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00:00:12,400 --> 00:00:17,780
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,780 --> 00:00:22,399
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,399 --> 00:00:34,109
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades

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00:00:34,109 --> 00:00:48,920
de los logaritmos y las operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades

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00:00:48,920 --> 00:00:53,200
y las operaciones con logaritmos y vamos a comenzar con dos identidades que se deducen

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00:00:53,200 --> 00:00:58,240
directamente a partir de la propia definición del logaritmo. El logaritmo en cualquier base del

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00:00:58,240 --> 00:01:03,100
número 1 va a ser siempre igual a 0 independientemente de la base y eso es porque cualquier base elevado

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00:01:03,100 --> 00:01:08,439
a 0 es igual a 1. Igualmente el logaritmo en cualquier base de ella misma va a ser igual a 1

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00:01:08,439 --> 00:01:14,519
y eso es porque la base elevado a 1 va a ser idénticamente igual a sí misma. Estas dos

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00:01:14,519 --> 00:01:19,659
propiedades las vamos a utilizar bastante siempre que tengamos que realizar ciertas operaciones con

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00:01:19,659 --> 00:01:25,659
logaritmos. Vamos a hablar de la suma y resta de logaritmos con la misma base. Aquí lo que vemos

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00:01:25,659 --> 00:01:30,780
es el logaritmo en base b de a más el mismo logaritmo en base b de a'. Aquí vemos logaritmo

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00:01:30,780 --> 00:01:37,260
en base b de a menos el logaritmo en la misma base b de a'. Bien, pues lo que podemos hacer es expresar

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00:01:37,260 --> 00:01:42,260
esta suma o esta resta de logaritmos como un único logaritmo. En el caso de la suma, el argumento va

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00:01:42,260 --> 00:01:48,420
a ser el producto de los argumentos. En el caso de la diferencia, el argumento va a ser el cociente

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00:01:48,420 --> 00:01:54,459
de los argumentos. Se pueden deducir estas propiedades, estas operaciones, igual que se

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00:01:54,459 --> 00:01:59,920
pueden deducir todas las demás, sin más que transformando estos logaritmos que tenemos en

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00:01:59,920 --> 00:02:05,519
el miembro de la izquierda en potencias, utilizando la definición del logaritmo, utilizando las

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00:02:05,519 --> 00:02:09,939
propiedades de las potencias para operar y luego transformar, hacer la transformación inversa para

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00:02:09,939 --> 00:02:15,819
obtener logaritmos. Fijaos en algo que es terriblemente importante. La suma de logaritmos

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00:02:15,819 --> 00:02:21,039
con la misma base es igual al logaritmo del producto, igual que la diferencia de logaritmos

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00:02:21,039 --> 00:02:27,719
con la misma base es igual al logaritmo del cociente, pero no al revés. Si nosotros nos

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00:02:27,719 --> 00:02:33,819
encontramos con el producto de dos logaritmos, eso no equivale a una suma ni al logaritmo de la suma,

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00:02:34,599 --> 00:02:38,439
y si nosotros nos encontramos con el cociente de logaritmos, aunque tenga la misma base,

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00:02:38,599 --> 00:02:44,020
eso no va a ser equivalente al logaritmo de una resta. Así que hemos de tener cuidado si dentro

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00:02:44,020 --> 00:02:49,439
del argumento de un logaritmo nos encontramos con una suma o una resta, eso no equivale al producto

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00:02:49,439 --> 00:02:55,300
ni al cociente de logaritmos. La propiedad adecuada o la forma adecuada de operar es esta que vemos

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00:02:55,300 --> 00:03:02,580
aquí, no intercambiando las operaciones entre sí. Otra operación con la que nos vamos a encontrar

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00:03:02,580 --> 00:03:07,580
es con el logaritmo de una potencia, cuando en el argumento nos encontramos con una potencia.

