1
00:00:00,940 --> 00:00:11,160
Bueno, vamos a ver ahora unos ejercicios que están basados en la definición general de módulo de un vector.

2
00:00:11,160 --> 00:00:21,339
Hemos dicho que el módulo de un vector, u, se puede calcular como la raíz cuadrada positiva del producto escalar de dicho vector por sí mismo.

3
00:00:23,120 --> 00:00:26,859
Generalmente, en casi todos los ejercicios, utilizamos esta otra fórmula.

4
00:00:26,859 --> 00:00:35,479
Consideramos que u, si no nos dicen nada, es que están expresadas sus coordenadas en una base ortonormal

5
00:00:35,479 --> 00:00:45,200
y podemos calcularlo así, el módulo de u como u sub 1 al cuadrado, o sea, raíz cuadrada de u sub 1 al cuadrado más u sub 2 al cuadrado

6
00:00:45,200 --> 00:00:57,990
Y esta fórmula en realidad la utilizamos muy poco, sin embargo hay una serie de ejercicios en los cuales sí que es muy útil esta forma de definición

7
00:00:58,369 --> 00:01:05,790
definir el módulo de un vector. Y es para aquellos ejercicios en los cuales me pidan

8
00:01:05,790 --> 00:01:19,090
calcular el módulo de una suma de vectores o el módulo de la diferencia. En este tipo

9
00:01:19,090 --> 00:01:30,599
de ejercicios los datos que me dan son el módulo de A, el módulo de B y el ángulo

10
00:01:30,599 --> 00:01:37,980
lo que forman esos dos vectores. Vamos a ver cómo se calcula teniendo en cuenta esta definición

11
00:01:37,980 --> 00:01:45,680
que acabamos de predecir aquí. Fijaros, el módulo de, o sea, si yo no tengo las coordenadas

12
00:01:45,680 --> 00:01:50,439
de a y de b, sino que solamente tengo los módulos, yo no puedo calcular la suma de

13
00:01:50,439 --> 00:01:57,239
los vectores y luego aplicar esta fórmula para calcular el módulo de ese vector. Imaginaos

14
00:01:57,239 --> 00:02:03,959
que a más b me da s, el vector s, yo no puedo calcular s, las coordenadas de s, ni por lo tanto

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00:02:03,959 --> 00:02:11,060
luego aplicar esta fórmula para calcular su módulo. ¿Cómo puedo a partir de estos datos calcular el

16
00:02:11,060 --> 00:02:20,849
módulo de la suma sin necesidad de calcular la suma? Pues fijaros, el módulo de a más b lo puedo

17
00:02:20,849 --> 00:02:28,270
expresar, teniendo en cuenta esta definición, como la raíz cuadrada positiva de este vector

18
00:02:28,270 --> 00:02:47,919
por sí mismo. Si nosotros multiplicamos a por a, sería módulo de a por el módulo

19
00:02:47,919 --> 00:02:53,039
de a por el coseno del ángulo que forman, que sería el coseno de 0 que vale 1, con

20
00:02:53,039 --> 00:03:05,219
lo cual me quedaría el módulo de a elevado al cuadrado. Luego tendría a por b, luego

21
00:03:05,219 --> 00:03:20,419
Tendríamos B por A y por último B por B, que sería módulo de B por el módulo de B por el coseno del ángulo que forman B consigo mismo, que es cero.

22
00:03:21,159 --> 00:03:27,860
Es decir, que el coseno de cero vale uno y me quedaría también aquí el cuadrado del módulo de B.

23
00:03:29,080 --> 00:03:37,960
Bien, el producto escalar es conmutativo, me da lo mismo multiplicar A por B que B por A.

