1
00:00:00,180 --> 00:00:05,419
Bien, vamos a hacer el ejercicio del tema 1, el ejercicio 1, apartado A.

2
00:00:09,740 --> 00:00:11,000
Tenemos este sistema.

3
00:00:12,019 --> 00:00:15,900
Fijaros, ¿cuántas ecuaciones hay?

4
00:00:17,460 --> 00:00:18,300
Tres.

5
00:00:18,640 --> 00:00:19,920
¿Cuántas incógnitas?

6
00:00:20,559 --> 00:00:22,079
No, dos.

7
00:00:24,699 --> 00:00:28,260
Conviene hacer este análisis antes de hincar el diente.

8
00:00:29,019 --> 00:00:30,679
No es absolutamente necesario.

9
00:00:30,679 --> 00:00:52,479
Pero conviene hacer el análisis para poder husmear un poco, otear por dónde van a salir las cosas. ¿De acuerdo? Aplicando el método por sí solo nos va a decir los resultados, pero de esta manera podemos entender un poco más en profundidad lo que va a pasar. ¿Se comprende o no?

10
00:00:52,479 --> 00:01:21,469
Bien, tenemos dos incógnitas. ¿Estos cuántos grados de libertad son? O sea, X e Y son dos valores. ¿Sí o no? Bien, ¿qué dimensión tiene este...? Si no le aplico ninguna ecuación, estamos con dos grados de libertad. La X puede valer lo que quiera y la Y lo que quiera. ¿Sí o no? ¿Estamos de acuerdo? Bien.

11
00:01:21,469 --> 00:01:50,319
Bien, ¿qué pasa? Que al aplicar la primera condición, reduzco un grado de libertad al problema. ¿Sí o no? ¿Me seguís o no? O sea, que si X y Y han de verificar esto, conocida la Y, fijada la Y, la X está determinada. ¿Sí o no?

12
00:01:50,319 --> 00:02:01,760
Entonces, claro, solamente le podemos otorgar la libertad a una de las dos incógnitas. ¿Sí o no? A la que quieras, pero solo puedo otorgar una.

13
00:02:04,180 --> 00:02:11,439
Bien, ¿qué pasa al aplicar la segunda ecuación? ¿Qué pasa al aplicar la segunda ecuación?

14
00:02:11,439 --> 00:02:35,360
Que si no es redundante con la anterior, o sea, ¿me seguís la palabra lo que quiere decir? Si añade información diferente, si la exigencia es de naturaleza diferente para las variables X e Y, va a reducir un grado de libertad más.

15
00:02:35,360 --> 00:02:55,360
¿Sí o no? Y por el contrario, si la exigencia es la misma, pues se va a quedar en un grado de libertad. ¿Me explico o no? O también puede pasar que sea incompatible con la anterior, con lo cual no tendría solución. ¿Se entiende o no?

16
00:02:55,360 --> 00:03:15,800
Bien, como vemos que no es proporcional la ecuación, entonces podemos afirmar que está reduciendo un grado de libertad. O eso o plantea una incompatibilidad. ¿Sí o no?

17
00:03:15,800 --> 00:03:36,759
Pero bueno, y luego hay una tercera ecuación. Esta tercera ecuación o bien es dependiente de las otras o bien no lo es. ¿Me explico o no?

18
00:03:36,759 --> 00:04:00,840
Bueno, aquí lo que va a tener que pasar es que al hacer Gauss, por lo menos una de las tres ecuaciones ha de desaparecer. ¿Sí o no? Porque al tener dos incógnitas, con dos ecuaciones independientes una de otra, quedará el sistema ¿de qué forma? Compatible, determinado.

19
00:04:00,840 --> 00:04:17,639
Os dais cuenta de que si tengo el mismo número de ecuaciones independientes y el mismo número de incógnitas, entonces es un sistema compatible determinado. ¿Esto se entiende o no? Vale.

20
00:04:17,639 --> 00:04:36,129
¿Por qué? Porque cada ecuación quita un grado de libertad, con lo cual está reduciendo las posibilidades, reduciéndole dos grados de libertad, quedaría solamente un valor concreto, un número, para las dos, una para X y otra para Y.

21
00:04:36,129 --> 00:05:11,560
Se ha entendido la idea. Bien. Pues, ¿qué hacemos entonces? Aplicamos el método de Gauss. Lo voy a hacer plasmándolo en una matriz. ¿Vale? Ponemos los coeficientes. Esta es la matriz de coeficientes asociada al sistema de ecuaciones que tenemos. ¿De acuerdo?

