1 00:00:00,690 --> 00:00:04,790 Vamos a ver ahora lo último del tema que sería inequaciones. 2 00:00:05,150 --> 00:00:08,789 ¿Qué es una inequación? Pues una inequación lo que es es una desigualdad 3 00:00:08,789 --> 00:00:16,429 y se va a componer, digamos que en vez de tener un igual, pues va a tener signos como mayor o sea menor 4 00:00:16,429 --> 00:00:20,089 o mayor, estricto, o menor o igual o mayor o igual. 5 00:00:20,670 --> 00:00:25,769 Entonces en este caso en vez de tener una solución o un número finito de soluciones 6 00:00:25,769 --> 00:00:32,950 vamos a tener una, o sea, la solución de una inequación va a estar formado generalmente por un intervalo. 7 00:00:33,390 --> 00:00:38,490 Entonces, fijaos, por ejemplo, los ejemplos. ¿Esto de aquí sería una inequación? No, porque tenemos un igual. 8 00:00:39,030 --> 00:00:44,950 ¿Esto de aquí es una inequación? Sí, se trata de una ecuación de segundo grado, porque tenemos grado 2, 9 00:00:45,450 --> 00:00:54,969 y además la incógnita únicamente es una. Aquí tendremos una inequación de primer grado y tenemos dos incógnitas. 10 00:00:54,969 --> 00:01:07,250 Aquí, en este caso, no se puede resolver. Para resolver una inequación, estudiaremos luego en el tema siguiente sistemas de inequaciones con dos incógnitas. 11 00:01:07,510 --> 00:01:16,290 Para comprobar si determinados pares de valores pertenecen o son soluciones de unas inequaciones, lo que hacemos es simplemente sustituir. 12 00:01:16,290 --> 00:01:24,269 El menos 1 aquí, x igual a menos 1, ¿es solución? Sustituyo el menos 1, menos 1 más 2, en este caso, ¿qué sería? 13 00:01:24,390 --> 00:01:30,569 Menos 1 más 2 sería, en este caso, 1, ¿1 es más pequeño que 5? Sí, pues es solución. 14 00:01:31,030 --> 00:01:38,810 O el menos 6, perdón, el 6, ¿el 6 es solución? Sustituyo 6 y 2, 8, 6 más 2, 8, 8 es mayor que 5. 15 00:01:38,810 --> 00:01:53,950 En este caso, a ver, esto está mal. Esto está mal. En este caso, fijaos, habría que poner, en este caso, en el libro, ¿vale? Está mal porque esto es justo menor que 5. 16 00:01:54,269 --> 00:02:02,450 Entonces sería, en este caso, 8 menor que 5. ¿Esto es verdad? No. Como no es verdad, pues obviamente no es solución. 17 00:02:02,450 --> 00:02:08,370 de igual manera pues resolvemos, en este caso comprobamos para esta inequación de aquí 18 00:02:08,370 --> 00:02:11,289 si se verifica o no, vamos a comprobar 19 00:02:11,289 --> 00:02:18,770 x igual a menos 1, pues sería menos 1 aquí, menos 1, menos 3, menos 1, menos 3 20 00:02:18,770 --> 00:02:22,310 que sería menos 4, menos 4, ¿es mayor o igual que 2? 21 00:02:22,750 --> 00:02:25,409 no, es mentira, entonces no es solución 22 00:02:25,409 --> 00:02:30,469 aquí en el 6, sería 6 menos 3, que 6 menos 3, ¿cuánto es 3? 23 00:02:30,469 --> 00:02:35,090 ¿3 es mayor o igual que 2? Sí, es cierto. Como es cierto, es solución. 24 00:02:36,550 --> 00:02:41,430 Vamos a ver ahora las propiedades fundamentales de las inequaciones. 25 00:02:42,250 --> 00:02:52,969 Pues bueno, cuando yo tengo una inequación de este estilo, tenemos 3x más 4 mayor que 5x menos 6. 26 00:02:52,969 --> 00:03:00,990 podemos tratarla como una ecuación a la hora de que de sumar o restar en ambos miembros la misma cantidad 27 00:03:00,990 --> 00:03:10,189 la desigualdad no va a variar de manera que por ejemplo en este caso lo que vamos a hacer para resolverlo 28 00:03:10,189 --> 00:03:17,789 tendremos aquí por ejemplo 3x esta cantidad pasaría por este lado menos 5x 29 00:03:17,789 --> 00:03:41,090 ay, como estaría cambiando de sitio, digamos, o sumando o restando, no me va a variar, no me va a variar, y aquí mayor que menos 6, que es el que queda, y para el otro lado pasa con menos 4, perdón, menos 4, aquí, 6 menos 4, con lo cual que me quedaría menos, vamos aquí abajo, menos 2x es mayor que menos 10, ¿vale? 30 00:03:41,090 --> 00:03:46,949 Hasta aquí no ha habido ninguna diferencia respecto de las ecuaciones normales. 