1
00:00:00,000 --> 00:00:08,480
Bueno, pues vamos a explicar la solución del examen que hicimos ayer cuyos contenidos

2
00:00:08,480 --> 00:00:15,520
eran vectores y trigonometría. Os recuerdo el examen tenía unos ejercicios sobre vectores

3
00:00:15,520 --> 00:00:20,880
y algunos ejercicios con ecuaciones trigonométricas y algunas cuestiones sobre funciones trigonométricas.

4
00:00:20,880 --> 00:00:25,800
Vamos con el primer ejercicio en el que nos hablan primero de significado geométrico de

5
00:00:25,800 --> 00:00:31,080
combinación lineal de vectores. Esta es una cuestión teórica, recordad que si yo tengo

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00:00:31,080 --> 00:00:39,040
un vector E, pues el vector vendrá dado por un punto origen y un punto final. Recuerdo que es

7
00:00:39,040 --> 00:00:47,960
un segmento orientado y entonces multiplicar A por E significa exactamente coger este vector A,

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00:00:48,200 --> 00:00:58,320
este vector E1 y estirarlo encogiendo o encogerlo en función de los valores de A. Si A es mayor que

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00:00:58,320 --> 00:01:11,720
cero entonces el vector E1 por A tiene la misma dirección y si A es negativo pues el vector A por

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00:01:11,720 --> 00:01:17,880
E1 tiene sentido opuesto. Esto cuando sólo tenemos un vector, cuando tenemos dos vectores y hacemos

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00:01:17,880 --> 00:01:24,120
la combinación lineal, lo que tenemos que hacer es primero el producto de cada uno de los numeritos

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00:01:24,120 --> 00:01:29,720
A y B. Recuerdo que son los coeficientes de la combinación lineal, son numeritos reales. El

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00:01:29,720 --> 00:01:35,960
símbolo pertenece a un número real. Entonces básicamente lo que tenemos es por un lado el

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00:01:35,960 --> 00:01:47,240
vector A por E1 y por otro lado el otro vector que será B por E2 donde E1 es por ejemplo este

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00:01:47,240 --> 00:01:55,600
y E2 será por ejemplo este de aquí. Me falta por poner flechas en todos los vectores y entonces

16
00:01:55,600 --> 00:02:01,520
lo que estamos haciendo cuando hacemos la combinación lineal es trazar los lados de un

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00:02:01,520 --> 00:02:10,240
paralelogramo y la suma de estos dos vectores es la diagonal de este paralelogramo, es decir,

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00:02:10,240 --> 00:02:16,960
que el vector resultante, lo pongo en negro, sería justo la diagonal. Este vector sería la

19
00:02:16,960 --> 00:02:25,400
combinación lineal de A por E1 más B por E2, exactamente ese de ahí. Bueno, esto respecto,

20
00:02:25,400 --> 00:02:30,760
habría que explicar todo eso respecto del primer punto del examen. Respecto del segundo, fijaos

21
00:02:30,760 --> 00:02:36,560
que nos están pidiendo que calculemos respecto de estos dos vectores y desde este origen las

22
00:02:36,560 --> 00:02:42,760
coordenadas de este punto. Bueno, fijaos que este punto sería el punto 8 1 pero no va a ser el

23
00:02:42,760 --> 00:02:49,560
punto 8 1 porque lo que vamos a hacer es trazar unos ejes con ese origen y esas direcciones y

24
00:02:49,560 --> 00:02:56,400
entonces lo que tenemos que hacer es comprobar qué combinación lineal hace que nosotros tengamos

25
00:02:56,400 --> 00:03:04,480
el vector OP escrito como combinación lineal de U y de V. Lo podemos hacer respecto de,

26
00:03:04,480 --> 00:03:10,120
vamos a algebraicamente o gráficamente. Vamos a hacerlo primero gráficamente. Gráficamente,

27
00:03:10,120 --> 00:03:15,920
el vector OP1, voy a dibujarlo en rojo, que es el que tenemos que calcular, es este vector de aquí.

28
00:03:15,920 --> 00:03:22,200
Para hacerlo gráficamente lo que tengo que hacer es trazar paralelas a los ejes, como aquí,

29
00:03:23,760 --> 00:03:31,720
y entonces nos damos cuenta de que este vector rojo será tres veces el vector U menos,

30
00:03:31,920 --> 00:03:39,600
porque tenemos que cambiar de sentido, vamos a poner este de negro, no, vamos a poner estos

31
00:03:39,600 --> 00:03:46,760
vectores de verde para que se vea bien, este será el vector 3U y este de aquí es el opuesto de V,

32
00:03:46,760 --> 00:03:56,960
es decir, este es el menos V, de donde se deduce que pues el vector OP es 3 por U menos V y por

33
00:03:57,000 --> 00:04:02,160
lo tanto las coordenadas de P respecto de este nuevo sistema de referencias son 3 menos 1.

