1
00:00:02,930 --> 00:00:09,289
Bien, vamos a ver una serie de relaciones geométricas utilizando los vectores.

2
00:00:09,810 --> 00:00:17,030
En primer lugar, ¿cómo calculamos el punto medio entre dos puntos dados?

3
00:00:18,449 --> 00:00:29,530
Fijaos, si me dan dos puntos A y B, conociendo sus coordenadas x1 y 1 y x2 y 2, ¿cuál será el punto que está justo en medio?

4
00:00:29,530 --> 00:00:43,109
Pues las coordenadas, para calcularlas, habrá que hacer la media aritmética de las coordenadas x y la media aritmética de las coordenadas y, porque precisamente ese es lo que cae justo en medio.

5
00:00:44,009 --> 00:00:46,570
Es una operación muy sencilla.

6
00:00:47,609 --> 00:00:55,789
Por ejemplo, si el punto A es , yo puedo situarlo en los ejes de coordenadas, 2 a la izquierda y 4 hacia arriba.

7
00:00:55,789 --> 00:01:06,170
y el punto B es el punto 4, 2. 4 a la derecha y 2 arriba. Bien, pues ¿qué punto será justo el que

8
00:01:06,170 --> 00:01:15,010
está en medio de estos dos? Pues lo que tengo que hacer es utilizar esa fórmula. Hago menos 2 más 4

9
00:01:15,010 --> 00:01:22,430
entre 2, que es la media aritmética de las X, y hago 4 más 2 entre 2, que es la media aritmética

10
00:01:22,430 --> 00:01:32,689
de las y. Lo veis ahí. El resultado que sale es 1, 3. Bien, si lo dibujamos, 1, 3 arriba, se verá

11
00:01:32,689 --> 00:01:39,329
perfectamente que es justo el valor que está en medio de ellos. Así que, primera de las relaciones

12
00:01:39,329 --> 00:01:46,409
muy sencillas. Vamos con la siguiente. Relacionado con esto del punto medio, tenemos el punto

13
00:01:46,409 --> 00:01:57,780
simétrico. Decimos que S es el punto simétrico de A respecto de B, si B es justo el punto que está

14
00:01:57,780 --> 00:02:05,959
en medio de S y de A. ¿De acuerdo? O sea, el que queda en medio es B, el respecto de. ¿De acuerdo?

15
00:02:06,959 --> 00:02:14,900
O sea, que podemos utilizar otra vez lo del punto medio. Por ejemplo, menos 3, 4. Lo dibujo. 3 a la

16
00:02:14,900 --> 00:02:25,060
izquierda, 4 hacia arriba. Y el punto B es 1, 6. 1 a la derecha, 6 hacia arriba. Bien, ¿cuál será el

17
00:02:25,060 --> 00:02:33,939
punto simétrico de A respecto de B? Pues bien, es el que está a la misma distancia pero al otro lado

18
00:02:33,939 --> 00:02:41,900
de A. ¿De acuerdo? Está en línea recta a la misma distancia al otro lado. ¿Pero qué es lo que tiene

19
00:02:41,900 --> 00:02:49,900
que ocurrir? Pues que B caiga justo en medio. Así que si yo, por ejemplo, digo que el punto S,

20
00:02:50,379 --> 00:02:56,280
que es el simétrico, todavía no conozco sus coordenadas, lo que sí tengo claro, como B es el

21
00:02:56,280 --> 00:03:05,539
que está en medio, es precisamente que 1, 6 es el punto medio de A y de S. Así que hago la media

22
00:03:05,539 --> 00:03:13,939
aritmética de las x, la media aritmética de las y, separo coordenadas porque no mezclo x con y,

23
00:03:14,319 --> 00:03:25,659
por lo tanto 1 que es la x de este será menos 3 más x entre 2, 6 que es la y será 4 más y entre 2

24
00:03:25,659 --> 00:03:33,159
y ahora despejo cada una de las incógnitas que aparecen ahí. El 2 pasará multiplicando y el

25
00:03:33,159 --> 00:03:43,000
número que hay aquí pasará restando. Por lo tanto aquí nos queda que la x es 5 despejando y que la

26
00:03:43,000 --> 00:03:53,800
y es 8. Efectivamente si dibujamos este punto 5 a la derecha y 8 hacia arriba observaremos que

27
00:03:53,800 --> 00:04:02,900
cae justo en medio de los dos. ¿De acuerdo? Bien, podríamos calcular esto también utilizando esta

28
00:04:02,900 --> 00:04:09,020
fórmula. Esta fórmula ni más ni menos es lo que estamos haciendo aquí al despejar. Multiplico por

29
00:04:09,020 --> 00:04:18,300
2 a las coordenadas de B, lo veis ahí, lo azul es lo de B, y luego resto las coordenadas de A, ¿vale?