31 00:03:46,949 --> 00:03:59,710 Cuando hay un sumar o restar, es decir, cambiar de miembro un sumando o un término que está restando, no hay variación. 32 00:04:00,150 --> 00:04:02,689 El problema viene a continuación, que es lo que varía. 33 00:04:02,689 --> 00:04:13,210 Cuando yo quiero multiplicar o dividir por un número, en este caso negativo. 34 00:04:13,530 --> 00:04:17,329 Cuando es un número negativo es cuando la desigualdad cambia de signo. 35 00:04:17,790 --> 00:04:22,670 Fijaos, aquí tengo un problema con el menos 2x. 36 00:04:22,670 --> 00:04:30,410 Yo aquí si fuera una ecuación de forma normal, el menos 2 lo pasaría hacia abajo y pasaría dividiendo. 37 00:04:30,410 --> 00:04:36,629 Pues bueno, en las inequaciones lo que se hace en este caso es multiplicar por menos 1 en ambos miembros. 38 00:04:36,750 --> 00:04:46,389 De manera que tendría menos 1 por menos 2x y aquí tendría el menos 10 que lo tengo aquí por menos 1. 39 00:04:46,769 --> 00:04:51,709 De manera que la desigualdad cuando multiplico por menos 1 cambia de sentido. 40 00:04:52,470 --> 00:04:57,990 Fijaos y diréis ¿por qué? Pues bueno, fijaos, os voy a explicar aquí el razonamiento. 41 00:04:57,990 --> 00:05:21,470 Vamos a suponer que por ejemplo que tengo menos 5, menos 5 es más pequeño que menos 1, esto es verdadero, pues fijaos, multiplico por menos 1 en ambas, si multiplico aquí por menos 1, menos 1 por menos 5 sería 5 y menos 1 por menos 1 sería 1, en este caso 5 es mayor que 1. 42 00:05:21,470 --> 00:05:30,029 Por eso cuando yo multiplico o divido por un número negativo, cambia de sentido la desigualdad. 43 00:05:30,569 --> 00:05:35,209 Continuamos con esto. Ya he cambiado de orientación la desigualdad. 44 00:05:35,709 --> 00:05:39,250 Aquí me quedaría 2x menor que 10. 45 00:05:39,889 --> 00:05:47,990 Yo me interesa tener siempre, por eso multiplico por menos 1, el número que acompaña a la x, que tengo que despejar positivo. 46 00:05:47,990 --> 00:05:57,589 porque con los positivos no hay problema en este caso x menor que quien que 10 partido por 2 por lo tanto tendría que x es menor que 5 47 00:05:57,589 --> 00:06:06,430 pues todos los x que son menores que 5 sin incluir el 5 resulta que verifican o que es una solución de esta inequación 48 00:06:06,430 --> 00:06:19,310 ¿Cómo se coloca esto? Pues la solución sería este intervalo x menores que 5 o el intervalo que es una semirrecta desde menos infinito hasta 5, ¿vale? 49 00:06:20,089 --> 00:06:29,949 Voy a resolver este ejercicio. En este caso lo que haremos es resolver esta inequación. 50 00:06:29,949 --> 00:06:42,310 Entonces tendríamos que pasar, como voy a trasladar de un miembro a otro, tendría 2x menos 3x y luego esta x de aquí pasa a este lado negativa. 51 00:06:42,810 --> 00:06:48,250 Ahora vamos con los números, el menos 1 ya está aquí, pues el 5 cómo va a pasar con el menos 5. 52 00:06:48,250 --> 00:07:00,870 Como estoy trasladando de un miembro a otro números o letras y números, pero no estoy multiplicando por una cantidad negativa, no varía de sentido la desigualdad. 