1 00:00:12,400 --> 00:00:17,460 Hola a todos, soy Raúl Corralizas, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,460 --> 00:00:21,920 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:21,920 --> 00:00:25,859 de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. 4 00:00:31,089 --> 00:00:35,210 En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 15. 5 00:00:47,630 --> 00:00:51,850 En este ejercicio se nos pide que resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones utilizando 6 00:00:51,850 --> 00:00:56,049 el método de Gauss y una vez resuelto lo caractericemos en función de sus soluciones. 7 00:00:56,770 --> 00:01:04,950 Vemos que tenemos un sistema formado por cuatro ecuaciones con tres incógnitas y tenemos ya las ecuaciones en forma canónica. 8 00:01:05,129 --> 00:01:10,769 Tenemos en el miembro de la izquierda la parte literal, en el miembro de la derecha los términos independientes 9 00:01:10,769 --> 00:01:15,530 y en lo que respecta a la parte literal vemos que las incógnitas están ordenadas en orden alfabético. 10 00:01:16,269 --> 00:01:21,790 Tenemos menos 4x más y más 4z igual a 3, menos x menos y menos z igual a 2, 11 00:01:22,409 --> 00:01:24,950 4x menos 6y menos 2z igual a 2. 12 00:01:25,510 --> 00:01:28,409 3x menos 7y menos 3z igual a 4. 13 00:01:29,269 --> 00:01:34,950 Bien, lo primero que vamos a hacer es transcribir el sistema de ecuaciones así dado en forma matricial. 14 00:01:35,069 --> 00:01:40,689 Y lo que tenemos que hacer es directamente transcribir los coeficientes en el orden en el que los tenemos. 15 00:01:41,290 --> 00:01:48,969 Menos 4x escribo menos 4, más una y escribo un 1, más 4z escribo un 4, igual a 3. 16 00:01:49,349 --> 00:01:51,750 A la derecha de esta línea vertical escribo el 3. 17 00:01:51,790 --> 00:01:59,030 esta línea vertical, es una cosa estética que me va a permitir separar a la izquierda lo que había en la parte literal 18 00:01:59,030 --> 00:02:01,510 y a la derecha los términos independientes y más. 19 00:02:02,170 --> 00:02:09,949 En cuanto a la segunda ecuación, menos una x, menos uno, menos una y, menos uno, menos una z, menos uno, igual a dos. 20 00:02:10,050 --> 00:02:17,610 Y así con todas las demás. 4x, un 4, menos 6y, menos 6, menos 2z, un menos 2, este 2 es este 2. 21 00:02:18,509 --> 00:02:26,310 3x es este 3, menos 7y es este menos 7, menos 3z es este menos 3 y este 4 de término independiente me lo encontraría aquí. 22 00:02:26,909 --> 00:02:29,569 ¿Qué podría hacer si me faltara alguna de las letras? 23 00:02:30,150 --> 00:02:35,310 Pues en ese caso, si aquí imaginaos no hubiera x y empezara directamente con menos y menos z, 24 00:02:35,650 --> 00:02:40,270 el coeficiente de x es 0, por eso no veo z, y aquí escribiría una z. 25 00:02:40,629 --> 00:02:40,909 ¿De acuerdo? 26 00:02:41,370 --> 00:02:45,849 En cuanto a los términos independientes, si veo igual a 0, pues directamente transcribiría el 0. 27 00:02:46,789 --> 00:02:56,930 Esta forma matricial de representar el sistema de ecuaciones es más limpia en el sentido en el que no tengo tantos signos, no tengo los iguales y sobre todo no tengo las letras. 28 00:02:58,110 --> 00:03:06,870 Me gusta decir que lo que tengo aquí es el sistema desvestido, le he quitado la ropa, que en este caso serían las letras, la parte literal. 29 00:03:06,870 --> 00:03:21,150 Y tenemos en esta columna todos los coeficientes de las x, en la segunda columna los coeficientes de las y, en la tercera columna los coeficientes de las z, y a la derecha de la línea vertical, estética, insisto, tenemos los términos independientes. 30 00:03:22,550 --> 00:03:32,430 Si echamos un vistazo a las ecuaciones, puedo ver algunas cosas que ya antes de empezar a aplicar el método de Gauss me llaman la atención. 31 00:03:32,430 --> 00:03:37,930 Por ejemplo, veo que la segunda ecuación tiene menos 1, menos 1, menos 1 y un 2. 32 00:03:38,629 --> 00:03:41,849 Hay muchos signos negativos. De hecho, casi todos son negativos. 33 00:03:42,289 --> 00:03:46,370 De hecho, todos los coeficientes de la parte literal son negativos. 