1
00:00:00,000 --> 00:00:04,000
Bienvenidos a clase de matemáticas con Maite

2
00:00:04,000 --> 00:00:07,000
Sucesiones

3
00:00:07,000 --> 00:00:09,000
Objetivos

4
00:00:09,000 --> 00:00:11,000
Reconocer una sucesión de números

5
00:00:11,000 --> 00:00:15,000
Reconocer y distinguir las progresiones aritméticas y geométricas

6
00:00:15,000 --> 00:00:20,000
Calcular el término general de una progresión aritmética y geométrica

7
00:00:20,000 --> 00:00:25,000
Hallar la suma de los términos de una progresión aritmética finita

8
00:00:25,000 --> 00:00:29,000
y geométrica finita o infinita

9
00:00:30,000 --> 00:00:32,000
Punto 1. Sucesiones

10
00:00:32,000 --> 00:00:37,000
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales

11
00:00:37,000 --> 00:00:44,000
a1, a2, a3, a4, a5, a6

12
00:00:44,000 --> 00:00:46,000
Puntos suspensivos

13
00:00:46,000 --> 00:00:49,000
Cada número que forma la sucesión se llama término

14
00:00:49,000 --> 00:00:51,000
y se designa por a sub i

15
00:00:51,000 --> 00:00:56,000
donde el suíndice i indica el lugar que ocupa el término en la sucesión

16
00:00:56,000 --> 00:01:00,000
Los siguientes conjuntos de números son sucesiones

17
00:01:00,000 --> 00:01:06,000
Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6 puntos suspensivos

18
00:01:06,000 --> 00:01:10,000
2, 4, 6, 8, 10, 12

19
00:01:10,000 --> 00:01:13,000
que sería la sucesión de los números pares

20
00:01:13,000 --> 00:01:15,000
y podríamos seguir

21
00:01:15,000 --> 00:01:23,000
1 partido de 1, 1 medio, 1 tercio, 1 cuarto, 1 quinto, 1 sexto puntos suspensivos

22
00:01:23,000 --> 00:01:27,000
Existen sucesiones en las que se pueden determinar sus términos

23
00:01:27,000 --> 00:01:29,000
a partir de un cierto criterio

24
00:01:29,000 --> 00:01:33,000
A este criterio se le llama regla de formación

25
00:01:33,000 --> 00:01:36,000
Para determinar la regla de formación

26
00:01:36,000 --> 00:01:41,000
estudiamos la relación entre los términos y la posición que ocupan

27
00:01:41,000 --> 00:01:45,000
Término general de una sucesión es una expresión algebraica

28
00:01:45,000 --> 00:01:48,000
que nos permite calcular cualquier término de la sucesión

29
00:01:48,000 --> 00:01:50,000
sabiendo el lugar que ocupa

30
00:01:50,000 --> 00:01:54,000
se representa por a sub n

31
00:01:54,000 --> 00:01:57,000
Punto 2. Progresión aritmética

32
00:01:57,000 --> 00:02:01,000
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término

33
00:02:01,000 --> 00:02:03,000
menos el primero

34
00:02:03,000 --> 00:02:05,000
se obtiene a partir del anterior

35
00:02:05,000 --> 00:02:08,000
sumándole un número fijo d

36
00:02:08,000 --> 00:02:10,000
llamado diferencia de la progresión

37
00:02:10,000 --> 00:02:12,000
Para obtener la diferencia

38
00:02:12,000 --> 00:02:15,000
basta restar dos términos consecutivos

39
00:02:15,000 --> 00:02:19,000
El término general de una progresión aritmética es

40
00:02:19,000 --> 00:02:22,000
a sub n igual a a sub 1 más

41
00:02:22,000 --> 00:02:25,000
paréntesis n-1

42
00:02:25,000 --> 00:02:27,000
cerramos paréntesis por d

43
00:02:27,000 --> 00:02:30,000
siempre que n sea mayor o igual que 1

44
00:02:30,000 --> 00:02:33,000
Si d es mayor o estricto que 0

45
00:02:33,000 --> 00:02:34,000
la progresión es creciente

46
00:02:34,000 --> 00:02:38,000
Por ejemplo, la progresión de los números pares

47
00:02:38,000 --> 00:02:41,000
2, 4, 6, 8

48
00:02:41,000 --> 00:02:43,000
Si d es menor o estricto que 0

49
00:02:43,000 --> 00:02:44,000
la progresión es decreciente

50
00:02:44,000 --> 00:02:48,000
ejemplo, 12, 9, 6, 3, etc

51
00:02:48,000 --> 00:02:50,000
y si d es igual a 0

52
00:02:50,000 --> 00:02:52,000
la progresión es constante

53
00:02:52,000 --> 00:02:56,000
ejemplo, 4, 4, 4, 4 puntos suspensivos

54
00:02:56,000 --> 00:02:58,000
La suma de n términos consecutivos

55
00:02:58,000 --> 00:03:01,000
de una progresión aritmética es

56
00:03:01,000 --> 00:03:03,000
s sub n igual a

57
00:03:03,000 --> 00:03:05,000
paréntesis a sub 1 más a sub n

58
00:03:05,000 --> 00:03:07,000
cerramos paréntesis

59
00:03:07,000 --> 00:03:11,000
por n dividido entre 2

60
00:03:11,000 --> 00:03:14,000
Punto 3. Progresión geométrica

61
00:03:14,000 --> 00:03:18,000
Una progresión geométrica es una sucesión

62
00:03:18,000 --> 00:03:21,000
en la que cada término menos el primero

63
00:03:21,000 --> 00:03:23,000
se obtiene multiplicando el anterior

64
00:03:23,000 --> 00:03:26,000
por una cantidad fija r

65
00:03:26,000 --> 00:03:28,000
llamada razón de la progresión

66
00:03:28,000 --> 00:03:31,000
La razón se obtiene al efectuar el cociente

67
00:03:31,000 --> 00:03:34,000
entre dos términos consecutivos

68
00:03:34,000 --> 00:03:37,000
El término general de una progresión geométrica es

