 00:18:42,960 --> 00:18:43,480 que 451 00:18:43,480 --> 00:18:47,140 1,99 452 00:18:47,140 --> 00:18:48,920 cuanto más pequeña es la x 453 00:18:48,920 --> 00:18:50,259 más cerca estoy de 2, ¿no? 454 00:18:50,960 --> 00:18:52,759 ¿Sí? Entonces, en realidad, aquí 455 00:18:52,759 --> 00:18:54,680 no lo habíamos visto, pero lo que estamos diciendo 456 00:18:54,680 --> 00:18:56,900 es que cuando x es 457 00:18:56,900 --> 00:18:58,839 menos infinito, ¿a qué número me voy a acercar? 458 00:19:01,369 --> 00:19:01,849 2. 459 00:19:03,069 --> 00:19:03,910 A 2. 460 00:19:04,529 --> 00:19:06,710 ¿Y ahí se acerca por menos infinito? 461 00:19:07,309 --> 00:19:08,950 Aquí menos infinito, porque es cuando 462 00:19:08,950 --> 00:19:12,509 la x es menos 9.999.999. 463 00:19:13,289 --> 00:19:13,809 ¿Vale? 464 00:19:13,930 --> 00:19:14,289 Aquí. 465 00:19:14,289 --> 00:19:16,589 aquí 466 00:19:16,589 --> 00:19:26,089 aquí es lo mismo 467 00:19:26,089 --> 00:19:27,289 pero cuando x va al infinito 468 00:19:27,289 --> 00:19:30,089 ¿dónde más nos interesará estudiar límites? 469 00:19:30,630 --> 00:19:31,869 aquí, que no hay función, ¿no? 470 00:19:33,630 --> 00:19:34,670 aquí no hay función 471 00:19:34,670 --> 00:19:42,349 esto es, pero no habíamos 472 00:19:42,349 --> 00:19:44,089 hecho, acordaos, esto nos va a servir 473 00:19:44,089 --> 00:19:45,549 para hacer el estudio analítico al final 474 00:19:45,549 --> 00:19:49,990 si me acerco 475 00:19:49,990 --> 00:19:52,289 con el 2,9999 476 00:19:52,289 --> 00:19:54,769 que se pone aquí 477 00:19:54,769 --> 00:19:58,289 si me acerco 478 00:19:58,289 --> 00:19:59,990 por el 2,9999 479 00:19:59,990 --> 00:20:01,230 bajo menos infinito 480 00:20:01,230 --> 00:20:04,150 y si me acerco por el 3 481 00:20:04,150 --> 00:20:04,410 con 482 00:20:04,410 --> 00:20:08,630 esta es la vertical 483 00:20:08,630 --> 00:20:09,829 esta es la vertical 484 00:20:09,829 --> 00:20:11,549 y si me acerco 485 00:20:11,549 --> 00:20:16,279 en el 3 con 1,1,1,1 486 00:20:16,279 --> 00:20:17,099 lo de infinito 487 00:20:17,099 --> 00:20:18,799 ¿vale? 488 00:20:19,839 --> 00:20:21,400 ¿lo veis? entonces en realidad 489 00:20:21,400 --> 00:20:23,079 ¿para qué vamos a usar los límites en las funciones? 490 00:20:23,180 --> 00:20:24,779 para principalmente dos cosas, una 491 00:20:24,779 --> 00:20:27,019 para cuando algo va a infinito 492 00:20:27,019 --> 00:20:29,259 cuando la función 493 00:20:29,259 --> 00:20:31,720 cuando la x es menos infinito, ¿qué pasa con la función? 494 00:20:31,859 --> 00:20:33,740 cuando la x es infinito, ¿qué pasa con la función? 495 00:20:34,720 --> 00:20:35,119 otro 496 00:20:35,119 --> 00:20:37,640 para puntos del dominio que no puedo 497 00:20:37,640 --> 00:20:39,279 calcular, que no puedo hacer nada con ello 498 00:20:39,279 --> 00:20:41,440 hasta ahora vosotros cogís y decís dominio 499 00:20:41,440 --> 00:20:42,680 todo lo real menos el 3 500 00:20:42,680 --> 00:20:45,420 y ya está, porque analíticamente 501 00:20:45,420 --> 00:20:46,480 no habíamos hecho nada más 502 00:20:46,480 --> 00:20:59,480 No, que infinito no es un número, no puedes sustituir por infinito. 503 00:20:59,880 --> 00:21:01,539 Pero sí que puedes hacer el límite. 504 00:21:02,460 --> 00:21:06,299 El límite lo que hace es darte una idea de qué va a pasar en el infinito, pero el infinito es un concepto. 505 00:21:06,359 --> 00:21:07,180 El infinito no existe. 506 00:21:11,339 --> 00:21:14,759 Cuando x tiende al infinito, sí, muchas veces me van a bailar eso, ¿vale? 507 00:21:14,759 --> 00:21:17,220 pero es cuando la x es un número infinito 508 00:21:17,220 --> 00:21:19,160 lo que hemos visto, depende de qué función está estudiando 509 00:21:19,160 --> 00:21:20,559 y de qué sea, ¿vale? 510 00:21:20,960 --> 00:21:22,839 infinito lo que considera es, me da igual la función 511 00:21:22,839 --> 00:21:25,380 que yo voy a hacer un número más grande 512 00:21:25,380 --> 00:21:27,240 de lo que tiene sentido pensar en ese 513 00:21:27,240 --> 00:21:29,019 número, ¿vale? 514 00:21:29,180 --> 00:21:31,059 si estamos hablando de una función que habla, yo qué sé 515 00:21:31,059 --> 00:21:33,339 de kilos de carne que se compran en una carnicería 516 00:21:33,339 --> 00:21:35,279 pues aquí hay 400.000 millones 517 00:21:35,279 --> 00:21:37,259 no tiene ningún sentido, pero estás ya 518 00:21:37,259 --> 00:21:38,779 estudiando el juego, ¿vale? 519 00:21:39,619 --> 00:21:41,140 no es un número, o sea 520 00:21:41,140 --> 00:21:42,519 es un concepto, no es un número 521 00:21:42,519 --> 00:21:45,039 lo que hace es decir, vale, ya cuando estoy fuera ya 522 00:21:45,039 --> 00:21:47,480 del rango de la función, cuando me salí del gallo 523 00:21:47,480 --> 00:21:49,220 o sea, cuando decimos 524 00:21:49,220 --> 00:21:50,900 que una asíntota horizontal 525 00:21:50,900 --> 00:21:52,980 es igual a 2, por ejemplo 526 00:21:52,980 --> 00:21:54,240 quiere decir 527 00:21:54,240 --> 00:21:56,579 que se va a acercar 528 00:21:56,579 --> 00:21:58,519 si hay una asíntota horizontal hacia allá 529 00:21:58,519 --> 00:22:00,519 es que tiende a 530 00:22:00,519 --> 00:22:03,259 la x tiende a menos infinito 531 00:22:03,259 --> 00:22:04,460 igual que la x 532 00:22:04,460 --> 00:22:06,740 claro, porque tiende a menos infinito 533 00:22:06,740 --> 00:22:07,839 porque aquí será, ¿qué pasa? 534 00:22:08,279 --> 00:22:10,660 la pregunta es, yo esto, si sigo alargándolo 535 00:22:10,660 --> 00:22:12,680 ¿qué pasa cuando llego al menos 9.000 millones? 