1
00:00:02,350 --> 00:00:08,589
Hola otra vez, chicas y chicos de matemáticas de segundo de bachillerato.

2
00:00:08,830 --> 00:00:16,030
Estamos en el tercer vídeo de esta serie en el que estábamos estudiando la derivabilidad de funciones a trozos.

3
00:00:16,789 --> 00:00:22,730
En este caso nos encontramos con esta cuestión bastante interesante, nos dan una función a trozos, ¿veis?

4
00:00:23,269 --> 00:00:28,989
El primer tramo es una parábola, el segundo tramo es una función polinómica de grado 3

5
00:00:28,989 --> 00:00:35,289
y nos piden que hallemos los valores de a y b para que exista f' de 1.

6
00:00:36,649 --> 00:00:37,649
Entonces empezamos.

7
00:00:38,990 --> 00:00:46,289
Como nos piden que exista f' de 1, me ciño a estudiar el 1, nada más.

8
00:00:46,850 --> 00:00:55,729
Bueno, pues entonces, para que exista f' de 1, lo primero es que f tiene que ser continua en x igual a 1.

9
00:00:56,549 --> 00:00:57,469
Eso es fundamental.

10
00:00:58,210 --> 00:01:03,049
Así que primero tenemos que obligar a la función a que sea continua en x igual a 1.

11
00:01:04,030 --> 00:01:10,719
f debe ser continua en x igual a 1.

12
00:01:11,260 --> 00:01:11,659
Fundamental.

13
00:01:11,819 --> 00:01:13,420
¿Qué significa que f sea continua igual a 1?

14
00:01:15,079 --> 00:01:20,540
Significa que el límite por la izquierda de la función, cuando yo lo calcule,

15
00:01:21,040 --> 00:01:25,480
tiene que ser igual al límite, le tengo que obligar a que sea igual al límite por la derecha de la función.

16
00:01:26,040 --> 00:01:27,900
Y que sea igual a f de 1.

17
00:01:27,900 --> 00:01:32,579
Esto ya nos lo dan gratis porque como f de 1 y el límite por la derecha es el mismo, pues ya está.

18
00:01:33,659 --> 00:01:38,040
Aquí estaría en el primer tramo, aquí estaría en el segundo tramo y aquí estaría en el segundo tramo.

19
00:01:38,700 --> 00:01:47,459
En el primer tramo, el límite, cuando x tiende a 1 por la izquierda, quien rige aquí en este tramo es esta parábola.

20
00:01:49,799 --> 00:01:59,299
Sustituyendo la x por 1 me queda 1 más a más 1, es decir, a más 2.

21
00:01:59,459 --> 00:02:05,400
Muy bien, en el segundo tramo, cuando x tiende a 1 por la derecha, ¿quién rige?

22
00:02:05,840 --> 00:02:18,479
Es esta función polinómica de grado 3, 1 cúbica, sustituyendo por 1 sería menos 1, más b, más 3, es decir, 2.

23
00:02:20,300 --> 00:02:24,039
¿Por qué? Pues no, aquí me he equivocado. No, pero no voy a repetir el vídeo.

24
00:02:24,039 --> 00:02:26,460
no voy a repetir el vídeo

25
00:02:26,460 --> 00:02:29,159
rectificar es de sabios

26
00:02:29,159 --> 00:02:30,819
no digo que yo sea un sabio

27
00:02:30,819 --> 00:02:32,960
pero bueno, aquí rectifico

28
00:02:32,960 --> 00:02:35,139
muy bien, aquí quien gobierna

29
00:02:35,139 --> 00:02:37,139
es menos x cubo

30
00:02:37,139 --> 00:02:38,419
más bx cuadrado

31
00:02:38,419 --> 00:02:40,740
más 2, luego esto es menos 1

32
00:02:40,740 --> 00:02:42,379
más b más 2

33
00:02:42,379 --> 00:02:44,439
y esto no es ni más ni menos que

34
00:02:44,439 --> 00:02:46,419
b más

35
00:02:46,419 --> 00:02:48,979
1 y f de 1

36
00:02:48,979 --> 00:02:50,680
que estoy en el segundo tramo, pues vale lo mismo

37
00:02:50,680 --> 00:02:52,539
b más 1, muy bien

38
00:02:52,539 --> 00:03:16,639
Y luego, escribo con precisión, para que f sea continua en x igual a 1, tiene que cumplirse, pues esto que viene aquí, que a más 2 se igual a b más 1.

