0
00:00:00,000 --> 00:00:13,000
Aquí hay mucho cambio de variable, lo bueno es que casi siempre es el mismo cambio de

1
00:00:13,000 --> 00:00:14,000
variable.

2
00:00:14,000 --> 00:00:20,000
Entonces ir jugando con eso, y con eso tiene que ser una función, demostrando nada, diciéndoselo

3
00:00:20,000 --> 00:00:21,000
a nosotros.

4
00:00:21,000 --> 00:00:46,000
Cuando nosotros tengamos un integral en R2, vamos a tener esto, este tiene que ser una

5
00:00:46,000 --> 00:01:11,000
función, que como veis es una función de R2 en R, continuo, ¿entendéis?

6
00:01:12,000 --> 00:01:18,000
O sea, puede ser discontinua, ojo, esto lo como para un player, haciéndolo con compañeros

7
00:01:18,000 --> 00:01:24,000
de otro espacio, me preguntaron esto en una especie de mini-test de cuatro preguntas

8
00:01:24,000 --> 00:01:29,000
y una de las preguntas era si la función tiene que ser siempre continua, pues no.

9
00:01:29,000 --> 00:01:33,000
Eso sí, las discontinuidades tienen que ser de esas discontinuidades que llamamos asentos

10
00:01:33,000 --> 00:01:34,000
nitos.

11
00:01:35,000 --> 00:01:41,000
En R, las que habéis hecho toda vuestra vida, esto se puede integrar sin ningún tipo

12
00:01:41,000 --> 00:01:43,000
de problema.

13
00:01:43,000 --> 00:01:52,000
Yo tengo aquí una función que termina ahí arriba, y de repente empieza aquí.

14
00:01:52,000 --> 00:01:57,000
Discontinuidad inevitable de salto finito, pero no hay ningún problema, porque como

15
00:01:57,000 --> 00:02:02,000
yo voy a decir, me ha ido la integral de AB y luego me ha ido la integral de AC, me ha

16
00:02:02,000 --> 00:02:05,000
ido las dos integrales, las dos áreas, las sumo y fuera.

17
00:02:05,000 --> 00:02:07,000
A eso se lo que me refiero.

18
00:02:07,000 --> 00:02:11,000
Podéis tener funciones que tengan este tipo de saltos, lo que no se puede tener son funciones

19
00:02:11,000 --> 00:02:15,000
que se vayan al infinito, entonces eso no se va a integrar, no se va a separar, porque

20
00:02:15,000 --> 00:02:18,000
lo que tienen es que hay que integrar.

21
00:02:18,000 --> 00:02:19,000
¿Vale?

22
00:02:19,000 --> 00:02:24,000
Todas las integrales, ahora ya todas, absolutamente todas, sin ninguna excepción, son siempre

23
00:02:24,000 --> 00:02:25,000
definidas.

24
00:02:25,000 --> 00:02:29,000
Aquí no se preguntan integrales y definidas, son siempre definidas.

25
00:02:29,000 --> 00:02:33,000
Aquí siempre va a haber un dominio, y el dominio muchas veces es el dolor de cabeza.

26
00:02:33,000 --> 00:02:37,000
No lo que pongan dentro, que tú estás viendo lo dentro y pones X.

27
00:02:37,000 --> 00:02:39,000
La integral de X no será muy complicada.

28
00:02:39,000 --> 00:02:44,000
El problema es este, que es que a veces es muy complicado, porque ahora ya no es de AB,

29
00:02:44,000 --> 00:02:46,000
ahora estamos en el plano.

30
00:02:46,000 --> 00:02:48,000
Entonces como estamos en el plano, no es cualquier cosa.

31
00:02:48,000 --> 00:02:51,000
Y cualquier cosa es cualquier cosa, ¿vale?

32
00:02:51,000 --> 00:02:54,000
Como la rosa tora de cuatro pedazos, lo que les derrama.

33
00:02:54,000 --> 00:02:55,000
¿Vale?

34
00:02:56,000 --> 00:02:59,000
Dependiendo de cómo sea el dominio, la cosa va empeorando.

35
00:02:59,000 --> 00:03:01,000
Así que tipos de dominio.

36
00:03:06,000 --> 00:03:11,000
Vamos a empezar por el más sencillo, que es B.

37
00:03:16,000 --> 00:03:19,000
Es un rectángulo, ¿vale?

38
00:03:19,000 --> 00:03:24,000
Entonces, si B es un rectángulo, B nos lo van a dar de esta manera.

39
00:03:24,000 --> 00:03:27,000
Pongo las expresiones que pueden utilizar.

40
00:03:32,000 --> 00:03:34,000
Una forma de escribirlo es así.

41
00:03:34,000 --> 00:03:36,000
Podéis disfrutar.

42
00:03:36,000 --> 00:03:38,000
AB por C.

43
00:03:38,000 --> 00:03:41,000
Eso es lo que se llama un producto cartesiano de dos conjuntos.

44
00:03:41,000 --> 00:03:47,000
Pero bueno, a vosotros lo que os quedáis es la X va de AB, la Y va de CAB.

45
00:03:47,000 --> 00:03:49,000
Ya tengo los datos del rectángulo.

46
00:03:49,000 --> 00:03:53,000
Así que otra manera de ponerlo, sería escribirlo así.

47
00:03:55,000 --> 00:04:04,000
La X va de AB, la Y va de CAB.

48
00:04:07,000 --> 00:04:10,000
No voy a dibujar el dominio, es un rectángulo igual.

49
00:04:10,000 --> 00:04:11,000
¿Vale?

50
00:04:11,000 --> 00:04:14,000
Entonces, ¿cómo hago la integral?

51
00:04:14,000 --> 00:04:17,000
No importa el orden.

52
00:04:17,000 --> 00:04:20,000
Y eso se le llama teorema de Fubini.

53
00:04:25,000 --> 00:04:31,000
No sé hasta qué punto vuestros profesores, todos, van a hacer ahí súper precisos.

54
00:04:31,000 --> 00:04:34,000
Pero mirad, las integrales se hacen de dentro hacia afuera.

55
00:04:34,000 --> 00:04:39,000
Por lo tanto, si los límites de integración, dentro, he puesto C y D,

56
00:04:39,000 --> 00:04:43,000
debería respetar ese orden y empezar integrando la Y.

57
00:04:43,000 --> 00:04:46,000
Así que tendría que poner aquí la integral de Y.

58
00:04:46,000 --> 00:04:50,000
Y una vez que me he quitado todas las Y, entonces integro la X.

59
00:04:50,000 --> 00:04:55,000
Lo que pasa, que si todo lo que tengo como límite de integración son numeritos,

60
00:04:55,000 --> 00:04:58,000
puedo cambiar el orden sin interés.

61
00:05:06,000 --> 00:05:09,000
Y entonces, ¿a qué pasa?

62
00:05:10,000 --> 00:05:11,000
¿Vale?

63
00:05:11,000 --> 00:05:14,000
Si queréis, lo podéis hacer así.

64
00:05:14,000 --> 00:05:22,000
De hecho, si la función F de X y Y es una función en la que tienes las X por un lado

65
00:05:22,000 --> 00:05:25,000
y las Y por otro, por ejemplo.

66
00:05:25,000 --> 00:05:28,000
Imaginemos que la función es así.

67
00:05:28,000 --> 00:05:30,000
Tengo la parte de la X aquí.

68
00:05:30,000 --> 00:05:32,000
La parte de la Y aquí.

69
00:05:32,000 --> 00:05:34,000
No las tengo ocultadas, las tengo ahí.

70
00:05:34,000 --> 00:05:36,000
Unas en un lado, otras en otro.

71
00:05:36,000 --> 00:05:39,000
Pues bien, si ocurre eso...

72
00:05:44,000 --> 00:05:46,000
Entonces, ¿qué tengo?

73
00:05:46,000 --> 00:05:51,000
Tengo la función F de X y la función Y de Y.

74
00:05:51,000 --> 00:05:52,000
¿Vale?

75
00:05:57,000 --> 00:06:05,000
Entonces es que tengo una función que depende de X y una función que depende de Y.

76
00:06:05,000 --> 00:06:06,000
¿Vale?

77
00:06:06,000 --> 00:06:08,000
La que depende de X, la que depende de Y.

78
00:06:08,000 --> 00:06:13,000
Pues bien, puedo integrar la X por un lado, la Y por el otro de manera separada

79
00:06:13,000 --> 00:06:15,000
y multiplicar las dos integrales.

80
00:06:16,000 --> 00:06:17,000
¿Vale?

81
00:06:17,000 --> 00:06:18,000
Podría hacer esto.

82
00:06:18,000 --> 00:06:26,000
Hago la de G por un lado y le multiplico lo que va con ella.

83
00:06:27,000 --> 00:06:30,000
Deberíais hacerlo constantemente.

84
00:06:34,000 --> 00:06:35,000
¿Bien?

85
00:06:37,000 --> 00:06:39,000
Esto son uno o seis, lo que tú quieras.

86
00:06:39,000 --> 00:06:42,000
Uno menos seis, uno menos el seno de Y, lo que queráis.

87
00:06:42,000 --> 00:06:43,000
Simplemente para que veáis.

88
00:06:43,000 --> 00:06:46,000
Están así por un lado, todas iguales.

89
00:06:46,000 --> 00:06:49,000
Vale, esto de aquí, como os digo, deberíais utilizarlo mucho.

90
00:06:49,000 --> 00:06:55,000
Utilizarlo vosotros también, pero por favor, tienen que estar los cuatro límites numeritos.

91
00:06:55,000 --> 00:06:56,000
Tienen que ser.

92
00:06:56,000 --> 00:06:59,000
Como alguno de los límites no sea un número, todo esto ya no sirve.

93
00:06:59,000 --> 00:07:01,000
Porque no puedo utilizarlo, entonces no me da función Y.

94
00:07:01,000 --> 00:07:02,000
¿Vale?

95
00:07:03,000 --> 00:07:04,000
Bueno, pues este es el primer tipo de dominio.

96
00:07:04,000 --> 00:07:06,000
Este es el mejor dominio.

97
00:07:07,000 --> 00:07:10,000
De verdad, no sirve reponer rectángulo, reponer gráfico.

98
00:07:11,000 --> 00:07:12,000
Así que...

99
00:07:13,000 --> 00:07:15,000
Segundo tipo de dominio.

100
00:07:17,000 --> 00:07:20,000
Digamos que el que voy a poner ahora es el dominio clásico.

101
00:07:20,000 --> 00:07:21,000
Es decir, aquí.

102
00:07:21,000 --> 00:07:22,000
¿Vale?

103
00:07:25,000 --> 00:07:26,000
D.

104
00:07:36,000 --> 00:07:39,000
D es un dominio que se llama tipo 1.

105
00:07:41,000 --> 00:07:43,000
Y eso significa lo siguiente.

106
00:07:44,000 --> 00:07:51,000
El dominio D lo ponen ellos o nosotros somos capaces de ponerlo de esa manera.

107
00:07:55,000 --> 00:07:59,000
La X sigue estando encerrada entre dos números.

108
00:08:00,000 --> 00:08:08,000
Pero la Y está encerrada entre dos funciones que dependen de la X.

109
00:08:13,000 --> 00:08:19,000
O sea, el típico dibujito que acompaña este dominio, pues sería así.

110
00:08:29,000 --> 00:08:32,000
La X entre A y B.

111
00:08:32,000 --> 00:08:38,000
Y la Y, aquí está Y1, la función que está por abajo.

112
00:08:39,000 --> 00:08:42,000
Aquí está Y2.

113
00:08:44,000 --> 00:08:46,000
La función que va por arriba.

114
00:08:48,000 --> 00:08:50,000
Ese es el típico dibujo que yo hago, porque me lo piden.

115
00:08:50,000 --> 00:08:53,000
Y si no me lo piden, pues lo hago yo, porque así lo veo que lo tengo claro.

116
00:08:55,000 --> 00:09:02,000
Y entonces, en los dominios tipo 1, para no meter la pata, os recomiendo meter una línea vertical.

117
00:09:04,000 --> 00:09:06,000
Pero ponerla siempre por la mitad del dominio.

118
00:09:06,000 --> 00:09:09,000
Y así veis perfectamente de dónde a dónde va la Y.

119
00:09:10,000 --> 00:09:12,000
Porque a lo mejor hay más de una Y.

120
00:09:13,000 --> 00:09:15,000
En esta parte voy desde aquí hasta aquí.

121
00:09:15,000 --> 00:09:18,000
Pero cuando me muevo hacia la derecha, voy de aquí a aquel otro sitio.

122
00:09:18,000 --> 00:09:20,000
Y así va viendo perfectamente de dónde a dónde va.

123
00:09:22,000 --> 00:09:25,000
Todo esto del dominio tipo 1, en la gran mayoría de los problemas, sois vosotros.

124
00:09:25,000 --> 00:09:31,000
Los que tenéis que decidir si lo queréis ver así, si lo queréis ver de otra manera, o lo que ve de sí el dominio.

125
00:09:31,000 --> 00:09:33,000
Hay algunos dominios que se pueden ver de varias maneras.

126
00:09:34,000 --> 00:09:36,000
Otros no, solo conviene verlos de uno.