536 00:22:14,259 --> 00:22:16,359 Le estoy pegándose al 2 cada vez más, ¿no? 537 00:22:16,759 --> 00:22:18,460 Entonces, si pudiese poner infinito, 538 00:22:18,539 --> 00:22:20,619 que no puedo ponerlo, pero si pudiese ponerlo, 539 00:22:21,299 --> 00:22:22,019 me saldría el 2. 540 00:22:23,079 --> 00:22:24,539 ¿Entendéis? Porque me va saliendo. 541 00:22:25,160 --> 00:22:26,420 Aquí, si pongo un millón, 542 00:22:26,819 --> 00:22:27,220 me sale 543 00:22:27,220 --> 00:22:29,519 1,999. 544 00:22:30,339 --> 00:22:32,660 Si pongo 100.000 millones, 1,9999. 545 00:22:33,000 --> 00:22:34,500 Si pongo 999.000 millones, 546 00:22:34,640 --> 00:22:35,880 1,9999. 547 00:22:36,559 --> 00:22:38,579 Si pudiese poner infinito, ¿qué me saldría? 548 00:22:39,420 --> 00:22:39,819 2. 549 00:22:39,819 --> 00:22:41,099 pero no juego con el infinito 550 00:22:41,099 --> 00:22:42,940 porque no existe el matrimonio 551 00:22:42,940 --> 00:22:43,759 ¿entendéis? 552 00:22:44,539 --> 00:22:45,779 aquí lo mismo 553 00:22:45,779 --> 00:22:49,079 claro, cuando miras verticales 554 00:22:49,079 --> 00:22:51,220 cuando tienes que ir el límite de x a 3 555 00:22:51,220 --> 00:22:53,299 como da 1 partido de 0 556 00:22:53,299 --> 00:22:54,619 tenemos que decir que es infinito 557 00:22:54,619 --> 00:22:56,299 claro, 1 partido de 0 no se puede calcular 558 00:22:56,299 --> 00:22:57,839 y aquí acordaos que en el dominio decíamos 559 00:22:57,839 --> 00:22:58,960 no hay función en 3 560 00:22:58,960 --> 00:23:00,940 punto y final 561 00:23:00,940 --> 00:23:01,940 pero a los lados sí 562 00:23:01,940 --> 00:23:03,180 porque aquí se va acercando 563 00:23:03,180 --> 00:23:05,140 al infinito y al menos infinito 564 00:23:05,140 --> 00:23:06,299 cuando estás haciendo eso 565 00:23:06,299 --> 00:23:08,480 ¿cuándo sale 3 infinito y menos infinito? 566 00:23:08,480 --> 00:23:09,680 porque abajo es infinito 567 00:23:09,680 --> 00:23:12,480 Pues eso es lo que vamos a hacer ahora 568 00:23:12,480 --> 00:23:14,599 ¿Vale? Vamos a aprender a operar con límites 569 00:23:14,599 --> 00:23:17,559 Vamos a aprender cómo sacar este menos infinito y este más infinito 570 00:23:17,559 --> 00:23:19,900 Porque si os lo he hecho gráficamente lo habéis visto bastante bien, ¿no? 571 00:23:20,400 --> 00:23:23,279 Claro, bueno, llevamos un mes haciendo análisis gráfico de funciones 572 00:23:23,279 --> 00:23:25,200 Pero si yo os doy esta función 573 00:23:25,200 --> 00:23:28,759 ¿Cómo sabéis calcular si va a infinito o a menos infinito? 574 00:23:29,279 --> 00:23:30,720 Todavía en realidad no lo sabéis 575 00:23:30,720 --> 00:23:31,640 ¿Vale? 576 00:23:32,400 --> 00:23:33,240 De eso va este tema 577 00:23:33,240 --> 00:23:35,779 Los límites los vamos a usar para dos cosas 578 00:23:35,779 --> 00:23:37,940 Para el análisis gráfico 579 00:23:37,940 --> 00:23:39,000 O sea, para el análisis de funciones 580 00:23:39,000 --> 00:23:42,000 ¿Y la indeterminación? 581 00:23:42,000 --> 00:23:45,000 Eso vemos luego. Es una aplicación de los límites. 582 00:23:45,000 --> 00:23:49,000 La idea de los límites o por qué se dan los límites ahora es... 583 00:23:49,000 --> 00:23:58,000 Nosotros analíticamente sabíamos hacer el dominio, los cortes con los ejes y la simetría. 584 00:23:58,000 --> 00:23:59,000 Y ya está. 585 00:23:59,000 --> 00:24:02,000 ¿Y con los límites sabíamos pintar la curvatura? 586 00:24:02,000 --> 00:24:05,000 Con los límites sabríamos pintar también las asíntotas y sabríamos hacer la continuidad. 587 00:24:05,000 --> 00:24:07,000 Todavía nos faltaría crecimiento y curvatura. 588 00:24:07,000 --> 00:24:18,259 Pero en realidad, con los límites, la primera aplicación, o el por qué lo damos ahora, es porque vamos a hacer con ellos las asíntotas o las tendencias. 589 00:24:18,380 --> 00:24:20,859 Os acordáis que yo dije, no se llaman asíntotas, se llaman tendencias. 590 00:24:28,339 --> 00:24:32,380 Los límites son la herramienta básica para calcular estas dos cosas. 591 00:24:32,380 --> 00:24:39,630 Entonces, al final de este tema 592 00:24:39,630 --> 00:24:41,529 al final de este tema 593 00:24:41,529 --> 00:24:43,549 en las características 594 00:24:43,549 --> 00:24:45,650 de funciones analíticas ya vamos a poder hacer 595 00:24:45,650 --> 00:24:47,690 dominio, cortes con los F 596 00:24:47,690 --> 00:24:48,710 simetría 597 00:24:48,710 --> 00:24:50,970 bueno, periodicidad, que dijimos que no 598 00:24:50,970 --> 00:24:53,549 asíntotas y continuidad 599 00:24:53,549 --> 00:24:55,309 vamos a poder hacer ya 5 de las 12 600 00:24:55,309 --> 00:25:00,109 ¿vale? 601 00:25:00,109 --> 00:25:02,329 por el signo y tal, que algunas nos van saltando 602 00:25:02,329 --> 00:25:06,170 Por esto se dan los límites ahora, porque nos hemos encontrado 603 00:25:06,170 --> 00:25:07,450 un tope en mates 604 00:25:07,450 --> 00:25:10,150 ya sabéis estudiar todo de una función 605 00:25:10,150 --> 00:25:11,869 pero nos hemos encontrado un tope 606 00:25:11,869 --> 00:25:14,089 que es que no sabéis hacer el estudio analítico 607 00:25:14,089 --> 00:25:16,109 y sin la herramienta de límites no se puede seguir 608 00:25:16,109 --> 00:25:18,210 haciendo más en el estudio analítico 609 00:25:18,210 --> 00:25:18,390 ¿vale? 610 00:25:19,730 --> 00:25:20,849 ¿entendido el concepto? 611 00:25:21,970 --> 00:25:24,069 ¿sí? más o menos, ahora cuando hagamos ejemplos 612 00:25:24,069 --> 00:25:25,130 lo vais a ver mejor 613 00:25:25,130 --> 00:25:28,309 venga, pues como siempre, en mates, hemos definido el concepto 614 00:25:28,309 --> 00:25:29,130 de aquella manera 615 00:25:29,130 --> 00:25:32,630 vale, hemos definido el concepto 616 00:25:32,630 --> 00:25:33,430 de aquella manera 617 00:25:33,430 --> 00:25:35,130 ¿os acordáis el logaritmo? 