34
00:04:02,160 --> 00:04:06,560
¿Cómo lo podemos hacer esto algebraicamente? Bueno, pues algebraicamente lo primero que

35
00:04:06,560 --> 00:04:10,320
tendríamos que hacer, es decir, algebraicamente me refiero a resolviendo un sistema de ecuaciones,

36
00:04:10,320 --> 00:04:16,040
sería calcular las coordenadas de OP, que OP es este vector rojo y como veis este vector rojo

37
00:04:16,040 --> 00:04:21,920
es el vector que va desde el abscisa 3 hasta el abscisa 8, es decir, avanza 5 y baja 1,

38
00:04:21,920 --> 00:04:29,640
es decir, es el 5 menos 1. Yo tengo que escribir el vector 5 menos 1 como combinación lineal del

39
00:04:29,640 --> 00:04:38,480
vector U y del vector V, es decir, el 5 menos 1 tiene que ser igual a A por, ¿cuál es el vector

40
00:04:38,480 --> 00:04:50,520
U? Pues 2U, A por 2U más B por 1, 4. Bien, y esto es un sistema de ecuaciones en el que las

41
00:04:50,520 --> 00:04:56,360
incógnitas son A y B. Lo escribo como sistema de ecuaciones 5, la primera coordenada será igual a

42
00:04:56,360 --> 00:05:04,480
2 por A, es decir, estoy igualando las primeras coordenadas de esta suma de vectores. 5 será igual

43
00:05:04,480 --> 00:05:19,400
a 2 por A más 1 por B y menos 1 será igual a 1 por A más 4 por B. ¿Y qué tengo que hacer? Bueno,

44
00:05:19,400 --> 00:05:25,840
pues lo que tenemos que hacer es, vamos a subrayar esto de amarillo, creo que no sé si me lo voy a

45
00:05:25,840 --> 00:05:30,320
cargar, pues anda que no, no, está bien. Entonces, lo que tengo que hacer es resolver este sistema

46
00:05:30,320 --> 00:05:36,520
de ecuaciones. ¿Cómo? Bueno, pues como queráis, es decir, sustitución, igualación, reducción o a ojo,

47
00:05:36,520 --> 00:05:41,280
como queráis. El caso es que fijaos que las soluciones a este sistema son precisamente las

48
00:05:41,280 --> 00:05:49,000
soluciones que había encontrado antes, A igual a 3 y B igual a menos 1. Vamos a comprobarlo sustituyendo

49
00:05:49,000 --> 00:05:57,360
2 por 3, 6, menos 1, 5 y 3 más 4 por menos 1, 3 menos 4, menos 1. O sea, que estas serían las

50
00:05:57,360 --> 00:06:04,800
soluciones que son, por tanto, las coordenadas respecto del sistema de referencia dado por UV

51
00:06:04,800 --> 00:06:13,080
y el origen nuevo. Bueno, pues esto respecto del apartado B y el apartado C es un ejercicio

52
00:06:13,080 --> 00:06:19,040
estándar, súper estándar, de cálculo de ángulo entre dos vectores. Yo tengo el vector, vamos con

53
00:06:19,040 --> 00:06:26,880
el apartado C, yo tengo el vector que era el 2, 1 y tengo el vector, si no recuerdo mal, que era el 1, 4,

54
00:06:26,880 --> 00:06:34,720
y me piden calcular el ángulo formado por estos dos vectores. No hay más que recordar que el

55
00:06:34,720 --> 00:06:44,160
coseno de ese ángulo es producto escalar partido por producto de los módulos, es decir, 2, 1 por 1, 4

56
00:06:44,160 --> 00:06:56,520
partido por módulo del primero por módulo del segundo. Y esto nos da 2 por 1. Recuerdo, por cierto,

57
00:06:56,520 --> 00:07:02,040
que el producto escalar tiene que dar un número, no puede dar un vector, porque es un producto escalar.

58
00:07:02,760 --> 00:07:15,040
Y bueno, pues nos va a dar 2 por 1 más 4 son 6, 6 partido por raíz de 5 y raíz de 17 y esto resulta

59
00:07:15,040 --> 00:07:22,480
que es el coseno del ángulo que forman estos dos vectores. Calculando coseno la menos uno de este

60
00:07:22,480 --> 00:07:31,840
valor, el ángulo prácticamente son como unos 49 grados con la calculadora. Lo podéis comprobar

61
00:07:32,200 --> 00:07:36,600
yo creo recordar que daba unos 49 grados porque acabo de corregir algunos exámenes que lo tenéis bien.

62
00:07:36,600 --> 00:07:42,120
Bueno, pues esto es el final del primer ejercicio. Enseguida nos ponemos con el siguiente.