1
00:00:00,560 --> 00:00:03,379
Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio.

2
00:00:03,640 --> 00:00:13,980
Nos dan esta función, f de x igual a valor absoluto de x cuadrado menos x menos 2 partido de x cuadrado más 2x más 1

3
00:00:13,980 --> 00:00:21,829
y nos piden asíntotas y de crecimiento.

4
00:00:29,519 --> 00:00:30,839
Vale, pues vamos a empezar.

5
00:00:31,640 --> 00:00:34,799
Bien, lo primero es un poco analizar la función y ver qué está pasando.

6
00:00:34,799 --> 00:00:39,600
Todo valor absoluto implica que es una función definida a trozos, como os he dicho en clase.

7
00:00:39,899 --> 00:00:43,259
Así que vamos a intentar descomponer este valor absoluto.

8
00:00:43,380 --> 00:00:48,380
Para ello necesito saber cuándo va a ser lo de dentro positivo y negativo.

9
00:00:49,299 --> 00:00:58,640
Una forma rápida es coger el polinomio y darse cuenta que esto es x más 1 por x menos 2.

10
00:00:58,939 --> 00:01:03,780
Esto lo podríamos haber sacado con Ruffini, descomponiendo, haciendo la ecuación de segundo grado...

11
00:01:03,780 --> 00:01:05,239
En fin, con cardano y vieta.

12
00:01:05,400 --> 00:01:09,459
Y fijaros, como es una parábola, yo puedo poner aquí sus signos

13
00:01:09,459 --> 00:01:16,280
y darme cuenta que aquí dentro va a ser negativa, aquí positiva, aquí positiva,

14
00:01:16,340 --> 00:01:18,340
porque realmente lo que estamos dibujando es así.

15
00:01:19,280 --> 00:01:20,120
Es una parábola.

16
00:01:21,159 --> 00:01:27,459
Con lo cual, ya podríamos descomponer que este valor absoluto realmente va a ser así.

17
00:01:27,459 --> 00:01:48,379
Si x cuadrado menos x menos 2, si x es menor o igual que menos 1, y ahora veremos lo que va a pasar, o x mayor o igual que 2, y su opuesto si la x está entre menos 1 y 2 porque es negativo.

18
00:01:48,379 --> 00:01:57,019
Por otro lado vemos que x al cuadrado más 2x más 1, que es el denominador, es x más 1 al cuadrado

19
00:01:57,019 --> 00:02:05,099
Esto nos da la pista de que el dominio de f es igual a todos los números reales menos el menos 1

20
00:02:05,099 --> 00:02:10,419
Entonces este menos 1 de aquí no vamos a poder poner menor o igual

21
00:02:10,419 --> 00:02:14,500
Vamos a descomponer ya la función

22
00:02:14,500 --> 00:02:17,060
La función la podemos descomponer así como acabo de hacer

23
00:02:17,060 --> 00:02:24,460
Esto es x al cuadrado menos x menos 2 partido de x más 1 al cuadrado

24
00:02:24,460 --> 00:02:29,539
Si x, y ya no puedo poner menor o igual porque me he dado cuenta que no está en el dominio

25
00:02:29,539 --> 00:02:32,979
O x mayor o igual que 2, aquí no hay problema

26
00:02:32,979 --> 00:02:39,849
O esto cambiado de signo, partido de x más 1 al cuadrado

27
00:02:39,849 --> 00:02:46,090
Si la x está entre menos 1 y 2

28
00:02:46,090 --> 00:02:50,889
Realmente esto no es una forma muy habitual de poner la función de infinidad de trozos