618 00:25:35,130 --> 00:25:38,170 que lo primero que hacíamos era definir el concepto 619 00:25:38,170 --> 00:25:39,690 esta era la definición del logaritmo 620 00:25:39,690 --> 00:25:42,349 ¿y luego qué hacíamos? 621 00:25:44,690 --> 00:25:45,690 vamos, cambiar la vez 622 00:25:45,690 --> 00:25:47,910 vale, bueno, sí, hacer ejemplos 623 00:25:47,910 --> 00:25:49,450 y luego ¿qué era lo que dábamos? 624 00:25:51,150 --> 00:25:52,289 primero la definición 625 00:25:52,289 --> 00:25:53,410 y luego las propiedades 626 00:25:53,410 --> 00:25:56,210 es decir, ¿cómo se comportan 627 00:25:56,210 --> 00:25:57,069 los logaritmos 628 00:25:57,069 --> 00:26:03,609 frente a las operaciones más habituales? 629 00:26:03,730 --> 00:26:03,829 ¿sí? 630 00:26:11,890 --> 00:26:15,779 ¿acordáis? 631 00:26:15,779 --> 00:26:32,680 ¿Vale? Nosotros en realidad esto ya lo hemos hecho de aquella manera. Os lo he explicado. No lo hemos hecho, pero os lo he explicado. Vamos a hacer las propiedades. ¿Vale? Las propiedades... ¿Para qué nos servía esto? ¿Para qué nos servía esto? ¿Para qué pasábamos de aquí a aquí? 632 00:26:32,680 --> 00:26:36,579 para desarrollar 633 00:26:36,579 --> 00:26:38,400 un cálculo, ¿no? ¿Y para qué pasábamos 634 00:26:38,400 --> 00:26:42,230 de aquí a aquí? Para comprimirlo. 635 00:26:42,269 --> 00:26:43,829 Por ejemplo, en las ecuaciones logarítmicas. 636 00:26:44,190 --> 00:26:46,349 Las ecuaciones logarítmicas nos interesaba 637 00:26:46,349 --> 00:26:48,250 ir juntándolo para tener log igual a log 638 00:26:48,250 --> 00:26:49,970 y lo dentro igual a lo dentro. Es decir, 639 00:26:50,029 --> 00:26:51,890 podemos usar las dos en límites 640 00:26:51,890 --> 00:26:53,309 como es la primera vez que los vemos 641 00:26:53,309 --> 00:26:55,390 casi siempre vamos a hacer esto. 642 00:26:56,269 --> 00:26:57,710 Es simplificar un cálculo. 643 00:26:58,269 --> 00:27:00,049 ¿Vale? Pues venga, vamos a las propiedades. 644 00:27:01,690 --> 00:27:02,089 Básicamente. 645 00:27:02,529 --> 00:27:03,529 Bueno, es operar. 646 00:27:06,329 --> 00:27:11,190 Las propiedades de los límites son, o sea, el límite es una operación. 647 00:27:11,690 --> 00:27:17,990 Y las propiedades del límite como operación son las más agradecidas que vais a ver. 648 00:27:18,569 --> 00:27:19,130 Son batideras. 649 00:27:19,470 --> 00:27:21,190 Porque son, porque te queda todo igual. 650 00:27:21,970 --> 00:27:26,250 Pues acordáis las de las funciones que f más g era f más g. 651 00:27:26,910 --> 00:27:28,009 Pues los límites funcionan igual. 652 00:27:28,170 --> 00:27:29,869 Que eso es bastante agradecido. 653 00:27:30,049 --> 00:27:31,150 ¿Tenemos propiedades? 654 00:27:32,289 --> 00:27:32,529 Sí. 655 00:27:34,809 --> 00:27:36,670 O sea, el anterior sería el concepto del límite, ¿vale? 656 00:27:36,670 --> 00:27:48,099 podéis ver el límite y el logaritmo 657 00:27:48,099 --> 00:27:49,619 como más o menos lo mismo 658 00:27:49,619 --> 00:27:52,039 a nivel operación, cuando el logaritmo hemos operado 659 00:27:52,039 --> 00:27:53,039 con el límite vamos a operar 660 00:27:53,039 --> 00:27:55,700 el logaritmo también hemos visto que tiene una función asociada 661 00:27:55,700 --> 00:27:56,180 y tal y cual 662 00:27:56,180 --> 00:27:59,299 venga, propiedades del límite 663 00:27:59,299 --> 00:28:09,950 no, simplemente es para 664 00:28:09,950 --> 00:28:11,289 ser un poco elegante 665 00:28:11,289 --> 00:28:22,829 a nivel matriz 666 00:28:22,829 --> 00:28:31,170 vale 667 00:28:31,170 --> 00:28:34,890 son una maravilla 668 00:28:34,890 --> 00:28:35,450 ¿por qué? 669 00:28:36,609 --> 00:28:37,269 la primera 670 00:28:37,269 --> 00:28:45,890 K y A 671 00:28:45,890 --> 00:28:47,369 pertenecientes a los reales 672 00:28:47,369 --> 00:28:49,910 K perteneciente a los reales 673 00:28:49,910 --> 00:28:54,670 y A perteneciente a los reales 674 00:28:54,670 --> 00:28:55,589 infinito 675 00:28:55,589 --> 00:28:57,150 o menos infinito, ¿vale? 676 00:29:02,859 --> 00:29:04,539 o sea, nada, esto es simplemente 677 00:29:04,539 --> 00:29:05,579 para decir que es cada cosa 678 00:29:05,579 --> 00:29:06,880 F y G son funciones 679 00:29:06,880 --> 00:29:10,059 k es un número real y a puede ser cualquier número real 680 00:29:10,059 --> 00:29:11,859 infinito o menos infinito 681 00:29:11,859 --> 00:29:12,900 ¿vale? 682 00:29:14,019 --> 00:29:15,059 ¿puedes explicar eso? 683 00:29:16,140 --> 00:29:18,119 nada, simplemente estoy poniendo nombre a lo que voy a 684 00:29:18,119 --> 00:29:19,859 a lo que voy a sacar, a lo que voy a usar 685 00:29:19,859 --> 00:29:21,980 para las disfunciones, lo importante es que hayas aprendido de ahora 686 00:29:21,980 --> 00:29:22,900 ¿vale? 687 00:29:23,480 --> 00:29:25,579 esto lo que dice es, f y c son funciones 688 00:29:25,579 --> 00:29:27,660 que la x es un número real 689 00:29:27,660 --> 00:29:29,980 y me da un número real, o sea, funciona de las que hemos visto 690 00:29:29,980 --> 00:29:30,599 este tema 691 00:29:30,599 --> 00:29:33,799 la k que voy a usar 692 00:29:33,799 --> 00:29:34,579 es un número real 693 00:29:34,579 --> 00:29:37,160 y A puede ser un número real 694 00:29:37,160 --> 00:29:38,420 infinito o menos infinito 695 00:29:38,420 --> 00:29:41,000 acordaos que infinito y menos infinito no son números, son conceptos 696 00:29:41,000 --> 00:29:42,619 entonces yo tengo que decirlo 697 00:29:42,619 --> 00:29:44,700 pero que esto no os preocupéis mucho 698 00:29:44,700 --> 00:29:47,000 es para que tengáis los apuntes por vosotros 699 00:29:51,819 --> 00:30:00,759 el límite de la suma es la suma de los límites 700 00:30:00,759 --> 00:30:02,640 cosa que no pasa en los logaritmos 701 00:30:02,640 --> 00:30:05,180 ¿os acordáis la cantidad de problemas que os han dado en los logaritmos 702 00:30:05,180 --> 00:30:07,319 que el logaritmo del producto era la suma de los logaritmos? 