34 00:03:47,169 --> 00:03:50,789 Y en un momento dado puedo considerar que me es más cómodo trabajar con coeficientes positivos. 35 00:03:50,889 --> 00:03:53,069 Me disgusta tener tantos signos menos. 36 00:03:53,509 --> 00:03:57,289 Algo que puedo hacer es multiplicar toda la fila 2 por menos 1, 37 00:03:57,469 --> 00:04:00,449 que sería equivalente a multiplicar toda la ecuación 2 por menos 1. 38 00:04:00,870 --> 00:04:04,169 Puedo multiplicar por un número, siempre que sea distinto de cero, una ecuación completa. 39 00:04:04,969 --> 00:04:08,310 Y me van a quedar signos positivos, me voy a sentir más cómodo. 40 00:04:08,710 --> 00:04:12,110 Algo que también veo es que en la tercera ecuación, que tengo aquí en la tercera fila, 41 00:04:12,629 --> 00:04:17,170 4 menos 6 menos 2 y 2, todos los coeficientes del término independiente son pares. 42 00:04:17,170 --> 00:04:21,589 Me gustaría dividir toda esta ecuación entre 2, dividir toda esta línea entre 2. 43 00:04:21,709 --> 00:04:27,009 Voy a tener coeficientes más sencillos, más pequeños, eliminando eso de que sean todos pares, todos son múltiplos de 2. 44 00:04:27,009 --> 00:04:31,029 ¿Cómo hago eso? Pues sencillamente realizando las operaciones 45 00:04:31,029 --> 00:04:35,209 Ahora, ¿cómo lo indico? Porque siempre que hago una transformación o hago unas transformaciones 46 00:04:35,209 --> 00:04:37,370 Tengo que indicar qué es lo que estoy haciendo 47 00:04:37,370 --> 00:04:38,610 Pues fijaos en lo que he hecho 48 00:04:38,610 --> 00:04:42,269 Este símbolo que hay aquí es el que representa equivale a 49 00:04:42,269 --> 00:04:47,629 Es el símbolo que hay encima de la letra Ñ, el símbolo de nasalización 50 00:04:47,629 --> 00:04:50,910 No es un aproximadamente, es un equivale a 51 00:04:50,910 --> 00:04:55,029 Y debajo lo que he escrito es un código determinado 52 00:04:55,029 --> 00:04:58,149 y que aprovecho para explicaros, las transformaciones que estoy haciendo. 53 00:04:59,389 --> 00:05:01,089 Es una anotación algorítmica. 54 00:05:02,170 --> 00:05:08,410 La fila 2 la estoy sustituyendo por menos la fila 2, o sea, la fila 2 cambiada de signo. 55 00:05:08,790 --> 00:05:15,110 Y aquí estoy utilizando estas flechas para indicar que lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 56 00:05:15,790 --> 00:05:21,389 La fila 2 es sustituida por menos la fila 2, la multiplico por el número menos 1. 57 00:05:21,389 --> 00:05:26,910 Y aquí lo veo, 1, 1, 1, menos 2, es el resultado de multiplicar por menos 1 esta segunda fila. 58 00:05:28,149 --> 00:05:33,230 Aquí estoy diciendo que sustituyo la tercera fila por la fila 3 entre 2. 59 00:05:33,750 --> 00:05:37,529 Lo que he dicho anteriormente, he visto que los coeficientes son todos pares, quiero dividir entre 2. 60 00:05:37,889 --> 00:05:39,410 ¿Cómo lo indico? De esta manera. 61 00:05:39,949 --> 00:05:42,290 Lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 62 00:05:42,589 --> 00:05:45,430 La fila 3 es sustituida por la fila 3 entre 2. 63 00:05:45,430 --> 00:05:51,269 Así que en lugar de 4 menos 6 menos 2, 2, estoy escribiendo 2 menos 3 menos 1, 1. 64 00:05:51,389 --> 00:05:58,730 La fila 1 no digo que le esté haciendo nada, luego la escribo igual. La fila 4, igualmente, no he dicho que le vaya a hacer nada, la transcribo igual. 65 00:05:59,509 --> 00:06:07,170 Este paso no es estrictamente hablando una parte del método de Gauss, pero me va a ayudar a que lo que siga sea más sencillo. 66 00:06:07,850 --> 00:06:20,730 Para que en el primer paso del método de Gauss pueda comenzar el algoritmo, necesito que el número que tengo aquí, el primer número en la primera fila, en la primera columna, sea distinto de 0. 67 00:06:21,389 --> 00:06:33,509 En este caso, lo es. Me es mucho más cómodo, y vais a ver por qué dentro de un momento, si el número que tengo aquí, aparte de ser distinto de cero y esto es imprescindible, fuera 1 o menos 1. 68 00:06:34,029 --> 00:06:42,949 Pero si fuera 1, sería maravilloso. Afortunadamente veo que inmediatamente debajo de este menos 4, en esa misma columna, sí que hay un 1. 