22
00:05:11,560 --> 00:05:35,000
Y diríamos, venga, pues ¿qué toca hacer? Pues tocaría hacer cero aquí y cero aquí, ¿sí o no? ¿Me seguís? Bien, una cuestión importante es que si alguna de las ecuaciones tiene uno aquí, por ejemplo esta, pasarla arriba, como método general, acostumbraros a eso, ¿de acuerdo?

23
00:05:35,000 --> 00:06:05,730
¿De acuerdo? Venga, ponemos, ¿de acuerdo? He cambiado una fila por otra. Bien, ahora, haciendo menos 3 F1 más F2, ¿qué va a pasar? Venga, ¿qué va a suceder? Pues va a suceder que aquí se hace 0, ¿sí o no?

24
00:06:05,730 --> 00:06:27,279
Y también, haciendo F1, o sea, sustituiríamos F2 por esta combinación lineal, ¿me seguís? Y sustituiríamos F3 por F1 más F3. ¿Esto se entiende o no?

25
00:06:28,279 --> 00:06:52,709
Pues bien, fijaros que estoy aplicando qué propiedad, qué condición. La propiedad de que si sustituyo, esto es lo que os comenté en el otro día en clase, si sustituyo una ecuación, o una fila en este caso, por una combinación lineal de ella con el resto, obtengo un sistema equivalente.

26
00:06:52,709 --> 00:07:11,110
¿Recordáis o no? Esa propiedad era muy importante cuando estudiamos las transformaciones que me permiten obtener sistemas equivalentes. ¿Recordáis ese epígrafe? Pues bien, el último, que era el importante, era el corazón del método de Gauss, que es justamente esto.

27
00:07:11,110 --> 00:07:24,550
Si sustituyes una fila por una combinación lineal de ella, que está aquí, con otras, obtienes un sistema equivalente. ¿Se ha entendido la idea o no? Bien.

28
00:07:25,250 --> 00:07:30,750
Combinación lineal, recuerdo que era coger una fila, hacer alfa, por ejemplo.

29
00:07:35,000 --> 00:07:39,839
Esto es una combinación lineal de las filas 1 y 2, donde alfa y beta son números.

30
00:07:41,560 --> 00:07:45,959
3f1 más 4f2 es una combinación lineal de f1 y f2.

31
00:07:46,500 --> 00:07:46,980
¿Se ve o no?

32
00:07:47,439 --> 00:07:52,199
Si además pones más 5f3, pues una combinación lineal de las tres.

33
00:07:53,040 --> 00:07:53,740
¿Se entiende o no?

34
00:07:53,819 --> 00:07:55,060
Eso era una combinación lineal.

35
00:07:55,060 --> 00:07:56,779
También puede haber un signo negativo.

36
00:07:56,779 --> 00:08:11,050
Bien, dicho esto, como recordatorio, pues lo que haremos es sustituir esta matriz aplicándole estas dos transformaciones

37
00:08:11,050 --> 00:08:14,269
Bien, para hacer estas operaciones lo hacemos con mucho cuidado

38
00:08:14,269 --> 00:08:18,350
Vamos a obtener aquí, la primera fila se queda igual, ¿no?

39
00:08:24,040 --> 00:08:27,899
F2, hemos dicho que lo voy a sustituir por esta expresión

40
00:08:27,899 --> 00:08:30,240
Pues vamos a ello

41
00:08:30,240 --> 00:08:33,059
Hago menos 3F1

42
00:08:33,059 --> 00:08:35,240
Y lo pongo aquí

43
00:08:35,240 --> 00:08:36,980
¿Cuánto vale menos 3F1?

44
00:08:39,200 --> 00:08:40,279
Esta es F1, ¿eh?

45
00:08:40,480 --> 00:08:42,120
No esta, porque había cambiado el orden

46
00:08:42,120 --> 00:08:42,679
¿De acuerdo?

47
00:08:43,440 --> 00:08:44,539
Y digo, venga, pues es

48
00:08:44,539 --> 00:08:49,580
Menos 3, menos 12

49
00:08:49,580 --> 00:08:52,159
Y menos 12

50
00:08:52,159 --> 00:08:54,360
Y luego, ¿cuánto vale?