29
00:02:50,889 --> 00:02:54,310
Y se suele separar en varios trozos

30
00:02:54,310 --> 00:02:56,370
Lo voy a hacer ya aquí

31
00:02:56,370 --> 00:02:58,409
f de x va a ser igual

32
00:02:58,409 --> 00:03:02,069
Fijaros que ahora ya incluso lo voy a poner así

33
00:03:02,069 --> 00:03:06,949
Para que se vea lo que va a pasar

34
00:03:06,949 --> 00:03:10,530
Si x menor que menos 1

35
00:03:10,530 --> 00:03:12,490
Este ya sí es un trozo habitual

36
00:03:12,490 --> 00:03:17,469
Esto va a ser menos x más 1 por x menos 2

37
00:03:17,469 --> 00:03:20,430
partido de x más 1 al cuadrado

38
00:03:20,430 --> 00:03:22,509
si menos 1

39
00:03:22,509 --> 00:03:24,509
la x está entre menos 1 y 2

40
00:03:24,509 --> 00:03:26,889
y otra vez la misma función

41
00:03:26,889 --> 00:03:32,629
y aquí vamos a poner

42
00:03:32,629 --> 00:03:34,710
x mayor o igual que 2

43
00:03:34,710 --> 00:03:36,830
si os fijáis, pues ahora sí que tiene la estructura

44
00:03:36,830 --> 00:03:38,490
de una función definida a trozos

45
00:03:38,490 --> 00:03:40,710
que fijaros que

46
00:03:40,710 --> 00:03:42,530
este lo voy a poder simplificar

47
00:03:42,530 --> 00:03:47,000
y entonces la función

48
00:03:47,000 --> 00:03:48,900
me va a quedar así

49
00:03:48,900 --> 00:03:57,060
f de x va a ser igual

50
00:03:57,060 --> 00:04:19,040
a x menos 2 partido de x más 1 si x es menor que menos 1, 2 menos x porque era lo opuesto, acordaros, si menos 1 es menor que x es menor que 2, y x menos 2 partido de x más 1 si x mayor o igual que 2.

51
00:04:19,040 --> 00:04:22,139
Y ahora ya sí podemos estudiar las asíntotas

52
00:04:22,139 --> 00:04:27,279
Vamos a estudiar las asíntotas horizontales

53
00:04:27,279 --> 00:04:33,379
Ya sabéis que para hacer eso hay que hacer el límite cuando x tiende a infinito

54
00:04:33,379 --> 00:04:38,060
De f de x, que cogiendo el trozo que corresponda

55
00:04:38,060 --> 00:04:42,360
Es x menos 2 partido de x más 1

56
00:04:42,360 --> 00:04:45,040
Que por ser un polinomio de grado 1

57
00:04:45,040 --> 00:04:47,220
Dividiendo por el monomio de mayor grado, que es 1

58
00:04:47,220 --> 00:04:48,939
Esto va a quedar 1

59
00:04:48,939 --> 00:04:52,180
luego hay una asíntota horizontal en i igual a 1

60
00:04:52,180 --> 00:04:55,639
vamos a ver qué pasa si nos vamos para el menos infinito

61
00:04:55,639 --> 00:04:58,279
claro, para el menos infinito

62
00:04:58,279 --> 00:05:01,259
pues vuelve a ser esta función

63
00:05:01,259 --> 00:05:04,540
y entonces vuelve a salir 1

64
00:05:04,540 --> 00:05:07,740
luego efectivamente esta es una asíntota horizontal

65
00:05:07,740 --> 00:05:10,819
si cojo una asíntota vertical

66
00:05:10,819 --> 00:05:17,089
bueno, pues puesto que antes hemos visto

67
00:05:17,089 --> 00:05:20,209
que el dominio de f era todos los números reales

68
00:05:20,209 --> 00:05:21,329
menos el menos 1

69
00:05:21,329 --> 00:05:23,250
tenemos una candidata

70
00:05:23,250 --> 00:05:24,910
asíntota

71
00:05:24,910 --> 00:05:26,389
vertical

72
00:05:26,389 --> 00:05:29,069
vamos a ver los límites por si me van a hacer falta

