1
00:00:05,809 --> 00:00:14,529
Vamos a ver, vamos a empezar con otros problemas de optimización, ¿vale? Para que tengáis más amplitud de ejercicios.

2
00:00:15,250 --> 00:00:24,570
A ver, me dicen, por ejemplo, que se sabe que el beneficio en los seis primeros meses de una empresa del sector editorial

3
00:00:24,570 --> 00:00:50,189
En miles de euros viene dado por la función f de t igual a 10t menos t cuadrado, donde t indica número de meses, ¿vale?

4
00:00:51,189 --> 00:01:00,689
Me preguntan en qué momento se obtuvo el máximo beneficio y a cuánto ascendió su valor, ¿de acuerdo?

5
00:01:02,409 --> 00:01:16,189
Perdón. Como es una función para maximizar, lo único que tengo que hacer es calcular la primera derivada, que en mi caso sería 10 menos 2t.

6
00:01:16,189 --> 00:01:32,069
Y como siempre que quiero calcular un máximo o un mínimo, igualo esa derivada a 0 y despejo en este caso t, que sería t igual a 5, ¿vale? 5 meses.

7
00:01:32,409 --> 00:01:37,409
Este sería el candidato a máximo o mínimo.

8
00:01:37,870 --> 00:01:47,829
Para saber cuál de las dos cosas es, tendríamos que calcular la segunda derivada de t, que en mi caso es menos 2.

9
00:01:47,989 --> 00:01:55,870
Este valor es siempre negativo, con lo cual en t igual a 5 tengo un máximo.

10
00:01:55,870 --> 00:02:06,090
¿Vale? Eso significa que se va a alcanzar el momento con mayor beneficio va a ser a los cinco meses.

11
00:02:06,409 --> 00:02:14,710
¿De acuerdo? Y también me preguntaban el valor al que ascendió ese beneficio.

12
00:02:14,710 --> 00:02:29,629
Entonces lo que me piden es calcular f de 5, que en mi caso sería 10 por 5 menos 5 al cuadrado, es decir, 25.

13
00:02:30,550 --> 00:02:39,150
Como el beneficio estaba en miles de euros, entonces el beneficio obtenido serían 25.000 euros.

14
00:02:39,150 --> 00:02:54,189
¿De acuerdo? Vale, pues a ver, ¿puedo bajar esto y seguir escribiendo? ¿Vale?

15
00:02:55,310 --> 00:03:07,030
Otro problema. Me dicen que el producto de dos números que desconozco, es decir, x por y, es 125.

16
00:03:07,030 --> 00:03:23,919
Me piden que calcule esos números de manera que el cuadrado del primero, es decir, x al cuadrado, más el doble del segundo sea mínimo, más 2y sea un mínimo.

17
00:03:24,599 --> 00:03:27,599
Esto es una función que es la que tengo que minimizar.

18
00:03:29,020 --> 00:03:32,199
Como veis es una función que depende de dos variables, ¿vale?

19
00:03:32,680 --> 00:03:36,819
Y nosotros con lo que estamos trabajando es con una función de x.

20
00:03:37,439 --> 00:03:47,800
Si aquí despejamos la y, obtengo que y es 125 dividido con x, de x, perdón.

21
00:03:49,219 --> 00:03:55,699
Si sustituimos ese valor de la y en mi función, lo que obtengo es

22
00:03:55,699 --> 00:04:20,149
que la función f de x sería igual a x al cuadrado más 125 por 2, que es, a ver, 250 dividido entre x.

23
00:04:20,149 --> 00:04:29,290
Y esta es mi función a la que tengo que calcular el máximo o el mínimo, ¿de acuerdo?

24
00:04:30,050 --> 00:04:35,529
Bien, como siempre, lo primero que hacemos es calcular la primera derivada.

25
00:04:39,759 --> 00:04:43,019
Calculamos ahora la primera derivada, ¿vale?

26
00:04:43,279 --> 00:04:58,009
Entonces tenemos que f'x sería 2x menos 250 dividido de x al cuadrado.

27
00:04:58,850 --> 00:05:01,589
Vale, os recuerdo que esto es la derivada de un cociente,

28
00:05:01,589 --> 00:05:17,589
Con lo cual sería derivada del numerador, que es cero, por x es cero, menos, que es este menos que tengo aquí, el numerador por la derivada del denominador, que es x, y dividido entre el denominador al cuadrado.

29
00:05:17,589 --> 00:05:35,889
¿Vale? Esto lo igualamos a 0 y después de operar tendríamos 2x cubo menos 250 dividido todo ello de x al cuadrado.

30
00:05:35,889 --> 00:05:51,089
Y esto es 0 si y solo si 2x cubo es igual a 250 y por tanto x es igual a 5.

31
00:05:53,189 --> 00:06:01,389
Ahora tenemos que saber si se trata de un máximo o un mínimo y para ello calculamos la segunda derivada.

32
00:06:01,389 --> 00:06:24,269
En nuestro caso la derivada de 2x es 2 y la derivada de ese cociente como antes sería aplicando la regla del producto, perdón, a ver, más 500 dividido entre x al cuadrado.

