1 00:00:00,000 --> 00:00:04,019 Queridos alumnos, voy a intentar grabar esta primera presentación 2 00:00:04,019 --> 00:00:08,880 sobre el primer tema del curso, que sería campo gravitatorio. 3 00:00:09,539 --> 00:00:13,259 En concreto, vamos a empezar introduciendo un poquito de historia 4 00:00:13,259 --> 00:00:16,019 sobre cómo surgió la teoría de la gravitación universal, 5 00:00:17,000 --> 00:00:19,460 empezando, por supuesto, por la Antigua Grecia. 6 00:00:19,579 --> 00:00:24,059 En la Antigua Grecia, ¿verdad?, existía ya la escuela pitagórica, 7 00:00:24,640 --> 00:00:29,679 existía Aristóteles, que verdaderamente, pues bueno, 8 00:00:30,000 --> 00:00:33,759 tenían unas ideas algo erróneas sobre lo que es el universo. 9 00:00:34,679 --> 00:00:36,859 Tenían la idea de que la Tierra era el centro del universo, 10 00:00:37,000 --> 00:00:38,799 todo giraba a su alrededor, ¿verdad? 11 00:00:38,979 --> 00:00:42,740 La Luna, los planetas, las estrellas, todo giraba alrededor de la Tierra. 12 00:00:43,579 --> 00:00:45,820 Aunque hoy en día sabemos que esto no es así, 13 00:00:46,299 --> 00:00:49,060 en aquellos tiempos, no hay que perder de vista que estamos hablando 14 00:00:49,060 --> 00:00:50,740 de varios siglos antes de Cristo, 15 00:00:51,700 --> 00:00:57,359 y la gente ya sabía cosas como que la Tierra era redonda, 16 00:00:57,359 --> 00:01:00,439 que hasta hace muy poquito estaba cuestionado. 17 00:01:00,859 --> 00:01:04,780 De hecho, Eratóstenes fue la primera persona que midió el radio de la Tierra 18 00:01:04,780 --> 00:01:08,540 y lo hizo con excepcional precisión para la época de la que estamos hablando. 19 00:01:09,780 --> 00:01:12,719 A continuación, tenemos a Ptolomeo, 20 00:01:13,099 --> 00:01:18,359 que fue un importante defensor del modelo geocéntrico, 21 00:01:18,359 --> 00:01:20,400 de que la Tierra era el centro del universo, 22 00:01:21,359 --> 00:01:26,420 y además hizo grandes aportaciones estudiando las posiciones de las estrellas 23 00:01:26,420 --> 00:01:31,540 que verdaderamente resultaron muy útiles para los marineros de la época, para orientarse en el mar. 24 00:01:32,640 --> 00:01:37,959 El modelo de Ptolomeo, aunque no era correcto, verdaderamente podía predecir cosas como eclipses 25 00:01:37,959 --> 00:01:41,840 y la posición de las estrellas en cada noche, lo que le permitía a los marineros, como digo, 26 00:01:41,959 --> 00:01:45,400 utilizando un sextante, pues, orientarse. 27 00:01:45,959 --> 00:01:50,819 El modelo de Ptolomeo, para intentar explicar el movimiento retrogrado de los planetas, 28 00:01:50,920 --> 00:01:55,519 pues proponía verdaderas locuras, como que los planetas daban vueltas alrededor de la Tierra, 29 00:01:55,519 --> 00:01:57,500 pero además daban vueltas alrededor de sí mismos 30 00:01:57,500 --> 00:02:00,799 era una cosa verdaderamente absurda 31 00:02:00,799 --> 00:02:02,640 pero no tenía otra forma de explicar el movimiento 32 00:02:02,640 --> 00:02:04,439 de avance y retroceso 33 00:02:04,439 --> 00:02:06,480 avanzaba por la noche, el cielo por la noche 34 00:02:06,480 --> 00:02:08,840 se ven los planetas avanzando y luego retrocediendo 35 00:02:08,840 --> 00:02:10,379 avanzando y luego retrocediendo 36 00:02:10,379 --> 00:02:12,060 avanzando y luego retrocediendo 37 00:02:12,060 --> 00:02:14,300 y ese movimiento la única forma que tenía de explicarlo 38 00:02:14,300 --> 00:02:16,039 si la Tierra era el centro del universo 39 00:02:16,039 --> 00:02:18,219 era con estos epiciclos 40 00:02:18,219 --> 00:02:22,379 una verdadera revolución supuso 41 00:02:22,379 --> 00:02:24,719 Copérnico 42 00:02:24,719 --> 00:02:30,259 que no fue el primero que propuso un modelo heliocéntrico 43 00:02:30,259 --> 00:02:32,719 ya en la antigua Grecia Aristarco 44 00:02:32,719 --> 00:02:35,680 Aristarco propuso un modelo heliocéntrico 45 00:02:35,680 --> 00:02:37,340 solo que se consideraba tan absurdo 46 00:02:37,340 --> 00:02:40,400 que nadie lo tuvo en cuenta hasta siglos después 47 00:02:40,400 --> 00:02:42,919 Copérnico, que estamos hablando del siglo XVI 48 00:02:42,919 --> 00:02:46,139 fue la primera persona que justificó 49 00:02:46,139 --> 00:02:48,219 el movimiento de los planetas en el cielo 50 00:02:48,219 --> 00:02:49,840 mediante un modelo heliocéntrico 51 00:02:49,840 --> 00:02:53,159 y que el movimiento retornado de los planetas 52 00:02:53,159 --> 00:02:57,759 verdaderamente no estaba justificado por epiciclos, sino por el movimiento 53 00:02:57,759 --> 00:03:01,599 de un planeta visto desde la Tierra que también se está moviendo al mismo tiempo. 54 00:03:03,939 --> 00:03:08,039 Muy importante fue la figura de Galileo, el principal defensor de Copérnico 55 00:03:08,039 --> 00:03:12,000 en el siglo XVII. Su mayor problema fue el conflicto que tuvo con la Iglesia 56 00:03:12,000 --> 00:03:17,139 Católica que se le obligó a retractarse. Él decía, él sostenía que la Tierra 57 00:03:17,139 --> 00:03:21,300 se movía alrededor del Sol y eso le llevó a tener serios conflictos 58 00:03:21,300 --> 00:03:22,180 con la Inquisición. 59 00:03:24,099 --> 00:03:26,080 Sin embargo, en paralelo, 60 00:03:26,759 --> 00:03:28,699 Tycho Brahe, durante el siglo XVI, 61 00:03:28,840 --> 00:03:30,419 se dedicó a hacer grandes medidas 62 00:03:30,419 --> 00:03:32,919 de la posición de los planetas, 63 00:03:33,000 --> 00:03:34,180 con excepcional precisión, 64 00:03:34,620 --> 00:03:36,020 la posición de todos los planetas, 65 00:03:36,560 --> 00:03:37,439 durante años. 66 00:03:38,319 --> 00:03:40,300 Estas medidas, excepcionalmente buenas, 67 00:03:40,379 --> 00:03:42,560 las de Tycho Brahe, en el siglo XVI, insisto, 68 00:03:43,319 --> 00:03:45,960 le sirvieron a su discípulo, Johannes Kepler, 69 00:03:46,560 --> 00:03:49,639 para enunciar, en el siglo XVII, 70 00:03:49,639 --> 00:03:52,439 sus famosas leyes de Kepler. 71 00:03:52,620 --> 00:03:56,060 Estas tres leyes de Kepler fueron muy respetadas 72 00:03:56,060 --> 00:03:58,639 sobre todo porque Kepler en todo momento 73 00:03:58,639 --> 00:04:01,800 tuvo claro que eran leyes empíricas. 74 00:04:01,979 --> 00:04:06,000 Es decir, mirando las datos de Tycho Brahe 75 00:04:06,000 --> 00:04:09,240 él podía afirmar que ocurría esto 76 00:04:09,240 --> 00:04:10,840 pero no podía explicarlo. 77 00:04:11,159 --> 00:04:13,639 Viendo los datos de su maestro, viendo los datos de Tycho Brahe 78 00:04:13,639 --> 00:04:17,660 Kepler fue capaz de enunciar tres leyes 79 00:04:17,660 --> 00:04:19,620 pero no de explicar el por qué ocurrían 80 00:04:19,620 --> 00:04:21,100 por ejemplo, él se dio cuenta 81 00:04:21,100 --> 00:04:22,779 y lo anunció en su primera ley que 82 00:04:22,779 --> 00:04:24,920 los planetas describen órbitas elípticas 83 00:04:24,920 --> 00:04:27,379 alrededor del Sol, donde el Sol se encuentra 84 00:04:27,379 --> 00:04:29,339 en uno de los focos de la elipse y en el otro foco no hay nada 85 00:04:29,339 --> 00:04:30,660 cualquier planeta 86 00:04:30,660 --> 00:04:33,540 se encuentra a veces más cerca