73
00:05:29,069 --> 00:05:30,949
luego, menos 1 por la izquierda

74
00:05:30,949 --> 00:05:33,610
es este valor

75
00:05:33,610 --> 00:05:36,839
y claro

76
00:05:36,839 --> 00:05:39,100
esto va a ser negativo y esto va a ser

77
00:05:39,100 --> 00:05:41,139
muy pequeño, pero negativo

78
00:05:41,139 --> 00:05:43,060
porque por la izquierda sería menos 1 con 1

79
00:05:43,060 --> 00:05:44,800
luego esto va a dar infinito

80
00:05:44,800 --> 00:05:46,959
y si hago lo mismo

81
00:05:46,959 --> 00:05:49,180
por la derecha

82
00:05:49,180 --> 00:05:50,959
pues ahora

83
00:05:50,959 --> 00:05:52,279
me va a quedar esta expresión

84
00:05:52,279 --> 00:05:54,759
Pero esto va a ser positivo

85
00:05:54,759 --> 00:05:56,000
Y esto va a ser muy pequeño

86
00:05:56,000 --> 00:05:58,800
Pero positivo porque menos 1 por la derecha es

87
00:05:58,800 --> 00:06:03,139
Bueno, pues menos 0,9

88
00:06:03,139 --> 00:06:04,240
Esto es infinito

89
00:06:04,240 --> 00:06:06,899
Y asíntotas oblicuas

90
00:06:06,899 --> 00:06:10,029
No hay

91
00:06:10,029 --> 00:06:14,220
Porque son dos polinomios de grado 1

92
00:06:14,220 --> 00:06:14,860
Y no va a haber

93
00:06:14,860 --> 00:06:17,300
Con lo cual, el apartado A

94
00:06:17,300 --> 00:06:19,160
La respuesta sería

95
00:06:19,160 --> 00:06:23,199
Asíntota horizontal

96
00:06:23,199 --> 00:06:26,980
En igual 1

97
00:06:26,980 --> 00:06:28,160
Bueno, habría que poner

98
00:06:28,160 --> 00:06:31,860
f tiene asíntota horizontal en igual 1

99
00:06:31,860 --> 00:06:38,800
y asíntota vertical en x igual a menos 1

100
00:06:38,800 --> 00:06:40,740
vamos con el apartado b

101
00:06:40,740 --> 00:06:44,540
bueno, en el apartado b directamente podemos derivar

102
00:06:44,540 --> 00:06:49,579
y esto si deriváis usando la regla del cociente

103
00:06:49,579 --> 00:06:50,600
nos va a quedar esto

104
00:06:50,600 --> 00:06:57,529
aquí nos va a quedar esto

105
00:06:57,529 --> 00:07:04,139
y aquí pues nos va a quedar lo mismo otra vez

106
00:07:04,139 --> 00:07:11,019
fijaros que aquí he puesto mayor que 2

107
00:07:11,019 --> 00:07:15,560
porque realmente no sé si es derivable en 2

108
00:07:15,560 --> 00:07:19,420
aquí sé que no, porque no está definida

109
00:07:19,420 --> 00:07:20,759
y aquí no lo sé

110
00:07:20,759 --> 00:07:26,899
pero esto ya nos permite estudiar el signo fácilmente

111
00:07:26,899 --> 00:07:28,199
porque ahora vemos que

112
00:07:28,199 --> 00:07:31,500
si estudiamos un poco lo que nos ha pasado antes

113
00:07:31,500 --> 00:07:33,139
de menos 1 los dos trozos

114
00:07:33,139 --> 00:07:35,180
aquí no tenemos función

115
00:07:35,180 --> 00:07:38,079
aquí no sabemos si es derivable o no

116
00:07:38,079 --> 00:07:40,720
pero si sabemos que antes de menos 1

117
00:07:40,720 --> 00:07:43,879
la derivada era 3 entre x más 1

118
00:07:43,879 --> 00:07:45,660
bueno, lo podemos poner aquí

119
00:07:45,660 --> 00:07:49,199
era 3 entre x más 1

120
00:07:49,199 --> 00:07:53,220
luego aquí va a estar el menos 1 aquí en 2

121
00:07:53,220 --> 00:07:54,959
aquí va a ser la derivada positiva

122
00:07:54,959 --> 00:07:56,519
aquí la derivada negativa

123
00:07:56,519 --> 00:07:57,980
y aquí la derivada positiva

124
00:07:57,980 --> 00:08:00,939
luego aquí la función f va a subir

125
00:08:00,939 --> 00:08:03,079
aquí la función f va a bajar

126
00:08:03,079 --> 00:08:06,540
y aquí la función f va a subir

127
00:08:06,540 --> 00:08:16,220
Y no podemos hablar de extremos porque no sabemos si es derivable en 2 o en menos 1.

128
00:08:16,519 --> 00:08:39,590
Por lo tanto, la respuesta a esta pregunta sería f es creciente en menos infinito menos 1 unión 2 infinito y f es decreciente en menos 1 2.

