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00:00:02,540 --> 00:00:11,140
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato.

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00:00:11,619 --> 00:00:14,160
Vamos a hablar sobre la regla de Cramer en este vídeo.

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00:00:14,699 --> 00:00:17,780
Es una manera sencillísima para resolver sistemas de ecuaciones.

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00:00:18,379 --> 00:00:23,019
¿Os acordáis cuando resolvíamos sistemas mediante igualación, sustitución o reducción?

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00:00:23,440 --> 00:00:24,739
Bueno, pues ahora no va a hacer falta.

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00:00:24,980 --> 00:00:29,800
Vamos a calcular directamente los valores de las incógnitas mediante una serie de determinantes.

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00:00:30,359 --> 00:00:32,100
Directamente vamos a calcular su valor.

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00:00:32,539 --> 00:00:39,679
¿No es fantástico? Bueno, para ello vamos a empezar recordando cómo se podía escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial.

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00:00:40,420 --> 00:00:54,560
Un sistema de ecuaciones de m ecuaciones con n incógnitas puede escribirse de una manera matricial, es decir, mediante el producto de una matriz de coeficientes por una de incógnitas, una columna de incógnitas y un término independiente a la derecha de la igualdad.

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00:00:55,439 --> 00:01:03,100
Esa ecuación se puede entonces resumir de la manera a por x igual a b, donde x es la incógnita, a y b son matrices de coeficientes.

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00:01:03,960 --> 00:01:10,579
Entonces, la idea es despejar la x, es decir, podemos calcular la inversa de a de manera que pase a la derecha,

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00:01:11,319 --> 00:01:19,180
pues esto solo se puede hacer si se verifican dos condiciones, que la a sea una matriz cuadrada y que se pueda calcular su inversa,

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00:01:19,180 --> 00:01:25,000
es decir, que el determinante no sea 0. Es decir, en nuestro caso, que la n sea igual a la m,

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00:01:25,200 --> 00:01:29,140
número de ecuaciones igual al número de incógnitas, y que el determinante sea no nulo.

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00:01:29,900 --> 00:01:34,700
Entonces, en ese caso, podremos despejar la a a la derecha como a a la menos 1,

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00:01:34,840 --> 00:01:41,900
multiplicando a ambos lados de la ecuación por a a la menos 1, y en ese caso, la x va a ser a a la menos 1 por b.

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00:01:41,900 --> 00:02:01,519
Entonces, la pregunta es, ¿se puede calcular este producto de una manera sencilla? Y la respuesta es afirmativa, sí se puede. Veremos cómo. Recordemos, antes de eso, que A a la menos 1 se puede calcular mediante determinantes como el adjunto de la traspuesta o la traspuesta del adjunto dividido por el determinante.

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00:02:01,519 --> 00:02:07,959
Recordemos también que esto significa que hay que calcular la matriz de adjuntos y luego transponer

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00:02:07,959 --> 00:02:12,340
Y bueno, pues transponer la matriz de adjuntos es simplemente cambiar el índice

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00:02:12,340 --> 00:02:14,800
Lo que antes estaba en filas lo ponemos en columnas

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00:02:14,800 --> 00:02:19,000
De manera que la cuenta que tenemos que hacer nosotros será esa que tenéis ahí en pantalla

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00:02:19,000 --> 00:02:24,900
1 partido por el determinante por la matriz adjunta traspuesta multiplicada por la columna de las b

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00:02:24,900 --> 00:02:29,639
Bien, entonces vamos a fijarnos cómo se calcularía una de las incógnitas, la x sub i

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00:02:29,639 --> 00:02:36,840
la que está en la fila Y, pues la operación que habría que hacer sería multiplicar esa fila y columna que tenéis ahí

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00:02:36,840 --> 00:02:44,039
y dividir por el determinante de A. Es decir, nos da esa fórmula que tenéis ahí que dice que para calcular X sub Y

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00:02:44,039 --> 00:02:49,500
habrá que hacer ese sumatorio donde, importante, la columna Y es fija.

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00:02:49,900 --> 00:02:55,719
Es decir, estamos calculando los adjuntos complementarios de la columna Y y multiplicándolos por los Bs.

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00:02:55,719 --> 00:03:02,479
en realidad lo que estamos haciendo es calcular un determinante de una matriz cuadrada desarrollándolo

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00:03:02,479 --> 00:03:06,979
por los elementos de la columna y que matriz cuadrada es la que estamos calculando bueno

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00:03:06,979 --> 00:03:11,939
pues la matriz a en la que hemos sustituido la columna y por la columna de los términos

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00:03:11,939 --> 00:03:17,340
independientes p en conclusión la fórmula se puede interpretar como que la x sub i se calcula

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00:03:17,340 --> 00:03:22,340
mediante la división de dos determinantes en el denominador el determinante de a en el numerador

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00:03:22,340 --> 00:03:30,080
el determinante de la matriz cuadrada que resulta de sustituir en A la columna I por la columna de términos independientes B.

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00:03:31,979 --> 00:03:37,879
Bueno, puede que la fórmula no haya quedado clara. Vamos a ver que es realmente sencillo utilizando el siguiente ejemplo.

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00:03:38,900 --> 00:03:45,080
Ahí tenéis un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Vamos a escribirlo de manera matricial.

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00:03:45,560 --> 00:03:52,539
Tendremos la matriz de coeficientes, que son los coeficientes de las incógnitas, la matriz columna de los términos independientes 0, 1, 1,

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00:03:52,539 --> 00:03:59,719
que es los términos de la derecha de la igualdad, y eso da pie a la ecuación matricial A por X igual a B.

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00:04:00,400 --> 00:04:07,280
Bien, entonces, importante los datos de la matriz A y la matriz B, que es con lo que vamos a calcular la regla de Cramer.

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00:04:08,159 --> 00:04:15,120
La X, primera incógnita, pues la X se va a calcular mediante la fórmula en la que hemos cogido la B y la hemos puesto en la columna primera.

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00:04:15,840 --> 00:04:22,259
Hacemos ese determinante en el numerador y en el denominador, dividimos y un séptimo nos da el resultado directamente de la X.

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00:04:22,540 --> 00:04:28,740
La Y, pues la B va en la columna 2 y el resto de columnas son como en la matriz A.

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00:04:29,439 --> 00:04:39,639
Dividido entre el determinante de la matriz A, total menos 3 séptimos y haciendo lo mismo con la Z, la B iría ahora en tercer lugar en la columna 3, pues nos da un séptimo.

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00:04:39,819 --> 00:04:47,100
Listo, se acabó. No hay que hacer nada, no hay que despejar, simplemente hay que calcular 4 determinantes y hacer 3 divisiones.

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00:04:47,319 --> 00:04:51,180
Y de esa manera calculamos directamente el valor de la X, de la Y y de la Z.

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00:04:51,920 --> 00:04:57,560
Bien, pues esto ha sido la regla de Cramer. Es muy útil para sistemas de dimensión 3, 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

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00:04:57,920 --> 00:05:02,899
Se puede utilizar también para los sistemas de 2x2, aunque realmente es un poco matar moscas a cañonazos.

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00:05:03,500 --> 00:05:10,180
Y a partir de dimensión 4 o más, pues realmente los determinantes son muy pesados de calcular computacionalmente.

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00:05:10,899 --> 00:05:13,500
No se usa. Se utilizan métodos más numéricos.

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00:05:14,000 --> 00:05:16,779
Bueno, espero que os haya gustado. Nos vemos en siguientes vídeos. Un saludo.