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00:00:12,400 --> 00:00:17,920
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,920 --> 00:00:22,879
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,879 --> 00:00:26,879
de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas.

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00:00:28,559 --> 00:00:36,530
En la videoclase de hoy estudiaremos los puntos críticos de la función derivada segunda y

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00:00:36,530 --> 00:00:38,270
los puntos de inflexión de una función.

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00:00:39,729 --> 00:00:51,979
En esta videoclase vamos a estudiar la determinación de los puntos de inflexión de una función.

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00:00:52,000 --> 00:00:56,939
que son aquellos en los cuales la función cambia de ser cóncava a convexa o viceversa.

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00:00:57,119 --> 00:01:00,020
Son los puntos en donde cambia la curvatura de la función.

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00:01:00,479 --> 00:01:06,219
De la misma manera, de forma análoga, en la que los extremos relativos

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00:01:06,219 --> 00:01:09,799
marcaban puntos en los cuales cambiaba la monotonía de la función.

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00:01:10,459 --> 00:01:13,140
De ser creciente a decreciente teníamos un máximo,

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00:01:13,560 --> 00:01:16,120
de ser decreciente a ser creciente teníamos un mínimo.

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00:01:16,680 --> 00:01:20,280
Nosotros vamos a denominar puntos de inflexión indistintamente

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00:01:20,280 --> 00:01:26,379
a los puntos donde cambia de cóncava convexa o viceversa. Como resultado conocido para poder

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00:01:26,379 --> 00:01:32,640
caracterizar los puntos de inflexión, sabemos que en las abstizas donde tenemos un punto de

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00:01:32,640 --> 00:01:36,799
inflexión de una cierta función, la derivada segunda se anula, de forma análoga a lo que

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00:01:36,799 --> 00:01:42,560
pasaba con los extremos relativos, en aquel caso con la derivada primera. Así pues, lo que haremos

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00:01:42,560 --> 00:01:48,579
será, a partir de la función, determinar los ceros de la derivada segunda. A estos se les

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00:01:48,579 --> 00:01:52,739
de una mina puntos críticos de la función derivada segunda, para poder distinguirlos

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00:01:52,739 --> 00:01:57,560
de los puntos críticos de la función derivada primera, son los ceros, en este caso, de la

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00:01:57,560 --> 00:02:03,200
función derivada segunda, y sabemos que de entre ellos podremos seleccionar los que son

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00:02:03,200 --> 00:02:06,920
puntos de inflexión, puesto que al igual que ocurría con los puntos críticos de la

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00:02:06,920 --> 00:02:11,400
derivada primera, no necesariamente todos los puntos críticos de la función derivada

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00:02:11,400 --> 00:02:16,719
segunda van a ser puntos de inflexión, en algún caso será otro tipo de puntos. ¿Cómo

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00:02:16,719 --> 00:02:21,259
vamos a determinar cuál de los puntos críticos de la función derivada segunda, cuál o cuáles

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00:02:21,259 --> 00:02:27,960
son puntos de inflexión? Pues de forma análoga a cómo en videoclases anteriores estudiábamos

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00:02:27,960 --> 00:02:34,639
o determinábamos los extremos relativos. Vamos a utilizar, por ejemplo, en primer lugar

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00:02:34,639 --> 00:02:40,099
y como método más sencillo, el estudio de la curvatura. En su momento veíamos que para

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00:02:40,099 --> 00:02:45,520
determinar la curvatura de una función lo que hacíamos era tomar la función, determinar

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00:02:45,520 --> 00:02:50,659
su dominio, hacer la función derivada primera, determinar su dominio. Bien, con la derivada

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00:02:50,659 --> 00:02:56,000
primera determinar la función derivada segunda, determinar su dominio y decíamos que lo que

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00:02:56,000 --> 00:03:01,120
podíamos hacer era determinar a continuación los ceros de esa función derivada segunda,

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00:03:01,520 --> 00:03:05,759
lo que ahora vamos a llamar puntos críticos de la función derivada segunda, y estos iban

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00:03:05,759 --> 00:03:11,139
a dividir el dominio de la función en distintos intervalos, dentro de los cuales íbamos a