127
00:09:37,000 --> 00:09:43,000
Una vez que uno ha decidido que va a hacer la integral utilizando esto y ese dominio escrito así,

128
00:09:43,000 --> 00:09:46,000
la integral solo se puede hacer de una manera.

129
00:09:46,000 --> 00:09:47,000
Solo de una.

130
00:09:47,000 --> 00:09:50,000
Así que hay que respetar el orden sí o sí.

131
00:09:52,000 --> 00:09:55,000
Obligatoriamente, primero hay que integrar la Y.

132
00:09:57,000 --> 00:09:59,000
Porque la Y depende de X.

133
00:09:59,000 --> 00:10:00,000
Depende de X.

134
00:10:03,000 --> 00:10:05,000
¿Vale? Digo, obligatoriamente.

135
00:10:06,000 --> 00:10:08,000
Como la vais a ver, se acabó la integral.

136
00:10:20,000 --> 00:10:21,000
¿Vale?

137
00:10:22,000 --> 00:10:25,000
Pues ese sería el dominio tipo...

138
00:10:29,000 --> 00:10:31,000
Siguiente tipo de dominio.

139
00:10:32,000 --> 00:10:34,000
Pues el dominio tipo 2.

140
00:10:50,000 --> 00:10:54,000
Al dominio tipo 2 estáis menos acostumbrados, porque tenéis que ver las cosas en vertical,

141
00:10:54,000 --> 00:10:56,000
si tenéis que ver las cosas en horizontal.

142
00:10:57,000 --> 00:11:01,000
Pero ese es el que es, y es muy útil, y en algunos dominios es justo el que tengo que utilizar.

143
00:11:02,000 --> 00:11:05,000
Es cuando D lo puedo escribir de esta manera.

144
00:11:09,000 --> 00:11:12,000
Ahora es la X la que va a depender de Y.

145
00:11:13,000 --> 00:11:20,000
Así que X está encerrada entre dos funciones que dependen de Y.

146
00:11:21,000 --> 00:11:26,000
Mientras que Y va por libre, entre dos numeritos.

147
00:11:32,000 --> 00:11:35,000
Bueno, el dibujo sería algo así.

148
00:11:36,000 --> 00:11:40,000
Una cosa, estoy poniendo todos estos dibujos en el primer cuadrante simplemente por comodidad.

149
00:11:41,000 --> 00:11:43,000
Da igual en qué cuadrante estén.

150
00:11:43,000 --> 00:11:44,000
¿Vale? Aquí está lo mismo.

151
00:11:51,000 --> 00:11:54,000
Aquí tengo C y D.

152
00:11:57,000 --> 00:11:59,000
Esto es el dominio D.

153
00:12:00,000 --> 00:12:05,000
Y entonces, esta de aquí es X sub 1, que depende de Y.

154
00:12:06,000 --> 00:12:11,000
Y la que está más lejos, X sub 2, que también depende de Y.

155
00:12:13,000 --> 00:12:15,000
De manera que a mí me interesa ver las cosas,

156
00:12:15,000 --> 00:12:16,000
en horizontal.

157
00:12:16,000 --> 00:12:20,000
Luego me interesaría meter una línea horizontal,

158
00:12:21,000 --> 00:12:24,000
para ver bien de dónde a dónde va la X.

159
00:12:24,000 --> 00:12:27,000
Porque es ahora la X la que depende de otra variable.

160
00:12:30,000 --> 00:12:33,000
Bueno, pues como es ahora la X la que depende de Y,

161
00:12:33,000 --> 00:12:36,000
es la X la que primero tenemos que integrar.

162
00:12:36,000 --> 00:12:38,000
Obligatoriamente.

163
00:12:39,000 --> 00:12:41,000
Solo se puede hacer la integral,

164
00:12:41,000 --> 00:12:42,000
de esa manera.

165
00:13:12,000 --> 00:13:13,000
¿De acuerdo?

166
00:13:15,000 --> 00:13:17,000
Luego está el cuarto tipo de dominio,

167
00:13:17,000 --> 00:13:23,000
que es aquel que ni es un rectángulo, ni es un dominio tipo 1, ni es un dominio tipo 2,

168
00:13:23,000 --> 00:13:27,000
pero si lo troce, cada trozo me cuadra en uno de estos.

169
00:13:28,000 --> 00:13:29,000
¿Vale?

170
00:13:29,000 --> 00:13:30,000
Cuarto.

171
00:13:33,000 --> 00:13:34,000
Ponemos

172
00:13:35,000 --> 00:13:36,000
D

173
00:13:37,000 --> 00:13:39,000
como una unión

174
00:13:39,000 --> 00:13:41,000
como una unión

175
00:13:45,000 --> 00:13:47,000
de subdominios.

176
00:13:51,000 --> 00:13:52,000
La X.

177
00:13:52,000 --> 00:13:53,000
Siempre.

178
00:13:53,000 --> 00:13:54,000
Obviamente.

179
00:13:57,000 --> 00:13:58,000
¿Vale?

180
00:13:58,000 --> 00:13:59,000
D lo troceo.

181
00:13:59,000 --> 00:14:00,000
En los trozos que sea.

182
00:14:01,000 --> 00:14:04,000
Y D es entonces la unión de mis distintos trozos.

183
00:14:04,000 --> 00:14:06,000
De sub 1, de sub 2, de sub 3.

184
00:14:06,000 --> 00:14:10,000
Porque cada uno de esos trozos me cuadra con alguno de los dominios anteriores.

185
00:14:10,000 --> 00:14:11,000
¿Vale?

186
00:14:11,000 --> 00:14:13,000
Digo, mira, este trozo es un dominio tipo 1.

187
00:14:13,000 --> 00:14:15,000
Este otro trozo, tipo 2.

188
00:14:15,000 --> 00:14:16,000
Y aquí tengo un rectángulo.

189
00:14:16,000 --> 00:14:17,000
¿Vale?

190
00:14:17,000 --> 00:14:20,000
Lo hago cada uno por separado y sumo las integrales.

191
00:14:21,000 --> 00:14:24,000
Así que la integral sobre D

192
00:14:29,000 --> 00:14:31,000
es la suma

193
00:14:32,000 --> 00:14:35,000
de las integrales sobre cada uno de los subdominios.

194
00:14:36,000 --> 00:14:37,000
¿Vale?

195
00:14:43,000 --> 00:14:44,000
Así.

196
00:14:45,000 --> 00:14:47,000
Voy haciendo cada una de las integrales

197
00:14:47,000 --> 00:14:49,000
y al final las sumo.

198
00:14:49,000 --> 00:14:51,000
Recordad que todas estas integrales son números.

199
00:14:51,000 --> 00:14:52,000
Son definidas.

200
00:14:52,000 --> 00:14:55,000
Así que el último paso es sumar los números por D en cada una.

201
00:15:06,000 --> 00:15:07,000
¿Vale?

202
00:15:09,000 --> 00:15:11,000
Y nos queda el ritmo.

203
00:15:11,000 --> 00:15:13,000
Que es el gran peor.

204
00:15:14,000 --> 00:15:17,000
Y si aún así soy incapaz de hacerlo.

205
00:15:17,000 --> 00:15:20,000
Pues entonces tendría que hacer cambio de variable.

206
00:15:20,000 --> 00:15:21,000
¿Vale?

207
00:15:21,000 --> 00:15:24,000
Y aquí lo malo es que el cambio de variable hay que cambiar una.

208
00:15:24,000 --> 00:15:25,000
Hay que cambiar dos.

209
00:15:27,000 --> 00:15:29,000
Entonces ya la cosa se complica.

210
00:15:30,000 --> 00:15:33,000
En esto, justo en donde abro los profesores si quieren,

211
00:15:33,000 --> 00:15:35,000
ahí es donde aprietan las D2.

212
00:15:36,000 --> 00:15:37,000
¿Vale?

213
00:15:37,000 --> 00:15:40,000
Ahora yo voy a poner como se hace un cambio de variable.

214
00:15:40,000 --> 00:15:42,000
Así que lo que voy a poner siempre.

215
00:15:42,000 --> 00:15:44,000
Pero claro, el cambio de variable lo tienes que poner tú.

216
00:15:44,000 --> 00:15:46,000
Cada problema tiene el suyo.

217
00:15:46,000 --> 00:15:49,000
Pero hay uno que cubre 9 de cada 10.

218
00:15:49,000 --> 00:15:50,000
De las personas que ponen.

219
00:15:50,000 --> 00:15:53,000
Que es pasarme a coordenadas polares.

220
00:15:53,000 --> 00:15:55,000
Las mismas que con los límites.

221
00:15:55,000 --> 00:15:56,000
¿Vale?

222
00:15:56,000 --> 00:15:59,000
Pero luego, si ese tampoco sirve.

223
00:15:59,000 --> 00:16:01,000
Entonces ahí es donde está el problema.

224
00:16:01,000 --> 00:16:02,000
El problema está puesto así.

225
00:16:02,000 --> 00:16:05,000
Porque yo tengo que inventarme el nuevo cambio de variable.

226
00:16:05,000 --> 00:16:06,000
¿Qué sirve?

227
00:16:06,000 --> 00:16:07,000
Para que vayas.

228
00:16:07,000 --> 00:16:09,000
Algunos de vuestros profesores.

229
00:16:09,000 --> 00:16:11,000
Son más o menos legales.

230
00:16:11,000 --> 00:16:12,000
¿Y qué es lo que hacen?

231
00:16:12,000 --> 00:16:13,000
Os dan.

232
00:16:13,000 --> 00:16:17,000
Os dan el cambio de variable para que vosotros demostréis que sabéis utilizarlo.

233
00:16:17,000 --> 00:16:19,000
Que sabéis la fórmula que hay que utilizar.

234
00:16:19,000 --> 00:16:20,000
Y lo ponéis.

235
00:16:20,000 --> 00:16:22,000
Pues claro, si ya tenéis el cambio de variable.

236
00:16:22,000 --> 00:16:24,000
Ya te han quitado el 90%.

237
00:16:24,000 --> 00:16:25,000
¿Vale?

238
00:16:25,000 --> 00:16:26,000
Quien quiera apretar.

239
00:16:26,000 --> 00:16:27,000
No te lo da.

240
00:16:27,000 --> 00:16:29,000
Y se os tiene que ocurrir a vosotros.

241
00:16:29,000 --> 00:16:30,000
Y para cada una.

242
00:16:30,000 --> 00:16:31,000
Es difícil.

243
00:16:31,000 --> 00:16:32,000
¿Vale?

244
00:16:32,000 --> 00:16:37,000
Entonces la teoría dice los siguientes.

245
00:16:37,000 --> 00:16:42,000
Quinto tipo.

246
00:16:42,000 --> 00:16:45,000
Cambio de variable.

247
00:16:45,000 --> 00:16:48,000
Uno llega a la conclusión de que tiene que hacer un cambio de variable.

248
00:16:48,000 --> 00:16:49,000
Si ve.

249
00:16:49,000 --> 00:16:51,000
No es un rectángulo.

250
00:16:52,000 --> 00:16:54,000
No lo podes poner tipo 1.

251
00:16:54,000 --> 00:16:55,000
Ni tipo 2.

252
00:16:55,000 --> 00:16:56,000
Ni lo podes trocear.

253
00:16:56,000 --> 00:16:57,000
Nada.

254
00:16:57,000 --> 00:16:58,000
¿Vale?

255
00:16:58,000 --> 00:17:00,000
Y no penséis que tiene que ser un dominio extraño.

256
00:17:00,000 --> 00:17:01,000
Por ejemplo.

257
00:17:01,000 --> 00:17:02,000
Un círculo.

258
00:17:02,000 --> 00:17:03,000
Cambio de variable.

259
00:17:03,000 --> 00:17:04,000
Un sector circular.

260
00:17:04,000 --> 00:17:05,000
Cambio de variable.

261
00:17:05,000 --> 00:17:06,000
Un avirse.

262
00:17:06,000 --> 00:17:07,000
Cambio de variable.

263
00:17:07,000 --> 00:17:09,000
O sea que tampoco tiene que ser una cosa espectacular.

264
00:17:09,000 --> 00:17:11,000
Esto.

265
00:17:11,000 --> 00:17:13,000
Que es el que suelen moleros muchas veces.

266
00:17:13,000 --> 00:17:15,000
Una recta.

267
00:17:15,000 --> 00:17:16,000
Otra recta.

268
00:17:16,000 --> 00:17:17,000
Una hiperbola.

269
00:17:17,000 --> 00:17:18,000
Otra hiperbola.

270
00:17:18,000 --> 00:17:20,000
¿Ves esto de aquí adentro?

271
00:17:20,000 --> 00:17:21,000
Bueno.

272
00:17:21,000 --> 00:17:23,000
Pues con dos rectas y dos hipérbolas.

273
00:17:23,000 --> 00:17:24,000
Cambio de variable.

274
00:17:24,000 --> 00:17:26,000
Con dos parábolas y dos hipérbolas.

275
00:17:26,000 --> 00:17:27,000
Cambio de variable.

276
00:17:27,000 --> 00:17:29,000
Con dos parábolas y dos rectas.

277
00:17:29,000 --> 00:17:30,000
Cambio de variable.