del Sol 87 00:04:33,540 --> 00:04:34,920 y a veces más lejos del Sol 88 00:04:34,920 --> 00:04:37,480 cuando se encuentra en el punto más próximo al Sol 89 00:04:37,480 --> 00:04:38,959 se llama perihelio 90 00:04:38,959 --> 00:04:41,680 y cuando se encuentra en el punto más alejado del Sol 91 00:04:41,680 --> 00:04:42,459 se llama afelio 92 00:04:42,459 --> 00:04:45,120 esto es muy fácil de recordar, hay una regla mnemotécnica muy sencilla 93 00:04:45,120 --> 00:04:47,120 porque claro, si está más próximo 94 00:04:47,120 --> 00:04:50,040 que empieza por P, pues es el perihelio 95 00:04:50,040 --> 00:04:51,920 y si el planeta 96 00:04:51,920 --> 00:04:53,439 se encuentra más alejado 97 00:04:53,439 --> 00:04:56,019 del Sol, se llama el afelio 98 00:04:56,019 --> 00:04:57,160 que empieza por A, entonces 99 00:04:57,160 --> 00:04:59,720 alejado afelio, próximo perihelio 100 00:04:59,720 --> 00:05:01,899 entonces, las órbitas de los 101 00:05:01,899 --> 00:05:03,360 planetas son elípticas 102 00:05:03,360 --> 00:05:05,740 si le preguntabas a Kepler, oye, ¿por qué 103 00:05:05,740 --> 00:05:08,139 las órbitas de los planetas son elípticas? 104 00:05:08,199 --> 00:05:09,759 él te decía, ni idea, pero es que 105 00:05:09,759 --> 00:05:11,939 es lo que se ve, es lo que vio mi maestro 106 00:05:11,939 --> 00:05:14,019 y es lo que se ve si te molestas 107 00:05:14,019 --> 00:05:15,420 en mirar por el telescopio con cuidado 108 00:05:15,420 --> 00:05:23,819 Una segunda ley de Kepler dice que la línea que une cada planeta, cada uno de los planetas del sistema solar con el Sol 109 00:05:23,819 --> 00:05:29,579 barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, fijaos, aquí pasa un mes, desde el 1 de enero hasta el 30 de enero 110 00:05:29,579 --> 00:05:33,660 la línea que une el Sol con cada planeta barre un área, ¿vale? 111 00:05:33,839 --> 00:05:38,660 y luego aquí en el otro extremo, por ejemplo, también pasa un mes, desde el 1 de julio hasta el 30 de julio 112 00:05:38,660 --> 00:05:44,839 y en ambos casos ha pasado 30 días, bueno, pues este área es, digamos, más ancha, pero más corta 113 00:05:44,839 --> 00:05:49,120 esta, sin embargo, es más larga, pero menos ancha. Resulta que las dos áreas son iguales, ¿vale? 114 00:05:49,300 --> 00:05:52,759 La velocidad, evidentemente, como consecuencia, no es constante. 115 00:05:53,480 --> 00:05:56,540 Cualquier planeta se mueve más deprisa cuando está más cerca del Sol 116 00:05:56,540 --> 00:06:00,160 y se mueve más despacio cuando está más lejos del Sol. 117 00:06:00,319 --> 00:06:05,139 Fijaos que este arco aquí, este es más cortito y este es más largo. 118 00:06:05,899 --> 00:06:10,259 Para un mes, aquí ha recorrido más distancia, luego los planetas se mueven más deprisa 119 00:06:10,259 --> 00:06:13,420 cuando están más cerca del Sol y más despacio 120 00:06:13,420 --> 00:06:16,300 cuando están más lejos del Sol. Lo que se mantiene constante 121 00:06:16,300 --> 00:06:19,399 es la velocidad areolar. Barren áreas iguales en tiempos 122 00:06:19,399 --> 00:06:22,199 iguales. Esto es una consecuencia directa de la conservación del momento 123 00:06:22,199 --> 00:06:25,040 angular. Pero, insisto, si le preguntabas a Kepler 124 00:06:25,040 --> 00:06:28,060 en su época por qué ocurre esto, él no lo sabía. 125 00:06:28,519 --> 00:06:30,879 Decía que eso es lo que se ve. ¿Por qué ocurre? 126 00:06:31,560 --> 00:06:34,199 Él no lo sabía explicar. En ese sentido 127 00:06:34,199 --> 00:06:36,500 era muy sincero, muy honesto. 