53 00:07:01,329 --> 00:07:07,629 Aquí me quedaría menos 9 más 2, menos 9 más 2 que sería menos 7x. 54 00:07:07,790 --> 00:07:11,550 Menos 7x es mayor en este caso que menos 6. 55 00:07:12,230 --> 00:07:13,490 Ya tengo aquí el problema. 56 00:07:13,649 --> 00:07:16,970 El problema es que tengo aquí un menos 7. 57 00:07:16,970 --> 00:07:24,689 Pues, ¿qué voy a hacer? Voy a multiplicar por menos 1 en ambos miembros. 58 00:07:24,930 --> 00:07:30,050 Cuando multiplico por menos 1, menos por menos más, aquí me queda 7x, aquí me queda 6. 59 00:07:30,589 --> 00:07:34,269 Pues, obviamente, ahora aquí me cambia de sentido la desigualdad. 60 00:07:34,769 --> 00:07:41,470 Y esto es la clave que tenemos que tener en cuenta en las inequaciones. 61 00:07:41,470 --> 00:07:45,930 De manera que ahora me despejo como x menor que 6 séptimos. 62 00:07:47,050 --> 00:07:49,689 Por tanto, esta sería mi solución. 63 00:07:50,230 --> 00:07:54,769 O también puedo escribirla en forma de intervalo, como son todos los x, puedo escribirlo. 64 00:07:55,810 --> 00:08:01,149 Este sería el 6 séptimos, que es un menos de 1, ¿vale? 65 00:08:01,149 --> 00:08:06,709 Estaría por aquí, en este caso, este sería el 0, este sería el 1, 66 00:08:06,709 --> 00:08:14,430 y dividiría esto en siete partes, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, que el sexto y séptimo estaría tal que por aquí. 67 00:08:15,029 --> 00:08:23,709 Entonces, si os dais cuenta, la solución de esta inequación sería, como es estricto, 68 00:08:24,850 --> 00:08:31,569 entonces sería desde aquí hasta aquí, este sería justo el sexto y séptimo. 69 00:08:31,569 --> 00:08:47,659 De manera que gráficamente es esto, en forma algebraica sería esto y en forma de intervalo lo escribiría como desde menos infinito hasta 6 séptimos, en este caso abierto. 70 00:08:49,860 --> 00:09:02,799 Ahora voy a resolver en este caso esta otra de aquí, de manera que tendría 7 menos 2x menor que menos 4. 71 00:09:02,799 --> 00:09:25,000 Yo hago lo mismo, las x a un lado y los números a otro, fijaos, menos 2x es menor que menos 4 menos 7, esta sería una opción y otra opción sería, bueno voy a resolverla aquí, en este caso menos 2x sería menor que menos 11 y ahora ya tengo el problema de siempre 72 00:09:25,000 --> 00:09:29,279 que tengo aquí negativo, al grado de la x, que es lo que me interesa. 73 00:09:29,620 --> 00:09:36,940 Voy a tener que multiplicar, ¿por quién? Por menos 1, y aquí voy a multiplicar también por menos 1. 74 00:09:37,399 --> 00:09:43,899 De manera que aquí me quedan 2x, cambio ya de orientación, en este caso mayor que 11. 75 00:09:44,340 --> 00:09:48,480 Me quedaría que x es mayor que 11 medios. 76 00:09:49,899 --> 00:09:53,460 Esa sería la solución de mi inequación. 77 00:09:53,460 --> 00:10:13,159 Bueno, lo podemos colocar gráficamente, dibujaríamos la recta, este es el 0, bueno, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ¿vale? Estaría entre el 5 y el 6, sería más o menos el 11 medios, que sería como 5 con 5 aquí. 78 00:10:13,159 --> 00:10:17,419 Entonces este sería el 5 y este 6 79 00:10:17,419 --> 00:10:19,480 Pues bueno, sería la solución 80 00:10:19,480 --> 00:10:21,100 Va a ser desde aquí 81 00:10:21,100 --> 00:10:22,740 Desde aquí 82 00:10:22,740 --> 00:10:25,340 Hacia la derecha 83 00:10:25,340 --> 00:10:28,019 Esto estaría abierto 84 00:10:28,019 --> 00:10:30,200 Sería intervalo abierto 85 00:10:30,200 --> 00:10:31,799 Entonces sería justo 86 00:10:31,799 --> 00:10:36,019 O si lo dibujamos en otro color 87 00:10:36,019 --> 00:10:38,059 Más fácil, mejor quedará 88 00:10:38,059 --> 00:10:39,559 De esta manera 89 00:10:39,559 --> 00:10:42,779 Iríamos desde aquí 90 00:10:42,779 --> 00:10:52,159 hacia la derecha, lo pintamos, entonces esto sería justo el 11 medios, esa sería la solución 91 00:10:52,159 --> 00:10:59,779 y en forma de intervalo pues sería desde abierto 11 medios hasta más infinito. 