69
00:03:37,000 --> 00:03:39,000
a sub n igual a

70
00:03:39,000 --> 00:03:42,000
a sub 1 por r elevado a n menos 1

71
00:03:42,000 --> 00:03:45,000
donde n es mayor o igual que 1

72
00:03:45,000 --> 00:03:47,000
La suma de n términos consecutivos

73
00:03:47,000 --> 00:03:49,000
de una progresión geométrica

74
00:03:49,000 --> 00:03:52,000
de razón r distinta de 1 es

75
00:03:52,000 --> 00:03:54,000
s sub n igual a

76
00:03:54,000 --> 00:03:57,000
a sub n por r menos a sub 1

77
00:03:57,000 --> 00:04:00,000
dividido todo ello entre r menos 1

78
00:04:00,000 --> 00:04:02,000
y si la razón es igual a 1

79
00:04:02,000 --> 00:04:04,000
la suma de n términos consecutivos

80
00:04:04,000 --> 00:04:07,000
es igual a n por a sub 1

81
00:04:07,000 --> 00:04:10,000
La suma de y los infinitos términos

82
00:04:10,000 --> 00:04:13,000
de una progresión geométrica de razón r

83
00:04:13,000 --> 00:04:15,000
siempre que valor absoluto de r

84
00:04:15,000 --> 00:04:17,000
sea menor estricto que 1

85
00:04:17,000 --> 00:04:20,000
es s igual a a sub 1

86
00:04:20,000 --> 00:04:23,000
partido de 1 menos r

87
00:04:23,000 --> 00:04:25,000
Conclusiones

88
00:04:25,000 --> 00:04:27,000
A simple vista podemos pensar

89
00:04:27,000 --> 00:04:29,000
que las sucesiones en general

90
00:04:29,000 --> 00:04:31,000
y las progresiones en particular

91
00:04:31,000 --> 00:04:33,000
solo consisten en una serie de números

92
00:04:33,000 --> 00:04:36,000
que no tienen ninguna aplicación práctica

93
00:04:36,000 --> 00:04:38,000
pero lo cierto es que podemos encontrar

94
00:04:38,000 --> 00:04:40,000
muchas aplicaciones de ellas

95
00:04:40,000 --> 00:04:42,000
en la vida cotidiana

96
00:04:42,000 --> 00:04:44,000
Por ejemplo, por el alquiler

97
00:04:44,000 --> 00:04:46,000
de una plaza de garaje se acuerda

98
00:04:46,000 --> 00:04:48,000
pagar 50 euros mensuales

99
00:04:48,000 --> 00:04:50,000
durante el primer año

100
00:04:50,000 --> 00:04:52,000
y cada año se aumenta

101
00:04:52,000 --> 00:04:54,000
el alquiler un euro al mes

102
00:04:54,000 --> 00:04:57,000
¿Cuánto habremos pagado al cabo de 10 años?

103
00:04:57,000 --> 00:04:59,000
Nos están pidiendo calcular

104
00:04:59,000 --> 00:05:01,000
la suma de los 10 primeros términos

105
00:05:01,000 --> 00:05:03,000
de una progresión aritmética

106
00:05:03,000 --> 00:05:05,000
de diferencia 12

107
00:05:05,000 --> 00:05:07,000
Otro ejemplo

108
00:05:07,000 --> 00:05:09,000
piensa en una competición de tenis

109
00:05:09,000 --> 00:05:11,000
hay siempre un ganador

110
00:05:11,000 --> 00:05:13,000
que sale de la competición final

111
00:05:13,000 --> 00:05:15,000
en la que han participado los dos finalistas

112
00:05:15,000 --> 00:05:17,000
para llegar ahí

113
00:05:17,000 --> 00:05:19,000
se han celebrado unas semifinales

114
00:05:19,000 --> 00:05:22,000
en las que han participado 4 jugadores

115
00:05:22,000 --> 00:05:24,000
En la etapa anterior han competido

116
00:05:24,000 --> 00:05:26,000
8 tenistas y así sucesivamente

117
00:05:26,000 --> 00:05:28,000
ya que en cada etapa de la competición

118
00:05:28,000 --> 00:05:30,000
siempre se clasifican

119
00:05:30,000 --> 00:05:32,000
para la siguiente la mitad

120
00:05:32,000 --> 00:05:34,000
luego el número de participantes

121
00:05:34,000 --> 00:05:36,000
en cada etapa siempre será la mitad

122
00:05:36,000 --> 00:05:38,000
que en la etapa anterior

123
00:05:38,000 --> 00:05:40,000
pues en cada partido se elimina

124
00:05:40,000 --> 00:05:42,000
uno de los jugadores

125
00:05:42,000 --> 00:05:44,000
es decir, tenemos una progresión

126
00:05:44,000 --> 00:05:46,000
geométrica de razón un medio

127
00:05:48,000 --> 00:05:50,000
Fin. Muchas gracias