278
00:17:30,000 --> 00:17:31,000
¿Vale?

279
00:17:31,000 --> 00:17:32,000
O sea que tampoco tiene que ser un dominio de.

280
00:17:32,000 --> 00:17:33,000
¡Hostia!

281
00:17:33,000 --> 00:17:34,000
Me han preguntado aquí.

282
00:17:34,000 --> 00:17:35,000
Una figura super rara.

283
00:17:35,000 --> 00:17:36,000
Es muy fácil.

284
00:17:36,000 --> 00:17:38,000
Que os metan este cambio de variable.

285
00:17:38,000 --> 00:17:39,000
¿Vale?

286
00:17:39,000 --> 00:17:40,000
Cambio de variable.

287
00:17:40,000 --> 00:17:41,000
Ahí.

288
00:17:41,000 --> 00:17:42,000
Sí.

289
00:17:42,000 --> 00:17:43,000
¿Vale?

290
00:17:59,000 --> 00:18:01,000
El cambio de variable dice lo siguiente.

291
00:18:09,000 --> 00:18:10,000
Gracias.

292
00:18:12,000 --> 00:18:13,000
Venga.

293
00:18:13,000 --> 00:18:14,000
Yo empiezo aquí.

294
00:18:14,000 --> 00:18:15,000
Me encuentro con esto.

295
00:18:15,000 --> 00:18:16,000
E insisto.

296
00:18:16,000 --> 00:18:17,000
Ahora.

297
00:18:17,000 --> 00:18:18,000
Vuestros ojos tienen que ir a dos sitios a la vez.

298
00:18:18,000 --> 00:18:19,000
Uno.

299
00:18:19,000 --> 00:18:20,000
¿Cómo es F?

300
00:18:20,000 --> 00:18:21,000
Dos.

301
00:18:21,000 --> 00:18:22,000
¿Cómo es D?

302
00:18:22,000 --> 00:18:23,000
El cambio de variable a lo mejor no lo necesito por cómo es F.

303
00:18:23,000 --> 00:18:24,000
Pero la gran mayoría de las veces es por cómo es D.

304
00:18:24,000 --> 00:18:25,000
¿Vale?

305
00:18:25,000 --> 00:18:26,000
Yo digo que normalmente F lo ves y te va a ir a parir.

306
00:18:26,000 --> 00:18:27,000
Ves D y te va a ir a parir.

307
00:18:27,000 --> 00:18:28,000
¿Vale?

308
00:18:28,000 --> 00:18:29,000
¿Vale?

309
00:18:29,000 --> 00:18:30,000
¿Vale?

310
00:18:30,000 --> 00:18:31,000
¿Vale?

311
00:18:31,000 --> 00:18:32,000
¿Vale?

312
00:18:32,000 --> 00:18:33,000
¿Vale?

313
00:18:33,000 --> 00:18:34,000
¿Vale?

314
00:18:34,000 --> 00:18:35,000
¿Vale?

315
00:18:35,000 --> 00:18:36,000
¿Vale?

316
00:18:36,000 --> 00:18:37,000
¿Vale?

317
00:18:37,000 --> 00:18:38,000
¿Vale?

318
00:18:38,000 --> 00:18:39,000
¿Vale?

319
00:18:39,000 --> 00:18:40,000
¿Vale?

320
00:18:41,000 --> 00:18:42,000
¿Vale?

321
00:18:42,000 --> 00:19:00,000
Si tú quieres hacer un cambio de variable, tenemos que conseguir poner X en función

322
00:19:00,000 --> 00:19:07,000
de dos nuevas variables e Y en función de dos nuevas variables.

323
00:19:07,000 --> 00:19:13,000
Una vez que tengo X e Y en función de las dos variables, me tengo que hallar su matriz

324
00:19:13,000 --> 00:19:14,000
Jacobiana.

325
00:19:14,000 --> 00:19:27,000
Jacobiana en UU, que será derivada de X respecto de U, derivada de X respecto de U, derivada

326
00:19:27,000 --> 00:19:51,000
de X respecto de U y derivada de Y respecto de U.

327
00:19:51,000 --> 00:19:56,000
Una vez que hayas hallado ya la matriz Jacobiana, lo siguiente que tienes que hacer es ver si

328
00:19:56,000 --> 00:20:01,000
ha expresado en R2 pero en las variables que quisieras, ¿vale?

329
00:20:01,000 --> 00:20:15,000
O sea, D será este chulo, en estas variables.

330
00:20:15,000 --> 00:20:21,000
Y D lo tienes que transformar en quienes, en las variables U y V.

331
00:20:21,000 --> 00:20:26,000
Si el cambio de variable es bueno de verdad, D se transforma en un rectángulo.

332
00:20:26,000 --> 00:20:29,000
Eso es lo mejor que nos puede pasar.

333
00:20:29,000 --> 00:20:33,000
Yo ahora voy a poner D con asterisco y voy a poner también un chulo, pero pensad que

334
00:20:33,000 --> 00:20:37,000
intentaré que sea un rectángulo y si no es un rectángulo, pues es un dominio tipo

335
00:20:37,000 --> 00:20:39,000
1 o un dominio tipo 2.

336
00:20:39,000 --> 00:20:41,000
Uno de los que conozco, ¿vale?

337
00:20:42,000 --> 00:20:45,000
pues esto es un chulo.

338
00:20:45,000 --> 00:20:56,000
Así que aquí V, U y tenemos D con asterisco.

339
00:20:56,000 --> 00:20:59,000
Este se transforma en este.

340
00:20:59,000 --> 00:21:09,000
Y esa transformación la tenemos que hacer nosotros.

341
00:21:09,000 --> 00:21:16,000
Bien, en vez de hacer nosotros esta integral, ahora tenemos que hacer la integral sobre

342
00:21:16,000 --> 00:21:19,000
D con asterisco.

343
00:21:19,000 --> 00:21:26,000
F ya no dependerá de X y de Y porque X lo habré sustituido por lo que he puesto aquí

344
00:21:26,000 --> 00:21:29,000
e Y lo habré sustituido por lo que he puesto aquí.

345
00:21:29,000 --> 00:21:37,000
Luego F dependerá de U y de V.

346
00:21:37,000 --> 00:21:41,000
Y a continuación, y por favor que no se os olvide, y aparte uno se lo olvidará.

347
00:21:41,000 --> 00:21:46,000
De hecho a mí en la pizarra siempre olvidará, me diréis, Juanjo, se te ha olvidado el jantobiano.

348
00:21:46,000 --> 00:21:52,000
Siempre hay que multiplicar por el jantobiano.

349
00:21:52,000 --> 00:21:56,000
Aquí tenemos la matriz, pues ya sabéis que el jantobiano es determinante.

350
00:21:56,000 --> 00:22:03,000
Y una vez que tenéis eso, ya se puede hacer la integral diferencial de U diferencial de

351
00:22:03,000 --> 00:22:04,000
Y.

352
00:22:04,000 --> 00:22:10,000
Y no se os espera que la integral de la derecha sea mejor que la integral de la izquierda.

353
00:22:10,000 --> 00:22:14,000
Entonces voy a poner un ejemplo con este porque así me sirve para explicaros el cambio de

354
00:22:14,000 --> 00:22:19,000
variable más típico que hemos comentado, polares.

355
00:22:19,000 --> 00:22:38,000
Bueno, como ejemplo pongo, obtener o calcular, esa integral, fijaros que lo de adentro es

356
00:22:38,000 --> 00:22:41,000
una miserable X, ¿vale?

357
00:22:41,000 --> 00:22:44,000
Así que f de X, Y son los mismos.

358
00:22:44,000 --> 00:22:46,000
Cuantos tenemos que calcular?

359
00:22:46,000 --> 00:23:10,000
La integral de X sobre D, siendo D, es el interior de la circunferencia de radio 1.

360
00:23:10,000 --> 00:23:13,000
O sea, el círculo de radio unidad.

361
00:23:13,000 --> 00:23:22,000
Voy a hacer el dibujo, pues vamos a dibujar un círculo, así que, hecho.

362
00:23:22,000 --> 00:23:28,000
Lo he subrectangulado, no me conviene utilizar dominio tipo 1 porque es un rollo en la ecuación

363
00:23:28,000 --> 00:23:32,000
de la circunferencia despejar X en función de Y, te pican a salir raíces cuadradas,

364
00:23:32,000 --> 00:23:37,000
y meter raíces cuadradas dentro de una integral es lo peor que podemos hacer, ¿vale?

365
00:23:37,000 --> 00:23:42,000
Así que, anotad polares cada uno con vuestras palabras, lo siguiente.

366
00:23:42,000 --> 00:23:48,000
Círculos, circunferencias, elipses, sectores circulares.

367
00:23:48,000 --> 00:23:53,000
O ponéis, todo lo que tenga pinta de círculo, me paso a polares.

368
00:23:53,000 --> 00:23:55,000
Así de simple.

369
00:23:55,000 --> 00:24:04,000
Circunferencias, círculos, coronas circulares, elipses, sectores circulares, ¿vale?

370
00:24:04,000 --> 00:24:11,000
Todo lo que tenga pinta de circunferencia, me paso a polares.

371
00:24:11,000 --> 00:24:13,000
Así, que me paso a polares.

372
00:24:13,000 --> 00:24:18,000
Y lo que voy a poner ahora de coordenadas polares, sirve siempre.

373
00:24:18,000 --> 00:24:23,000
Por ejemplo, me voy a añadir jacobiano, una vez, yo ya no me lo vuelvo a añadir nunca.

374
00:24:23,000 --> 00:24:27,000
Pues vosotros, en clase, si acaso os veis la pallera, cada vez que me paso a coordenadas polares

375
00:24:27,000 --> 00:24:30,000
que tengo que añadir jacobiano, otro otro, porque siempre es el mismo.

376
00:24:30,000 --> 00:24:33,000
Y seguramente olvidarán a los autores y fuera, ¿vale?

377
00:24:33,000 --> 00:24:38,000
O, otra cosa es, alguno de vosotros si que ha visto, que de repente dice, apartado A.

378
00:24:38,000 --> 00:24:42,000
El cambio a coordenadas polares demuestra que el jacobiano vale, para que todos conozcan.

379
00:24:42,000 --> 00:24:44,000
Y claro, luego viene apartado B.

380
00:24:44,000 --> 00:24:47,000
Una integral justo para que utilice las coordenadas de arriba.

381
00:24:47,000 --> 00:24:49,000
¿Vale? Eso alguno de vosotros profesores lo hace.

382
00:24:49,000 --> 00:24:51,000
Así que paso, pregunta, teoría.

383
00:24:51,000 --> 00:24:52,000
¿Vale?

384
00:24:52,000 --> 00:24:54,000
Pero se hace siempre igual.

385
00:24:54,000 --> 00:24:57,000
Entonces, cambio a coordenadas polares.

386
00:25:04,000 --> 00:25:11,000
Normalmente, los dominios me los suelen poner centrados en el origen.

387
00:25:11,000 --> 00:25:13,000
Con cualquier puesto yo.

388
00:25:13,000 --> 00:25:18,000
Y ahora mismo, sin ir más lejos, como he comentado, hice uno de los pruebas en el pasado con Cedric

389
00:25:18,000 --> 00:25:21,000
y, por supuesto, no estaba centrado en el origen.

390
00:25:21,000 --> 00:25:22,000
¿Para qué?

391
00:25:22,000 --> 00:25:25,000
Si lo puedo descentrar y pillo más gente, lo descentro.

392
00:25:25,000 --> 00:25:30,000
Entonces yo voy a poner coordenadas polares, si la circunferencia, la elipse,

393
00:25:30,000 --> 00:25:35,000
lo que sea, no está centrada en el origen, sino que está en cualquier sitio.

394
00:25:35,000 --> 00:25:37,000
Así que las pongo de manera general.

395
00:25:37,000 --> 00:25:38,000
Así.

396
00:25:54,000 --> 00:25:56,000
Una cuestión con la notación.

397
00:25:56,000 --> 00:25:58,000
Mi recomendación.

398
00:25:58,000 --> 00:26:04,000
Aunque en la teoría diga que XY lo cambio por algo en U y V,

399
00:26:04,000 --> 00:26:09,000
cuando utilicéis coordenadas polares para hacer una integral en R2,

400
00:26:09,000 --> 00:26:11,000
no utilicéis U y V.

401
00:26:11,000 --> 00:26:18,000
Utilizar R, o R, como queráis, y el ángulo ticta, alfa, pi, el que os dé la gana.

402
00:26:18,000 --> 00:26:21,000
¿Por qué no utilizo U y V?

403
00:26:21,000 --> 00:26:24,000
¿Por qué no utilizo U y V?

404
00:26:24,000 --> 00:26:29,000
Porque cuando lleguemos a integrales de superficie, voy a utilizar U y V.

405
00:26:29,000 --> 00:26:32,000
Y os montáis un nío entre una y otra de mucho cuidado.

406
00:26:32,000 --> 00:26:34,000
Y todo por la maldita U y V.

407
00:26:34,000 --> 00:26:38,000
Termináis pensando que una integral de superficie es una integral en R2.

408
00:26:38,000 --> 00:26:40,000
Y la hacéis como así, en R2.