703 00:30:09,000 --> 00:30:10,299 un huevo, ¿no? lo que os costaba 704 00:30:10,299 --> 00:30:12,420 pues en los límites no va a pasar 705 00:30:12,420 --> 00:30:14,119 en los límites, la suma de los límites 706 00:30:14,119 --> 00:30:16,079 o sea, el límite de la suma es la suma de los límites 707 00:30:16,079 --> 00:30:16,700 ya está 708 00:30:16,700 --> 00:30:21,990 no, en los logaritmos 709 00:30:21,990 --> 00:30:23,710 tú no puedes hacer el logaritmo de la suma 710 00:30:23,710 --> 00:30:27,160 el logaritmo de una suma 711 00:30:27,160 --> 00:30:28,960 no tiene nada, no tiene propiedad 712 00:30:28,960 --> 00:30:30,059 ahí te has quedado a cantar 713 00:30:30,059 --> 00:30:33,099 el logaritmo del producto, sí, el logaritmo del producto es la suma 714 00:30:33,099 --> 00:30:33,779 de los logaritmos 715 00:30:45,359 --> 00:30:47,099 no, esto es de otra cosa 716 00:30:47,099 --> 00:30:52,059 es que A puede ser 717 00:30:52,059 --> 00:30:54,480 un número real infinito o menos infinito 718 00:30:54,480 --> 00:30:59,019 por eso hay que definir en matemáticas 719 00:30:59,019 --> 00:31:04,750 venga, la de la resta 720 00:31:04,750 --> 00:31:05,750 no hace falta que la ponga, ¿no? 721 00:31:07,750 --> 00:31:09,490 es lo mismo pero cambiando el signo 722 00:31:09,490 --> 00:31:11,529 porque la resta no es una operación por sí misma 723 00:31:11,529 --> 00:31:12,390 es la suma del contrario 724 00:31:12,390 --> 00:31:20,200 el producto 725 00:31:20,200 --> 00:31:21,579 lo mismo 726 00:31:21,579 --> 00:31:24,339 una maravilla 727 00:31:24,339 --> 00:31:37,079 es decir, yo os he dicho 728 00:31:37,079 --> 00:31:38,240 el límite 729 00:31:38,240 --> 00:31:40,920 cuando x tiende a 3 730 00:31:40,920 --> 00:31:43,500 por ejemplo, de 1 partido de x menos 3 731 00:31:43,500 --> 00:31:45,059 era 0 732 00:31:45,059 --> 00:31:47,339 lo que esto me está diciendo es 733 00:31:47,339 --> 00:31:48,539 si tenemos el límite 734 00:31:48,539 --> 00:31:50,960 de un producto de funciones 735 00:31:50,960 --> 00:31:52,599 por ejemplo, raíz de x más 2 736 00:31:52,599 --> 00:31:55,200 por 1 partido de x menos 3 737 00:31:55,200 --> 00:31:57,099 este límite no es fácil 738 00:31:57,099 --> 00:31:58,839 bueno, sí que es fácil, pero todavía no lo sabéis 739 00:31:58,839 --> 00:32:00,599 este límite no es fácil 740 00:32:00,599 --> 00:32:04,319 pero lo voy a poder calcular como el límite de la primera 741 00:32:04,319 --> 00:32:07,589 por el límite de la segunda 742 00:32:07,589 --> 00:32:16,220 X tiende a, es una flecha, ¿vale? 743 00:32:17,019 --> 00:32:19,519 ¿Pero por qué dices que eso no lo vas a poner regular? 744 00:32:20,579 --> 00:32:20,980 ¿Cómo? 745 00:32:22,880 --> 00:32:25,339 Sí, sí, lo vamos a poder calcular, no es tan difícil 746 00:32:25,339 --> 00:32:27,099 lo que quiero que veáis es 747 00:32:27,099 --> 00:32:28,799 ¿para qué me vale esto? 748 00:32:28,900 --> 00:32:30,880 Pues cuando tengo que calcular el límite de una función 749 00:32:30,880 --> 00:32:32,460 que es una multiplicación, por ejemplo 750 00:32:32,460 --> 00:32:33,819 ¿Vale? 751 00:32:36,839 --> 00:32:46,079 Y la pregunta, cuando estás multiplicando por una partida de 15 en 3, ¿se multiplica como una multiplicación normal? 752 00:32:46,359 --> 00:32:48,019 Sí, porque es otra función. 753 00:32:48,680 --> 00:32:52,920 Entonces ya te daría como raíz de 15 al 2, como una partida de 15 en 3, ¿no? 754 00:32:54,200 --> 00:32:58,460 Claro, pero este límite es más difícil de hacer que este por un lado y este por otro y multiplicarlos. 755 00:32:59,380 --> 00:33:05,220 O sea, para lo que me vale este tipo de operaciones es, a mí me daban algo complicado, y yo voy desgranando en más facilidad. 756 00:33:05,220 --> 00:33:07,319 Claro, hacer el logaritmo 757 00:33:07,319 --> 00:33:09,839 Ya, chicos 758 00:33:09,839 --> 00:33:11,619 Hacer el logaritmo de 759 00:33:11,619 --> 00:33:13,140 10 por E 760 00:33:13,140 --> 00:33:15,779 Es más difícil que hacer el logaritmo de 10 761 00:33:15,779 --> 00:33:17,319 El logaritmo de E y sumarlo 762 00:33:17,319 --> 00:33:18,160 Pues esto es lo mismo 763 00:33:18,160 --> 00:33:20,619 Hacer el logaritmo del límite de esta función 764 00:33:20,619 --> 00:33:22,240 Es más difícil que hacer el límite de esta 765 00:33:22,240 --> 00:33:23,779 Y multiplicarlo 766 00:33:23,779 --> 00:33:25,819 ¿Vale? Esta es la idea de las propiedades 767 00:33:25,819 --> 00:33:27,900 La división, lo mismo 768 00:33:27,900 --> 00:33:52,680 La división es lo mismo 769 00:33:52,680 --> 00:33:56,400 La potencia, ¿cómo será? 770 00:33:56,400 --> 00:34:04,089 Ah, no, he puesto K 771 00:34:04,089 --> 00:34:05,890 Bueno, vamos a hacer 772 00:34:05,890 --> 00:34:10,210 Primero la multiplicación por una escala 773 00:34:10,210 --> 00:34:20,139 ¿Cómo será este? 774 00:34:23,199 --> 00:34:24,619 Un número por una función 775 00:34:24,619 --> 00:34:28,940 Como k es un número 776 00:34:28,940 --> 00:34:30,599 el límite de k siempre va a ser un número 777 00:34:30,599 --> 00:34:38,059 Sí, lo que pasa es que es particular 778 00:34:38,059 --> 00:34:39,099 para cuando k es un número 779 00:34:39,099 --> 00:34:40,340 En realidad es esta 780 00:34:40,340 --> 00:34:51,679 claro, sería acá más justo 781 00:34:51,679 --> 00:34:53,260 pero esto lo vamos a ver tan a menudo 782 00:34:53,260 --> 00:34:54,179 que tampoco en particular 783 00:34:54,179 --> 00:35:05,159 ¿se puede dividir entre 0? 