51
00:08:55,059 --> 00:08:56,220
Ya hemos puesto esto

52
00:08:56,220 --> 00:08:57,600
Ahora vamos a F2

53
00:08:57,600 --> 00:08:58,679
Lo pongo debajo

54
00:08:58,679 --> 00:09:00,580
F2

55
00:09:00,580 --> 00:09:04,720
Pues vale 3, menos 2 y 5

56
00:09:04,720 --> 00:09:09,019
Y mira, se van al sumar

57
00:09:09,019 --> 00:09:11,299
Como hay que sumarlo

58
00:09:11,299 --> 00:09:12,580
Lo ves o no

59
00:09:12,580 --> 00:09:14,820
Sumo, menos 3 más 3, 0

60
00:09:14,820 --> 00:09:18,220
Menos 12 más menos 2, menos 14

61
00:09:18,220 --> 00:09:20,019
Y menos 7

62
00:09:20,019 --> 00:09:22,820
Por lo tanto la segunda fila la puedo sustituir por 0

63
00:09:22,820 --> 00:09:26,279
Menos 14, menos 7

64
00:09:26,279 --> 00:09:28,519
Daros cuenta de una cosa

65
00:09:29,179 --> 00:09:33,179
Pregunto, ¿por qué he escogido esta combinación lineal?

66
00:09:33,659 --> 00:09:33,980
¿Por qué?

67
00:09:34,919 --> 00:09:36,700
Porque es la que me hace cero aquí.

68
00:09:38,039 --> 00:09:40,679
Que es de lo que se trata, porque había que hacer un cero aquí.

69
00:09:41,200 --> 00:09:41,879
¿Se entiende o no?

70
00:09:44,360 --> 00:09:47,759
¿Veis alguna similitud con lo que hacíais con el método de reducción?

71
00:09:49,259 --> 00:09:50,100
¿Es la misma?

72
00:09:51,000 --> 00:09:51,700
¿Sí o no?

73
00:09:52,559 --> 00:09:53,480
¿Lo veis o no?

74
00:09:54,100 --> 00:09:54,539
Vale.

75
00:09:54,539 --> 00:09:58,539
Bien, vamos a calcular ahora F3

76
00:09:58,539 --> 00:10:01,139
De aquí, F3

77
00:10:01,139 --> 00:10:06,500
Bien, hago F1, que la tengo aquí, es 1, 4, 4

78
00:10:06,500 --> 00:10:11,320
Y pongo aquí F3, que es menos 1, menos 2, menos 3

79
00:10:11,320 --> 00:10:12,440
Y sumo

80
00:10:12,440 --> 00:10:13,700
Se van

81
00:10:13,700 --> 00:10:15,440
¿Por qué he hecho esta?

82
00:10:15,620 --> 00:10:17,899
Nuevamente, porque 1 más menos 1 es 0

83
00:10:17,899 --> 00:10:19,820
Que lo que quiero es que se vaya, ¿sí o no?

84
00:10:20,820 --> 00:10:22,919
4 más menos 2 es 2

85
00:10:22,919 --> 00:10:25,240
Y 4 más menos 3 es 1

86
00:10:25,240 --> 00:10:26,980
Así que abajo pongo

87
00:10:26,980 --> 00:10:28,840
0, 2, 1

88
00:10:28,840 --> 00:10:31,659
¿Se ha entendido? He sustituido F3

89
00:10:31,659 --> 00:10:32,820
Que es esta

90
00:10:32,820 --> 00:10:35,320
Por esta combinación lineal que es esta

91
00:10:35,320 --> 00:10:36,620
Y la he puesto de...

92
00:10:36,620 --> 00:10:38,200
¿Se entiende la idea o no?

93
00:10:41,000 --> 00:10:42,399
Bien, ya he hecho ceros

94
00:10:42,399 --> 00:10:46,059
Aquí y aquí

95
00:10:46,059 --> 00:10:49,580
¿Dónde hay que hacer cero ahora para escalonar

96
00:10:49,580 --> 00:10:50,600
La matriz?

97
00:10:50,600 --> 00:10:51,320
Pues aquí

98
00:10:51,320 --> 00:10:55,789
Ahora toca hacer cero aquí

99
00:10:55,789 --> 00:10:57,509
¿Y cómo lo hago?

100
00:10:57,909 --> 00:11:00,870
¿Entendéis por qué hago primero cero aquí y aquí?