409
00:26:40,000 --> 00:26:42,000
Y, claro, se hace igual.

410
00:26:42,000 --> 00:26:45,000
O pensáis que una de R2 es una de superficie.

411
00:26:45,000 --> 00:26:46,000
Y os complicáis la vida.

412
00:26:46,000 --> 00:26:48,000
Y todo por la única U.

413
00:26:48,000 --> 00:26:53,000
Así que, siempre que me vayáis a poner R y ticta, es una integral de R2.

414
00:26:53,000 --> 00:26:57,000
Sin embargo, cuando utilicéis coordenadas polares y pongáis U y V,

415
00:26:57,000 --> 00:27:00,000
entonces será una integral de superficie.

416
00:27:00,000 --> 00:27:01,000
¿Vale?

417
00:27:01,000 --> 00:27:04,000
Parece una tontería, pero es que son integrales totalmente distintas.

418
00:27:04,000 --> 00:27:05,000
¿De acuerdo?

419
00:27:05,000 --> 00:27:06,000
Lo que estamos aquí.

420
00:27:06,000 --> 00:27:08,000
Ahora yo me tengo que hallar esto.

421
00:27:11,000 --> 00:27:15,000
A gobierno que depende de A, de R y de ticta.

422
00:27:15,000 --> 00:27:17,000
Entonces, yo tengo que derivar.

423
00:27:18,000 --> 00:27:23,000
X respecto de R y X respecto de ticta.

424
00:27:23,000 --> 00:27:25,000
Y aquí abajo, la Y.

425
00:27:31,000 --> 00:27:34,000
Estas son las dos derivadas, las cuatro derivadas que tengo.

426
00:27:36,000 --> 00:27:37,000
Pues derivamos.

427
00:27:37,000 --> 00:27:40,000
X0, Y0 son números.

428
00:27:40,000 --> 00:27:42,000
Así que cuando los derivéis, 0.

429
00:27:42,000 --> 00:27:43,000
Derivamos una constante.

430
00:27:43,000 --> 00:27:46,000
Así que si derivo esto respecto de R, pues me queda coseno de ticta.

431
00:27:48,000 --> 00:27:50,000
Y aquí me queda menos R, seno de ticta.

432
00:27:52,000 --> 00:28:00,000
Y ahora aquí me queda seno de ticta y R coseno de ticta.

433
00:28:00,000 --> 00:28:04,000
Esa es la matriz Jacobiana siempre en coordenadas polares.

434
00:28:04,000 --> 00:28:05,000
Siempre.

435
00:28:07,000 --> 00:28:10,000
Y el determinante siempre me da esto.

436
00:28:10,000 --> 00:28:11,000
Jacobiana.

437
00:28:18,000 --> 00:28:19,000
El grupo.

438
00:28:19,000 --> 00:28:23,000
R coseno cuadrado más R seno cuadrado.

439
00:28:25,000 --> 00:28:27,000
Eso es lo que da el determinante.

440
00:28:27,000 --> 00:28:33,000
R coseno cuadrado y menos por menos más R seno cuadrado.

441
00:28:35,000 --> 00:28:37,000
Por lo tanto, puedo sacar el factor común

442
00:28:38,000 --> 00:28:40,000
y coseno cuadrado más seno cuadrado es 1.

443
00:28:41,000 --> 00:28:42,000
Así que esto da R.

444
00:28:44,000 --> 00:28:46,000
El Jacobiana en coordenadas polares.

445
00:28:47,000 --> 00:28:49,000
Estas coordenadas polares.

446
00:28:50,000 --> 00:28:51,000
Siempre salen.

447
00:28:52,000 --> 00:28:54,000
Esto es lo que prefiero, que he hecho una vez.

448
00:28:54,000 --> 00:28:55,000
Pues ya está.

449
00:28:55,000 --> 00:28:57,000
Cada vez que las utilice digo, Jacobiano R.

450
00:29:00,000 --> 00:29:02,000
Última cosa que me queda antes de montar la integral.

451
00:29:03,000 --> 00:29:04,000
¿Quién es D con asterisco?

452
00:29:05,000 --> 00:29:06,000
D me lo han dado ellos.

453
00:29:08,000 --> 00:29:10,000
El círculo unidad.

454
00:29:11,000 --> 00:29:13,000
Entonces, pensar en la cabeza.

455
00:29:13,000 --> 00:29:14,000
¿Veis el círculo unidad?

456
00:29:15,000 --> 00:29:17,000
¿De dónde a dónde va a ir la R?

457
00:29:18,000 --> 00:29:23,000
Pues yo tengo que ir desde el origen de coordenadas hasta que me choque con la circunferencia de radio 1.

458
00:29:24,000 --> 00:29:28,000
O sea que R minúscula tiene que ir del tercero hasta el uno.

459
00:29:29,000 --> 00:29:30,000
Ya tengo los valores de R.

460
00:29:38,000 --> 00:29:41,000
R pertenece al intervalo D.

461
00:29:41,000 --> 00:29:42,000
¿Y el menos uno?

462
00:29:43,000 --> 00:29:44,000
¿Por abajo no...?

463
00:29:44,000 --> 00:29:45,000
No, no.

464
00:29:45,000 --> 00:29:47,000
R es siempre desde el origen al punto.

465
00:29:48,000 --> 00:29:49,000
Y R es un vector.

466
00:29:49,000 --> 00:29:50,000
Es el módulo del vector.

467
00:29:50,000 --> 00:29:51,000
R siempre es positivo.

468
00:29:52,000 --> 00:29:54,000
Te da igual que apunte hacia arriba o hacia abajo.

469
00:29:54,000 --> 00:29:57,000
O sea, tú ves un vector así, que lo vas moviendo por todo el espacio.

470
00:29:58,000 --> 00:29:59,000
Pero siempre es positivo.

471
00:30:00,000 --> 00:30:03,000
Si quieres que esté muy cerquita de la origen de coordenadas, pues cero.

472
00:30:04,000 --> 00:30:06,000
Y a medida que me voy alejando, cada vez más largo.

473
00:30:07,000 --> 00:30:10,000
Y ahora, yo quiero cubrir toda la circunferencia.

474
00:30:10,000 --> 00:30:13,000
Por lo tanto, tía, se tiene que dar una vuelta entera.

475
00:30:13,000 --> 00:30:14,000
Cuidado con esto.

476
00:30:15,000 --> 00:30:18,000
Que habrá problemas donde te dirán, quiero la integral en el primer cuadrante.

477
00:30:18,000 --> 00:30:20,000
Luego te dirá de 0 a pi medios.

478
00:30:21,000 --> 00:30:22,000
Quiero la integral en este sitio.

479
00:30:22,000 --> 00:30:24,000
Pues tened cuidado de dónde a dónde va.

480
00:30:24,000 --> 00:30:25,000
¿Vale?

481
00:30:26,000 --> 00:30:27,000
Que sería R cuadrado, ¿no?

482
00:30:27,000 --> 00:30:28,000
No.

483
00:30:28,000 --> 00:30:29,000
¿Dónde?

484
00:30:29,000 --> 00:30:30,000
¿Aquí?

485
00:30:30,000 --> 00:30:31,000
Sí.

486
00:30:33,000 --> 00:30:34,000
Coseno por R.

487
00:30:34,000 --> 00:30:37,000
¿Pero al sacar factor común se te queda con R cuadrado?

488
00:30:38,000 --> 00:30:40,000
No, porque tengo una R aquí y otra R aquí.

489
00:30:40,000 --> 00:30:41,000
Eso es lo que es un factor común.

490
00:30:42,000 --> 00:30:43,000
¿Solo R?

491
00:30:43,000 --> 00:30:44,000
Vale, sí, sí.

492
00:30:44,000 --> 00:30:45,000
¿Lo vas a estar multiplicando?

493
00:30:45,000 --> 00:30:46,000
Sí, sí.

494
00:30:46,000 --> 00:30:47,000
Venga.

495
00:30:47,000 --> 00:30:51,000
Tita, como acabo de comentar, en este ejercicio...

496
00:30:52,000 --> 00:30:54,000
...tengo que dejar que se dé una vuelta entera.

497
00:30:55,000 --> 00:30:56,000
Cero a pi.

498
00:30:57,000 --> 00:30:58,000
¿De acuerdo?

499
00:31:00,000 --> 00:31:03,000
O sea, D con asterisco es esto.

500
00:31:05,000 --> 00:31:09,000
D con asterisco, que ahora son las variables R y tita...

501
00:31:10,000 --> 00:31:11,000
...es un rectángulo.

502
00:31:12,000 --> 00:31:14,000
Lo mejor que me puede pasar.

503
00:31:19,000 --> 00:31:20,000
¿Vale?

504
00:31:20,000 --> 00:31:22,000
R va de 0 a 1.

505
00:31:22,000 --> 00:31:24,000
Tita va de 0 a 2 pi.

506
00:31:24,000 --> 00:31:26,000
Por lo tanto es un rectángulo.

507
00:31:31,000 --> 00:31:33,000
Porque R está entre dos números.

508
00:31:33,000 --> 00:31:35,000
Luego el lado es 1.

509
00:31:35,000 --> 00:31:37,000
Y tita está entre dos números.

510
00:31:37,000 --> 00:31:39,000
Que el número, si habrá R, me da igual.

511
00:31:39,000 --> 00:31:40,000
¿Vale?

512
00:31:40,000 --> 00:31:41,000
Ya no pienses en vueltas.

513
00:31:41,000 --> 00:31:45,000
Piensa que tita va desde 0 hasta la horizontal por 2 pi.

514
00:31:46,000 --> 00:31:47,000
¿Vale?

515
00:31:47,000 --> 00:31:48,000
Que eso es un número.

516
00:31:48,000 --> 00:31:49,000
¿Listo?

517
00:31:49,000 --> 00:31:51,000
A ver, hacemos la integral.

518
00:31:51,000 --> 00:31:53,000
Ya hemos hecho la parte complicada.

519
00:31:53,000 --> 00:31:55,000
Seguro que la integral no lo está.

520
00:31:59,000 --> 00:32:01,000
¿Nos han puesto esta integral?

521
00:32:04,000 --> 00:32:06,000
Y yo me cambio...

522
00:32:07,000 --> 00:32:09,000
¿Se debería poner como menos 2 pi?

523
00:32:11,000 --> 00:32:12,000
¿Menos?

524
00:32:12,000 --> 00:32:14,000
No, menos igual.

525
00:32:14,000 --> 00:32:16,000
Ah, dice que lo de menor igual.

526
00:32:17,000 --> 00:32:19,000
Es que esto de aquí se lo que pasa, que me sale solo.

527
00:32:20,000 --> 00:32:21,000
Da lo mismo.

528
00:32:21,000 --> 00:32:24,000
A ver, da lo mismo ponerlo abierto o cerrado, porque esto es una integral.

529
00:32:24,000 --> 00:32:28,000
Y el último borde de la integral no va a ningún sitio.

530
00:32:28,000 --> 00:32:30,000
Así que aquí sí, porque por la costumbre.

531
00:32:30,000 --> 00:32:31,000
Cerrarlo.

532
00:32:32,000 --> 00:32:33,000
¿Vale?

533
00:32:33,000 --> 00:32:34,000
Aquí en integral es cerrarlo.

534
00:32:34,000 --> 00:32:35,000
¿Vale?

535
00:32:35,000 --> 00:32:37,000
Pero que si lo dejáis abierto, tampoco va a ser nada.

536
00:32:37,000 --> 00:32:39,000
La integral es exactamente la misma.

537
00:32:39,000 --> 00:32:40,000
¿Vale?

538
00:32:40,000 --> 00:32:42,000
Entonces, 0, 1...

539
00:32:46,000 --> 00:32:47,000
0, 2 pi.

540
00:32:47,000 --> 00:32:51,000
Yo pongo este orden, pero podría haber puesto el orden al contrario.

541
00:32:51,000 --> 00:32:53,000
Porque los 4 son numericos.

542
00:32:53,000 --> 00:32:54,000
¿Vale?

543
00:32:55,000 --> 00:32:57,000
Ahora yo tengo aquí una x.

544
00:32:57,000 --> 00:32:58,000
Eso hay que cambiarlo.

545
00:32:58,000 --> 00:33:00,000
¿Por qué hay que cambiarlo?

546
00:33:00,000 --> 00:33:04,000
Porque x es r coseno de eta.

547
00:33:04,000 --> 00:33:08,000
Tened en cuenta que en este problema, x sub 0 e y sub 0 son 0.

548
00:33:08,000 --> 00:33:12,000
Porque esta circunferencia está centrada en el origen de coordenados.

549
00:33:12,000 --> 00:33:15,000
Así que x sub 0, y sub 0, 0.

550
00:33:15,000 --> 00:33:17,000
Luego solo tengo que poner r coseno.

551
00:33:19,000 --> 00:33:21,000
Lo pongo así, para que no se os olvide.

552
00:33:22,000 --> 00:33:29,000
Que en este ejercicio, el círculo o la circunferencia está centrada en el origen de coordenados.

553
00:33:29,000 --> 00:33:31,000
En otro, no lo está.

554
00:33:33,000 --> 00:33:34,000
Por el zacobiano.