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00:03:11,139 --> 00:03:17,319
estudiar la curvatura mirando cuál era el signo. Cuando la derivada segunda era positiva, teníamos

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00:03:17,319 --> 00:03:22,860
una función que era convexa. Cuando la derivada segunda era negativa, teníamos una función que

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00:03:22,860 --> 00:03:28,560
era cóncava dentro de cada uno de esos intervalos. Pues bien, en aquellos puntos críticos donde cambia

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00:03:28,560 --> 00:03:34,199
el signo a izquierda y a derecha de la función derivada segunda, donde cambia la curvatura de

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00:03:34,199 --> 00:03:39,020
cóncavo a convexo o de convexo a cóncavo, diremos que en esos puntos tenemos puntos de inflexión.

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00:03:39,639 --> 00:03:48,240
En aquellos puntos donde a izquierda y a derecha la curvatura sea la misma, bien cóncava o bien convexa, no tendremos puntos de flexión, tendremos otro tipo de puntos.

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00:03:49,419 --> 00:03:57,180
Igual que ocurría con el estudio de los extremos relativos, en aquel caso a partir del signo de la función derivada utilizando la monotonía,

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00:03:57,900 --> 00:04:03,919
podríamos no hacer este estudio, en este caso de la curvatura, sino que a partir de las derivadas sucesivas,

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00:04:03,919 --> 00:04:09,139
mirando únicamente el signo de las derivadas tercera, cuarta, quinta, etcétera, en ese punto

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00:04:09,139 --> 00:04:16,160
de abstisa en el cual tenemos un punto crítico de la derivada segunda, podemos decidir si nos

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00:04:16,160 --> 00:04:21,220
encontramos con un punto de inflexión o no. Operando de una forma análoga a como lo hacíamos

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00:04:21,220 --> 00:04:27,519
en la determinación de los extremos relativos. Supongamos que tenemos un cierto punto en donde

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00:04:27,519 --> 00:04:32,939
en esa abstisa tenemos que la derivada segunda se anula, tenemos un punto crítico de la derivada

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00:04:32,939 --> 00:04:37,899
segunda. ¿Cómo podemos decidir si en ese punto tenemos o no un punto de inflexión?

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00:04:38,100 --> 00:04:43,019
Bien, pues lo que haremos será ir determinando las derivadas sucesivas, en este caso sería

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00:04:43,019 --> 00:04:49,060
a partir de la derivada segunda, la derivada tercera, cuarta, quinta, etc. Y lo que vamos

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00:04:49,060 --> 00:04:54,879
a hacer es buscar cuál es la primera en la cual en esta abscisa encontramos un valor

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00:04:54,879 --> 00:05:02,180
distinto de cero, un valor no nulo. Dependiendo de cuál sea el orden de esa derivada, podremos

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00:05:02,180 --> 00:05:07,839
decidir si se trata o no de un punto de inflexión. Y en el caso de los puntos de inflexión, para que

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00:05:07,839 --> 00:05:15,060
los sean, necesitamos que esa primera derivada, en la cual al sustituir esta abstisa x0 obtenemos

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00:05:15,060 --> 00:05:21,459
un valor distinto de 0, sea de orden impar. Así pues, sería la derivada tercera, quinta, séptima, etc.

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00:05:22,740 --> 00:05:28,319
Indistintamente de cuál sea el signo, en este caso no es relevante, en ese caso diremos que la función

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00:05:28,319 --> 00:05:34,399
tiene un punto de inflexión en esta abscisa x0. Como veis aquí, al igual que decía en el caso de

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00:05:34,399 --> 00:05:39,980
los extremos relativos, típicamente nos encontraremos o nos encontraríamos con que la primera derivada

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00:05:39,980 --> 00:05:45,000
con valor distinto de 0 va a ser la siguiente. En este caso podríamos estudiar típicamente los

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00:05:45,000 --> 00:05:50,959
puntos de inflexión viendo que o comprobando que la derivada tercera en estas abscisas es distinta

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00:05:50,959 --> 00:05:57,620
de 0. Con lo que hemos visto en este vídeo clase y en el anterior podremos resolver este ejercicio

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00:05:57,620 --> 00:06:00,939
que veremos en clase, posiblemente veremos en alguna videoclase posterior.