128 00:06:36,939 --> 00:06:39,339 La tercera ley de Kepler, ¿verdad? Es más compleja. 129 00:06:39,339 --> 00:06:44,139 tomó muchas medidas, tomó logaritmos de las distancias de los planetas al Sol 130 00:06:44,139 --> 00:06:46,019 y de sus periodos correspondientes 131 00:06:46,019 --> 00:06:50,259 y llegó a la conclusión de que la distancia 132 00:06:50,259 --> 00:06:54,060 la distancia media, pongamos, de cualquier planeta al Sol al cubo 133 00:06:54,060 --> 00:06:55,819 dividido entre su periodo al cuadrado 134 00:06:55,819 --> 00:06:59,220 es una constante y esa constante es la misma para todos los planetas 135 00:06:59,220 --> 00:07:02,579 tú coges el radio de la Tierra, lo elevas al cubo 136 00:07:02,579 --> 00:07:04,439 y lo divides entre el periodo de la Tierra al cuadrado 137 00:07:04,439 --> 00:07:07,959 y haces lo mismo con Venus, el radio de Venus al cubo 138 00:07:07,959 --> 00:07:09,839 dividido entre el periodo de Venus al cuadrado 139 00:07:09,839 --> 00:07:12,240 y te sale el mismo número, sale la misma constante 140 00:07:12,240 --> 00:07:13,720 esta constante es K 141 00:07:13,720 --> 00:07:15,779 la misma para todos los planetas 142 00:07:15,779 --> 00:07:17,160 ¿por qué? 143 00:07:18,399 --> 00:07:20,620 pues Tycho Brahe no lo sabía 144 00:07:20,620 --> 00:07:22,300 y Kepler su discípulo tampoco 145 00:07:22,300 --> 00:07:24,060 lo que pasa es que Kepler se hizo muy famoso 146 00:07:24,060 --> 00:07:25,519 por popularizarlo 147 00:07:25,519 --> 00:07:28,459 pero fue muy honesto diciendo, yo esto no lo sé explicar 148 00:07:28,459 --> 00:07:30,540 pero es cierto, está ocurriendo 149 00:07:30,540 --> 00:07:32,680 la explicación se la debemos 150 00:07:32,680 --> 00:07:33,139 a Newton 151 00:07:33,139 --> 00:07:35,019 Isaac Newton 152 00:07:35,019 --> 00:07:38,160 enunció unos años después 153 00:07:38,160 --> 00:07:40,060 la ley de la gravitación universal 154 00:07:40,060 --> 00:07:42,199 que dice que la fuerza de atracción entre dos masas 155 00:07:42,199 --> 00:07:44,160 es directamente proporcional al producto de las mismas 156 00:07:44,160 --> 00:07:46,519 inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa 157 00:07:46,519 --> 00:07:48,500 g es la constante de la gravitación universal 158 00:07:48,500 --> 00:07:49,720 que no midió Newton 159 00:07:49,720 --> 00:07:52,019 la midió Cavendish unos años después 160 00:07:52,019 --> 00:07:53,519 pero esta ley 161 00:07:53,519 --> 00:07:56,579 aplicada al Sol y los planetas 162 00:07:56,579 --> 00:07:58,660 sí es capaz de justificar las leyes de Kepler 163 00:07:58,660 --> 00:08:00,480 aparte de otros muchos fenómenos 164 00:08:00,480 --> 00:08:02,579 que conocemos en la Tierra 165 00:08:02,579 --> 00:08:04,480 ¿Cómo se explica 166 00:08:04,480 --> 00:08:07,000 la tercera ley de Kepler con la ley 167 00:08:07,000 --> 00:08:08,740 de la gravitación universal, esto es importante 168 00:08:08,740 --> 00:08:11,040 si tenemos un planeta girando 169 00:08:11,040 --> 00:08:13,120 alrededor del Sol, la fuerza 170 00:08:13,120 --> 00:08:15,360 que siente, esa fuerza gravitatoria 171 00:08:15,360 --> 00:08:17,100 es centrípeta, obliga a girar 172 00:08:17,100 --> 00:08:18,680 es decir, esa fuerza 173 00:08:18,680 --> 00:08:20,560 la fuerza de la gravedad, que es 174 00:08:20,560 --> 00:08:22,759 la constante de la gravitación universal por la masa del Sol 175 00:08:22,759 --> 00:08:24,379 por la masa de un planeta partido por la distancia 176 00:08:24,379 --> 00:08:26,879 del planeta del Sol al cuadrado, es igual 177 00:08:26,879 --> 00:08:29,040 a, según la segunda ley 178 00:08:29,040 --> 00:08:30,360 de Newton, masa por aceleración 179 00:08:30,360 --> 00:08:33,299 donde la aceleración al ser una fuerza centrípeta 180 00:08:33,299 --> 00:08:35,799 es la velocidad al cuadrado partido por el radio de giro. 181 00:08:36,659 --> 00:08:39,620 Simplificamos las masas, estas dos masas se van, ¿verdad? 