555
00:33:34,000 --> 00:33:35,000
Por este.

556
00:33:37,000 --> 00:33:41,000
Y ahora, diferencial de theta, diferencial de r.

557
00:33:43,000 --> 00:33:44,000
Entonces...

558
00:33:46,000 --> 00:33:48,000
Puedo empezar integrando r.

559
00:33:48,000 --> 00:33:50,000
Puedo empezar integrando theta.

560
00:33:50,000 --> 00:33:58,000
O, como r y theta no están mezclados, puedo integrar cada uno de ellos por separado y los multiplico.

561
00:33:58,000 --> 00:33:59,000
Y eso es lo que voy a hacer.

562
00:34:00,000 --> 00:34:03,000
Yo tengo aquí r al cuadrado.

563
00:34:03,000 --> 00:34:05,000
Todos sabemos integrar r al cuadrado.

564
00:34:06,000 --> 00:34:08,000
Así que, r al cubo, tercios.

565
00:34:12,000 --> 00:34:14,000
Entre 0 y 1.

566
00:34:16,000 --> 00:34:20,000
Y ahora, lo siguiente, tengo que integrar el coseno de eta.

567
00:34:20,000 --> 00:34:21,000
Seno de eta.

568
00:34:25,000 --> 00:34:27,000
Entre 0 y 2.000.

569
00:34:29,000 --> 00:34:31,000
Bueno, lo tenemos terminado.

570
00:34:31,000 --> 00:34:33,000
Porque este integral da 0.

571
00:34:33,000 --> 00:34:34,000
Porque esto es 0.

572
00:34:35,000 --> 00:34:37,000
Seno de 2pi es 0.

573
00:34:37,000 --> 00:34:39,000
Y seno de 0 es 0.

574
00:34:39,000 --> 00:34:42,000
Así que no me molesto en calcular lo otro, aunque es un tercio.

575
00:34:43,000 --> 00:34:44,000
0.

576
00:34:46,000 --> 00:34:47,000
¿Vale?

577
00:34:47,000 --> 00:34:50,000
Este tipo de integral, pues así puede salir lo que quiera.

578
00:34:50,000 --> 00:34:52,000
Positiva, negativa o 0.

579
00:34:53,000 --> 00:34:54,000
¿Vale?

580
00:34:56,000 --> 00:34:57,000
Exacto.

581
00:34:58,000 --> 00:35:02,000
Para hacer el problema de Rubiniagos, prácticamente puedo decir que hago la integral como me dé la gana.

582
00:35:03,000 --> 00:35:04,000
¿Vale?

583
00:35:05,000 --> 00:35:09,000
Cuidado con aquellas en las que las variables estén mezcladas.

584
00:35:10,000 --> 00:35:17,000
Si tenéis las variables r y theta mezcladas, casi siempre conviene empezar integrando theta.

585
00:35:17,000 --> 00:35:19,000
Porque muchas veces pasa esto.

586
00:35:20,000 --> 00:35:24,000
Como te das una vuelta entera, la trigonometría desaparece.

587
00:35:24,000 --> 00:35:26,000
Vale, tengo aquí seno de theta.

588
00:35:26,000 --> 00:35:28,000
Y luego tienes un mogollón así en r.

589
00:35:28,000 --> 00:35:31,000
Claro, si tengo primero theta, me sale seno de theta entre 2pi0.

590
00:35:32,000 --> 00:35:35,000
Y ahora me voy a seguir integrando, porque la integral de 0 siempre es 0.

591
00:35:35,000 --> 00:35:38,000
Así que normalmente funciona muy bien empezar integrando el ángulo.

592
00:35:39,000 --> 00:35:41,000
A lo mejor en otro caso, ¿no?

593
00:35:41,000 --> 00:35:44,000
Fijaros que este, si en vez de dar una vuelta entera, hubiese dicho

594
00:35:44,000 --> 00:35:47,000
No, quiero que te lo calcules solo en el primer cuadrante.

595
00:35:48,000 --> 00:35:50,000
Claro, esto de aquí ya no sería 2pi.

596
00:35:50,000 --> 00:35:52,000
Sería pi medios.

597
00:35:52,000 --> 00:35:55,000
Aquí pondría pi medios y seno de pi medios es 1.

598
00:35:55,000 --> 00:35:57,000
Ya no es 0 de integral.

599
00:35:57,000 --> 00:35:58,000
¿Vale?

600
00:35:59,000 --> 00:36:00,000
¿Lo habéis visto?

601
00:36:00,000 --> 00:36:02,000
¿De acuerdo? ¿Cómo va?

602
00:36:02,000 --> 00:36:05,000
Cambio a polares y 2.

603
00:36:06,000 --> 00:36:07,000
Bien.

604
00:36:10,000 --> 00:36:14,000
Otra cosa muy importante con este tipo de integrales.

605
00:36:15,000 --> 00:36:17,000
Me ha puesto ahora últimamente muy de moda.

606
00:36:18,000 --> 00:36:22,000
El que os pone una integral y os dice 2pi.

607
00:36:23,000 --> 00:36:26,000
Y resulta que no se puede calcularla.

608
00:36:27,000 --> 00:36:32,000
Porque el truco está en no puedo calcularla como ellos me dicen.

609
00:36:33,000 --> 00:36:36,000
Pero si cambio el tipo de dominio, puedo hacerlo.

610
00:36:36,000 --> 00:36:38,000
Así que al calcular siempre se hace un dominio.

611
00:36:39,000 --> 00:36:42,000
Ellos os ponen una integral, por ejemplo, con un dominio tipo 1.

612
00:36:42,000 --> 00:36:44,000
O sea, que y depende de x.

613
00:36:45,000 --> 00:36:46,000
No lo pienses, ¿vale?

614
00:36:46,000 --> 00:36:48,000
Pero imaginaos que os ponen algo así.

615
00:36:55,000 --> 00:36:56,000
Te ponen algo así, ¿no?

616
00:36:57,000 --> 00:37:02,000
Y entonces tú empiezas y dices, lo primero que tengo que hacer es integrar la y.

617
00:37:02,000 --> 00:37:03,000
¿Vale?

618
00:37:03,000 --> 00:37:06,000
Pero es que la y no la puedo integrar.

619
00:37:06,000 --> 00:37:11,000
Porque e elevado a y elevado al cuadrado no se puede integrar.

620
00:37:11,000 --> 00:37:14,000
Porque no hay ninguna función que cuando la derive me dé esto.

621
00:37:14,000 --> 00:37:16,000
Me falta la derivada de lo de arriba.

622
00:37:16,000 --> 00:37:17,000
Regla de la cadena.

623
00:37:17,000 --> 00:37:20,000
O sea que por lo menos aquí delante me falta una y.

624
00:37:20,000 --> 00:37:25,000
Entonces ellos te han montado los límites de integración para que tú no puedas hacerlo.

625
00:37:25,000 --> 00:37:29,000
Pero tú te das cuenta que ellos lo han puesto como un dominio, por ejemplo, tipo 1.

626
00:37:29,000 --> 00:37:30,000
¿Vale?

627
00:37:30,000 --> 00:37:32,000
Y quieren que primero integre la y.

628
00:37:32,000 --> 00:37:33,000
Bueno, pues lo cambio.

629
00:37:34,000 --> 00:37:36,000
Cambio mi dibujo a dominio tipo 2.

630
00:37:36,000 --> 00:37:39,000
Y entonces empiezo integrando la x.

631
00:37:39,000 --> 00:37:43,000
Y me doy cuenta que al hacer el dominio tipo 2, la x va de aquí a aquí.

632
00:37:45,000 --> 00:37:51,000
Y claro, como lo primero que hago es integrar x, esta integral se convierte en esta.

633
00:37:56,000 --> 00:38:00,000
Y esta y, perdón, esta x va de 0 a y.

634
00:38:00,000 --> 00:38:02,000
Aquí no hay ninguna x.

635
00:38:02,000 --> 00:38:04,000
Todo lo que no sea una x es una constante.

636
00:38:04,000 --> 00:38:06,000
Así lo podemos sacar por la integral.

637
00:38:06,000 --> 00:38:08,000
Así que integro el diferencial de x.

638
00:38:08,000 --> 00:38:10,000
Entre 0 y y.

639
00:38:10,000 --> 00:38:11,000
Ya tengo la y.

640
00:38:16,000 --> 00:38:18,000
Y ahora ya me da igual de dónde a dónde vaya la y.

641
00:38:18,000 --> 00:38:20,000
Esa ya se puede hacer.

642
00:38:20,000 --> 00:38:21,000
¿Vale?

643
00:38:21,000 --> 00:38:25,000
Así que voy a poner algo así como aplicaciones y voy a contaros dos.

644
00:38:25,000 --> 00:38:27,000
Una es esta, os lo escribo bien.

645
00:38:27,000 --> 00:38:30,000
Porque ya digo que últimamente me lo están preguntando bastante.

646
00:38:30,000 --> 00:38:33,000
En casi todos los grados siempre se me pasa alguna de...

647
00:38:33,000 --> 00:38:35,000
Oye, ¿y esta integral me la hace esta?

648
00:38:35,000 --> 00:38:38,000
A veces, a ver, son legales y te dicen en el enunciado.

649
00:38:38,000 --> 00:38:40,000
Cambiando el tipo de dominio a esta integral.

650
00:38:40,000 --> 00:38:44,000
Entonces ya te están diciendo, ojo, que tal como la he puesto no se puede.

651
00:38:44,000 --> 00:38:46,000
Pero hay otro que no es, hazlo.

652
00:38:46,000 --> 00:38:48,000
Y claro, tú dices, ¿qué si no puedo?

653
00:38:48,000 --> 00:38:50,000
Vale, pues ya sabéis lo que tenéis que hacer.

654
00:38:50,000 --> 00:38:51,000
Aplicaciones.

655
00:38:58,000 --> 00:38:59,000
Sí.

656
00:39:02,000 --> 00:39:03,000
Esta integral.

657
00:39:05,000 --> 00:39:07,000
La aplicación de las normas.

658
00:39:07,000 --> 00:39:08,000
La integración.

659
00:39:08,000 --> 00:39:10,000
La integración de las dificultades.

660
00:39:13,000 --> 00:39:14,000
El término.

661
00:39:14,000 --> 00:39:16,000
Una serie de actividades.

662
00:39:25,000 --> 00:39:26,000
La integración.

663
00:39:26,000 --> 00:39:28,000
La integración de las normas.

664
00:39:28,000 --> 00:39:29,000
La integración práctica.

665
00:39:29,000 --> 00:39:30,000
La integración.

666
00:39:30,000 --> 00:39:32,000
La integración de las normas.

667
00:39:32,000 --> 00:39:34,000
La integración práctica.

668
00:39:35,000 --> 00:39:36,000
Gracias.

669
00:39:47,000 --> 00:39:50,000
Aunque pongáis algo así, ya sabéis a qué nos referimos.

670
00:39:54,000 --> 00:39:56,000
Vale, siempre lo mismo, ¿eh?

671
00:39:56,000 --> 00:39:58,000
Ellos te lo ponen como tipo 1, tú lo pones como tipo 2.

672
00:39:58,000 --> 00:40:00,000
Ellos lo ponen como tipo 2, tú lo pones como tipo 1.

673
00:40:05,000 --> 00:40:06,000
¿Vale?

674
00:40:08,000 --> 00:40:10,000
Y luego, segunda aplicación.

675
00:40:11,000 --> 00:40:13,000
Que también la preguntan mucho.

676
00:40:13,000 --> 00:40:14,000
Es lo siguiente.

677
00:40:15,000 --> 00:40:16,000
Dado el dominio.

678
00:40:23,000 --> 00:40:25,000
Nos piden calcular su área.

679
00:40:34,000 --> 00:40:42,000
Todas esas integrales en mates 1 y en el bachillerato que habéis estado hallando de área bajo la curva, pasaron a la historia.

680
00:40:42,000 --> 00:40:45,000
Ahora cada vez que me halle un área, lo hago de esta manera.

681
00:40:45,000 --> 00:40:49,000
No tengo que estar ahí dibujando y a ver de dónde a dónde va y cosas de esas.

682
00:40:49,000 --> 00:40:54,000
Yo solo tengo que integrar siempre el número 1.

683
00:40:57,000 --> 00:40:59,000
Sobre el dominio B.

684
00:41:00,000 --> 00:41:04,000
Siempre tengo que integrar el número 1 sobre el dominio C.

685
00:41:04,000 --> 00:41:06,000
Sin excepción.

686
00:41:13,000 --> 00:41:14,000
Vale.

687
00:41:15,000 --> 00:41:18,000
Entonces ahora me voy a calcular el área de una elipse.

688
00:41:19,000 --> 00:41:20,000
Utilizando esto.

689
00:41:21,000 --> 00:41:26,000
Porque así os cuento cuáles son las coordenadas polares que tenéis que utilizar si os ponen una elipse.

690
00:41:26,000 --> 00:41:30,000
Porque hay que hacer una pequeña variación con respecto a las que os acabo de dar.

691
00:41:30,000 --> 00:41:32,000
O sea, las que os he dado ahora.

692
00:41:32,000 --> 00:41:34,000
Todo lo que tenga pinta de círculo.