69 00:06:43,089 --> 00:06:50,610 Y lo siguiente que voy a hacer es cambiar el orden de las filas. Dije que lo podría hacer por distintas razones. Una de ellas es por comodidad. 70 00:06:50,610 --> 00:06:58,069 Yo necesito que este coeficiente sea distinto de 0 y me gustaría que de ser posible fuera 1 o menos 1, llegado el caso. 71 00:06:58,589 --> 00:07:01,529 ¿Cómo puedo conseguir que haya un 1? Pues cambiando el orden de las filas. 72 00:07:01,649 --> 00:07:07,029 Y de hecho lo que voy a hacer es intercambiar el orden de la fila 1 y la fila 2. 73 00:07:07,209 --> 00:07:12,870 Voy a escribir mi fila 2 la primera y entonces la que tengo como fila 1 la segunda. 74 00:07:13,389 --> 00:07:16,269 Y voy a mantener la fila 3 y la fila 4 donde se encuentran. 75 00:07:17,110 --> 00:07:23,350 ¿Cómo lo hago? Tal cual lo estoy diciendo. ¿Cómo lo explico? ¿Cómo lo expreso? Esa es la parte que voy a contar a continuación. 76 00:07:24,209 --> 00:07:29,589 Vemos la flecha, algo a la izquierda, algo a la derecha. Lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 77 00:07:30,110 --> 00:07:37,310 ¿Qué veo a la izquierda? Pues lo que veo es mi matriz, veis los paréntesis, y las filas 1, 2, 3, 4. 78 00:07:37,470 --> 00:07:43,790 Es la matriz tal cual la tengo ordenada, con las filas en este orden. ¿Por qué la sustituyo? Miro y veo que. 79 00:07:44,610 --> 00:07:46,029 La fila 2 la estoy poniendo en la primera. 80 00:07:46,670 --> 00:07:51,329 A continuación estoy poniendo la fila 1 y las filas 3 y 4 no cambian el orden. 81 00:07:51,529 --> 00:07:54,569 Lo que he dicho lo represento de esta forma simbólica. 82 00:07:55,069 --> 00:07:55,889 Y tal cual lo voy a escribir. 83 00:07:56,810 --> 00:07:59,269 Transcribo en primer lugar lo que era mi fila 2. 84 00:07:59,649 --> 00:08:01,709 Aquí estaría. 1, 1, 1, menos 2. 85 00:08:02,149 --> 00:08:04,149 A continuación lo que era mi fila 1. 86 00:08:04,509 --> 00:08:06,550 Menos 4, 1, 4, 3. Aquí lo tengo. 87 00:08:07,050 --> 00:08:09,649 Y las filas 3 y 4 las copio tal cual sin cambiar el orden. 88 00:08:10,170 --> 00:08:12,949 Fila 3, fila 4. Aquí las tengo. Fila 3 y fila 4. 89 00:08:13,790 --> 00:08:29,290 Esta parte también es estética. Necesito que este coeficiente sea distinto de 0 y si fuera 0, dirás a casualidad, debo cambiar el orden de las filas para poner aquí como primera fila una cuyo primer coeficiente sea distinto de 0. 90 00:08:29,829 --> 00:08:34,889 En principio cualquiera vale y el método funciona con cualquier número que haya ahí con tal de que sea distinto de 0. 91 00:08:35,190 --> 00:08:42,769 No obstante, por mi comodidad y por mi gusto, me gusta que sea el número 1, de ser posible, sino el número menos 1. 92 00:08:43,049 --> 00:08:46,429 Y si no cualquiera, quiero decir. Si no es 1 o menos 1, me chugaré con lo que tenga. 93 00:08:46,429 --> 00:08:48,389 En este caso he podido poner este 1. 94 00:08:49,389 --> 00:09:00,769 Mi objetivo, y este es el primer paso del método de Gauss, es, utilizando este 1, reducir todos los coeficientes que tengo debajo y hacer que sean 0. 95 00:09:00,889 --> 00:09:05,990 Os recuerdo que el método de Gauss no es más que una sistematización algorítmica del método de reducción. 96 00:09:05,990 --> 00:09:19,529 Y con el método de reducción lo que hago es conseguir que los coeficientes de una misma incógnita sean iguales para, sumando o restando, que desaparezca esta variable en una de las ecuaciones. Esto cuando tenía solo dos. 97 00:09:20,070 --> 00:09:29,230 En este caso que veo que tengo cuatro, lo que quiero es que los coeficientes de una de las incógnitas, excepto en una de las ecuaciones, en todas las demás sean cero. 98 00:09:29,230 --> 00:09:35,730 Quiero reducir en las demás ecuaciones el número de incógnitas. Y lo voy a hacer de la siguiente manera. 