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00:03:07,759 --> 00:03:13,099
Bien, pues lo que podemos hacer es lo que localmente se denomina sacar la potencia y lo que vamos a

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00:03:13,099 --> 00:03:19,400
hacer es poner esta potencia multiplicando como coeficiente al logaritmo del argumento en el cual

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00:03:19,400 --> 00:03:25,800
ya no tenemos la potencia. Como caso particular, si nos encontramos con un radical, puesto que todos

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00:03:25,800 --> 00:03:30,780
los radicales equivalen a potencias con exponente fraccionario, transformaríamos el radical en

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00:03:30,780 --> 00:03:35,659
potencia y operaríamos de esta manera. En este caso, si nos encontramos con la raíz enésima de

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00:03:35,659 --> 00:03:41,099
a en el argumento, lo que obtendremos fuera como coeficiente es 1 partido por n y lo que tendríamos

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00:03:41,099 --> 00:03:46,759
el argumento, una vez que hemos extraído, por así decir, el índice, o en este caso

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00:03:46,759 --> 00:03:53,219
el exponente de la potencia, sería el número a. También tenemos una forma de

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00:03:53,219 --> 00:03:58,139
producir un cambio de base. Si nosotros tenemos un logaritmo en base b de a y

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00:03:58,139 --> 00:04:05,219
estamos interesados en cambiar esa base en otra, por la razón que quiera que

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00:04:05,219 --> 00:04:10,379
fuere, lo que podemos hacer es operar de esta manera, elegir una nueva base en la

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00:04:10,379 --> 00:04:16,259
que estemos interesados, que sería, por ejemplo, b', y podemos expresar este logaritmo en base b de a

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00:04:16,259 --> 00:04:23,360
como el cociente de logaritmo en la nueva base b' de a entre logaritmo en la nueva base b' de b.

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00:04:24,540 --> 00:04:29,319
Equivalentemente, si nosotros despejáramos de aquí, podríamos encontrar una fórmula en la cual podemos

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00:04:29,319 --> 00:04:34,040
producir un cambio de base en lugar de con un cociente con una multiplicación, como veríamos aquí.

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00:04:34,620 --> 00:04:55,480
Este cambio de base tiene sentido en un momento dado cuando, por ejemplo, nosotros estemos interesados en calcular el logaritmo en una base, por ejemplo, 3, de un cierto argumento y nosotros vamos a utilizar una calculadora y nuestra calculadora únicamente tiene logaritmos decimales o logaritmos neperianos, por ejemplo.

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00:04:55,480 --> 00:05:11,439
Hay muchas calculadoras actuales en las que podemos calcular un logaritmo en cualquier base, pero si nos encontramos en esa circunstancia, nosotros podríamos cambiar ese logaritmo en base 3 del argumento por un logaritmo decimal, una operación con logaritmos decimales o bien con logaritmos neperianos.

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00:05:11,579 --> 00:05:21,459
Si elegimos como base 10, sería el logaritmo decimal del argumento entre el logaritmo decimal de 3, la base que tuviéramos aquí, igualmente con logaritmos neperianos.

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00:05:22,100 --> 00:05:33,500
Con esto que hemos visto en esta videoclase y en la videoclase anterior, ya podemos resolver todos estos ejercicios involucrando operaciones con logaritmos.

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00:05:34,420 --> 00:05:44,300
También podemos resolver este que tenemos aquí, en el cual no es directamente resolver una operación, sino que tenemos un argumento que tenemos que falsear.

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00:05:44,300 --> 00:05:48,759
Algo no funciona en el argumento que se nos está dando y tenemos que encontrar dónde está el error.

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00:05:49,519 --> 00:05:54,600
Todos estos ejercicios los resolveremos en clase, posiblemente lo resolveremos en alguna videoclase posterior.

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00:05:57,490 --> 00:06:03,069
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:03,810 --> 00:06:07,910
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:08,730 --> 00:06:13,470
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:13,470 --> 00:06:15,449
Un saludo y hasta pronto.