693
00:41:34,000 --> 00:41:37,000
Y ahora vais a ver que la de la elipse es cambiar una cosita.

694
00:41:37,000 --> 00:41:39,000
Y ya me recuerda.

695
00:41:39,000 --> 00:41:40,000
Vale.

696
00:41:40,000 --> 00:41:42,000
Estamos aquí.

697
00:41:42,000 --> 00:41:43,000
Ejemplo.

698
00:41:49,000 --> 00:41:50,000
Ejemplo.

699
00:41:51,000 --> 00:41:52,000
Ejemplo.

700
00:41:57,000 --> 00:41:58,000
Calcular.

701
00:42:08,000 --> 00:42:10,000
El área de la elipse.

702
00:42:10,000 --> 00:42:12,000
El área de la elipse.

703
00:42:17,000 --> 00:42:20,000
Os pongo aquí la ecuación canónica de la elipse.

704
00:42:24,000 --> 00:42:26,000
Centro x, y 0.

705
00:42:26,000 --> 00:42:28,000
Semillajes A y B.

706
00:42:30,000 --> 00:42:32,000
Esa es la ecuación canónica de una elipse.

707
00:42:32,000 --> 00:42:35,000
Normalmente x, y 0 suelen ser 0.

708
00:42:35,000 --> 00:42:37,000
Pero no tiene por qué ser 0.

709
00:42:41,000 --> 00:42:45,000
Bueno, pues si yo me quiero hallar el área de una elipse, tengo que hacer esto.

710
00:42:46,000 --> 00:42:47,000
Tengo que calcular...

711
00:42:50,000 --> 00:42:52,000
...la integral del número 1...

712
00:42:53,000 --> 00:42:55,000
...sobre mi dominio D.

713
00:42:55,000 --> 00:42:57,000
Donde D es la elipse.

714
00:43:02,000 --> 00:43:04,000
Bueno, pues nos cambiamos...

715
00:43:04,000 --> 00:43:06,000
...a coordenadas...

716
00:43:06,000 --> 00:43:08,000
...por A y para la elipse.

717
00:43:35,000 --> 00:43:37,000
Y estas coordenadas son así.

718
00:43:42,000 --> 00:43:45,000
A por R por coseno de D.

719
00:43:46,000 --> 00:43:47,000
Eso es lo que cambia.

720
00:43:47,000 --> 00:43:50,000
El eje de las X tengo que multiplicar por una A.

721
00:43:50,000 --> 00:43:53,000
Porque el semilleje de las X...

722
00:43:54,000 --> 00:43:55,000
...es una A.

723
00:43:55,000 --> 00:43:57,000
Así que el numerito que pongan aquí...

724
00:43:57,000 --> 00:43:59,000
...le sacan la raíz cuadrada...

725
00:43:59,000 --> 00:44:01,000
...y ese es el numerito que hay que poner aquí.

726
00:44:01,000 --> 00:44:03,000
Que esto es un 9, pues aquí se pone un 3.

727
00:44:03,000 --> 00:44:06,000
Que esto es un 7, pues aquí se pone raíz de 7.

728
00:44:06,000 --> 00:44:08,000
¿Vale? Normalmente ponen números enteros.

729
00:44:08,000 --> 00:44:10,000
25, 16, cosas así.

730
00:44:11,000 --> 00:44:12,000
La A.

731
00:44:13,000 --> 00:44:15,000
Lo mismo, pero con la B.

732
00:44:19,000 --> 00:44:22,000
El numerito que tengáis ahí dividiendo en cuadrados...

733
00:44:22,000 --> 00:44:24,000
...ese hay que ponerle 2.

734
00:44:25,000 --> 00:44:26,000
Y ahora miradlo.

735
00:44:26,000 --> 00:44:28,000
Eso está cubierto.

736
00:44:28,000 --> 00:44:29,000
Y ahora miradlo.

737
00:44:29,000 --> 00:44:31,000
Eso está cubierto.

738
00:44:31,000 --> 00:44:33,000
Que siempre es el mismo.

739
00:44:34,000 --> 00:44:36,000
Así que lo hallamos una vez...

740
00:44:36,000 --> 00:44:38,000
...y ya no hay que hacerlo más.

741
00:44:51,000 --> 00:44:52,000
¿Derivamos?

742
00:44:53,000 --> 00:44:55,000
Derivo respecto de X...

743
00:44:55,000 --> 00:44:56,000
...y me...

744
00:44:56,000 --> 00:44:57,000
...perdón, respecto de X.

745
00:44:57,000 --> 00:44:58,000
Respecto de R.

746
00:44:59,000 --> 00:45:00,000
Queda así.

747
00:45:01,000 --> 00:45:02,000
Respecto de A.

748
00:45:04,000 --> 00:45:05,000
Respecto de R.

749
00:45:08,000 --> 00:45:09,000
Y respecto de A.

750
00:45:12,000 --> 00:45:14,000
Ahí tenemos la matriz Jacobian.

751
00:45:16,000 --> 00:45:18,000
Y ahora ensayamos el determinante.

752
00:45:19,000 --> 00:45:20,000
Jacobian.

753
00:45:24,000 --> 00:45:25,000
A por B por R...

754
00:45:26,000 --> 00:45:27,000
...coseno cuadrado.

755
00:45:29,000 --> 00:45:30,000
Más...

756
00:45:31,000 --> 00:45:32,000
A por B por R...

757
00:45:33,000 --> 00:45:34,000
...seno cuadrado.

758
00:45:36,000 --> 00:45:39,000
Ahora puedo sacar factor común A por B por R.

759
00:45:40,000 --> 00:45:42,000
Y nos queda coseno cuadrado más seno cuadrado...

760
00:45:42,000 --> 00:45:43,000
...que todos sabemos que es 1.

761
00:45:45,000 --> 00:45:47,000
Por tanto, este es el Jacobian.

762
00:45:48,000 --> 00:45:50,000
Siempre en una luz A por B por R.

763
00:45:51,000 --> 00:45:54,000
Cuando utilizo las coordenadas polares normales y correctas...

764
00:45:55,000 --> 00:45:56,000
...lo siguiente es R.

765
00:46:02,000 --> 00:46:03,000
¿De acuerdo?

766
00:46:04,000 --> 00:46:06,000
Ahora necesito los límites...

767
00:46:06,000 --> 00:46:07,000
...de R...

768
00:46:07,000 --> 00:46:08,000
...quizá.

769
00:46:09,000 --> 00:46:11,000
O sea, tengo que poner, tienes ahora...

770
00:46:11,000 --> 00:46:12,000
...D con asterisco.

771
00:46:12,000 --> 00:46:13,000
Muy bien.

772
00:46:14,000 --> 00:46:15,000
D con asterisco...

773
00:46:18,000 --> 00:46:19,000
...es...

774
00:46:21,000 --> 00:46:23,000
Yo quiero cubrir toda la lista.

775
00:46:23,000 --> 00:46:24,000
Bueno, pues R...

776
00:46:24,000 --> 00:46:26,000
...con estas coordenadas...

777
00:46:27,000 --> 00:46:29,000
...siempre va de 0 a 1.

778
00:46:29,000 --> 00:46:30,000
Siempre.

779
00:46:30,000 --> 00:46:32,000
A ver, no es siempre eso que os gustan tanto.

780
00:46:33,000 --> 00:46:34,000
Pero con estas.

781
00:46:34,000 --> 00:46:35,000
Como ponga otras...

782
00:46:36,000 --> 00:46:37,000
...para calcular un elipse...

783
00:46:37,000 --> 00:46:38,000
...vededos a ver.

784
00:46:39,000 --> 00:46:40,000
Si utilizáis estas...

785
00:46:40,000 --> 00:46:42,000
...R va siempre de 0 a 1.

786
00:46:47,000 --> 00:46:48,000
Y luego, el ángulo...

787
00:46:48,000 --> 00:46:51,000
...pues depende de la parte de elipse que estemos cogiendo.

788
00:46:51,000 --> 00:46:52,000
Aquí la estoy cogiendo entera...

789
00:46:52,000 --> 00:46:53,000
...por lo que quiero hallar...

790
00:46:53,000 --> 00:46:55,000
...todo el área del elipse.

791
00:46:55,000 --> 00:46:57,000
Así que como me quiero hallar toda...

792
00:46:57,000 --> 00:46:59,000
...tengo que dejar que quita...

793
00:47:00,000 --> 00:47:02,000
...de una vuelta entera.

794
00:47:02,000 --> 00:47:04,000
Si me queríais en la cuarta parte...

795
00:47:04,000 --> 00:47:05,000
...pues de 0 a 1.

796
00:47:05,000 --> 00:47:06,000
Si me queríais en la mitad...

797
00:47:06,000 --> 00:47:07,000
...pues de 0 a 1.

798
00:47:07,000 --> 00:47:08,000
Lo que digo.

799
00:47:09,000 --> 00:47:10,000
¿Vale?

800
00:47:11,000 --> 00:47:13,000
Pues ya lo tengo todo para sustituirlo aquí.

801
00:47:14,000 --> 00:47:15,000
Así que...

802
00:47:15,000 --> 00:47:16,000
...el área de los anténidos...

803
00:47:22,000 --> 00:47:23,000
...es...

804
00:47:24,000 --> 00:47:25,000
...la integral...

805
00:47:25,000 --> 00:47:26,000
...entre 0 y 1...

806
00:47:27,000 --> 00:47:28,000
...la integral...

807
00:47:28,000 --> 00:47:29,000
...entre 0 y 2 pi.

808
00:47:30,000 --> 00:47:32,000
Eso solo limita la integración.

809
00:47:32,000 --> 00:47:34,000
Tengo dentro un número 1...

810
00:47:34,000 --> 00:47:36,000
...así que no tengo nada que sustituir dentro...

811
00:47:36,000 --> 00:47:38,000
...porque no puedo sustituir en el número 1.

812
00:47:38,000 --> 00:47:40,000
Ya no le pongo el número 1.

813
00:47:40,000 --> 00:47:42,000
Tengo que poner el Jacobiano...

814
00:47:42,000 --> 00:47:43,000
...que no se olvide...

815
00:47:43,000 --> 00:47:44,000
...que esto es un cambio variable.

816
00:47:44,000 --> 00:47:46,000
Luego, cuando estoy haciendo un cambio variable...

817
00:47:46,000 --> 00:47:48,000
...siempre hay que multiplicar con el Jacobiano.

818
00:47:49,000 --> 00:47:50,000
A por B por R.

819
00:47:51,000 --> 00:47:53,000
A por B por R.

820
00:47:54,000 --> 00:47:55,000
Diferencial de theta...

821
00:47:55,000 --> 00:47:56,000
...diferencial de R.

822
00:47:57,000 --> 00:48:00,000
Juanjo, ¿podrías decir por qué de asterisco es esto?

823
00:48:00,000 --> 00:48:02,000
De asterisco es esto...

824
00:48:02,000 --> 00:48:04,000
...porque con estos cambios de variable...

825
00:48:04,000 --> 00:48:06,000
...R siempre va de 0 a 1...

826
00:48:06,000 --> 00:48:07,000
...en la elipse.

827
00:48:08,000 --> 00:48:09,000
Y con este cambio.

828
00:48:09,000 --> 00:48:10,000
Siempre.

829
00:48:11,000 --> 00:48:13,000
Y como me quiero dar una vuelta entera en la elipse...

830
00:48:13,000 --> 00:48:15,000
...theta, tengo que dejar que dé una vuelta entera.

831
00:48:15,000 --> 00:48:17,000
O sea, que es como en el ejemplo anterior del círculo.

832
00:48:17,000 --> 00:48:18,000
Exacto.

833
00:48:19,000 --> 00:48:21,000
Bueno, en el ejemplo anterior íbamos de 0 a 1...

834
00:48:21,000 --> 00:48:22,000
...porque radio es radio.

835
00:48:22,000 --> 00:48:24,000
Si el radio del círculo hubiese sido 9...

836
00:48:24,000 --> 00:48:26,000
...pues habría dicho de 0 a 9.

837
00:48:26,000 --> 00:48:29,000
Aquí, sin embargo, sea como sea la elipse...

838
00:48:29,000 --> 00:48:31,000
...siempre vas de 0 a 1.

839
00:48:31,000 --> 00:48:33,000
Da igual que la elipse sea chiquitita...

840
00:48:33,000 --> 00:48:35,000
...que esté en vertical, que esté en horizontal...

841
00:48:35,000 --> 00:48:36,000
...que sea súper grande...

842
00:48:36,000 --> 00:48:37,000
...darme igual.

843
00:48:37,000 --> 00:48:39,000
Porque ya he puesto A y B.

844
00:48:39,000 --> 00:48:42,000
Ya tengo en cuenta la longitud de los ejes.

845
00:48:42,000 --> 00:48:44,000
Por eso es que siempre va de 0 a 1.

846
00:48:44,000 --> 00:48:45,000
Bien.

847
00:48:45,000 --> 00:48:47,000
En el anterior ejercicio dijimos que estaba...

848
00:48:47,000 --> 00:48:48,000
...de 0 a 9.

849
00:48:48,000 --> 00:48:51,000
¿Puede ser que también quede un radio de 3 a 9?