784 00:35:05,860 --> 00:35:07,639 no, pero entonces 785 00:35:07,639 --> 00:35:08,300 si es decir 786 00:35:08,300 --> 00:35:10,840 lo de antes 787 00:35:10,840 --> 00:35:13,559 no, pero entonces 788 00:35:13,559 --> 00:35:15,940 ahí yo lo que haré será el límite de la división 789 00:35:15,940 --> 00:35:17,780 pero no puedo hacer la división de los límites 790 00:35:17,780 --> 00:35:20,019 porque no puedo hacer los límites de los límites 791 00:35:20,019 --> 00:35:28,559 pero no puedo hacer esta 792 00:35:28,559 --> 00:35:31,119 es decir, esta propiedad solo la puedo aplicar 793 00:35:31,119 --> 00:35:33,059 si esto no es 0 794 00:35:33,059 --> 00:35:34,599 si no, tengo que hacer este lado 795 00:35:34,599 --> 00:35:37,079 no puedo hacerlo más simple 796 00:35:37,079 --> 00:35:38,679 el logaritmo 797 00:35:38,679 --> 00:35:40,360 de 10 por e, por ejemplo 798 00:35:40,360 --> 00:35:42,719 yo lo podía hacer, logaritmo de 10 más logaritmo de E 799 00:35:42,719 --> 00:35:44,960 que era más fácil, aquí lo que me está diciendo es 800 00:35:44,960 --> 00:35:46,920 si hago el logaritmo de 10 partido por E 801 00:35:46,920 --> 00:35:48,940 lo puedo hacer solo 802 00:35:48,940 --> 00:35:51,099 si, lo de abajo no espero 803 00:35:51,099 --> 00:35:52,840 si no, me tengo que quedar aquí 804 00:35:52,840 --> 00:35:54,800 y no puedo simplificarlo, pues ya está, pues me quedaré ahí 805 00:35:54,800 --> 00:35:56,519 ya veremos como nos apañamos 806 00:35:56,519 --> 00:35:58,400 pero me quedaré ahí, ¿vale? 807 00:35:58,519 --> 00:35:58,920 ¿seguimos? 808 00:36:03,480 --> 00:36:04,579 solo las dos primeras 809 00:36:04,579 --> 00:36:14,320 si el límite 810 00:36:14,320 --> 00:36:15,099 cuando g de x 811 00:36:15,099 --> 00:36:18,019 cuando g de x no es 0 812 00:36:18,019 --> 00:36:20,500 o sea, yo esta propiedad la puedo aplicar 813 00:36:20,500 --> 00:36:20,719 ya 814 00:36:20,719 --> 00:36:24,619 esta propiedad solo la puedo aplicar 815 00:36:24,619 --> 00:36:28,179 yo esta propiedad solo la puedo aplicar 816 00:36:28,179 --> 00:36:29,920 si el límite de lo de abajo no es 0 817 00:36:29,920 --> 00:36:31,239 si no, me tengo que quedar aquí 818 00:36:31,239 --> 00:36:33,099 vale, y 819 00:36:33,099 --> 00:36:35,500 entonces, claro 820 00:36:35,500 --> 00:36:41,980 Claro, si esto me da 8 partido de 0 no puedo hacer 821 00:36:41,980 --> 00:36:44,860 en la multiplicación, si en la multiplicación se me da 8 por 0 822 00:36:44,860 --> 00:36:47,199 o sea, si el límite de una me ha dado 8 y el límite de otra me ha dado 0 823 00:36:47,199 --> 00:36:50,199 8 por 0 es 0 y ya está. En esta no, en esta 824 00:36:50,199 --> 00:36:53,760 si este límite es 8 y este es 0 no puedo hacer la división, entonces tendremos que calcularlo 825 00:36:53,760 --> 00:36:55,380 desde aquí, no podemos simplificarlo. 826 00:36:58,880 --> 00:37:01,159 Sí, porque tienes que decir 827 00:37:01,159 --> 00:37:03,099 dónde estás haciendo ese límite, ¿vale? 828 00:37:03,460 --> 00:37:04,199 Venga, siguiente. 829 00:37:05,500 --> 00:37:08,059 ¿Cómo se da la potencia? 830 00:37:12,239 --> 00:37:14,239 Si la multiplicación se conservaba 831 00:37:14,239 --> 00:37:16,500 Si la multiplicación se conserva 832 00:37:16,500 --> 00:37:17,579 La potencia en realidad es 833 00:37:17,579 --> 00:37:19,719 F por F por F por F por F por F 834 00:37:19,719 --> 00:37:20,320 Que a veces, ¿no? 835 00:37:21,179 --> 00:37:23,500 Pues será el límite de F por límite de F por límite de F 836 00:37:23,500 --> 00:37:24,780 Por límite de F, que eso es 837 00:37:24,780 --> 00:37:32,760 ¿Vale? 838 00:37:43,090 --> 00:37:43,869 ¿Lo entiendes, eh? 839 00:37:44,409 --> 00:37:45,369 Todo eso en mi página 840 00:37:45,369 --> 00:37:53,519 con el logaritmo también 841 00:37:53,519 --> 00:37:56,219 esta no es fácil de demostrar 842 00:37:56,219 --> 00:37:57,219 ¿vale? 843 00:38:00,039 --> 00:38:01,980 cuantas más operaciones con las que hay 844 00:38:01,980 --> 00:38:03,159 más propiedades necesitamos 845 00:38:03,159 --> 00:38:05,980 ¿qué otra operación en el logaritmo? 846 00:38:06,159 --> 00:38:08,400 no teníamos, o sea, al definir la operación logaritmo 847 00:38:08,400 --> 00:38:09,840 teníamos producto 848 00:38:09,840 --> 00:38:11,780 o sea, teníamos multiplicación, suma 849 00:38:11,780 --> 00:38:12,900 y potencia, ¿no? 850 00:38:13,260 --> 00:38:16,039 ahora tenemos multiplicación, suma, potencia, logaritmo, exponencial 851 00:38:16,039 --> 00:38:17,659 hemos aprendido nuevas operaciones 852 00:38:17,659 --> 00:38:22,079 tenemos que dar nuevas propiedades 853 00:38:22,079 --> 00:38:23,940 el logaritmo se mete dentro 854 00:38:23,940 --> 00:38:25,500 esto no es fácil 855 00:38:25,500 --> 00:38:28,239 aquí os lo he puesto muy a las bravas 856 00:38:28,239 --> 00:38:30,860 pero en realidad aquí hay mucho más detrás 857 00:38:30,860 --> 00:38:35,360 bueno, esta 858 00:38:35,360 --> 00:38:40,579 no, podéis usar 859 00:38:40,579 --> 00:38:42,659 la propiedad para que la podamos usar en el examen 860 00:38:42,659 --> 00:38:44,280 no tenéis que demostrar 861 00:38:44,280 --> 00:38:46,659 venga, y ya simplemente 862 00:38:46,659 --> 00:38:52,559 ¿Lo metes dentro del logaritmo? 863 00:39:02,389 --> 00:39:02,750 ¿Vale? 864 00:39:03,389 --> 00:39:05,650 Bueno, me he puesto esta, pero en realidad esta es también la raíz. 865 00:39:05,789 --> 00:39:08,769 Si tengo el límite de la raíz, será la raíz del límite. 