92 00:11:02,649 --> 00:11:08,950 Vamos a resolver inequaciones de segundo grado, voy a hacer este caso, lo primero que vamos 93 00:11:08,950 --> 00:11:16,090 a hacer es, identificamos el trato de una inequación, pasamos todo hacia la derecha, 94 00:11:16,269 --> 00:11:24,649 me quedaría x cuadrado más 4x más 3, en este caso mayor que 0. Lo que vamos a hacer 95 00:11:24,649 --> 00:11:35,409 es factorizar, si se puede, aquí este primer miembro. Para factorizar este primer miembro, 96 00:11:35,409 --> 00:11:42,190 Bueno, lo que podemos hacer en este caso es resolverlo como si fuera una ecuación para hallar las raíces. 97 00:11:42,710 --> 00:11:46,370 Las raíces serían menos 1 y menos 3. 98 00:11:46,809 --> 00:11:56,029 Por lo tanto, esto lo puedo poner como x menos menos 1, que sería x más 1, por x, en este caso, más 3. 99 00:11:56,730 --> 00:11:58,590 Y esto me tiene que quedar mayor que 0. 100 00:11:58,590 --> 00:12:08,330 Esto corresponde, fijaos, si yo hago esto aquí, esto va a corresponder, si lo hago gráficamente, estos serían los ceros 101 00:12:08,330 --> 00:12:11,629 Esto corresponde a una parábola, si recordáis del año pasado 102 00:12:11,629 --> 00:12:17,970 Entonces dice aquí positivamente, o sea la parte positiva porque tiene que ser mayor que cero 103 00:12:17,970 --> 00:12:22,269 La parte positiva de la parábola, ¿a qué intervalos corresponden? 104 00:12:22,269 --> 00:12:27,210 Pues justo está la parte que está por encima del eje de las x 105 00:12:27,210 --> 00:12:33,009 Entonces sería este intervalo de aquí, de las x, y este intervalo de las x, ¿vale? 106 00:12:33,149 --> 00:12:38,370 Pero esto sería gráficamente. A nosotros nos interesa ahora mismo hacerlo analíticamente. 107 00:12:39,029 --> 00:12:52,149 Entonces vamos a ver qué sería, que es x más 1 por x más 2, que tiene que ser, perdón, x más 3, que tiene que ser positivo. 108 00:12:52,149 --> 00:13:19,529 Pues yo me voy a hacer lo siguiente y a mí me funciona, entonces me voy a hacer como una especie de tabla, en esta tabla me voy a poner, en este caso sería x igual a menos, el más pequeñito sería x igual a menos 3, aquí x igual a menos 1. 109 00:13:19,529 --> 00:13:25,470 Y me voy a hacer como una especie de tabla, vaya, nunca mejor dicho 110 00:13:25,470 --> 00:13:30,149 Aquí voy a poner el primer factor, que bueno, los he colocado en verdad, x más 3 111 00:13:30,149 --> 00:13:33,490 Y aquí sería el x más 1 112 00:13:33,490 --> 00:13:39,970 Este sería el total, el total que sería x más 3 por x más 1 113 00:13:39,970 --> 00:13:45,090 Entonces empiezo, aquí sería donde se me iguala 114 00:13:45,090 --> 00:14:03,549 Voy a poner esto un poquito más hacia la derecha para ponerlo hacia acá, para poder poner entre medias donde se me anulan los puntos, donde se anulan, ¿vale? 115 00:14:04,370 --> 00:14:09,490 Fijaos, aquí, y se me va a generar como tres tramos. 116 00:14:09,490 --> 00:14:13,049 Primero, aquí esto es un cero 117 00:14:13,049 --> 00:14:15,129 Porque son los puntos donde se anulan 118 00:14:15,129 --> 00:14:19,730 Entonces, donde en este tramo de por aquí 119 00:14:19,730 --> 00:14:21,570 En este tramo de por aquí 120 00:14:21,570 --> 00:14:23,429 En este tramo de por aquí 121 00:14:23,429 --> 00:14:25,110 ¿Qué ocurre? 