850
00:48:51,000 --> 00:48:53,000
Entonces sería una corona.

851
00:48:53,000 --> 00:48:54,000
Sí, lo puedes hacer.

852
00:48:54,000 --> 00:48:55,000
Es igual.

853
00:48:55,000 --> 00:48:58,000
Entonces tú dices que R va de 3 a 9.

854
00:48:58,000 --> 00:49:00,000
Y cubres la corona.

855
00:49:00,000 --> 00:49:02,000
Es cuando te ponen a 2.

856
00:49:03,000 --> 00:49:05,000
¿Y te lo están viendo?

857
00:49:06,000 --> 00:49:11,000
Calcúlate la integral de I en C sobre la corona circular...

858
00:49:11,000 --> 00:49:14,000
...radio menor 3, radio mayor 9.

859
00:49:14,000 --> 00:49:16,000
Pues entonces R', tú dices...

860
00:49:16,000 --> 00:49:18,000
...que empiezan 3, terminan 9.

861
00:49:18,000 --> 00:49:20,000
Como me quiero dar una vuelta entera...

862
00:49:20,000 --> 00:49:22,000
...el ángulo, pero de aquí.

863
00:49:22,000 --> 00:49:23,000
Venga.

864
00:49:23,000 --> 00:49:24,000
¿Vale?

865
00:49:24,000 --> 00:49:25,000
Bien.

866
00:49:26,000 --> 00:49:28,000
Hacemos esta integral, que es de coña.

867
00:49:28,000 --> 00:49:30,000
Ahí ves los números.

868
00:49:30,000 --> 00:49:32,000
Luego R cuadrado medios...

869
00:49:33,000 --> 00:49:35,000
...la integral de R...

870
00:49:38,000 --> 00:49:40,000
...entre 0 y 1.

871
00:49:41,000 --> 00:49:46,000
Y como no hay tita, tengo que integrar la diferencial de tita, que es tita.

872
00:49:48,000 --> 00:49:50,000
Entre 0 y 2pi.

873
00:49:52,000 --> 00:49:57,000
Así que me queda AB por 1 medio por 2pi.

874
00:49:57,000 --> 00:49:59,000
Simplifico el 2 con el 1 medio.

875
00:49:59,000 --> 00:50:01,000
Y este será el área de una lista.

876
00:50:01,000 --> 00:50:03,000
Pi por A por B.

877
00:50:06,000 --> 00:50:08,000
Cuando A y B son iguales...

878
00:50:08,000 --> 00:50:10,000
...tenemos una circunferencia.

879
00:50:10,000 --> 00:50:12,000
Y entonces me queda pi por R cuadrado...

880
00:50:12,000 --> 00:50:14,000
...el área del círculo.

881
00:50:15,000 --> 00:50:16,000
¿Vale?

882
00:50:17,000 --> 00:50:19,000
Esto es un ejemplo muy sencillo...

883
00:50:19,000 --> 00:50:20,000
...de...

884
00:50:20,000 --> 00:50:22,000
...cómo me piden áreas de cosas.

885
00:50:24,000 --> 00:50:26,000
Vamos a tirar ahora de...

886
00:50:26,000 --> 00:50:27,000
...exámenes...

887
00:50:27,000 --> 00:50:28,000
...y...

888
00:50:28,000 --> 00:50:30,000
...veis en un momento las cosas de verdad.

889
00:50:40,000 --> 00:50:42,000
...

890
00:50:42,000 --> 00:50:44,000
...

891
00:50:44,000 --> 00:50:46,000
...

892
00:50:46,000 --> 00:50:48,000
...

893
00:50:48,000 --> 00:50:50,000
...

894
00:50:50,000 --> 00:50:52,000
...

895
00:50:52,000 --> 00:50:54,000
...

896
00:50:54,000 --> 00:50:56,000
...

897
00:50:56,000 --> 00:50:58,000
...

898
00:50:58,000 --> 00:51:00,000
Este...

899
00:51:00,000 --> 00:51:02,000
...le preguntaron la energía...

900
00:51:02,000 --> 00:51:04,000
...eh...

901
00:51:04,000 --> 00:51:06,000
...uno del 22.

902
00:51:10,000 --> 00:51:12,000
Os escribo aquí solo el primer apartado...

903
00:51:12,000 --> 00:51:14,000
...porque el segundo apartado es calcular un volumen...

904
00:51:14,000 --> 00:51:16,000
...ahora vamos a meternos con las...

905
00:51:16,000 --> 00:51:18,000
...enumeraciones de MP3...

906
00:51:18,000 --> 00:51:20,000
...y es donde tenemos calculados los volúmenes, ¿vale?

907
00:51:20,000 --> 00:51:22,000
Y luego lo hacemos en el apartado.

908
00:51:22,000 --> 00:51:24,000
Entonces, apartado...

909
00:51:24,000 --> 00:51:26,000
...lo único que pone por aquí arriba...

910
00:51:26,000 --> 00:51:28,000
...es la fecha...

911
00:51:30,000 --> 00:51:32,000
...

912
00:51:32,000 --> 00:51:34,000
...

913
00:51:34,000 --> 00:51:36,000
...21 del sitio 22.

914
00:51:36,000 --> 00:51:38,000
Ejercicio número 5.

915
00:51:42,000 --> 00:51:44,000
Y bueno...

916
00:51:44,000 --> 00:51:46,000
...en las siguientes integrales...

917
00:52:02,000 --> 00:52:04,000
...además de obtener...

918
00:52:06,000 --> 00:52:08,000
...

919
00:52:12,000 --> 00:52:14,000
...el valor requerido...

920
00:52:14,000 --> 00:52:16,000
...por representa...

921
00:52:18,000 --> 00:52:20,000
...y o...

922
00:52:22,000 --> 00:52:24,000
...describe...

923
00:52:32,000 --> 00:52:34,000
...el recinto de integración.

924
00:52:34,000 --> 00:52:36,000
El dibujito que os he dicho...

925
00:52:36,000 --> 00:52:38,000
...que normalmente...

926
00:52:38,000 --> 00:52:40,000
...lo que...

927
00:52:40,000 --> 00:52:42,000
...según sea, conveniente.

928
00:52:50,000 --> 00:52:52,000
Y bien...

929
00:52:52,000 --> 00:52:54,000
...apartado ahora...

930
00:52:54,000 --> 00:52:56,000
...este integrado.

931
00:52:56,000 --> 00:52:58,000
...

932
00:52:58,000 --> 00:53:00,000
...

933
00:53:02,000 --> 00:53:04,000
...

934
00:53:04,000 --> 00:53:06,000
...

935
00:53:06,000 --> 00:53:08,000
...

936
00:53:08,000 --> 00:53:10,000
...

937
00:53:10,000 --> 00:53:12,000
...así.

938
00:53:12,000 --> 00:53:14,000
La integral...

939
00:53:14,000 --> 00:53:16,000
...entre 0...

940
00:53:16,000 --> 00:53:18,000
...y 1...

941
00:53:18,000 --> 00:53:20,000
...de la integral...

942
00:53:22,000 --> 00:53:24,000
...así...

943
00:53:26,000 --> 00:53:28,000
...

944
00:53:28,000 --> 00:53:30,000
...

945
00:53:30,000 --> 00:53:32,000
...

946
00:53:32,000 --> 00:53:34,000
...

947
00:53:34,000 --> 00:53:36,000
...

948
00:53:36,000 --> 00:53:38,000
...

949
00:53:38,000 --> 00:53:40,000
de...

950
00:53:40,000 --> 00:53:42,000
...

951
00:53:42,000 --> 00:53:44,000
...

952
00:53:44,000 --> 00:53:46,000
...

953
00:53:46,000 --> 00:53:48,000
al topar...

954
00:53:52,000 --> 00:53:54,000
...ésta la integramos...

955
00:53:54,000 --> 00:53:56,000
¿Vale?

956
00:53:56,000 --> 00:53:58,000
Para no ser cortadas, lo primero...

957
00:53:58,000 --> 00:54:00,000
...vamos a representar...

958
00:54:00,000 --> 00:54:02,000
...entonces, D como tal no aparece en el enunciado...

959
00:54:02,000 --> 00:54:04,000
...tengo que fijarme en los límites de integración...

960
00:54:04,000 --> 00:54:06,000
...y yo ser capaz de sacar quien es D...

961
00:54:06,000 --> 00:54:08,000
...y representarlo...

962
00:54:08,000 --> 00:54:10,000
...entonces...

963
00:54:10,000 --> 00:54:12,000
...mirando los límites de integración...

964
00:54:12,000 --> 00:54:14,000
...D...

965
00:54:14,000 --> 00:54:16,000
...

966
00:54:16,000 --> 00:54:18,000
...es...

967
00:54:18,000 --> 00:54:20,000
...fijaos que...

968
00:54:20,000 --> 00:54:22,000
...X es la primera que tengo que integrar...

969
00:54:22,000 --> 00:54:24,000
...y depende de Y...

970
00:54:24,000 --> 00:54:26,000
...luego yo tengo...

971
00:54:26,000 --> 00:54:28,000
...X en función de Y...

972
00:54:28,000 --> 00:54:30,000
...y luego Y...

973
00:54:30,000 --> 00:54:32,000
...que es la segunda que tengo...

974
00:54:32,000 --> 00:54:34,000
...dos numeritos...

975
00:54:34,000 --> 00:54:36,000
...así que me han puesto el dominio con un dominio tipo 2...

976
00:54:36,000 --> 00:54:38,000
...así es como me lo han puesto...

977
00:54:38,000 --> 00:54:40,000
...pues así es como lo voy a representar...

978
00:54:40,000 --> 00:54:42,000
...¿Vale? Este dominio...

979
00:54:42,000 --> 00:54:44,000
...es tipo 2...

980
00:54:46,000 --> 00:54:48,000
...porque X...

981
00:54:48,000 --> 00:54:50,000
...está en función de Y...

982
00:54:50,000 --> 00:54:52,000
...en función de Y...

983
00:54:52,000 --> 00:54:54,000
...y...entre dos números...

984
00:54:56,000 --> 00:54:58,000
...este es el límite inferior...

985
00:54:58,000 --> 00:55:00,000
...es lo que antes cuando os he contado la teoría...

986
00:55:00,000 --> 00:55:02,000
...a esto lo he llamado X sub 1...

987
00:55:02,000 --> 00:55:04,000
...y esto de aquí arriba he dicho que era X sub 2...

988
00:55:04,000 --> 00:55:06,000
...luego la X va...

989
00:55:06,000 --> 00:55:08,000
...desde esta raíz...

990
00:55:10,000 --> 00:55:12,000
...hasta el numerito de arriba...

991
00:55:12,000 --> 00:55:14,000
...esto es X...

992
00:55:14,000 --> 00:55:16,000
...esto es un 6...

993
00:55:16,000 --> 00:55:18,000
...6 raíz cuadrada...

994
00:55:18,000 --> 00:55:20,000
...de 1-X sub 1...

995
00:55:20,000 --> 00:55:22,000
...y ahora la Y...

996
00:55:22,000 --> 00:55:24,000
...entre 2 numeritos...

997
00:55:30,000 --> 00:55:32,000
...¿Vale?

998
00:55:34,000 --> 00:55:36,000
...esto es X sub 2...

999
00:55:36,000 --> 00:55:38,000
...y esto es X sub 2...

1000
00:55:38,000 --> 00:55:40,000
...y esto es X sub 2...

1001
00:55:41,000 --> 00:55:43,000
...esto...

1002
00:55:43,000 --> 00:55:45,000
...es esto...

1003
00:55:45,000 --> 00:55:47,000
...dice Y O...

1004
00:55:47,000 --> 00:55:49,000
...así que yo lo habría hecho...

1005
00:55:49,000 --> 00:55:51,000
...utilizando el O...

1006
00:55:51,000 --> 00:55:53,000
...¿Vale? Bueno pues yo voy a hacer el Y...

1007
00:55:53,000 --> 00:55:55,000
...entonces así lo tenéis de las dos maneras...

1008
00:55:55,000 --> 00:55:57,000
...escrito analíticamente...

1009
00:55:57,000 --> 00:55:59,000
...ahora lo voy a dibujar...

1010
00:55:59,000 --> 00:56:01,000
...por lo tanto...

1011
00:56:01,000 --> 00:56:03,000
...todo veo que está en el primer cuadrante...

1012
00:56:03,000 --> 00:56:05,000
...la Y va entre 0 y 1...

1013
00:56:05,000 --> 00:56:07,000
...si la Y va entre 0 y 1...

1014
00:56:07,000 --> 00:56:09,000
...o si la Y va cuando va de 0...

1015
00:56:09,000 --> 00:56:11,000
...también entre 0 y 1...

1016
00:56:11,000 --> 00:56:13,000
...así que dibujo en el primer cuadrante...

1017
00:56:13,000 --> 00:56:15,000
...casi todos los dibujos que os ponen...

1018
00:56:15,000 --> 00:56:17,000
...ojo, casi todos...

1019
00:56:17,000 --> 00:56:19,000
...son en el primer cuadrante...

1020
00:56:19,000 --> 00:56:21,000
...en cuanto no son en el primer cuadrante...

