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00:00:00,000 --> 00:00:04,179
Venga, vamos a meternos de lleno en el fascinante mundo de las sucesiones matemáticas.

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00:00:04,559 --> 00:00:09,179
Sé que el nombre puede sonar un poco intimidante, pero en realidad no son más que las reglas del juego,

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00:00:09,500 --> 00:00:12,599
los patrones ocultos que ordenan un montón de cosas a nuestro alrededor,

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00:00:13,060 --> 00:00:16,780
desde cómo crece el dinero en el banco hasta las formas que vemos en la naturaleza.

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00:00:17,239 --> 00:00:20,300
Y para empezar, lanzo una pregunta que es casi un acertijo.

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00:00:20,719 --> 00:00:25,600
¿Qué pueden tener en común algo como la cría de conejos, el interés del banco y los pétalos de una flor?

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00:00:26,039 --> 00:00:29,679
Parecen cosas que no tienen nada que ver, ¿verdad? Pues resulta que las une un hilo

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00:00:29,679 --> 00:00:32,780
invisible, un patrón matemático que vamos a desvelar hoy.

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00:00:33,179 --> 00:00:37,740
La idea central que conecta todo esto es lo que llamamos sucesión. Pensemos en ello de

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00:00:37,740 --> 00:00:42,399
una forma muy sencilla. Es como una fila de números, pero eso sí, bien ordenadita. Cada

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00:00:42,399 --> 00:00:47,479
número de la fila es un término y, esto es fundamental, su posición en esa fila importa.

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00:00:47,859 --> 00:00:52,560
La más básica de todas es la que aprendemos casi sin darnos cuenta, 1, 2, 3, 4 y así

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00:00:52,560 --> 00:00:58,520
hasta el infinito. Vale, pues empecemos con el primer gran tipo de sucesión, las progresiones

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00:00:58,520 --> 00:01:05,019
aritméticas. La palabra clave aquí es suma. Se basan en sumar constantemente la misma cantidad,

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00:01:05,400 --> 00:01:09,959
lo que genera un crecimiento lineal, muy predecible, como si diéramos siempre pasos

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00:01:09,959 --> 00:01:14,560
del mismo tamaño. Entonces, ¿cómo funciona exactamente una progresión aritmética? Pues

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00:01:14,560 --> 00:01:19,260
la regla es súper simple. Para pasar de un número al siguiente, siempre, siempre damos el mismo paso,

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00:01:19,260 --> 00:01:24,719
o bien sumamos una cantidad fija o la restamos. A ese tamaño del paso lo llamamos la diferencia

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00:01:24,719 --> 00:01:29,060
y la representamos con la letra D. Vamos a verlo con un ejemplo, que es como

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00:01:29,060 --> 00:01:33,959
mejor se entiende todo. Imaginemos que nuestro punto de partida, el primer término, es el 3,

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00:01:34,439 --> 00:01:40,920
y nuestro paso constante, la diferencia, es 2. El proceso es de lo más intuitivo. Empezamos en 3,

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00:01:41,340 --> 00:01:46,420
le sumamos 2 y llegamos al 5. A ese 5 le volvemos a sumar 2 y obtenemos el 7,

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00:01:46,420 --> 00:01:51,420
Y así podríamos seguir construyendo la sucesión paso a paso, término a término.

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00:01:52,019 --> 00:01:54,599
Claro, aquí es donde la cosa se pone de verdad interesante.

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00:01:55,000 --> 00:01:58,280
Porque, ¿y si quisiéramos saber cuál es el término número 100?

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00:01:58,920 --> 00:02:02,040
Ir sumando de 2 en 2 99 veces sería un rollo.

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00:02:02,599 --> 00:02:03,859
Por suerte, hay un atajo.

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00:02:04,260 --> 00:02:05,719
La fórmula del término general.

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00:02:06,000 --> 00:02:10,400
Esta fórmula nos permite saltar directamente a cualquier posición n que queramos.

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00:02:10,719 --> 00:02:13,360
Esto me recuerda a la famosa anécdota del matemático Gauss.