99 00:09:35,990 --> 00:09:55,210 Aquí veo este número 1, aquí veo este menos 4 y pienso, si yo multiplicara la primera fila por 4 y se la sumara a la fila 2, lo que tendría es 4 menos 4 igual a 0, lo que tendría es un 0 correspondiente a esta columna, que es donde tengo la incógnita x. 100 00:09:55,210 --> 00:10:08,490 Así que voy a sustituir la fila 2 por una combinación lineal de la fila 2 y la fila 1 que me haga un 0 y pienso que si multiplico esta por 4 y le sumo la fila 2 voy a obtener un 0. 101 00:10:08,950 --> 00:10:16,789 Lo esquivo de esa manera. Voy a sustituir la fila 2 por la fila 2 más 4 veces la fila 1. 102 00:10:16,789 --> 00:10:21,830 4 por 1 es 4, menos 4 es este 0 103 00:10:21,830 --> 00:10:26,289 4 por este 1 es 4, más este 1 es este 5 104 00:10:26,289 --> 00:10:30,309 4 por 1 es 4, más este 4 es este 8 105 00:10:30,309 --> 00:10:35,730 4 por menos 2 es menos 8, más este 3 es este menos 5 106 00:10:35,730 --> 00:10:42,590 He sustituido la fila 2 por una combinación lineal que la incluye sin anularla 107 00:10:42,590 --> 00:10:43,850 De hecho incluye fila 2 108 00:10:43,850 --> 00:10:47,429 y alguna de las otras, en concreto, la fila 1. 109 00:10:47,789 --> 00:10:49,990 Cuatro veces la fila 1 más la fila 2. 110 00:10:51,610 --> 00:10:53,289 A esto se le llama pivotar. 111 00:10:53,929 --> 00:10:57,990 Utilizando este 1 veo cómo eliminar este menos 4. 112 00:10:58,370 --> 00:11:02,230 Si este 1 lo multiplico por 4 y sumo, obtengo este 0, que me va a interesar. 113 00:11:03,649 --> 00:11:08,750 Para que quede más claro, vamos a ver cómo haría para, en esta fila 3, conseguir aquí un 0. 114 00:11:09,590 --> 00:11:14,470 Voy a pivotar, ya voy a utilizar la terminología adecuada, con la fila 1, con este 1. 115 00:11:15,850 --> 00:11:20,950 ¿Qué podría hacer con este 1 para, sumando o restando, eliminar este 2? 116 00:11:21,210 --> 00:11:26,590 Y lo que pienso es, si multiplicara esta fila por 2, aquí tendría un 2, 2 por 1 es 2. 117 00:11:26,950 --> 00:11:30,190 Si yo ahora resto, 2 menos 2 es 0, consigo el 0 que yo quería. 118 00:11:30,970 --> 00:11:33,830 ¿Cuál es la combinación que voy a hacer? ¿Cuál es la sustitución que voy a hacer? 119 00:11:33,830 --> 00:11:40,769 Pues fijaos, la fila 3 la voy a sustituir por la fila 3 menos dos veces la fila 1. 120 00:11:41,490 --> 00:11:45,509 2 por 1 es 2, este 2 menos 2 es este 0. 121 00:11:46,429 --> 00:11:50,690 2 por 1 es 2, menos 3 menos 2 es este menos 5. 122 00:11:51,590 --> 00:11:55,549 2 por 1 es 2, menos 1 menos 2 es este menos 3. 123 00:11:56,409 --> 00:12:03,629 2 por menos 2 es menos 4, 1 menos menos 4, cuidado con los signos, menos por menos es más, es este 5. 124 00:12:03,830 --> 00:12:28,990 Y lo que he hecho es sustituir la fila 3 por una combinación lineal que la incluye, tengo la fila 3 y en este caso la fila 1, porque en este paso del método de Gauss siempre voy a sustituir la fila 2 por una combinación de ella y la fila 1, la fila 3 por una combinación lineal de ella y la fila 1, la fila 4, y aquí es a donde vamos ahora, por una combinación lineal de ella y la fila 1, siempre con la fila 1 en el primer paso. 125 00:12:29,990 --> 00:12:32,769 Pienso lo mismo. Aquí tengo un 1, aquí tengo un 3. 126 00:12:33,110 --> 00:12:36,429 Bueno, si multiplico esto por 3, la fila entera por 3, aquí tendría un 3. 127 00:12:36,809 --> 00:12:40,850 Y si yo ahora restara, 3 menos 3 es 0. Ya tendría el 0 que estoy buscando aquí. 128 00:12:41,950 --> 00:12:44,610 3 por 1 es 3. 3 menos este 3 es 0. 129 00:12:45,090 --> 00:12:48,590 3 por 1 es 3. Menos 7 menos 3 es este menos 10. 130 00:12:49,309 --> 00:12:52,789 3 por 1 es 3. Menos 3 menos 3 es este menos 6. 131 00:12:53,389 --> 00:12:57,110 3 por menos 2 es menos 6. 4 menos menos 6. 132 00:12:57,110 --> 00:13:04,610 Una vez más, cuidado con los signos, es este 10. Y he cambiado la fila 4 por la fila 4 menos 3 veces la fila 1. 133 00:13:05,330 --> 00:13:09,570 He conseguido lo que necesito en este primer paso del método de Gauss. 134 00:13:10,289 --> 00:13:14,929 Debajo del primer elemento de la primera fila, por debajo, tengo ceros. 135 00:13:16,210 --> 00:13:25,990 Fijaos en cómo son estas ecuaciones. La segunda ecuación, la nueva segunda ecuación, si yo la leo, sería 0x más 5y más 8z igual a menos 5. 