1
00:00:01,330 --> 00:00:05,950
En este vídeo vamos a estudiar las funciones de proporcionalidad inversa.

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00:00:06,969 --> 00:00:10,349
La primera pregunta que nos hacemos es ¿por qué se llaman así?

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00:00:11,210 --> 00:00:16,010
Resulta que en los problemas de proporcionalidad inversa siempre el producto de las dos magnitudes es constante.

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00:00:16,250 --> 00:00:23,129
Por ejemplo, si tenemos que recorrer 500 km, si aumentamos la velocidad, disminuimos el tiempo,

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00:00:23,609 --> 00:00:26,589
y el producto siempre de la velocidad por el tiempo permanece constante.

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00:00:26,589 --> 00:00:34,729
Como el producto de las dos magnitudes es constante, debe ser que una de ellas es la constante partido por la otra magnitud

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00:00:34,729 --> 00:00:41,429
Vamos a estudiar en concreto la función y igual a 1 partido por x

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00:00:41,429 --> 00:00:48,170
Esta función no está definida en x igual a 0, su dominio es todos los reales menos el 0

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00:00:49,030 --> 00:00:59,030
¿Qué pasa en ese punto? Pues como no puede pasar por la recta vertical x igual a 0, pues tiene que escaparse hacia el infinito en este caso

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00:00:59,030 --> 00:01:07,879
a menos infinito y volver por el infinito. En concreto ahí tenemos la tabla de valores

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00:01:07,879 --> 00:01:13,280
de esta función cerca de cero. Cuanto más nos acercamos a cero más se va al infinito.

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00:01:13,840 --> 00:01:22,599
Por la izquierda se va a menos infinito y por la derecha se va a más infinito. Esta

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00:01:22,599 --> 00:01:27,900
función y igual a uno partido por x tiene también como propiedades que la recta y igual

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00:01:27,900 --> 00:01:33,739
a cero es una asíntota horizontal. Cuando la x se hace grande los valores se acercan

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00:01:33,739 --> 00:01:42,799
cada vez más a 0. La recta x igual a 0 sería una asíndota vertical. Esta función es decreciente

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00:01:42,799 --> 00:01:51,450
en todo su dominio y además es discontinua en x igual a 0. También resulta que es simétrica

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00:01:51,450 --> 00:01:58,310
respecto al punto O00, el origen de coordenadas. Hay una simetría central y el recorrido es

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00:01:58,310 --> 00:02:06,650
todo r menos el 0. En esa animación vemos como cada punto de una rama tiene un simétrico en la

19
00:02:06,650 --> 00:02:15,900
otra. Esta función y igual a 1 partido por x también se conoce como hipérbola, es una de las

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00:02:15,900 --> 00:02:24,419
cónicas, las curvas que se obtienen seccionando un cono. En resumen, esta función y igual a 1

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00:02:24,419 --> 00:02:29,819
partido por x tiene como dominio a todos los reales menos el 0. Su recorrido también son todos los

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00:02:29,819 --> 00:02:35,120
reales menos el cero. Es siempre decreciente, no tiene máximos ni mínimos. Tiene como

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00:02:35,120 --> 00:02:41,719
asíntota horizontal y igual a cero, asíntota vertical x igual a cero, es simétrica respecto

24
00:02:41,719 --> 00:02:47,939
al origen de coordenadas, no es periódica, es discontinua en x igual a cero, cuando x

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00:02:47,939 --> 00:02:52,860
tiende a cero por la izquierda se va a menos infinito y cuando x tiende a cero por la derecha

26
00:02:52,860 --> 00:03:02,800
se va a más infinito. Ahora vamos a ver distintas funciones que se parecen a uno partido por

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00:03:02,800 --> 00:03:09,879
x son variaciones de esta que ya conocemos. En este caso sería y igual a k partido por

28
00:03:09,879 --> 00:03:16,659
x menos a más b, donde k es esa constante de proporcionalidad, x menos a sería lo que

29
00:03:16,659 --> 00:03:25,180
hay debajo del denominador y más b sería un factor que suma o resta. Esta k va a determinar

30
00:03:25,180 --> 00:03:30,780
si es creciente o decreciente. Cuanto mayor sea la k en valor absoluto, más se va a separar

31
00:03:30,780 --> 00:03:35,900
de las asíntotas. El valor a va a determinar su asíntota vertical y la va a desplazar

32
00:03:35,900 --> 00:03:42,120
lateralmente. b va a desplazar a la función hacia arriba o hacia abajo y va a determinar

33
00:03:42,120 --> 00:03:47,539
la asíntota horizontal. En esa gráfica que tenemos ahí, igual a 5 partido por x menos

34
00:03:47,539 --> 00:03:53,740
3 más 2, como k igual a 5 es mayor que 0, va a ser decreciente. Al dividir por x menos

35
00:03:53,740 --> 00:04:00,560
3 sacamos a x igual a 3 del dominio de definición, lo podemos dividir por 0. x igual a 3 va a

36
00:04:00,560 --> 00:04:08,340
ser entonces una asíntota vertical. Al sumar 2 la función sube hacia arriba dos unidades e igual a

37
00:04:08,340 --> 00:04:14,240
2 es una asíntota horizontal. La función será ahora simétrica no respecto a 0,0 sino respecto

38
00:04:14,240 --> 00:04:22,269
al punto 3,2 donde se cortan las dos asíntotas. Vamos a ver ahora con esta animación cómo se

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00:04:22,269 --> 00:04:30,600
comporta la función cuando variamos los parámetros. Si k se hace grande vemos que se va separando de

40
00:04:30,600 --> 00:04:38,920
sus asíntotas. Cuando k se hace negativa, la función ya no es decreciente, es creciente.

41
00:04:43,629 --> 00:04:49,709
Si movemos, la a se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda. Cuando a es positiva,

42
00:04:49,970 --> 00:04:56,550
hacia la derecha. Y a la izquierda, cuando a es negativa. Si movemos la b, la función

43
00:04:56,550 --> 00:05:13,639
sube o baja. Si movemos todos los parámetros a la vez, vamos a encontrar todas las posibilidades

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00:05:13,639 --> 00:05:35,579
juntas. Sube, baja, se hace decreciente, creciente... En resumen, estas funciones de i igual a k

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00:05:35,579 --> 00:05:43,060
partido por x menos a más b tienen como dominio a todos los reales menos al a, o sea, al que

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00:05:43,060 --> 00:05:50,040
hace cero el denominador. Tienen como recorrido a todos los reales menos el b, es decir, aquel

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00:05:50,040 --> 00:05:56,620
que suma o resta, aquel que hace subir o bajar. Si k es mayor que cero, la función es decreciente.

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00:05:56,980 --> 00:06:03,079
Si k es menor que cero, la función es creciente. Si el valor absoluto de k es grande, se aleja

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00:06:03,079 --> 00:06:09,519
de las asíntotas. No tiene ni máximos ni mínimos. La asíntota vertical es x igual

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00:06:09,519 --> 00:06:16,240
a, la asíntota horizontal es y igual a b, hay una simetría central en el punto p a

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00:06:16,240 --> 00:06:24,519
b donde se cortan las dos asíntotas y va a ser discontinua en x igual a a. Bueno, pues

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00:06:24,519 --> 00:06:27,720
ya solo te queda que te aprendas todas estas cosas y que las practiques.