129
00:08:39,590 --> 00:08:44,049
Y aunque no lo pide, vamos a intentar representarla con la información que tenemos.

130
00:08:44,889 --> 00:08:47,549
Fijaros, para eso voy a hallar los puntos de corte.

131
00:08:48,169 --> 00:08:55,889
Y para esto voy a usar la función directamente con su valor absoluto porque no me hace falta descomponer.

132
00:08:58,809 --> 00:09:04,049
Aquí claramente un punto de corte cambiado de x por 0 es el 0,2.

133
00:09:04,049 --> 00:09:10,889
y otro punto de corte resolviendo esto, o sea, haciendo f de x igual a 0

134
00:09:10,889 --> 00:09:16,110
esto implica que x cuadrado menos x menos 2 es igual a 0

135
00:09:16,110 --> 00:09:21,970
y acordaros que de aquí salía x igual a menos 1 y de aquí salía x igual a 2

136
00:09:21,970 --> 00:09:24,710
este está descartado porque anularía el denominador

137
00:09:24,710 --> 00:09:30,730
con lo cual el punto de corte es el 2, 0

138
00:09:30,730 --> 00:09:33,750
vale, si ahora la dibujamos

139
00:09:33,750 --> 00:09:39,100
este es el origen

140
00:09:39,100 --> 00:09:41,320
tenemos una asíntota vertical

141
00:09:41,320 --> 00:09:42,980
a la altura de menos 1

142
00:09:42,980 --> 00:09:45,299
una horizontal

143
00:09:45,299 --> 00:09:47,100
a la altura de 1

144
00:09:47,100 --> 00:09:49,279
sabemos que

145
00:09:49,279 --> 00:09:51,460
la vertical por la izquierda se va a más

146
00:09:51,460 --> 00:09:52,980
infinito y por aquí también

147
00:09:52,980 --> 00:09:55,220
y por aquí se va a ir así porque no puede

148
00:09:55,220 --> 00:09:57,220
atravesar, con lo cual esta está

149
00:09:57,220 --> 00:09:58,759
claro que es así y además

150
00:09:58,759 --> 00:10:01,000
fijaros que hasta menos 1 la función

151
00:10:01,000 --> 00:10:01,720
crece

152
00:10:01,720 --> 00:10:06,860
vale, luego hemos descubierto por los puntos de corte que pasa por el 0, 2

153
00:10:06,860 --> 00:10:08,080
o sea que pasa por aquí

154
00:10:08,080 --> 00:10:11,080
y pasa por el 2, 0

155
00:10:11,080 --> 00:10:12,519
y pasa por aquí

156
00:10:12,519 --> 00:10:18,120
y además en el infinito se acerca a la asíntota vertical

157
00:10:18,120 --> 00:10:21,159
con lo cual, y además también sabemos

158
00:10:21,159 --> 00:10:24,019
que entre menos 1 y 2

159
00:10:24,019 --> 00:10:25,419
la función decrece

160
00:10:25,419 --> 00:10:29,940
pasa por aquí, pues claramente tendrá que ser algo así

161
00:10:29,940 --> 00:10:35,139
aquí la función empieza a crecer

162
00:10:35,139 --> 00:10:38,419
pero no es derivable en 2

163
00:10:38,419 --> 00:10:39,799
bueno, ya lo he anticipado

164
00:10:39,799 --> 00:10:41,279
no es derivable en 2

165
00:10:41,279 --> 00:10:43,500
así es que tendrá que haber una especie de pico

166
00:10:43,500 --> 00:10:44,799
que será así

167
00:10:44,799 --> 00:10:50,009
aquí tenéis un ejemplo de función

168
00:10:50,009 --> 00:10:51,909
en la que la gráfica de la función

169
00:10:51,909 --> 00:10:53,970
sí corta la asíntota horizontal

170
00:10:53,970 --> 00:10:57,610
porque tenéis que recordar que las asíntotas horizontales

171
00:10:57,610 --> 00:10:58,669
se miden en el infinito

172
00:10:58,669 --> 00:11:01,909
y con esto estaría el ejercicio resuelto

173
00:11:01,909 --> 00:11:02,909
Gracias.