136 00:13:26,970 --> 00:13:29,809 El 0x no lo debería leer, no existe, no está. 137 00:13:30,110 --> 00:13:33,929 Debería decir sencillamente 5y más 8z igual a menos 5. 138 00:13:34,330 --> 00:13:37,789 ¿Qué ha pasado? He reducido las incógnitas porque ya no tengo la x. 139 00:13:38,429 --> 00:13:39,789 He aplicado el método de reducción. 140 00:13:40,570 --> 00:13:44,029 Lo mismo ha pasado con la fila 3, lo mismo ha pasado con la fila 4. 141 00:13:44,950 --> 00:13:47,169 Cuando este coeficiente es 1, todo es muy sencillo. 142 00:13:47,649 --> 00:13:50,389 Lo que hago es mirar los coeficientes de las demás filas, 143 00:13:50,789 --> 00:13:53,370 multiplicar por ellos y sumar o restar según me convenga. 144 00:13:53,370 --> 00:14:01,850 Yo aquí veo un menos 4, multiplico la fila entera por 4 y como aquí hay un menos y aquí hay un más, sumo fila 2 más 4, fila 1. 145 00:14:02,610 --> 00:14:07,669 Aquí hay un 1, aquí hay un 2, multiplico esta por 2 y como tienen igual signo, las resto. 146 00:14:08,230 --> 00:14:09,970 Fila 3 menos 2, fila 1. 147 00:14:10,870 --> 00:14:14,889 Aquí hay un 3, aquí hay un 1, multiplico aquí por este 3 y hará resto. 148 00:14:15,570 --> 00:14:17,750 Fila 4 menos 3 veces la fila 1. 149 00:14:18,629 --> 00:14:23,590 Insisto en que lo que estoy haciendo es, de una forma sistematizada y algorítmica, utilizar el método de reducción. 150 00:14:24,009 --> 00:14:30,610 Y aquí, cuando un coeficiente es 1, todo está muy bien, 1 o menos 1, lo que voy a hacer es multiplicar esta fila por el coeficiente de la otra 151 00:14:30,610 --> 00:14:33,929 y luego sumar o restar dependiendo de los signos que yo me encuentre. 152 00:14:34,370 --> 00:14:48,830 A continuación veo algo llamativo y es que las filas 3 y 4 se parecen muchísimo, tanto que es que la fila 4 es el doble de la fila 3. 153 00:14:48,830 --> 00:14:56,690 Fijaos, 2 por 0 es este 0, claro. 2 por menos 5 es este menos 10. 2 por menos 3 es este menos 6. 2 por 5 es 10. 154 00:14:57,730 --> 00:15:08,250 Así que me encuentro con que la fila 4 es el doble de la fila 3. Hay una combinación lineal con la que puedo expresar la fila 4 en función de otras filas. 155 00:15:08,330 --> 00:15:17,830 En este caso es tan fácil como dos veces la fila 3. Y una de las transformaciones elementales que había comentado que podíamos realizar es, en ese caso, eliminar una de las filas. 156 00:15:18,250 --> 00:15:25,409 Puesto que veo que la fila 4 es igual a dos veces la fila 3, lo voy a escribir así, es la justificación de por qué voy a hacer lo siguiente. 157 00:15:26,090 --> 00:15:34,850 Esta fila 4, que es dos veces la fila 3, la voy a eliminar y me voy a quedar con un sistema que no tiene ya cuatro ecuaciones, sino que tiene tres. 158 00:15:35,610 --> 00:15:44,350 Lo que está ocurriendo aquí es que una de las ecuaciones iniciales en el sistema era combinación lineal de las otras. 159 00:15:44,350 --> 00:15:51,409 Y no siempre es fácil ver así, nada más mirar las ecuaciones, cómo es esa transformación. 160 00:15:51,730 --> 00:15:59,129 En este caso, si miramos el sistema vestido, digámoslo así, con las letras, con la parte literal, 161 00:15:59,590 --> 00:16:05,169 si no miramos las filas t como las tenía, podría haber echado un vistazo y haberme dado cuenta de que 162 00:16:05,169 --> 00:16:11,809 en el sistema inicial, antes de hacer ninguna transformación, si yo sumo la fila 2 y la fila 3, obtengo la fila 4. 163 00:16:12,590 --> 00:16:19,269 Menos 1 más 4 es este 3, menos 1 menos 6 es este menos 7, menos 1 menos 2 es este menos 3 y 2 más 2 es este 4. 164 00:16:19,769 --> 00:16:22,090 Podría haberlo hecho en este momento si me hubiera dado cuenta. 165 00:16:22,649 --> 00:16:29,610 No siempre es fácil ver combinaciones de este estilo, pero lo bueno que tiene el método de Gauss es que si hay alguna fila que se puede eliminar, 166 00:16:29,990 --> 00:16:33,690 antes o después lo voy a anotar, me lo va a poner cada vez más claro. 