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00:02:13,840 --> 00:02:18,460
Cuando era un niño, su profesor, para tener a la clase callada, les mandó sumar todos los números

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00:02:18,460 --> 00:02:24,259
del 1 al 100. Mientras todos se pusieron a sumar 1 a 1, Gauss se dio cuenta de un patrón, que 1 más

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00:02:24,259 --> 00:02:31,479
100 es 101, que 2 más 99 también es 101, y así. Encontró la regla general y resolvió el problema

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00:02:31,479 --> 00:02:36,259
en un momento. Pues esa es la potencia de estas fórmulas. Nos enseñan a ver el patrón para

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00:02:36,259 --> 00:02:41,340
ahorrarnos todo el trabajo pesado. Bien, pues ahora dejamos la suma y damos un salto a la

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00:02:41,340 --> 00:02:47,379
multiplicación. Con las progresiones geométricas, el crecimiento ya no es lineal, es exponencial.

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00:02:47,879 --> 00:02:52,680
Y aquí es donde las cosas se ponen espectaculares. El mecanismo es muy parecido al de antes,

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00:02:52,680 --> 00:02:58,620
pero con un giro fundamental. En lugar de sumar para avanzar, ahora vamos a multiplicar. Siempre

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00:02:58,620 --> 00:03:03,159
vamos a multiplicar por el mismo número, al que en este caso llamamos razón y representamos con

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00:03:03,159 --> 00:03:09,159
una R. Miremos un ejemplo clásico para ver este tipo de crecimiento. Si empezamos en 1 y la razón

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00:03:09,159 --> 00:03:15,259
es 2, el primer salto nos lleva a 2. El siguiente, multiplicando por 2, nos lleva a 4. Luego a 8.

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00:03:15,659 --> 00:03:21,300
Después a 16. Fijaos en que cada paso es más grande que el anterior. El crecimiento se acelera,

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00:03:21,639 --> 00:03:26,680
se vuelve explosivo. Y como no podía ser de otra manera, también tenemos una fórmula para saltar

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00:03:26,680 --> 00:03:31,800
a cualquier término sin tener que calcular todos los intermedios. La gran diferencia, y aquí está

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00:03:31,800 --> 00:03:37,199
la clave de todo, es que la posición n ahora está en el exponente. Ese pequeño detalle es el motor

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00:03:37,199 --> 00:03:41,879
de ese crecimiento exponencial tan bestia que define estas progresiones. Entonces, para que

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00:03:41,879 --> 00:03:47,620
quede súper claro, las progresiones aritméticas avanzan a un ritmo constante, como caminar dando

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00:03:47,620 --> 00:03:52,939
siempre pasos iguales. Las geométricas, en cambio, se disparan. Son como una bola de nieve que baja

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00:03:52,939 --> 00:03:58,379
por una ladera, haciéndose cada vez más y más grande a una velocidad de vértigo. Y ahora vamos

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00:03:58,379 --> 00:04:02,020
a llevar esta idea de crecimiento exponencial a un terreno que nos toca a todos y a todas,

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00:04:02,020 --> 00:04:07,280
el dinero. Vamos a hablar de finanzas y del famoso interés compuesto. A ver, el interés

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00:04:07,280 --> 00:04:11,419
compuesto, en el fondo, no es más que una progresión geométrica aplicada a nuestros

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00:04:11,419 --> 00:04:15,740
ahorros. La magia del asunto, como dice la definición, está en que los intereses que

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00:04:15,740 --> 00:04:20,139
se generan se suman al capital inicial y se reinvierten. O sea, no solo crece el dinero

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00:04:20,139 --> 00:04:25,019
que pusimos al principio, sino que los propios intereses empiezan a generar más intereses.

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00:04:25,420 --> 00:04:31,339
Es el auténtico efecto bola de nieve financiero. Fijaos en el mecanismo año a año. El primer

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00:04:31,339 --> 00:04:38,160
año el capital inicial se multiplica por un factor, que es 1 más la tasa de interés. Al empezar el

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00:04:38,160 --> 00:04:42,560
segundo año, todo ese nuevo capital, que ya es más grande, se vuelve a multiplicar por el mismo

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00:04:42,560 --> 00:04:48,620
factor. Por eso, en el año 2, el factor está elevado al cuadrado. Y en el año n, pues estará

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00:04:48,620 --> 00:04:53,720
elevado a n. Es una progresión geométrica de manual. Y aquí vemos el resultado en la práctica.