30
00:04:18,920 --> 00:04:28,680
Por lo tanto esta formulita es exactamente lo mismo que lo que hemos hecho. Siguiente relación.

31
00:04:29,519 --> 00:04:32,680
¿Cómo divido un segmento en partes iguales?

32
00:04:33,600 --> 00:04:36,939
Bien, si yo quiero partir un segmento en partes iguales,

33
00:04:37,639 --> 00:04:43,740
primero lo que hago es calcular el vector que une sus extremos, ¿vale?

34
00:04:44,519 --> 00:04:48,240
Y lo dividimos en las partes en las que queramos hacer.

35
00:04:48,519 --> 00:04:50,699
Si quiero hacer cuatro partes, lo divido entre cuatro.

36
00:04:50,839 --> 00:04:53,939
Si quiero hacer tres, lo divido entre tres, en función de eso.

37
00:04:54,639 --> 00:04:55,740
Vamos a ver cómo sería.

38
00:04:55,740 --> 00:05:07,439
A ver, imaginad que queremos dividir en cuatro trozos el segmento que une estos dos puntos, A y B, que son menos 3, 4 y 5, 8.

39
00:05:08,100 --> 00:05:16,300
¿Vale? Podría dibujarlos. Bueno, yo quiero partir en cuatro trozos el segmento que los une.

40
00:05:16,300 --> 00:05:24,839
Pues primero calculo el vector AB. El vector AB, ni más ni menos, que va a ser restar B menos A.

41
00:05:25,139 --> 00:05:30,819
¿Os acordáis, verdad? Para calcular AB, el extremo menos el origen.

42
00:05:31,600 --> 00:05:38,040
Utilizo ahora las coordenadas. Primero pongo las de B, luego las de A y hago la resta.

43
00:05:38,040 --> 00:05:41,319
el vector sale 8, 4.

44
00:05:42,420 --> 00:05:47,420
Bien, pues si el vector es 8, 4 y yo quiero partir en 4 trozos,

45
00:05:48,480 --> 00:05:50,620
divido precisamente el vector entre 4.

46
00:05:51,839 --> 00:05:56,959
Si divido entre 4 ese vector, hago un cuarto, me sale 2, 1.

47
00:05:58,040 --> 00:06:03,699
De forma que si yo coloco 4 veces el vector 2, 1, habré partido en 4 trozos.

48
00:06:03,699 --> 00:06:10,779
Vale, pero ¿qué puntos serán justo los que necesito para partir eso en 4?

49
00:06:11,319 --> 00:06:21,279
Pues lo que voy haciendo es, a partir de A, ir sumando la cuarta parte del vector, o sea, el vector 2, 1 que me ha salido.

50
00:06:22,240 --> 00:06:26,300
Así que, ¿cómo calculo el primer punto? Por ejemplo, le llamo P1.

51
00:06:26,300 --> 00:06:33,860
Pues lo que hago es sumar a más el vector 2, 1, que es lo que me ha salido la cuarta parte de a, b.

52
00:06:34,939 --> 00:06:43,680
Si hacemos esa suma, pues el resultado que nos sale es menos 1, 5.

53
00:06:44,319 --> 00:06:47,519
¿Vale? Menos 3 más 2, menos 1, 4 más 1, 5.

54
00:06:48,459 --> 00:07:00,019
Bien, si sitúo el punto menos 1, 5, pues resulta que justo vamos a ver que es la cuarta parte de ese vector.

55
00:07:00,639 --> 00:07:11,259
Pero quiero los siguientes puntos. Pues nada, a partir de P1 vuelvo a sumar otra vez el vector 2, 1, que es la cuarta parte,

56
00:07:11,259 --> 00:07:17,540
y obtendré otro punto que llamo P2 y así voy haciéndolo hasta que tenga todos los puntos.

57
00:07:18,740 --> 00:07:25,680
Si calculo esto con coordenadas, P1 era menos 1,5. Le tengo que sumar otra vez 2,1.

58
00:07:27,339 --> 00:07:30,899
Calculo y sale 1,6. 1 a la derecha, 6 hacia arriba.

59
00:07:32,300 --> 00:07:38,560
Efectivamente, ese está justo en medio porque como es la cuarta parte, el segundo está en medio.

60
00:07:38,560 --> 00:07:50,639
Y luego el siguiente, pues vuelvo a sumar al vector, o sea, perdón, al punto P2 que he calculado antes, 1, 6, otra vez 2, 1.

61
00:07:52,079 --> 00:07:55,300
Sumo 1, 6 más 2, 1, que sale 3, 7.