167 00:16:33,690 --> 00:16:38,529 En este caso, pues cambiando adecuadamente el orden de las filas, dividiendo, etcétera, etcétera, 168 00:16:38,529 --> 00:16:44,169 Esta transformación que yo hice aplicando el primer paso del método de Gauss me lo ha dejado muy claro. 169 00:16:44,509 --> 00:16:47,330 Si no lo hubiera visto aquí, en el siguiente paso lo vería. 170 00:16:48,250 --> 00:16:52,970 Habitualmente lo que va a pasar en este tipo de situaciones, cuando una de las filas es combinación lineal de otras, 171 00:16:53,610 --> 00:16:59,009 es que si no me doy cuenta antes, en uno de los pasos me voy a encontrar con que tengo una fila que es toda de ceros, 172 00:16:59,490 --> 00:17:01,190 que es la identidad 0 igual a 0. 173 00:17:01,490 --> 00:17:04,490 Eso no contiene información y esa fila se puede eliminar, por supuesto. 174 00:17:05,509 --> 00:17:08,130 Entonces, si no me doy cuenta antes, me voy a dar cuenta después. 175 00:17:08,130 --> 00:17:14,990 Pues aquí, si no veo que la fila 4 es la fila 2 más la fila 3, aquí estoy viendo que la fila 4 es el doble de la fila 3. 176 00:17:15,170 --> 00:17:17,650 Y si no, en otro momento vería que me desaparece la fila 4. 177 00:17:18,009 --> 00:17:20,809 ¿Por qué ha sido eso? Insisto, porque es combinación lineal de las otras. 178 00:17:21,130 --> 00:17:22,569 Aquí me he dado cuenta. 179 00:17:22,569 --> 00:17:28,950 Y por cierto, la razón por la cual en este ejemplo partía con cuatro ecuaciones es para poder eliminar una, 180 00:17:29,410 --> 00:17:34,970 para que pudierais ver cómo puedo eliminar una y aún así quedarme con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 181 00:17:35,329 --> 00:17:36,230 que es lo que tengo aquí. 182 00:17:36,230 --> 00:17:49,569 Bien, el siguiente paso del método de Gauss, el primero era utilizando como pivote, recordad la terminología, el primer elemento de la primera fila, hacer ceros debajo aplicando el método de reducción, es el método de Gauss. 183 00:17:50,089 --> 00:18:01,089 Lo que vamos a hacer ahora es trasladarnos de la primera fila a la segunda. Este primer elemento, por supuesto, va a ser cero. Lo hemos hecho así en el primer paso del método de Gauss. 184 00:18:01,089 --> 00:18:15,910 Y lo que voy a hacer ahora es fijarme en el segundo elemento de la segunda fila. Insisto, en el primer paso del método de Gauss me fijaba en el primer elemento de la primera fila. Ahora, segundo paso, me fijo en el segundo elemento de la segunda fila. 185 00:18:17,109 --> 00:18:30,809 Necesito para que esto funcione que este elemento sea distinto de cero y si no lo es, tengo que cambiar el orden de las filas de la segunda hacia abajo porque la primera fila ya nunca más la voy a tocar. No puedo cambiar el orden, la tengo que dejar ahí, ni voy a operar con ella. 186 00:18:31,089 --> 00:18:38,789 Insisto, con las filas que hay debajo de la segunda fila tendría que cambiar el orden para conseguir poner aquí un elemento que fuera distinto de cero. 187 00:18:39,029 --> 00:18:45,190 Y si no pudiera, pues entonces el método en este momento para y este segundo paso tendría que pasar de él. 188 00:18:46,509 --> 00:18:51,650 Lo veremos con algún ejemplo, con algún ejercicio posterior, con algún otro ejemplo. En este caso no se da el caso. 189 00:18:53,190 --> 00:18:56,990 Así pues, este elemento es distinto de cero, podría continuar con el método de Gauss. 190 00:18:57,509 --> 00:19:10,150 Antes dije que era muy cómodo, era muy útil, que el elemento con el que estoy pivotando, el primer elemento de la primera fila, aquí el segundo elemento de la segunda fila, una vez que ya he hecho el primer paso, sería idóneo que fuera 1 o menos 1. 191 00:19:10,730 --> 00:19:18,829 Cuando miro hacia debajo me doy cuenta de que no hay ni unos ni menos unos, así que, como te decía antes, tengo que apechugar y tengo que aplicar el método de Gauss con este 5 que tengo aquí. 192 00:19:18,829 --> 00:19:24,309 Y el objetivo es análogo al que tenía cuando estaba aplicando el primer paso. 193 00:19:24,809 --> 00:19:27,369 Pivotando con el primer elemento, quería hacer ceros debajo. 194 00:19:27,950 --> 00:19:32,450 Ahora, pivotando con este segundo elemento, quiero hacer ceros debajo. 