866 00:39:09,250 --> 00:39:09,409 ¿Vale? 867 00:39:14,309 --> 00:39:16,269 No, son operaciones, no es que lo saques. 868 00:39:16,590 --> 00:39:17,969 Estoy haciendo el límite del logaritmo. 869 00:39:18,289 --> 00:39:20,909 Un intercambial. Igual que cuando el límite de la potencia 870 00:39:20,909 --> 00:39:22,670 es la potencia de los límites. Son operaciones 871 00:39:22,670 --> 00:39:24,690 con operaciones. Igual que aquí 872 00:39:24,690 --> 00:39:25,909 es cómo se 873 00:39:25,909 --> 00:39:28,489 comporta el logaritmo con el producto. 874 00:39:29,269 --> 00:39:30,530 Cómo se comportan dos operaciones. 875 00:39:30,670 --> 00:39:31,630 Cómo se relacionan entre ellas. 876 00:39:32,469 --> 00:39:34,170 Cómo se comporta el límite del logaritmo. 877 00:39:34,269 --> 00:39:35,889 Cómo se relacionan entre ellas. Pues dándole la vuelta. 878 00:39:36,769 --> 00:39:38,150 ¿Y qué tema no más 879 00:39:38,150 --> 00:39:39,929 de la anterior? Sí, bastante más. 880 00:39:42,730 --> 00:39:43,869 Vamos a ver si la anterior 881 00:39:43,869 --> 00:39:44,610 de la análisis... 882 00:39:44,610 --> 00:39:50,010 dominios 883 00:39:50,010 --> 00:39:57,369 el tema anterior 884 00:39:57,369 --> 00:39:59,230 era calentar dibujitos y ver dibujitos 885 00:39:59,230 --> 00:40:00,409 y hacer dibujitos 886 00:40:00,409 --> 00:40:03,789 pero ¿cuántos cálculos había en el examen? 887 00:40:03,869 --> 00:40:05,030 tres dominios me parece 888 00:40:05,030 --> 00:40:07,289 una función recíproca 889 00:40:07,289 --> 00:40:09,829 un índice de evaluación 890 00:40:09,829 --> 00:40:10,590 que valía un punto 891 00:40:10,590 --> 00:40:12,309 que lo puse por 892 00:40:12,309 --> 00:40:18,469 Pero es que un valor absoluto no era cálculo, porque lo que hacía es que la dibujaba, la trataba y se la reflejaba. 893 00:40:25,510 --> 00:40:30,610 Es la exponencial. El límite del logaritmo es el logaritmo del límite, ¿vale? 894 00:40:30,889 --> 00:40:36,050 El límite de la exponencial es k elevado a la, el límite, ¿vale? 895 00:40:36,050 --> 00:40:39,130 ¿Sí? Es decir, el límite 896 00:40:39,130 --> 00:40:43,369 Cuando x tiende a, yo que sé, 3 897 00:40:43,369 --> 00:40:45,889 De e elevado a la x menos 3 898 00:40:45,889 --> 00:40:50,050 En realidad es e elevado a la límite cuando x menos 3 899 00:40:50,050 --> 00:40:52,610 Esto es e elevado a 3 900 00:40:52,610 --> 00:40:54,949 ¿Vale? Más o menos 901 00:40:54,949 --> 00:40:56,869 Ahora vamos a empezar a hacer ejemplo 902 00:40:56,869 --> 00:41:12,690 El tema anterior es hasta dónde tenéis que saber, o sea, hasta dónde tenéis que entender 903 00:41:12,690 --> 00:41:18,150 de funciones para empezar a hacer cálculos con ellas, como Dios manda, ¿vale? 904 00:41:19,590 --> 00:41:24,550 Venga, este es prácticamente todo el rato hacer cálculos, que es lo difícil, es más 905 00:41:24,550 --> 00:41:25,010 en la realidad. 906 00:41:33,340 --> 00:41:34,139 ¿Esto es un arca? 907 00:41:36,519 --> 00:41:36,880 ¿Aquí? 908 00:41:42,019 --> 00:41:43,800 Nada, simplemente que si tengo el límite 909 00:41:43,800 --> 00:41:45,699 de algo elevado a la función, es ese algo 910 00:41:45,699 --> 00:41:46,599 elevado al límite de la función. 911 00:41:47,699 --> 00:41:48,219 Esta es la última. 912 00:41:49,340 --> 00:41:51,440 La raíz no la he puesto, pero en realidad esto se supone 913 00:41:51,440 --> 00:41:52,820 una fracción y esto es una raíz cuadrada. 914 00:41:55,619 --> 00:41:55,940 ¿Entendido? 915 00:41:56,119 --> 00:41:57,980 vamos a hacer algún ejemplo 916 00:41:57,980 --> 00:41:59,840 oye Mario, una pregunta 917 00:41:59,840 --> 00:42:01,579 ¿está mal operar una experiencia 918 00:42:01,579 --> 00:42:04,000 con fracciones? 919 00:42:04,460 --> 00:42:05,380 no, pero 920 00:42:05,380 --> 00:42:06,980 hazlo cuando haya que hacerlo 921 00:42:06,980 --> 00:42:09,619 para la multiplicación, división 922 00:42:09,619 --> 00:42:11,199 y potencia 923 00:42:11,199 --> 00:42:12,480 bueno, no con eso, sino 924 00:42:12,480 --> 00:42:14,239 para la obra anterior 925 00:42:14,239 --> 00:42:15,500 pero solo 926 00:42:15,500 --> 00:42:19,500 multiplicación, división 927 00:42:19,500 --> 00:42:23,260 potencia de raíz 928 00:42:23,260 --> 00:42:25,139 de una raíz, si es suma de raíz 929 00:42:25,139 --> 00:42:27,159 esa recta de raíces no lo pongas porque no te aporta nada. 930 00:42:28,380 --> 00:42:28,639 Venga, 931 00:42:28,980 --> 00:42:30,400 vamos a hacer un ejemplo tonto. 932 00:42:56,510 --> 00:43:03,090 Por ejemplo 933 00:43:03,090 --> 00:43:05,150 Ah, pues eso es 934 00:43:05,150 --> 00:43:06,929 El límite de x que tiene el infinito 935 00:43:06,929 --> 00:43:07,670 Espera, vamos a hacerlo 936 00:43:07,670 --> 00:43:13,389 Esto es el límite de x que tiene el infinito 937 00:43:13,389 --> 00:43:13,670 Vale 938 00:43:13,670 --> 00:43:16,329 Es el límite de x partido del infinito 939 00:43:16,329 --> 00:43:20,349 Es el límite de x partido del infinito 940 00:43:20,349 --> 00:43:21,010 Vamos a hacerlo 941 00:43:21,010 --> 00:43:23,369 ¿Cómo quiero que tienes que añadir límite de x al infinito? 942 00:43:23,409 --> 00:43:24,429 Eso es, vamos a ello 943 00:43:24,429 --> 00:43:26,710 Igual, ¿os acordáis de los ejercicios de logaritmo? 944 00:43:27,730 --> 00:43:29,210 Cuando en el ejercicio de logaritmo 945 00:43:29,210 --> 00:43:29,909 me ponían 946 00:43:29,909 --> 00:43:32,690 3a al cuadrado 947 00:43:32,690 --> 00:43:33,510 partido de 948 00:43:33,510 --> 00:43:35,730 b partido de 100, ¿qué hacíamos? 949 00:43:37,349 --> 00:43:38,309 Aquí, ¿qué hacíamos? 