39
00:03:16,639 --> 00:03:18,960
Ahí lo tengo

40
00:03:18,960 --> 00:03:21,360
¿Que lo queréis escribir de una manera más bonita?

41
00:03:21,500 --> 00:03:22,719
Pues sí, lo podéis escribir

42
00:03:22,719 --> 00:03:24,620
Pues de esta manera, si queréis

43
00:03:24,620 --> 00:03:26,819
Es decir, a menos b

44
00:03:26,819 --> 00:03:28,400
Igual a menos 1

45
00:03:28,400 --> 00:03:32,240
Genial, esto es muy importante

46
00:03:32,240 --> 00:03:33,360
Lo recuadramos

47
00:03:33,360 --> 00:03:36,560
Ahí está recuadrado, perfecto

48
00:03:36,560 --> 00:03:37,340
Luego ya sé

49
00:03:37,340 --> 00:03:39,960
Que para que sea derivable en 1

50
00:03:39,960 --> 00:03:41,860
Por lo pronto

51
00:03:41,860 --> 00:03:43,879
Lo que tiene que ocurrir es que a menos b

52
00:03:43,879 --> 00:03:46,240
Es igual a menos 1, porque esto era quizá continua

53
00:03:46,240 --> 00:03:46,840
Muy bien

54
00:03:46,840 --> 00:03:48,939
Siguiente paso

55
00:03:48,939 --> 00:03:50,620
Fijaros que todavía no puedo resolver

56
00:03:50,620 --> 00:03:53,699
Me falta otra condición, otra regla

57
00:03:53,699 --> 00:03:54,759
Muy bien, la otra regla

58
00:03:54,759 --> 00:03:56,460
Es que para que sea continua

59
00:03:56,460 --> 00:03:57,819
Pues entonces ya pongo

60
00:03:57,819 --> 00:04:01,400
La derivada de la función

61
00:04:01,400 --> 00:04:05,460
Salvo

62
00:04:05,460 --> 00:04:07,780
Ay, cuántas veces lo tendremos que decir esto

63
00:04:07,780 --> 00:04:09,860
En x igual a 1

64
00:04:09,860 --> 00:04:11,960
Porque todavía no sé lo que va a pasar

65
00:04:11,960 --> 00:04:13,120
Aunque le voy a obligar

66
00:04:13,120 --> 00:04:15,360
Pues sería, la derivada de eso sería 2x

67
00:04:15,360 --> 00:04:16,639
Más a

68
00:04:16,639 --> 00:04:18,800
Esto sería menos 3x cuadrado

69
00:04:18,800 --> 00:04:21,680
más 2bx y la derivada de 2 es 0

70
00:04:21,680 --> 00:04:23,259
si x menor que 1

71
00:04:23,259 --> 00:04:24,579
y x mayor que 1

72
00:04:24,579 --> 00:04:27,560
entonces para que exista f' de 1

73
00:04:27,560 --> 00:04:30,699
debe

74
00:04:30,699 --> 00:04:32,860
existir

75
00:04:32,860 --> 00:04:34,779
f' de 1, tengo que obligarlo

76
00:04:34,779 --> 00:04:35,839
de 1

77
00:04:35,839 --> 00:04:38,939
para que exista f' de 1 pues ya sabéis

78
00:04:38,939 --> 00:04:40,980
lo que tengo que hacer, tengo que obligar a que en esta función

79
00:04:40,980 --> 00:04:42,819
derivada el límite por la izquierda

80
00:04:42,819 --> 00:04:48,009
sea igual al límite

81
00:04:48,009 --> 00:04:49,470
por la derecha

82
00:04:49,470 --> 00:04:52,209
porque os recuerdo siempre que la derivada

83
00:04:52,209 --> 00:04:52,709
es un límite

84
00:04:52,709 --> 00:04:59,170
Muy bien, límite por la izquierda, ¿quién gobierna cuando la x se acerca al 1 por la izquierda?

85
00:04:59,250 --> 00:05:01,370
Pues gobierna esa bonita función 2x más a

86
00:05:01,370 --> 00:05:05,750
Luego esto es 2 más a

87
00:05:05,750 --> 00:05:10,870
Y aquí el límite por la derecha, ¿quién gobierna?

