1 00:00:00,000 --> 00:00:08,179 En este tutorial vamos a demostrar que las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto G llamado varicento del triángulo. 2 00:00:08,880 --> 00:00:17,079 Para ello, lo primero que hacemos es calcular una razón de semejanza entre dos triángulos. 3 00:00:18,120 --> 00:00:25,780 Aquí vamos a pensar en el triángulo ANM que en relación con el triángulo ABC. 4 00:00:25,780 --> 00:00:40,240 Estos dos triángulos son semejantes porque tienen un ángulo en común, el ángulo A, y los otros lados son proporcionales, en proporción 1 a 2, por cierto. 5 00:00:41,240 --> 00:00:50,700 Así podemos deducir que las bases son obligatoriamente paralelas y 2AQ será exactamente AP. 6 00:00:50,700 --> 00:00:56,560 Luego podemos encontrar que el punto Q divide al segmento apéndolos. 7 00:00:57,340 --> 00:01:12,459 Lo segundo que vamos a demostrar es que también los triángulos NMG y BGC también van a ser semejantes. 8 00:01:12,459 --> 00:01:19,299 y lo van a hacer por tener un ángulo igual que antes en común 9 00:01:19,299 --> 00:01:28,620 y los ángulos van a ser iguales en 2 a 2 10 00:01:28,620 --> 00:01:36,700 por ser la recta, para haber demostrado antes que NIM y BC eran paralelas 11 00:01:36,700 --> 00:01:39,459 de esta manera como las bases son el doble 12 00:01:39,459 --> 00:01:43,659 pues forzosamente los lados también van a tener que estar el doble 13 00:01:43,659 --> 00:01:46,819 luego podemos deducir que si llamamos a un lado 14 00:01:46,819 --> 00:01:51,180 por ejemplo 2X y 2Y 15 00:01:51,180 --> 00:01:53,760 a los otros hay que llamarlos X e Y 16 00:01:53,760 --> 00:02:00,129 bien, aquí si nos fijamos en 17 00:02:00,129 --> 00:02:04,090 utilizando el concepto anterior de que el punto Q es el punto medio 18 00:02:04,090 --> 00:02:07,730 y viendo esta relación 1 a 2 en esta semejanza 19 00:02:07,730 --> 00:02:19,949 tenemos de abajo a arriba 2NN4N, lo que nos permite comparar que la distancia AG entre GP es exactamente 2, luego AG dos veces GP. 20 00:02:20,490 --> 00:02:32,860 El siguiente paso que vamos a demostrar ahora es que la recta MP también es paralela a la recta AB. 21 00:02:32,860 --> 00:02:49,560 Para ello vamos a construir el triángulo MPG, que va a ser semejante al triángulo ABG. 22 00:02:50,099 --> 00:03:05,919 La razón es porque van a tener un ángulo igual, que es el ángulo opuesto, y por el apartado anterior hemos visto que van a tener los lados proporcionales. 23 00:03:07,439 --> 00:03:19,500 Así que si recordamos que habíamos llamado a un lado x y 2x, al otro lo llamaremos y y 2y. 24 00:03:20,120 --> 00:03:24,800 Perdón, se llamaba 2n y 4n. 25 00:03:26,280 --> 00:03:32,860 Bien, de esta forma estos triángulos también son semejantes en relación, en este caso 2 a 1, 26 00:03:33,259 --> 00:03:35,900 y podemos concluir que AB es paralelo a MP. 27 00:03:35,900 --> 00:03:56,280 Y ya por último, vamos a hacer uso del teorema de Tales, que nos afirma que si tenemos tres rectas paralelas, que son estas que estoy dibujando en negro, que le hemos demostrado en el apartado anterior, la primera la hemos puesto paralela por c, 28 00:03:56,280 --> 00:04:03,680 la relación que guarden cualquiera de las secantes 29 00:04:03,680 --> 00:04:06,039 va a ser siempre la misma 30 00:04:06,039 --> 00:04:08,039 luego en este caso 31 00:04:08,039 --> 00:04:11,680 como hemos creado la paralela intermedia 32 00:04:11,680 --> 00:04:14,120 por la mitad del lado AC 33 00:04:14,120 --> 00:04:17,120 que lo divide en dos segmentos de longitudes B y B 34 00:04:17,120 --> 00:04:19,500 esta longitud de 1 a 1 35 00:04:19,500 --> 00:04:23,560 va a ser la que tenemos que asociar a BP y PC 36 00:04:23,560 --> 00:04:40,800 Es decir, BP y PC miden lo mismo, con lo que nuestro punto P es el punto medio y por tanto AP es una mediana, que era justamente lo que queríamos demostrar al principio de este ejercicio.