950 00:43:38,610 --> 00:43:39,309 Ya, chicos, vale. 951 00:43:39,349 --> 00:43:45,989 ¿Qué hacíamos aquí? ¿Cuál era el primer paso? 952 00:43:47,150 --> 00:43:48,690 ¿Tenía el logaritmo de qué operación? 953 00:43:49,309 --> 00:43:49,969 De la división. 954 00:43:50,469 --> 00:43:52,690 De la división, ¿no? Entonces, ¿esto en qué se convertía? 955 00:43:52,690 --> 00:43:57,469 en el logaritmo de la resta, ¿no? 956 00:43:59,289 --> 00:44:00,230 Vale, ¿qué operación? 957 00:44:00,349 --> 00:44:01,730 ¿Está aquí el límite de qué operación? 958 00:44:03,469 --> 00:44:06,230 Pues tienes el límite de una exponencial. 959 00:44:06,789 --> 00:44:07,730 No, ¿de qué operación? 960 00:44:08,150 --> 00:44:08,889 Solo me puedes enseñar. 961 00:44:09,150 --> 00:44:12,190 El límite de exponencial. 962 00:44:12,489 --> 00:44:14,170 El partido del límite de este x. 963 00:44:14,690 --> 00:44:17,309 En el de la e, si la hemos separado es cero. 964 00:44:18,309 --> 00:44:18,489 Sí. 965 00:44:19,550 --> 00:44:21,349 Venga, Molina, otra vez, que lo habéis dicho bien. 966 00:44:21,710 --> 00:44:22,610 ¿Límite de qué operación? 967 00:44:23,289 --> 00:44:25,050 Vale, ¿cómo se hace el límite de una división? 968 00:44:25,090 --> 00:44:27,570 el límite de lo de arriba 969 00:44:27,570 --> 00:44:29,090 partido del límite de lo de abajo 970 00:44:29,090 --> 00:44:31,969 ¿Veis que es muy agradecido? 971 00:44:34,280 --> 00:44:35,760 Si lo veis de una manera matemática 972 00:44:35,760 --> 00:44:36,340 es muy fácil 973 00:44:36,340 --> 00:44:44,780 Entonces, entonces, aquí era 974 00:44:44,780 --> 00:44:47,280 ¿Ya veis que hemos convertido 975 00:44:47,280 --> 00:44:48,900 ya, chicos, por favor 976 00:44:48,900 --> 00:44:50,420 ¿Veis que hemos convertido 977 00:44:50,420 --> 00:44:53,719 un límite difícil en dos un poquito más fáciles? 978 00:44:54,739 --> 00:44:56,000 Igual que en los logaritmos 979 00:44:56,000 --> 00:44:57,699 ahí teníamos un logaritmo muy difícil 980 00:44:57,699 --> 00:45:00,079 y lo convertíamos en dos logaritmos más fáciles 981 00:45:00,079 --> 00:45:01,260 ¿ahora qué teníamos que hacer aquí? 982 00:45:03,420 --> 00:45:04,300 ¿aquí qué tenía? 983 00:45:04,400 --> 00:45:05,019 logaritmo de 984 00:45:05,019 --> 00:45:06,519 eso, este a uno por separado 985 00:45:14,980 --> 00:45:15,980 por cierto 986 00:45:15,980 --> 00:45:18,860 que se me olvidó el piloto del examen de RECU 987 00:45:18,860 --> 00:45:20,480 este paréntesis 988 00:45:20,480 --> 00:45:21,980 no me lo ha puesto nadie 989 00:45:21,980 --> 00:45:23,340 este 990 00:45:23,340 --> 00:45:26,820 es el logaritmo de 3 al cuadrado 991 00:45:26,820 --> 00:45:29,019 menos el logaritmo de b partido de 100 992 00:45:29,019 --> 00:45:30,920 si b partido de 100 se convierte en esto 993 00:45:30,920 --> 00:45:32,400 es esto menos 994 00:45:32,400 --> 00:45:33,659 todo lo que me está acá de aquí 995 00:45:33,659 --> 00:45:35,239 ¿vale? 996 00:45:36,699 --> 00:45:38,079 venga, pues ahora 997 00:45:38,079 --> 00:45:38,739 ¿ahora qué hacemos? 998 00:45:40,760 --> 00:45:42,659 tenemos dos límites facilitos, ¿no? 999 00:45:45,039 --> 00:45:46,960 bueno, lo primero, el límite de abajo es 0 1000 00:45:46,960 --> 00:45:50,780 es infinito, ¿no? entonces este lo puedo hacer 1001 00:45:50,780 --> 00:45:51,280 no hay problema 1002 00:45:51,280 --> 00:45:53,059 venga, ahora 1003 00:45:53,059 --> 00:45:55,840 pero vamos a ir poco a poco 1004 00:45:55,840 --> 00:45:57,340 el límite de la exponencia, ¿qué es? 1005 00:46:02,340 --> 00:46:04,059 claro, es la fórmula de la propiedad 1006 00:46:04,059 --> 00:46:06,219 de las exponenciales, y esto lo separo 1007 00:46:06,219 --> 00:46:14,449 ¿entendéis? 1008 00:46:16,409 --> 00:46:17,730 pero mirad las propiedades 1009 00:46:17,730 --> 00:46:19,750 aquí tengo el límite 1010 00:46:19,750 --> 00:46:20,429 ¿de qué operación? 1011 00:46:22,030 --> 00:46:23,329 pues mirad la propiedad 1012 00:46:23,329 --> 00:46:24,909 de cómo se hace el límite de una exponencia 1013 00:46:24,909 --> 00:46:25,989 que esta última ha quedado 1014 00:46:25,989 --> 00:46:28,869 Ahora vamos, ahora vamos. 1015 00:46:29,250 --> 00:46:30,309 ¿Cómo se hace el límite 1016 00:46:30,309 --> 00:46:31,409 de la que he hecho? 1017 00:46:32,610 --> 00:46:34,329 El de la exponencial, el último que he puesto. 1018 00:46:36,090 --> 00:46:36,269 Este. 1019 00:46:39,030 --> 00:46:39,869 Esta es la propiedad. 1020 00:46:40,710 --> 00:46:42,530 El límite de un número elevado 1021 00:46:42,530 --> 00:46:44,530 a una función es ese número elevado al límite 1022 00:46:44,530 --> 00:46:44,969 de la función. 1023 00:46:50,170 --> 00:46:51,329 Nada más las propiedades. 1024 00:46:52,090 --> 00:46:53,829 Tenéis una propiedad que pone el límite. 1025 00:46:53,829 --> 00:46:56,050 cuando existe la de f de x más c de x 1026 00:46:56,050 --> 00:46:58,090 es límite de f de x 1027 00:46:58,090 --> 00:47:00,190 más límite de c de x. Pues este lo he convertido 1028 00:47:00,190 --> 00:47:00,650 en esto. 1029 00:47:04,590 --> 00:47:05,309 Una por uno. 1030 00:47:05,309 --> 00:47:05,510 ¿Qué? 1031 00:47:08,050 --> 00:47:08,829 ¿Con infinito? 1032 00:47:09,210 --> 00:47:11,170 Con infinito, todo el rato. 1033 00:47:11,289 --> 00:47:12,469 Ahora es infinito. 1034 00:47:12,690 --> 00:47:13,170 Ya, molino. 1035 00:47:15,170 --> 00:47:16,650 Ah, sí, ¿cómo se dice 1036 00:47:16,650 --> 00:47:18,869 que esto es partido de 15 con f de x? 1037 00:47:19,590 --> 00:47:21,269 Porque es algo con x 1038 00:47:21,269 --> 00:47:22,829 pues es f de x. 1039 00:47:23,829 --> 00:47:27,829 ¿Vale? Aquí era una función algo con x entre algo con x, ¿no? 1040 00:47:28,369 --> 00:47:29,869 Pues es f de x entre f de x. 1041 00:47:30,750 --> 00:47:33,610 Ahora ya voy cambiando cada vez, va siendo una función más simple. 