195 00:19:32,950 --> 00:19:36,890 Solamente tengo una fila más, así que quiero hacer cero inmediatamente debajo. 196 00:19:37,690 --> 00:19:45,150 Bueno, veo que aquí tengo un 5, veo que aquí tengo un menos 5, y en este caso no necesito multiplicar por nada. 197 00:19:45,910 --> 00:19:51,529 Veo que si yo sumara directamente estas dos filas, 5 menos 5 es 0, ya conseguiría el 0 que yo estoy buscando. 198 00:19:52,130 --> 00:19:59,549 Y entonces lo que digo es que voy a sustituir la fila 3, porque en este caso lo que voy a hacer es, pivotando con la fila 2, opero con la fila 3. 199 00:20:00,849 --> 00:20:03,150 Sumándole la fila 2 voy a conseguir el 0 que estoy buscando. 200 00:20:03,710 --> 00:20:07,970 Así que lo escribo así, sustituyo la fila 3 por la fila 3 más la fila 2. 201 00:20:07,970 --> 00:20:18,009 Y lo que hago es, pues menos 5 más 5 es este 0, menos 3 más 8 es este 5, 5 más este menos 5 es este 0 que tengo aquí. 202 00:20:18,490 --> 00:20:22,730 Y ya he conseguido debajo de este segundo elemento que hay un 0 debajo. 203 00:20:23,970 --> 00:20:33,230 Con esto el método de Gauss finaliza esta parte de sistemáticamente, algorítmicamente aplico el método de reducción. 204 00:20:33,230 --> 00:20:46,390 He transformado este sistema de ecuaciones en este otro, que es equivalente, tiene las mismas soluciones, pero este es muy fácil de resolver directamente, de hecho me está gritando ya cuáles son las soluciones, lo vamos a ver ahora mismo, mientras que aquí no lo podía ver. 205 00:20:47,069 --> 00:20:55,349 Fijaos que de 4 ecuaciones paso a 3, una de ellas no aportaba información, dependía linealmente de las otras, y aquí ya lo tengo todo reducido. 206 00:20:55,349 --> 00:21:08,369 Y a este sistema, en forma matricial de esta forma, se le llama escalonado. Decía en la teoría, o mostraba en la teoría, que el objetivo del método de Gauss es transformar esta matriz en una matriz escalonada. 207 00:21:08,849 --> 00:21:22,109 Escalonada quiere decir que si voy mirando el primer elemento distinto de cero en cada fila, cada vez me lo encuentro más atrás. Aquí tengo el primer elemento, perdón, el primer elemento de la primera fila distinto de cero está en la primera columna. 208 00:21:22,109 --> 00:21:41,009 Aquí está a su derecha en la segunda columna y aquí está a su derecha en la tercera columna. Si hiciera una línea imaginaria de esta manera, separando estos ceros que yo he construido de los otros elementos, es como si tuviera una escalera. Por eso el sistema así obtenido se llama escalonado. 209 00:21:41,009 --> 00:22:09,910 Y, insisto, el objetivo del método de Gauss, del método algorítmico, es transformar la matriz en una matriz escalonada, de esta manera, insisto, debajo del primer elemento de la primera columna quiero ceros, debajo del segundo elemento de la segunda columna quiero ceros y debajo del tercer elemento de la tercera columna no quiero nada porque no hay más filas, pero si hubiera tenido un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, n grande, esto funcionaría de la misma manera. 210 00:22:09,910 --> 00:22:22,630 Y el algoritmo siempre funciona así. Cuando he hecho ceros pivotando debajo de un elemento, me voy a la siguiente fila, la siguiente columna, y hago lo mismo pivotando con el elemento que me encuentro, hago ceros debajo. Y así sucesivamente. 211 00:22:24,210 --> 00:22:29,690 Ahora que tenemos el sistema en forma matricial, en forma de matriz escalonada, lo que corresponde es resolverlo. 212 00:22:29,690 --> 00:22:35,369 Ya he dicho que al ojo entrenado el sistema así escrito ya nos está gritando las soluciones. 213 00:22:35,789 --> 00:22:41,150 Lo que tenemos que hacer es volver a transcribir el sistema una vez que hemos hecho toda esta cadena de transformaciones. 214 00:22:41,869 --> 00:22:46,730 Tenemos que volver a reescribir el sistema con las letras, tenemos que volver a vestirlo, por así decirlo. 215 00:22:47,170 --> 00:22:50,210 Y lo que tenemos que hacer es exactamente lo que hicimos pero en un sentido contrario. 