62
00:07:56,860 --> 00:08:07,060
Coloco el punto 3, 7 y ya he conseguido todos los puntos precisamente que dividen al segmento en cuatro trozos.

63
00:08:07,060 --> 00:08:22,540
Y por último, algo que ya hemos utilizado, aunque de otra manera, y va a ser mucho más sencillo, cómo averiguar que dos vectores son paralelos.

64
00:08:23,439 --> 00:08:40,659
El vector u es paralelo a v, y lo vamos a escribir de esta forma, u paralelo v, significa además lo mismo que linealmente dependiente, si existe un número k, de forma que u es k por v.

65
00:08:40,659 --> 00:08:44,820
¿Vale? ¿Qué significa esto de u igual a k por v?

66
00:08:45,399 --> 00:08:53,059
Que si multiplico a un número por el vector v consigo calcular el vector u

67
00:08:53,059 --> 00:09:00,980
O sea que en definitiva lo que hago es cambiar de tamaño a v pero no le cambio de dirección por eso es paralelo

68
00:09:00,980 --> 00:09:14,240
Vale, pero esto en realidad es lo mismo que si divido las coordenadas obtengo el mismo resultado, porque los vectores son proporcionales.

69
00:09:14,419 --> 00:09:18,940
Proporcionales significaba que al dividir siempre salía lo mismo, ¿vale?

70
00:09:18,940 --> 00:09:39,379
Y relacionado con esto, podré decir también que tres puntos A, B y C están alineados si el vector que une los dos primeros, por ejemplo AB, es paralelo al que une los dos siguientes BC.

71
00:09:39,379 --> 00:09:47,500
si son paralelos es que los tres están en línea. Así que vamos a ver un ejemplo de cada uno para

72
00:09:47,500 --> 00:09:56,960
que lo veamos bien. Bien, aquí tengo el vector u, menos 1, 2, y el vector v, menos 3, 6. ¿Son

73
00:09:56,960 --> 00:10:03,720
paralelos estos vectores? Bueno, pues simplemente lo único que tengo que comprobar es que si divido

74
00:10:03,720 --> 00:10:12,720
las coordenadas, menos 1 entre 2 y menos 3 entre 6, el resultado es el mismo. Efectivamente, para

75
00:10:12,720 --> 00:10:18,159
que dos fracciones sean iguales, al multiplicar en cruz me tiene que salir lo mismo y aquí cumple

76
00:10:18,159 --> 00:10:25,639
ese requisito. La proporción que hacemos, esto de dividir las coordenadas, se puede hacer como

77
00:10:25,639 --> 00:10:33,080
lo he hecho aquí. Veis que divido las coordenadas del mismo vector, el verde, pero también podría

78
00:10:33,080 --> 00:10:41,399
decir, menos 1 dividido entre menos 3 me da lo mismo que 2 dividido entre 6. O sea, las coordenadas

79
00:10:41,399 --> 00:10:50,000
x al dividir sale lo mismo que las y, porque la proporción que sale es la misma. Así que cualquiera

80
00:10:50,000 --> 00:10:57,990
de los dos criterios lo podríais usar. Aquí, por ejemplo, si lo dibujo, el vector u es el menos 1,

81
00:10:57,990 --> 00:11:06,370
2, 1 a la izquierda, 2 arriba, y el vector v, 3 a la izquierda, 6 arriba. Se ve que efectivamente

82
00:11:06,370 --> 00:11:16,549
están en la misma dirección. Bien, y ahora voy a dar tres puntos. A es el punto 1, 2, que estaría

83
00:11:16,549 --> 00:11:26,690
situado ahí. B es el punto 3, 6, que estaría ahí. Y c es el punto 4, 8. No tienen por qué estar a la

84
00:11:26,690 --> 00:11:33,230
misma distancia, ni mucho menos. Lo que quiero es comprobar si están alineados. Pues voy a calcular

85
00:11:33,230 --> 00:11:44,169
primero el vector AB. El vector AB lo que hago es restar B menos A. B menos A, pongo las coordenadas

86
00:11:44,169 --> 00:11:57,830
y me sale 2, 4. Luego calculo el vector BC de la misma forma. BC es C menos B. Utilizo las

87
00:11:57,830 --> 00:12:04,870
coordenadas otra vez y sale 1, 2. 1 a la derecha y 2 para arriba. Estos dos

88
00:12:04,870 --> 00:12:11,909
vectores son paralelos, pues aplico el criterio anterior. 2 cuartos, que es la

89
00:12:11,909 --> 00:12:17,409
división de estas coordenadas, ¿sale lo mismo que un medio? Pues sí, son

90
00:12:17,409 --> 00:12:22,169
equivalentes, por lo tanto los puntos están alineados.