101
00:11:01,669 --> 00:11:05,990
Porque ahora sí, operando con F2 y F3, hago el cero aquí.

102
00:11:07,049 --> 00:11:09,830
¿Qué pasaría si aquí apareciera un 3?

103
00:11:10,029 --> 00:11:14,570
Pues fíjate que no podría hacer, al operar esta con esta,

104
00:11:15,129 --> 00:11:17,909
el resultante no sería un cero aquí, que me interesa.

105
00:11:18,730 --> 00:11:19,710
¿Se entiende la idea, no?

106
00:11:20,250 --> 00:11:24,789
¿Qué?

107
00:11:26,779 --> 00:11:32,840
Sí, disculpadme que me he equivocado porque no hay que hacer cero porque ya está escalonado.

108
00:11:32,879 --> 00:11:35,220
No porque sea incompatible

109
00:11:35,220 --> 00:11:36,980
O sea, es que ya está

110
00:11:36,980 --> 00:11:39,059
No, perdona, no, perdona, no, no

111
00:11:39,059 --> 00:11:40,600
Fijaros

112
00:11:40,600 --> 00:11:41,799
El sistema

113
00:11:41,799 --> 00:11:44,139
No está escalonado

114
00:11:44,139 --> 00:11:47,720
Aquí hay que hacer un cero

115
00:11:47,720 --> 00:11:51,139
A ver, por aquí me preguntan

116
00:11:51,139 --> 00:11:52,659
Que por qué hay que hacer un cero aquí

117
00:11:52,659 --> 00:11:55,200
Si va a resultar entonces

118
00:11:55,200 --> 00:11:56,159
Incompatible

119
00:11:56,159 --> 00:11:58,460
Y las respuestas, no necesariamente

120
00:11:58,460 --> 00:12:00,559
O es incompatible

121
00:12:00,559 --> 00:12:03,200
O es

122
00:12:03,200 --> 00:12:06,700
o te sale una ecuación de forma cero igual a cero.

123
00:12:07,120 --> 00:12:07,759
¿Entiendes o no?

124
00:12:10,370 --> 00:12:13,909
A ver, estoy aplicando transformaciones

125
00:12:13,909 --> 00:12:19,450
que me permiten obtener sistemas equivalentes.

126
00:12:20,169 --> 00:12:23,129
Si finalmente al hacer las transformaciones

127
00:12:23,129 --> 00:12:24,990
me da un sistema incompatible,

128
00:12:25,529 --> 00:12:27,730
no es por el método utilizado,

129
00:12:28,750 --> 00:12:31,909
sino porque procede de un sistema que era incompatible.

130
00:12:32,350 --> 00:12:33,090
¿Me comprendes o no?

131
00:12:33,889 --> 00:12:37,330
Entonces hay que tener cuidado con esa idea que estáis pensando.

132
00:12:37,549 --> 00:12:39,330
¿Entendéis o no? Bien.

133
00:12:40,610 --> 00:12:43,450
Y también, por otro lado, he hecho el siguiente análisis al principio.

134
00:12:44,129 --> 00:12:48,929
Tenemos tres ecuaciones y dos incógnitas.

135
00:12:51,179 --> 00:12:52,940
Hay una ecuación que tiene que sobrar.

136
00:12:54,539 --> 00:12:55,299
¿Me comprendes?

137
00:12:55,299 --> 00:12:58,980
O sobrar o ser incompatible con el resto.

138
00:13:01,950 --> 00:13:05,509
Pero en todo caso, como estamos aplicando el método de Gauss,

139
00:13:05,509 --> 00:13:23,929
De manera fría, en este caso, aplicar el método de Gauss consiste en, mediante transformaciones de sustitución de una fila por una combinación lineal de ella con el resto, escalonar el sistema.

140
00:13:24,830 --> 00:13:30,610
Y este sistema claramente no está escalonado. Este 2 debería hacerse 0. ¿Lo has entendido?

141
00:13:30,610 --> 00:13:36,629
Lo que a ti te ha pasado es a causa de que me falta una incógnita

142
00:13:36,629 --> 00:13:39,450
Por eso estás pensando eso, ¿entiendes o no?