33
00:06:24,269 --> 00:06:40,149
¿Vale? Calculamos esa derivada en el valor obtenido, x igual a 5 y obtenemos que es un valor mayor que 0, por tanto tenemos un mínimo.

34
00:06:40,149 --> 00:07:09,250
Y ya estaría. Si x es como teníamos inicialmente un sistema, si x es 0, sustituyendo en la función, tendríamos que y vale 25.

35
00:07:09,250 --> 00:07:24,990
Por tanto, los números que me están pidiendo son 5 y 25, que son los dos que cumplen las condiciones que nos están pidiendo.

36
00:07:33,870 --> 00:07:35,810
Vamos con un tercer ejercicio.

37
00:07:36,629 --> 00:07:41,990
Se quiere vallar un terreno que es rectangular para criar conejos y gallinas.

38
00:07:41,990 --> 00:07:54,449
Para que los animales no se mezclen, se divide el terreno en dos rectángulos iguales, colocando parte de la valla de forma paralela a uno de los lados.

39
00:07:55,589 --> 00:07:59,910
Disponemos de 96 metros de valla.

40
00:08:04,160 --> 00:08:08,939
¿Cuáles serán las dimensiones para obtener la mayor superficie?

41
00:08:09,399 --> 00:08:12,259
¿Y cuál será esa superficie máxima?

42
00:08:12,259 --> 00:08:13,639
¿De acuerdo?

43
00:08:14,259 --> 00:08:30,930
A ver, como estamos hablando de un rectángulo, la situación sería esta, vamos a llamar a esto x y a esto y, y por tanto luego hay que dividir por aquí para que no se mezclen.

44
00:08:30,930 --> 00:08:45,230
Bueno, hacerlo un poquito mejor, ¿vale? La función que quiero maximizar en este caso sería la del área y es x por y.

45
00:08:45,570 --> 00:09:02,889
¿De acuerdo? Lo que sí que sé es que tenemos aquí nuevamente una función que depende de dos variables, x y, y necesito quedarme en una única variable que como siempre consideramos la x.

46
00:09:02,889 --> 00:09:20,769
A ver, otra de las cosas que sé es que el perímetro de ese recinto sería 3 veces x más 2y, ¿de acuerdo?

47
00:09:21,269 --> 00:09:30,750
Porque tengo este lado, este otro que he punteado y este otro y además sería esto y esto.

48
00:09:30,750 --> 00:09:41,850
y este valor debe ser igual a los 96 metros de alambrada que tengo, ¿de acuerdo?

49
00:09:41,850 --> 00:10:02,679
Como siempre, despejamos de aquí la Y y tenemos que Y será 96 menos 3X, todo ello dividido, ay, perdón, entre 2, ¿vale?

50
00:10:02,679 --> 00:10:17,590
Si operamos esto, me quedaría que y es 48 menos 3 medios de x.

51
00:10:17,590 --> 00:10:42,710
Con este valor nos iríamos a la función del área y tendríamos en este caso que a de x sería igual a x por y, es decir, x por y que es 48 menos 3 medios de x.

52
00:10:42,710 --> 00:10:56,669
¿Vale? O si queréis operar, 48x menos 3x cuadrado medios.

53
00:10:57,289 --> 00:11:07,809
¿Vale? Bueno, pues esa función, la a de x, es la que tenemos que maximizar.

54
00:11:07,809 --> 00:11:26,720
Como siempre calculamos la primera derivada, bueno voy a escribir aquí nuevamente la función, después de operar nos quedaba 48x menos 3 medios de x cuadrado, ¿vale?

55
00:11:26,720 --> 00:11:48,230
Calculamos la primera derivada y me quedaría 48 menos 3 medios por 2x, que simplificando me quedaría 48 menos 3x, ¿vale?

56
00:11:48,230 --> 00:12:01,769
Esta es la función que voy a igualar a 0 y al despejar la x obtengo que x es 16 metros

57
00:12:01,769 --> 00:12:13,759
Y como siempre tengo que comprobar si efectivamente ese valor que he obtenido para la x es un máximo, un mínimo o qué

58
00:12:13,759 --> 00:12:28,789
Calculamos la segunda derivada y obtenemos que es menos 3, que es un valor negativo

59
00:12:28,789 --> 00:12:34,789
Por tanto, x igual a 16 es un máximo

60
00:12:34,789 --> 00:12:39,360
¿De acuerdo?

61
00:12:40,500 --> 00:12:47,799
Vale, nos pedían lo que miden tanto x como y

62
00:12:47,799 --> 00:13:09,059
Con lo cual, ya que teníamos la Y despejada y era, si recordáis, 48 menos 3 medios de X, de aquí al sustituir la Y por 16 obtenemos que Y es 24 metros.

63
00:13:09,059 --> 00:13:25,360
Por tanto, lo que queremos es que nuestra valla mida 16 metros de alto por 24 de largo

64
00:13:25,360 --> 00:13:45,360
y el área máxima, es decir, a de x y, que era x por y, sería 16 por 24, que son 384 metros cuadrados.