182 00:08:39,980 --> 00:08:43,360 El radio lo podemos pasar a otro lado multiplicando, con lo cual otro radio que también se va 183 00:08:43,360 --> 00:08:46,940 y resulta una expresión para la velocidad media de los planetas. 184 00:08:47,720 --> 00:08:53,960 Además, esa velocidad media, por ser una rotación, es 2πr, 185 00:08:54,600 --> 00:08:58,299 la circunferencia de rotación aproximada, haciendo como un radio medio, ¿verdad? 186 00:08:58,399 --> 00:09:02,440 Aunque sea elíptica, podemos hacer un radio medio r y hacer 2πr partido por el periodo. 187 00:09:02,440 --> 00:09:28,960 Eso sería la velocidad. Si igualamos las dos expresiones, la raíz de gm partido por r igual a la velocidad lineal de giro, que es 2pi r partido por el periodo, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, se va la raíz cuadrada, aquí queda 4pi cuadrado de r cuadrado partido por t al cuadrado, un radio pasa para acá multiplicando, se queda el cubo, y el 4pi cuadrado lo podemos pasar al otro lado dividiendo, con lo cual nos quedaría la tercera ley de Kepler. 188 00:09:28,960 --> 00:09:33,080 r al cubo partido por t al cuadrado sería g por m partido por 4pi cuadrado 189 00:09:33,080 --> 00:09:35,320 o tal y como aparece aquí, en cualquier caso 190 00:09:35,320 --> 00:09:38,700 si os fijáis, si paso este radio al cubo partido para acá dividiendo 191 00:09:38,700 --> 00:09:41,779 me queda que t al cuadrado partido por r al cubo es 192 00:09:41,779 --> 00:09:44,399 4pi cuadrado partido por g por la masa del Sol 193 00:09:44,399 --> 00:09:49,059 una constante, una constante y es la misma para todos los planetas efectivamente 194 00:09:49,059 --> 00:09:56,559 esta ley nos sirve inmediatamente para calcular fácilmente la masa del Sol 195 00:09:56,559 --> 00:09:59,419 ¿Cómo se calcula la masa del Sol? Fácil 196 00:09:59,419 --> 00:10:02,519 sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es una unidad astronómica 197 00:10:02,519 --> 00:10:06,080 aproximadamente 1,5 por 10 elevado a 11 metros 198 00:10:06,080 --> 00:10:07,840 o 150 millones de kilómetros 199 00:10:07,840 --> 00:10:11,259 sabiendo la constante de la gravitación universal y sabiendo que 200 00:10:11,259 --> 00:10:14,179 el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol es un año 201 00:10:14,179 --> 00:10:17,360 365 días y 6 horas 202 00:10:17,360 --> 00:10:21,179 podemos utilizar esto en la tercera ley de Kepler 203 00:10:21,179 --> 00:10:23,320 ¿verdad? para despejar la masa del Sol 204 00:10:23,320 --> 00:10:26,500 porque sabemos todo lo demás, de hecho la masa del Sol es 4 pi cuadrado 205 00:10:26,500 --> 00:10:30,399 partido por el periodo de la Tierra al cuadrado, hay que ponerlo en segundos, cuidado, 206 00:10:31,000 --> 00:10:34,960 esta distancia hay que ponerla en metros, la distancia de la Tierra al Sol, en metros, elevada al cubo, 207 00:10:35,299 --> 00:10:40,440 y la G es la constante de la gravitación universal, que se la debemos a Cavendish, 6,67 por 10 a la menos 11. 208 00:10:40,559 --> 00:10:45,740 Si metemos todos esos números, nos sale una masa para el Sol aproximadamente de 2 por 10 elevado a 30 kilogramos. 