122 00:14:27,149 --> 00:14:29,870 Cojo un valor, por ejemplo, el menos cinco 123 00:14:29,870 --> 00:14:32,269 Voy a decir, pues x igual a menos cinco 124 00:14:32,269 --> 00:14:33,129 El que yo quiera 125 00:14:33,129 --> 00:14:36,970 Un número de por aquí, x igual a menos cinco 126 00:14:36,970 --> 00:14:44,330 Si yo sustituyo aquí la x por menos 5, que sería menos 5 más 3, esto me queda negativo 127 00:14:44,330 --> 00:14:49,970 A partir de aquí, este es 0 128 00:14:49,970 --> 00:14:54,289 Entre menos 3 y menos 2 voy a coger por ejemplo x igual a menos 2 129 00:14:54,289 --> 00:15:00,350 ¿Cómo me queda el x más 3 cuando x vale menos 2? 130 00:15:00,350 --> 00:15:05,009 Pues menos 2 más 3, esto me va a quedar como, en este caso me queda positivo 131 00:15:05,009 --> 00:15:16,769 y fijaros, más aquí adelante, el x igual a 0, pues como me queda este factor, este factor me quedaría 0 más 3, pues me queda también positivo, ¿vale? 132 00:15:16,889 --> 00:15:27,830 Vamos haciendo lo mismo con el x más 1, justo cuando x vale menos 5, menos 5 más 1, esto me queda negativo, menos 2, menos 2 más 1, esto me queda negativo 133 00:15:27,830 --> 00:15:35,269 Y luego solamente a partir del 0, es decir, de cuando encuentro el valor que es menos 1, esto se me hace como positivo. 134 00:15:35,690 --> 00:15:46,149 Y ahora voy a hacer el producto, menos por menos que va a ser más, más por menos que va a ser menos y más por más que va a ser más. 135 00:15:46,649 --> 00:15:54,309 ¿Dónde se cumple que el tramo es positivo mayor que 0? Pues en este trozo y en este trozo. 136 00:15:54,309 --> 00:16:03,049 Por lo tanto, la solución va a estar desde menos infinito hasta menos 3. 137 00:16:03,169 --> 00:16:11,309 ¿El menos 3 está incluido? No, no está incluido porque aquí la desigualdad es estricta. 138 00:16:11,950 --> 00:16:17,470 Unión con quién? Desde el menos 1 hasta el más infinito. Y esta sería la solución. 139 00:16:17,470 --> 00:16:24,450 otra manera de verlo es sin factorizar 140 00:16:24,450 --> 00:16:28,049 yo me lo voy a hacer, digamos la recta real 141 00:16:28,049 --> 00:16:34,049 voy a poner mis ceros que serían x igual a menos 3 y x igual a menos 1 142 00:16:34,049 --> 00:16:39,529 y lo que voy a hacer es sustituir los valores que quiera entre estos tramos 143 00:16:39,529 --> 00:16:42,870 por ejemplo x menos 4, x menos 2 y x es 0 144 00:16:42,870 --> 00:16:46,950 en la ecuación que tenía inicial 145 00:16:46,950 --> 00:16:50,169 perdón, la ecuación no, la inequación, estoy diciendo todo el rato 146 00:16:50,169 --> 00:16:56,789 y la ecuación sería en esta de aquí, a ver que la encontremos en esta 147 00:16:56,789 --> 00:17:06,589 entonces es x cuadrado más 4x menos 3, es decir, x cuadrado más 4x más 3 148 00:17:06,589 --> 00:17:12,410 y en cada uno de estos puntos verificar si se, vamos a ver si se verifica o no 149 00:17:12,410 --> 00:17:23,369 Entonces cojo el x igual a menos 4, sustituyo y te dice que sí, esto sí es, pues este tramo hasta llegar al 0 va a valer. 150 00:17:23,670 --> 00:17:34,910 En este tramo de aquí, en el menos 2, sale que no es solución, sustituyo donde ponga una x, pongo menos 2 aquí y aquí y me sale que no es solución. 151 00:17:34,910 --> 00:17:50,450 Y en este otro tramo, a partir del 0, que sería en este tramo de aquí, sustituyo el 0, que es fácil de ver, y sale que sí es solución, con lo cual me sale exactamente lo mismo, la solución es lo que acabo de escribir yo antes.