1042 00:47:33,969 --> 00:47:35,030 Estoy teniendo más límites. 1043 00:47:35,489 --> 00:47:37,690 Sí, pero las funciones con las que estoy trabajando son más simples. 1044 00:47:38,150 --> 00:47:39,349 Entonces me está facilitando el cálculo. 1045 00:47:39,530 --> 00:47:40,130 Igual que aquí. 1046 00:47:40,929 --> 00:47:41,630 Exactamente lo mismo. 1047 00:47:42,429 --> 00:47:44,349 Venga, ¿cómo era el límite de la división? 1048 00:47:46,110 --> 00:47:47,150 Es una división y ya. 1049 00:47:49,289 --> 00:47:50,570 Venga, voy a hacer otra vez. 1050 00:47:50,570 --> 00:47:57,329 Sí, podría, pero no 1051 00:47:57,329 --> 00:47:58,989 Vale 1052 00:47:58,989 --> 00:48:00,329 Igual que aquí 1053 00:48:00,329 --> 00:48:02,650 Aquí yo decía 1054 00:48:02,650 --> 00:48:04,110 Logaritmo de 3 1055 00:48:04,110 --> 00:48:06,409 Más 2 logaritmo de a 1056 00:48:06,409 --> 00:48:09,469 ¿Cuánto vale el logaritmo de 100? 1057 00:48:10,650 --> 00:48:11,210 No sé Mario 1058 00:48:11,210 --> 00:48:13,170 Pero el límite de 1 1059 00:48:13,170 --> 00:48:14,969 A 1 no hace falta, ¿no? 1060 00:48:14,969 --> 00:48:15,809 Porque ahí no hay una 1061 00:48:15,809 --> 00:48:17,570 Ah, justo esto es lo que iba a explicar 1062 00:48:17,570 --> 00:48:19,610 Aquí el logaritmo de 100 ya es 2, ¿no? 1063 00:48:19,610 --> 00:48:21,469 pues ya vamos a ir 1064 00:48:21,469 --> 00:48:22,289 concluyendo, hombre 1065 00:48:22,289 --> 00:48:29,429 ¿entendéis? 1066 00:48:33,429 --> 00:48:34,989 da igual lo que valga la x 1067 00:48:34,989 --> 00:48:36,349 esto siempre va a ser 1 1068 00:48:36,349 --> 00:48:41,449 27, claro, da igual lo que valga la x 1069 00:48:41,449 --> 00:48:42,969 esto no es una función constante 1070 00:48:42,969 --> 00:48:46,150 claro 1071 00:48:46,150 --> 00:48:49,389 ahora vamos 1072 00:48:49,389 --> 00:49:01,010 vale, ¿cuánto es 2 1073 00:49:01,010 --> 00:49:02,750 partido de el límite, cuando existe 1074 00:49:02,750 --> 00:49:03,590 el infinito de x? 1075 00:49:09,590 --> 00:49:10,690 ¿de qué infinito? 1076 00:49:10,809 --> 00:49:11,789 si se puede, ya lo veremos 1077 00:49:11,789 --> 00:49:14,989 el infinito depende de cómo, de qué infinito sea 1078 00:49:14,989 --> 00:49:16,030 espera, voy a terminar un momento 1079 00:49:16,030 --> 00:49:18,750 ¿cuánto es 2 dividido entre 1080 00:49:18,750 --> 00:49:21,190 todas las personas que ha habido 1081 00:49:21,190 --> 00:49:21,829 ahí habrá. 1082 00:49:23,489 --> 00:49:24,210 Pero no. 1083 00:49:25,030 --> 00:49:27,130 2 entre el límite cuando x tiende a infinito de x 1084 00:49:27,130 --> 00:49:27,530 es 0. 1085 00:49:37,840 --> 00:49:39,179 ¿Cuándo es 2? 1086 00:49:39,880 --> 00:49:40,360 2 1087 00:49:40,360 --> 00:49:43,099 2 entre el límite cuando x tiende a infinito 1088 00:49:43,099 --> 00:49:43,480 de x. 1089 00:49:43,840 --> 00:49:47,239 2 partido de infinito, ¿no? 1090 00:49:48,179 --> 00:49:48,880 2 partido de 1091 00:49:48,880 --> 00:49:51,219 9.999.999 1092 00:49:51,219 --> 00:49:52,179 ¿Sí? 1093 00:49:53,500 --> 00:49:54,340 Esto es 0. 1094 00:49:56,079 --> 00:49:56,519 ¿Sí? 1095 00:49:58,159 --> 00:49:59,480 Y ya está, solo he hecho esto, 1096 00:49:59,559 --> 00:50:00,300 porque además lo he dejado igual. 1097 00:50:00,699 --> 00:50:01,699 E a la 0, ¿cuánto es? 1098 00:50:05,030 --> 00:50:06,889 Vale, si divido 1 1099 00:50:06,889 --> 00:50:09,469 si divido 1 entre 1100 00:50:09,469 --> 00:50:12,909 9.999.999.999 1101 00:50:12,909 --> 00:50:14,070 más 1, ¿cuánto me da? 1102 00:50:16,150 --> 00:50:16,590 0. 1103 00:50:20,800 --> 00:50:21,239 Entonces, 1104 00:50:21,239 --> 00:50:23,179 si dibujásemos esta función 1105 00:50:23,179 --> 00:50:25,460 va a tener un asíntoto horizontal 1106 00:50:25,460 --> 00:50:27,440 en i igual a cero. Por eso lo veremos después. 1107 00:50:28,280 --> 00:50:29,420 No, o sea, si lo tengo que hacer 1108 00:50:29,420 --> 00:50:30,659 solo en la división. Sí, yo tampoco. 1109 00:50:31,079 --> 00:50:33,119 Pero lo que pasa es que, a ver, ahora 1110 00:50:33,119 --> 00:50:35,440 mirando en casa tranquilamente, es exactamente 1111 00:50:35,440 --> 00:50:37,219 igual que los problemas de logaritmo, tocarse 1112 00:50:37,219 --> 00:50:39,340 las propiedades, las propiedades van una a una. 1113 00:50:39,820 --> 00:50:40,880 El límite de la división. 1114 00:50:41,880 --> 00:50:43,280 Mirad las propiedades. Cuando tenía 1115 00:50:43,280 --> 00:50:44,519 el límite de una división, ¿qué hacía? 1116 00:50:46,239 --> 00:50:47,260 Pero mirad las propiedades, 1117 00:50:47,340 --> 00:50:47,639 que anota. 1118 00:50:49,739 --> 00:50:50,920 Vale, la división de los límites. 1119 00:50:51,039 --> 00:50:52,500 Ahora tengo dos límites más fáciles, ¿no? 1120 00:50:52,500 --> 00:50:54,980 este es lo mismo 1121 00:50:54,980 --> 00:50:56,559 pero se ha puesto el mismo ejemplo 1122 00:50:56,559 --> 00:50:58,440 lo que pasa es que las propiedades son todavía más fáciles 1123 00:50:58,440 --> 00:51:06,219 porque yo estoy calculando la operación 1124 00:51:06,219 --> 00:51:08,420 la operación es el límite cuando x tiende a infinito 1125 00:51:08,420 --> 00:51:11,079 ¿qué quieres quitar de x tiende a infinito? 1126 00:51:11,599 --> 00:51:12,900 es que si lo quitas 1127 00:51:12,900 --> 00:51:14,519 ¿dónde estás haciendo ese límite? 1128 00:51:15,739 --> 00:51:17,039 en el límite tienes que poner 1129 00:51:17,039 --> 00:51:18,099 siempre donde lo estás haciendo 1130 00:51:18,099 --> 00:51:19,940 ¿por qué?