24
00:03:37,960 --> 00:03:48,500
el resultado siempre va a ser módulo de A por el módulo de B por el coseno del ángulo que forman

25
00:03:48,500 --> 00:03:58,069
es decir, que esta expresión me va a quedar módulo de A al cuadrado más

26
00:03:58,069 --> 00:04:04,270
vamos a escribir ahora este, módulo de B al cuadrado más

27
00:04:04,270 --> 00:04:09,849
fijaros como este sumando y este es el mismo en realidad voy a poner más dos veces

28
00:04:09,849 --> 00:04:15,370
módulo de A, módulo de B, coseno de alfa

29
00:04:15,370 --> 00:04:24,639
Entonces, yo puedo calcular el módulo de la suma de los vectores A y B

30
00:04:24,639 --> 00:04:27,240
sin conocer las coordenadas de A y de B

31
00:04:27,240 --> 00:04:30,600
sino simplemente el módulo de A, el módulo de B

32
00:04:30,600 --> 00:04:33,500
y el ángulo que forman esos dos vectores

33
00:04:33,500 --> 00:04:36,240
Vamos a hacer un ejemplo

34
00:04:36,240 --> 00:04:47,339
Me dan los vectores A y B

35
00:04:47,339 --> 00:05:04,439
A y B de los cuales se conoce el módulo de A que vale 2, el módulo de B que vale 5 y

36
00:05:04,439 --> 00:05:19,019
el ángulo que forman que es 60. Me piden calcular el módulo de A más B. Pues haciendo

37
00:05:19,019 --> 00:05:24,920
estos cálculos que hemos hecho aquí y que no es conveniente memorizar sino simplemente

38
00:05:24,920 --> 00:05:34,920
desarrollar de nuevo, como los tenemos aquí, no los vamos a desarrollar ahora, sería módulo

39
00:05:34,920 --> 00:05:41,939
de a al cuadrado, en este caso el módulo de a es 2, pues 2 al cuadrado, más módulo

40
00:05:41,939 --> 00:05:54,100
de b al cuadrado, o sea 5 al cuadrado, más 2 por 2 por 5 por el coseno de 60, que es

41
00:05:54,100 --> 00:06:10,319
el seno de 30, un medio. O sea, 4 más 25, esto vale un medio, o sea que este 2 con un

42
00:06:10,319 --> 00:06:25,769
medio se me va y me queda más 10. 29 más 10, 39. Pues esto daría raíz de 39. De igual

43
00:06:25,769 --> 00:06:39,730
manera, si en lugar de la suma es la diferencia. Haciendo los mismos cálculos, solamente que

44
00:06:39,730 --> 00:06:56,899
ahora vamos a tener esto, multiplicaríamos a por a, a por menos b, menos b por a, menos

45
00:06:56,899 --> 00:07:03,540
b por menos b, el resultado final, con pasos análogos a los que hemos visto antes y sabiendo

46
00:07:03,540 --> 00:07:10,459
que el producto escalar es conmutativo, pues esto me quedaría módulo de a al cuadrado

47
00:07:10,459 --> 00:07:23,660
más módulo de b al cuadrado menos dos veces el módulo de a por el módulo de b por el

48
00:07:23,660 --> 00:07:29,899
coseno del ángulo. Y tendría algo similar. Lo que pasa es que en este caso, si ahora

49
00:07:29,899 --> 00:07:37,579
piden esto, pues el término que queda aquí sería, si lo hacemos con los mismos datos

50
00:07:37,579 --> 00:07:53,620
que antes, pues nos quedaría 2 al cuadrado que es 4, más 5 al cuadrado que es 25, entonces

51
00:07:53,620 --> 00:08:04,379
29, 29 ahora me quedaría menos 10, pues 19, raíz de 19. Vale, en este caso fijaros que

52
00:08:04,379 --> 00:08:17,379
los datos eran estos, ¿no? Este, este y este. También me pueden dar como datos, me pueden

53
00:08:17,379 --> 00:08:33,159
dar el módulo de a más b, o sea, darme esto como dato y que calcule alguno de los módulos

54
00:08:33,159 --> 00:08:39,700
de los otros vectores, es decir, me pueden dar uno de ellos, me pueden dar el ángulo

55
00:08:39,700 --> 00:08:48,940
y a partir de esos datos yo despejar de aquí y calcular el módulo de b. O también me

56
00:08:48,940 --> 00:09:00,980
pueden dar como dato o la suma o la diferencia, o sea, el módulo de la suma o el módulo

57
00:09:00,980 --> 00:09:12,200
de la diferencia, los módulos A y B y pedirme el ángulo que forman esos dos vectores.