65
00:13:46,700 --> 00:13:50,860
Esa sería la superficie máxima.

66
00:13:50,860 --> 00:14:24,019
Vamos a ver un último ejercicio, ¿vale? ¿Qué pasaría en el caso de que tengamos una función definida a trozos? ¿Vale? Entonces, a ver, ahora. Vamos a ver. Me dicen que el beneficio de un parque de atracciones depende principalmente de la extracción del año en la que nos encontramos.

67
00:14:24,019 --> 00:14:42,519
Y la función que corresponde al beneficio, en cientos de miles de euros, viene dado por la siguiente función, f de x va a ser igual a x más 3 medios,

68
00:14:42,519 --> 00:15:05,710
Si estoy entre 0 y 5, es decir, en los meses que van de enero a mayo, va a ser menos x al cuadrado más 14x menos 41.

69
00:15:05,710 --> 00:15:29,759
Bueno, si estoy entre mayo y septiembre, menor o igual, y por último, va a ser cuatro en los últimos meses del año.

70
00:15:29,759 --> 00:15:45,759
es decir, entre, perdón, esto es un menú estricto, entre septiembre y diciembre, ¿vale?

71
00:15:46,299 --> 00:15:49,399
Bueno, pues vamos a ver cómo hacemos esto.

72
00:15:51,419 --> 00:15:56,620
Me piden que calculen qué momento se obtienen los máximos y mínimos beneficios

73
00:15:56,620 --> 00:16:00,879
y a cuánto ascienden estas cantidades, ¿de acuerdo?

74
00:16:01,519 --> 00:16:09,000
Bien, como siempre, lo que hacemos es calcular primeramente la primera derivada.

75
00:16:10,500 --> 00:16:19,299
En el primer intervalo, es decir, entre los meses de enero y mayo, la derivada sería un medio.

76
00:16:25,019 --> 00:16:31,259
Derivando la segunda rama me quedaría menos 2x más 14.

77
00:16:31,259 --> 00:16:35,179
Si estoy entre mayo y septiembre

78
00:16:35,179 --> 00:16:44,019
Y por último será 0 ya que es una constante en los últimos meses del año

79
00:16:44,019 --> 00:16:47,259
¿De acuerdo?

80
00:16:48,639 --> 00:16:50,220
Bien, vamos a ver

81
00:16:50,220 --> 00:16:55,220
Una vez que tengo esto, lo que necesito saber, como siempre

82
00:16:55,220 --> 00:17:00,419
Es para que valores la primera derivada es 0

83
00:17:00,419 --> 00:17:02,799
¿Y esto cuándo ocurre?

84
00:17:03,139 --> 00:17:09,079
A ver, en la primera rama no puede ser cero, puesto que vale un medio, ¿lo veis?

85
00:17:09,859 --> 00:17:12,740
Entonces ahí no se va a anular nunca.

86
00:17:13,460 --> 00:17:25,079
En la segunda rama obtengo que x es 7 y en la última va a ser siempre cero,

87
00:17:25,079 --> 00:17:34,900
es decir, entre septiembre y diciembre también va a ser cero, ¿vale?

88
00:17:35,480 --> 00:17:49,480
Bien, una vez que tengo estos candidatos, lo que tengo que hacer es ver cuáles son los valores, cuál de estos valores es máximo o mínimo.

89
00:17:49,480 --> 00:18:17,930
¿De acuerdo? Calculamos la segunda derivada. f segunda de x será 0 porque es una constante en los primeros meses, menos 2 entre mayo y septiembre y 0 en los últimos meses del año.

90
00:18:17,930 --> 00:18:49,059
¿De acuerdo? Por tanto, f segunda en 7 va a ser menos 2, que es un número negativo, y por tanto, cuando x es 7, es decir, en el mes de junio, alcanzaríamos un máximo.

91
00:18:49,059 --> 00:18:56,339
¿Y cuál sería el beneficio que obtenemos?

92
00:18:56,599 --> 00:19:17,410
Bueno, pues pasamos este valor a la función y obtenemos que F de 7 es 800.000 euros.

93
00:19:25,640 --> 00:19:26,000
¿Vale?

94
00:19:27,380 --> 00:19:31,619
¿Qué pasa en la última rama?

95
00:19:31,619 --> 00:20:01,019
La función es constante y por tanto no va a tener ni máximos ni mínimos, pero el mínimo se alcanza al empezar el año, es decir, en el mes de enero, y en ese caso el valor son 15.000 euros, perdón, 150.000 euros.

96
00:20:01,019 --> 00:20:04,329
¿De acuerdo?

97
00:20:05,150 --> 00:20:12,710
Bueno, pues yo creo que tenéis un tipo de cada uno de los ejercicios

98
00:20:12,710 --> 00:20:17,630
Con lo cual, si tenéis alguna duda

99
00:20:17,630 --> 00:20:21,829
Después de haber visto el vídeo me preguntáis en clase

100
00:20:21,829 --> 00:20:22,970
¿Vale?

101
00:20:23,509 --> 00:20:26,029
Espero que os haya servido