88
00:05:10,870 --> 00:05:14,269
Pues esta función, menos 3x2 más 2x

89
00:05:14,269 --> 00:05:17,629
Sustituyendo por 1 me queda menos 3 más 2

90
00:05:17,629 --> 00:05:21,230
Muy bien, luego para que exista f' de 1

91
00:05:21,230 --> 00:05:24,470
como esto debe existir

92
00:05:24,470 --> 00:05:25,910
para que exista f' de 1

93
00:05:25,910 --> 00:05:28,610
estos dos valores deben ser iguales

94
00:05:28,610 --> 00:05:29,829
así que lo pongo

95
00:05:29,829 --> 00:05:34,399
para que exista

96
00:05:34,399 --> 00:05:39,660
además de esto de aquí

97
00:05:39,660 --> 00:05:40,620
que ya lo habíamos visto

98
00:05:40,620 --> 00:05:43,560
pues para que exista

99
00:05:43,560 --> 00:05:45,139
debe ser

100
00:05:45,139 --> 00:05:46,040
¿qué debe ser?

101
00:05:46,459 --> 00:05:48,939
debe ser que 2 más a sea igual a

102
00:05:48,939 --> 00:05:50,959
menos 3 más 2b

103
00:05:50,959 --> 00:05:52,660
si esto lo queréis poner bonito

104
00:05:52,660 --> 00:05:55,000
pasamos las incógnitas al primer miembro

105
00:05:55,000 --> 00:05:56,699
y me queda menos 3 menos 2 menos 5

106
00:05:56,699 --> 00:05:58,819
No te equivoques Esteban, que sería horrible

107
00:05:58,819 --> 00:06:02,689
Y ya terminamos el problema

108
00:06:02,689 --> 00:06:04,569
Lo pongo más pequeñito

109
00:06:04,569 --> 00:06:06,810
Vosotros tenéis una vista

110
00:06:06,810 --> 00:06:08,310
Ya lo he dicho y ya está

111
00:06:08,310 --> 00:06:12,250
Entonces, ¿qué tiene que ocurrir para que exista la derivada?

112
00:06:12,329 --> 00:06:14,370
Pues tienen que cumplirse dos cosas

113
00:06:14,370 --> 00:06:15,269
Primero esta de aquí

114
00:06:15,269 --> 00:06:19,199
Que a menos b sea menos 1

115
00:06:19,199 --> 00:06:23,360
Y luego tiene que cumplirse que a menos 2b sea igual a menos 5

116
00:06:23,360 --> 00:06:24,639
¿Esto qué es?

117
00:06:24,759 --> 00:06:26,720
Pues esto no es ni más ni menos que un sistema de ecuaciones

118
00:06:26,720 --> 00:06:30,139
Un sistema de ecuaciones que hay que resolverlo

119
00:06:30,139 --> 00:06:37,980
y ya está. ¿Vale? ¿Cómo resolvemos este sistema de ecuaciones? Pues, ¿cómo lo hacemos?

120
00:06:40,610 --> 00:06:46,370
Yo lo hago por reducción, por reducción, es facilísimo, resto estas dos ecuaciones

121
00:06:46,370 --> 00:06:54,589
y ya está. A menos A no es nada, menos B menos menos 2B, B menos 1 menos menos 5,

122
00:06:54,910 --> 00:07:02,420
menos 1 más 5, una vez que tengo que la B vale 4, la pongo aquí por ejemplo, luego

123
00:07:02,420 --> 00:07:13,730
La A tiene que valer, la solución es A igual a 3, B igual a 4.

124
00:07:13,829 --> 00:07:18,149
Recuerde que una solución de un sistema tiene que tener dos valores, en este caso porque son dos incógnitas.

125
00:07:19,069 --> 00:07:19,490
Y ya está.

126
00:07:21,360 --> 00:07:25,079
Solo me queda poner la respuesta para que mi profesor y mi profesora se pongan contentos.

127
00:07:29,019 --> 00:07:38,470
Para que exista F' de 1, debe ser A igual a 3 y B igual a 4.

128
00:07:38,470 --> 00:07:56,389
Y si encima lo recuadro, pues ya está. Y aquí se terminó el problema. Un problema bien bonito.

129
00:07:56,389 --> 00:08:16,899
De nuevo, hemos vuelto a insistir en que para que exista la derivada, primero tengo que obligar a que sea continua y luego tengo que obligar a que las derivadas existan por la izquierda, o sea, los límites por la izquierda y por la derecha coinciden.

130
00:08:17,240 --> 00:08:25,740
Muy bien, y con esto hemos terminado la serie de los tres vídeos sobre derivabilidad o estudio de la derivada en funciones atroces.

131
00:08:26,279 --> 00:08:32,820
Ahora os toca a vosotros, a vosotras, hacer los problemas que os pondremos del libro para que practiquéis.

132
00:08:34,000 --> 00:08:36,720
Muchas gracias por haber escuchado.