216 00:22:50,410 --> 00:22:55,109 Si yo antes lo que hice fue quedarme con los coeficientes y borrar las letras, ahora las voy a poner. 217 00:22:55,109 --> 00:23:00,650 sabiendo que este es el coeficiente de x, este es el coeficiente de y, este es el coeficiente de z 218 00:23:00,650 --> 00:23:06,170 y a la derecha de la línea vertical pondré a la derecha del igual el término independiente. 219 00:23:06,710 --> 00:23:10,269 Vamos a ir siempre de abajo a arriba empezando por la ecuación tercera 220 00:23:10,269 --> 00:23:15,630 y en este caso lo que tengo es nada x, nada y, 5z igual a 0. 221 00:23:15,630 --> 00:23:21,250 Así que comienzo transcribiendo esta tercera ecuación en forma algebraica nuevamente 222 00:23:21,250 --> 00:23:24,269 y lo que tengo es 5z igual a 0. 223 00:23:24,269 --> 00:23:33,549 Fijaos, 0x, 0y, no lo escribo, 5z igual a 0. De aquí puedo despejar z. En este caso z es 0 partido por 5, z vale 0. 224 00:23:33,970 --> 00:23:40,029 Ya tengo la tercera incógnita y me lo ha dicho directamente esta tercera ecuación, 5z igual a 0. 225 00:23:40,849 --> 00:23:50,369 Para calcular y me voy a la segunda ecuación y la vuelvo a transcribir. En este caso, obvio la x, sería 5y más 8z igual a menos 5. 226 00:23:50,930 --> 00:23:54,170 Es lo que tengo aquí, 5y más 8z igual a menos 5. 227 00:23:55,089 --> 00:23:58,710 Sé cuál es el valor de z, es lo que he hecho inmediatamente en el paso anterior. 228 00:23:59,029 --> 00:24:00,589 Calcular z, z vale 0. 229 00:24:01,210 --> 00:24:04,369 Sustituyo, 5y más 8 por 0 igual a menos 5, 230 00:24:04,609 --> 00:24:08,170 y lo que tengo es una ecuación solo con y, que puedo despejar muy fácilmente. 231 00:24:08,930 --> 00:24:13,369 En este caso 8 por 0 es 0, el 5 que multiplica la y lo paso dividiendo, 232 00:24:13,549 --> 00:24:15,990 y lo que tengo es que y es igual a menos 1. 233 00:24:16,630 --> 00:24:19,910 Así que he obtenido z, he obtenido y. 234 00:24:21,349 --> 00:24:27,289 He trabajado con la tercera ecuación, de ahí saqué z, he trabajado con la segunda ecuación, de ahí he sacado y. 235 00:24:27,690 --> 00:24:30,730 Bien, pues lo que voy a hacer es ir a por la primera ecuación, dije que iría de abajo a arriba. 236 00:24:31,569 --> 00:24:37,349 Su transcripción será x más y más z igual a menos 2, como veis aquí. 237 00:24:38,549 --> 00:24:43,930 Conozco el valor de z igual a 0 del primer paso, conozco el valor de y igual a menos 1 del segundo, 238 00:24:44,069 --> 00:24:49,349 así que lo que voy a hacer es sustituir esos valores, me va a quedar una ecuación solo con x, y de aquí la puedo despejar. 239 00:24:49,349 --> 00:24:58,410 En este caso es tan sencillo como x menos 1 igual a menos 2, este 1 que está restando lo paso a la derecha sumando y obtengo para x el valor menos 1. 240 00:24:58,750 --> 00:25:03,089 Y con esto, de esta forma, de una forma muy sencilla, algebraicamente he resuelto el sistema. 241 00:25:03,509 --> 00:25:06,009 Y tengo los valores para x, y y z. 242 00:25:06,710 --> 00:25:16,269 Nosotros vamos a dar las soluciones siempre en forma de punto, así que x y z va a ser igual a el punto menos 1 menos 1, 0. 243 00:25:16,269 --> 00:25:22,750 El valor de x, menos 1. El valor de y, menos 1. El valor de z, 0. 244 00:25:28,210 --> 00:25:32,109 Lo que me falta todavía es caracterizar el sistema en función del número de sus soluciones. 245 00:25:32,930 --> 00:25:35,890 Vemos que el sistema tiene solución, así que el sistema es compatible. 246 00:25:36,390 --> 00:25:40,829 Por otro lado, esa solución es única. Aquí veo un único punto, el punto menos 1, menos 1, 0. 247 00:25:41,210 --> 00:25:46,730 Así que el sistema compatible es determinado. Diremos que el sistema es sistema compatible determinado. 248 00:25:46,730 --> 00:25:55,200 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 249 00:25:55,940 --> 00:26:00,039 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 250 00:26:00,859 --> 00:26:05,619 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 251 00:26:06,160 --> 00:26:07,559 Un saludo y hasta pronto.