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00:04:54,180 --> 00:04:59,800
Un depósito de 1.500 euros con un interés compuesto del 3,5% se convierte en más de

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00:04:59,800 --> 00:05:06,120
1.663 euros en solo tres años. Puede que la cifra no impresione de primeras, pero la clave del

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00:05:06,120 --> 00:05:12,259
interés compuesto, su verdadero poder, es el tiempo. Cuantos más años pasen, más espectacular y rápida

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00:05:12,259 --> 00:05:17,439
será esa aceleración. Y ahora nos adentramos en una de las sucesiones más famosas, y por qué no

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00:05:17,439 --> 00:05:23,579
decirlo, mágicas de todas. La sucesión de Fibonacci. Esta no es ni aritmética ni geométrica. Tiene su

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00:05:23,579 --> 00:05:28,100
propia regla, y lo curioso es que aparece en los lugares más inesperados, como si fuera una especie

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00:05:28,100 --> 00:05:32,939
de código secreto de la naturaleza. La historia o la leyenda cuenta que Fibonacci se topó con

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00:05:32,939 --> 00:05:38,060
esta secuencia al plantear un acertijo. Algo así como si tenemos una pareja de conejos que tarda

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00:05:38,060 --> 00:05:42,819
un mes en madurar y a partir de ahí tiene una nueva pareja cada mes, ¿cuántos conejos habrá

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00:05:42,819 --> 00:05:49,339
al cabo del tiempo? Pues la solución a este acertijo da lugar a esta famosa secuencia. Y lo

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00:05:49,339 --> 00:05:54,879
increíble es que la regla que la genera es de una simpleza que casi desarma. Cada número nuevo es

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00:05:54,879 --> 00:06:02,120
simplemente la suma de los dos anteriores. Empezamos con 1 y 1. Su suma es 2. Ahora sumamos

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00:06:02,120 --> 00:06:10,120
1 y 2 y nos da 3. Luego 2 y 3 nos dan 5. Y así, con una regla tan básica, la secuencia se despliega

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00:06:10,120 --> 00:06:16,139
hacia el infinito. Pero aquí viene lo alucinante de verdad. Lo mágico de Fibonacci no es tanto la

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00:06:16,139 --> 00:06:21,800
secuencia en sí, sino lo que esconde. Si tomamos cualquier número de la secuencia y lo dividimos

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00:06:21,800 --> 00:06:27,339
por el número anterior, ocurre algo muy curioso. Al principio los resultados van cambiando, pero

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00:06:27,339 --> 00:06:32,100
a medida que avanzamos, esa división se va acercando cada vez más y más a un número muy

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00:06:32,100 --> 00:06:39,319
especial, la razón áurea, o número phi, que es aproximadamente 1,68. Y esta proporción no es un

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00:06:39,319 --> 00:06:44,259
capricho matemático, no. Desde la antigüedad se ha considerado casi como la fórmula de la belleza,

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00:06:44,620 --> 00:06:49,120
de la armonía. Artistas como Leonardo da Vinci la usaron para estructurar las proporciones de

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00:06:49,120 --> 00:06:53,199
sus obras maestras, buscando un equilibrio estético que nos resulta naturalmente agradable,

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00:06:53,540 --> 00:06:59,019
como podemos ver en su famoso Hombre de Vitruvio. Al final, todo esto nos lleva a esa famosa y

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00:06:59,019 --> 00:07:04,959
potentísima idea que Galileo expresó hace siglos. La naturaleza está escrita en lenguaje matemático.

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00:07:05,540 --> 00:07:10,019
Parece que las matemáticas no son sólo una herramienta que hemos inventado, sino el propio

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00:07:10,019 --> 00:07:15,220
lenguaje con el que está construido el universo. Así que, la próxima vez que veamos una flor,

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00:07:15,220 --> 00:07:18,879
que pensemos en nuestras finanzas o que simplemente observemos el mundo,

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00:07:19,459 --> 00:07:21,079
vale la pena que nos hagamos la pregunta.

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00:07:21,600 --> 00:07:25,379
¿Qué otros patrones, qué otras sucesiones matemáticas estarán ahí,

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00:07:25,699 --> 00:07:29,040
ocultas a simple vista, esperando a que alguien las descubra?