209 00:10:47,179 --> 00:10:49,500 Aproximadamente un millón de veces más pesado que la Tierra. 210 00:10:51,940 --> 00:10:56,519 También podemos aplicar la tercera ley de Newton para calcular, por ejemplo, 211 00:10:57,259 --> 00:11:01,539 perdón, la tercera ley de Kepler, para calcular el periodo de un satélite, 212 00:11:01,740 --> 00:11:03,960 el tiempo que tarda un satélite en dar una vuelta alrededor de la Tierra. 213 00:11:04,320 --> 00:11:08,220 Como conocemos la masa de la Tierra, 5,98 por 24 kilogramos, ¿vale? 214 00:11:08,960 --> 00:11:13,320 Podemos despejar de la tercera ley de Kepler también el periodo. 215 00:11:14,259 --> 00:11:16,179 Este es el periodo de rotación de un satélite. 216 00:11:16,620 --> 00:11:20,720 Esta r al cubo sería el radio de la Tierra más la altura, 217 00:11:21,320 --> 00:11:37,159 ¿Vale? Esto es este 108, sería la g por la m, este es el 4pi cuadrado, 4pi cuadrado, el r al cubo y ya está. 218 00:11:37,899 --> 00:11:40,700 Y nos quedaría esto el resultado en segundos, evidentemente. 219 00:11:43,000 --> 00:11:44,480 Ya está, más. 220 00:11:44,480 --> 00:11:53,809 También podemos utilizar la ley de la gravitación universal para calcular la fuerza de atracción entre dos o incluso tres masas 221 00:11:53,809 --> 00:12:00,309 Aquí podemos calcular la masa 3, la fuerza que siente de atracción por una masa 1 y una masa 2 222 00:12:00,309 --> 00:12:04,830 Como todo ocurre en una sola dimensión, no necesitamos ni siquiera utilizar vectores 223 00:12:04,830 --> 00:12:09,250 Podemos utilizar la ley de la gravitación universal, las distancias, ojo, en metros 224 00:12:09,250 --> 00:12:14,090 Para calcular la fuerza de atracción de la masa 1 sobre la masa 3 225 00:12:14,090 --> 00:12:42,269 Y luego de la masa 2 sobre la masa 3. Evidentemente la suma de ambas te da la suma, la fuerza total que siente la masa 3 por culpa de las otras dos. Fijaos que son fuerzas absolutamente ridículas. Para masas más pequeñas que galaxias, estrellas, planetas, satélites o asteroides, para cosas que no sean objetos cosmológicos, verdaderamente son fuerzas tan ridículas que es imposible apreciarlas. 226 00:12:42,269 --> 00:12:47,129 Fijaos, estamos hablando de una fuerza de 10 elevado a menos 9 newtons 227 00:12:47,129 --> 00:12:49,090 Es que es algo que no se puede ni medir apenas 228 00:12:49,090 --> 00:12:54,370 Podemos tener un problema en dos dimensiones, ¿verdad? 229 00:12:54,429 --> 00:12:56,370 En cuyo caso ya tendremos que tirar de vectores 230 00:12:56,370 --> 00:13:01,230 Aquí tenemos que calcular la fuerza que siente esta masa debido a estas tres, ¿vale? 231 00:13:01,669 --> 00:13:07,309 Esta estaría en el eje X, esta en el eje Y y esta justo formando 45 grados, ¿de acuerdo? 232 00:13:07,710 --> 00:13:11,070 La clave está en utilizar vectores, ¿vale? 233 00:13:11,629 --> 00:13:13,470 Y medir claramente las distancias 234 00:13:13,470 --> 00:13:19,929 Si esto es un metro, si esto es un metro, esta distancia, ¿vale? Evidentemente raíz de 2. Espero que todo el mundo esté de acuerdo. 235 00:13:24,529 --> 00:13:29,590 Y bueno, para una primera presentación, pues espero que haya quedado más o menos clara. 236 00:13:30,769 --> 00:13:35,090 Intentaré repasar esta presentación y las próximas también en clase. 237 00:13:35,470 --> 00:13:38,850 De todas maneras, si os surgen dudas, por favor, no dejéis de escribirme. 238 00:13:39,409 --> 00:13:40,750 Un abrazo a todos. Hasta luego.