143
00:13:40,190 --> 00:13:42,610
Vale, bueno, dicho esto, hagamos el 0 aquí

144
00:13:42,610 --> 00:13:48,129
Pues digo, F3 lo sustituyo por F2 más 7F3

145
00:13:48,129 --> 00:13:51,970
Para hacer el 0 aquí, porque va a quedar 7 por 2, 14

146
00:13:51,970 --> 00:13:54,450
Y menos 14 más 14, 0

147
00:13:54,450 --> 00:13:55,409
¿Se entiende o no?

148
00:13:56,570 --> 00:13:56,889
Bien

149
00:13:56,889 --> 00:14:07,070
Así que, bien, ponemos F2 y 7F3, tal y como indicábamos en la...

150
00:14:07,070 --> 00:14:10,710
Y ahora sumamos 0, 0 y 0.

151
00:14:11,190 --> 00:14:12,309
¿Qué ha pasado aquí?

152
00:14:13,070 --> 00:14:18,649
Pues que esto es un equivalente a esta matriz.

153
00:14:32,710 --> 00:14:33,049
Perdón.

154
00:14:37,889 --> 00:14:43,049
Y entonces, fijaros, esto no me lleva a una incompatibilidad, como tú sospechabas.

155
00:14:43,049 --> 00:15:00,610
Sino que desaparece una ecuación. Pero, no obstante, si nos llevara a una incompatibilidad, ¿cuál es el problema? Ninguno. Estaríamos con esto concluyendo que el sistema sería incompatible.

156
00:15:00,610 --> 00:15:18,350
Pero no ha llevado a ninguna incompatibilidad. Entonces, fijaros ahora. Si traduzco esto a su forma algebraica, en forma de ecuación, obtendríamos x más 4y igual a 4, porque recuerdo que no había z en esta incógnita, ¿vale?

157
00:15:18,350 --> 00:15:20,409
menos 4Y

158
00:15:20,409 --> 00:15:23,309
menos 14

159
00:15:23,309 --> 00:15:25,190
perdón, se me ha borrado

160
00:15:25,190 --> 00:15:25,730
vale, sí

161
00:15:25,730 --> 00:15:28,909
menos 14Y igual a menos 7

162
00:15:28,909 --> 00:15:31,129
y 0 igual a 0

163
00:15:31,129 --> 00:15:34,509
y 0 igual a 0

164
00:15:34,509 --> 00:15:36,389
esta ecuación no es incompatible

165
00:15:36,389 --> 00:15:38,149
pero no aporta nada

166
00:15:38,149 --> 00:15:40,870
esto es porque había

167
00:15:40,870 --> 00:15:42,490
una ecuación de las tres que era

168
00:15:42,490 --> 00:15:45,129
dependiente de las otras

169
00:15:45,129 --> 00:15:46,669
redundante

170
00:15:46,669 --> 00:15:48,029
¿se entiende la idea?

171
00:15:49,409 --> 00:15:49,809
bien

172
00:15:49,809 --> 00:15:53,470
¿Y ahora qué? Pues esto nos permite despejar y

173
00:15:53,470 --> 00:15:57,710
De aquí saco que y es igual a 1 medio

174
00:15:57,710 --> 00:16:00,710
Menos 7 entre menos 14 que es 1 medio

175
00:16:00,710 --> 00:16:01,190
¿Vale?

176
00:16:02,269 --> 00:16:07,110
Y sustituyendo arriba me queda x más 4 por 1 medio

177
00:16:07,110 --> 00:16:11,580
Igual a 4

178
00:16:11,580 --> 00:16:15,980
Con lo que x es igual a 2

179
00:16:15,980 --> 00:16:21,000
Se trata por tanto de un sistema ¿Cómo?

180
00:16:21,980 --> 00:16:23,519
Compatible determinado

181
00:16:23,519 --> 00:16:43,879
Y el análisis geométrico que haríamos, ¿qué es? Pues mirad, vamos a ver, cada una de estas ecuaciones, ¿qué es? Una recta. ¿Sí o no? Bien, lo que está diciendo es que son tres rectas que se cortan en un punto.

182
00:16:43,879 --> 00:16:48,120
¿se ha entendido la idea?

183
00:16:49,200 --> 00:16:50,100
y por eso

184
00:16:50,100 --> 00:16:52,159
la solución es un único punto

185
00:16:52,159 --> 00:16:55,190
¿vale?

186
00:16:55,990 --> 00:16:57,029
¿se ha entendido?

187
00:16:57,610 --> 00:17:01,889
¿se ve la idea?

188
00:17:02,429 --> 00:17:03,210
bien, ya está