1021
00:56:21,000 --> 00:56:23,000
...porque son circunferencias...

1022
00:56:23,000 --> 00:56:25,000
...y de seguida dibujan todos lados...

1023
00:56:27,000 --> 00:56:29,000
...pero podrían poner más cuadrantes, por supuesto...

1024
00:56:33,000 --> 00:56:35,000
...la Y va...

1025
00:56:35,000 --> 00:56:37,000
...entre 0 y 1...

1026
00:56:37,000 --> 00:56:39,000
...o sea que yo por aquí...

1027
00:56:39,000 --> 00:56:41,000
...hago así...

1028
00:56:41,000 --> 00:56:43,000
...y digo que esto es el 1...

1029
00:56:45,000 --> 00:56:47,000
...por ahí está mi toque, para la Y...

1030
00:56:47,000 --> 00:56:49,000
...y luego la X...

1031
00:56:49,000 --> 00:56:51,000
...la X empieza en una función...

1032
00:56:51,000 --> 00:56:53,000
...que ahora tengo que dibujar...

1033
00:56:53,000 --> 00:56:55,000
...pero termina en el 1...

1034
00:56:55,000 --> 00:56:57,000
...así que si yo dibujo una vertical por el 1...

1035
00:56:57,000 --> 00:56:59,000
...ahí muere la X...

1036
00:57:01,000 --> 00:57:03,000
...así que mi dibujo está por aquí...

1037
00:57:03,000 --> 00:57:05,000
...en este cuadro...

1038
00:57:05,000 --> 00:57:07,000
...ahora yo tengo que dibujar...

1039
00:57:07,000 --> 00:57:09,000
...esa función...

1040
00:57:09,000 --> 00:57:11,000
...X igual...

1041
00:57:13,000 --> 00:57:15,000
...a la raíz cúbica de Y...

1042
00:57:15,000 --> 00:57:17,000
...eso es Y, ¿vale?...

1043
00:57:17,000 --> 00:57:19,000
...a Y igual...

1044
00:57:19,000 --> 00:57:21,000
...a Y...

1045
00:57:21,000 --> 00:57:23,000
...si le doy al fumo, es lo mismo...

1046
00:57:23,000 --> 00:57:25,000
...a mí me resulta siempre, y a mí y a todo...

1047
00:57:25,000 --> 00:57:27,000
...no resulta más fácil dibujar Y en función de X...

1048
00:57:27,000 --> 00:57:29,000
...porque es lo que estamos acostumbrados...

1049
00:57:29,000 --> 00:57:31,000
...¿vale? pues ya está, despejada de ahí...

1050
00:57:31,000 --> 00:57:33,000
...eso es una cúbica...

1051
00:57:33,000 --> 00:57:35,000
...¿de acuerdo?...

1052
00:57:35,000 --> 00:57:37,000
...cuando X vale 0, esto vale 0...

1053
00:57:37,000 --> 00:57:39,000
...y cuando X vale 1...

1054
00:57:39,000 --> 00:57:41,000
...Y vale 1...

1055
00:57:41,000 --> 00:57:43,000
...y no rompáis mucho la cabeza que me da igual como vaya entre medias...

1056
00:57:43,000 --> 00:57:45,000
...yo lo voy a dibujar bien...

1057
00:57:45,000 --> 00:57:47,000
...porque esta cúbica es...

1058
00:57:47,000 --> 00:57:49,000
...¿vale?...

1059
00:57:49,000 --> 00:57:51,000
...hace así...

1060
00:57:51,000 --> 00:57:53,000
...porque tiene un punto de inflexión...

1061
00:57:53,000 --> 00:57:55,000
...en el 0...

1062
00:57:55,000 --> 00:57:57,000
...pero que tampoco que si queréis dibujar un churro así...

1063
00:57:59,000 --> 00:58:01,000
...queda lo mismo...

1064
00:58:01,000 --> 00:58:03,000
...¿vale?...

1065
00:58:03,000 --> 00:58:05,000
...entonces, churro hace así...

1066
00:58:05,000 --> 00:58:07,000
...y desde aquí dibuja...

1067
00:58:07,000 --> 00:58:09,000
...algo así...

1068
00:58:09,000 --> 00:58:11,000
...que es el arco que va entre el punto 0,0...

1069
00:58:11,000 --> 00:58:13,000
...y el punto 1,1...

1070
00:58:13,000 --> 00:58:15,000
...¿de acuerdo?...

1071
00:58:15,000 --> 00:58:17,000
...esa es mi cúbica...

1072
00:58:17,000 --> 00:58:19,000
...esto que acabo de poner aquí...

1073
00:58:19,000 --> 00:58:21,000
...es Y igual...

1074
00:58:21,000 --> 00:58:23,000
...a X igual...

1075
00:58:25,000 --> 00:58:27,000
...entonces, ellos...

1076
00:58:27,000 --> 00:58:29,000
...me han puesto el dominio...

1077
00:58:29,000 --> 00:58:31,000
...de la siguiente manera...

1078
00:58:31,000 --> 00:58:33,000
...han metido una línea horizontal...

1079
00:58:33,000 --> 00:58:35,000
...y han llegado que la conclusión es que el dominio...

1080
00:58:35,000 --> 00:58:37,000
...era eso que he escrito allí por detrás...

1081
00:58:37,000 --> 00:58:39,000
...os he puesto antes que los dominios de tipo 2...

1082
00:58:39,000 --> 00:58:41,000
...con una horizontal...

1083
00:58:43,000 --> 00:58:45,000
...así...

1084
00:58:45,000 --> 00:58:47,000
...fijaros...

1085
00:58:47,000 --> 00:58:49,000
...X va desde aquí...

1086
00:58:49,000 --> 00:58:51,000
...y aquí X va en la raíz cúbica de Y...

1087
00:58:51,000 --> 00:58:53,000
...y termina aquí...

1088
00:58:53,000 --> 00:58:55,000
...en el 1...

1089
00:58:55,000 --> 00:58:57,000
...empieza en la raíz cúbica...

1090
00:58:57,000 --> 00:58:59,000
...y termina en el 1...

1091
00:58:59,000 --> 00:59:01,000
...y ahora fijaros en la horizontal...

1092
00:59:01,000 --> 00:59:03,000
...la horizontal del punto más bajo en el que puede estar...

1093
00:59:03,000 --> 00:59:05,000
...es aquí...

1094
00:59:05,000 --> 00:59:07,000
...donde Y va de 0...

1095
00:59:07,000 --> 00:59:09,000
...y a medida que la vais subiendo...

1096
00:59:09,000 --> 00:59:11,000
...la horizontal se va estrechando...

1097
00:59:11,000 --> 00:59:13,000
...y me barre todo el área...

1098
00:59:13,000 --> 00:59:15,000
...el área D es esto de aquí abajo...

1099
00:59:15,000 --> 00:59:17,000
...¿vale?...

1100
00:59:17,000 --> 00:59:19,000
...esto que rayo así es D...

1101
00:59:23,000 --> 00:59:25,000
...empieza la Y en el 0...

1102
00:59:25,000 --> 00:59:27,000
...y termina en ese punto de ahí arriba...

1103
00:59:27,000 --> 00:59:29,000
...donde Y va de 0...

1104
00:59:29,000 --> 00:59:31,000
...Y va de 0...

1105
00:59:31,000 --> 00:59:33,000
...a 1...

1106
00:59:33,000 --> 00:59:35,000
...bueno pues ya hemos respondido...

1107
00:59:35,000 --> 00:59:37,000
...a toda esta primera parte...

1108
00:59:37,000 --> 00:59:39,000
...representa y o describe...

1109
00:59:39,000 --> 00:59:41,000
...ahora nos queda esta...

1110
00:59:41,000 --> 00:59:43,000
...calcula que la integramos...

1111
00:59:43,000 --> 00:59:45,000
...bien...

1112
00:59:45,000 --> 00:59:47,000
...que al igual que has puesto que...

1113
00:59:47,000 --> 00:59:49,000
...X es igual a...

1114
00:59:49,000 --> 00:59:51,000
...la raíz cúbica de Y...

1115
00:59:51,000 --> 00:59:53,000
...¿puedes poner como que Y es igual a...

1116
00:59:53,000 --> 00:59:55,000
...X al cubo en la parte de la integral...

1117
00:59:55,000 --> 00:59:57,000
...a la hora de definirla...

1118
00:59:57,000 --> 00:59:59,000
...aquí...

1119
00:59:59,000 --> 01:00:01,000
...eso es cambiarte de tipo de dominio...

1120
01:00:01,000 --> 01:00:03,000
...no lo puedes poner directamente ahí...

1121
01:00:03,000 --> 01:00:05,000
...¿vale?...

1122
01:00:05,000 --> 01:00:07,000
...si te vas a cambiar de tipo de dominio...

1123
01:00:07,000 --> 01:00:09,000
...ponle otra vez quien va a ser D...

1124
01:00:09,000 --> 01:00:11,000
...para poner bien los límites...

1125
01:00:11,000 --> 01:00:13,000
...porque luego podes cambiar los de la Y...

1126
01:00:13,000 --> 01:00:15,000
...¿vale?...

1127
01:00:15,000 --> 01:00:17,000
...¿perdón?...

1128
01:00:17,000 --> 01:00:19,000
...porque X es 1...

1129
01:00:19,000 --> 01:00:21,000
...¿porque X es 1?...

1130
01:00:21,000 --> 01:00:23,000
...porque lo dice aquí...

1131
01:00:23,000 --> 01:00:25,000
...va desde aquí...

1132
01:00:25,000 --> 01:00:27,000
...y termina en el 1...

1133
01:00:29,000 --> 01:00:31,000
...empieza en el 0...

1134
01:00:31,000 --> 01:00:33,000
...y termina en el 1...

1135
01:00:33,000 --> 01:00:35,000
...por eso he dibujado con la Y 1...

1136
01:00:35,000 --> 01:00:37,000
...la X 1...

1137
01:00:37,000 --> 01:00:39,000
...y he dicho mi dibujo tiene que estar encerrado ahí dentro...

1138
01:00:41,000 --> 01:00:43,000
...¿vale?...

1139
01:00:43,000 --> 01:00:45,000
...bien...

1140
01:00:47,000 --> 01:00:49,000
...con este orden...

1141
01:00:49,000 --> 01:00:51,000
...tenemos que empezar a integrar...

1142
01:00:53,000 --> 01:00:55,000
...y no tiene que estar encerrado...

1143
01:00:55,000 --> 01:00:57,000
...¿cómo se integra?...

1144
01:00:57,000 --> 01:00:59,000
...la raíz cuadrada de 1 menos X a la cuarta...

1145
01:00:59,000 --> 01:01:01,000
...porque no tengo la raíz cuadrada de lo de dentro...

1146
01:01:09,000 --> 01:01:11,000
...cambio de variable trigonometrico...

1147
01:01:11,000 --> 01:01:13,000
...eso que está en mates 1...

1148
01:01:13,000 --> 01:01:15,000
...que lo habéis hecho hace 10 minutos...

1149
01:01:15,000 --> 01:01:17,000
...¿vale?...

1150
01:01:17,000 --> 01:01:19,000
...a ver...

1151
01:01:19,000 --> 01:01:21,000
...normalmente...

1152
01:01:21,000 --> 01:01:23,000
...ya apretarán lo que quieran...

1153
01:01:23,000 --> 01:01:25,000
...y ya les va a ir conociendo...

1154
01:01:25,000 --> 01:01:27,000
...lo suyo es no meter...

1155
01:01:27,000 --> 01:01:29,000
...las cosas de mates 1...

1156
01:01:29,000 --> 01:01:31,000
...dicho lo cual...

1157
01:01:31,000 --> 01:01:33,000
...algunos no pasan por eso...

1158
01:01:33,000 --> 01:01:35,000
...y hay que hacerlo por partes...

1159
01:01:35,000 --> 01:01:37,000
...y luego de repente te encuentras con un cambio de variable...

1160
01:01:37,000 --> 01:01:39,000
...no es lo habitual...

1161
01:01:39,000 --> 01:01:41,000
...lo habitual es que las integrales...

1162
01:01:41,000 --> 01:01:43,000
...que ponen como tal...

1163
01:01:43,000 --> 01:01:45,000
...sean sencillas...

1164
01:01:45,000 --> 01:01:47,000
...así que deberéis utilizar mucha trigonometría...

1165
01:01:47,000 --> 01:01:49,000
...pero no cambios de variable trigonometrico...

1166
01:01:49,000 --> 01:01:51,000
...deberéis utilizar...

1167
01:01:51,000 --> 01:01:53,000
...fórmulas de trigonometría...

1168
01:01:53,000 --> 01:01:55,000
...por ejemplo...

1169
01:01:55,000 --> 01:01:57,000
...esto de aquí es el seno del ángulo doble, lo pongo...

1170
01:01:57,000 --> 01:01:59,000
...esto de aquí es el coseno del ángulo doble, lo pongo...

1171
01:01:59,000 --> 01:02:01,000
...ese tipo de fórmulas...

1172
01:02:01,000 --> 01:02:03,000
...porque me reducen las integrales y me resulta más fácil...

1173
01:02:03,000 --> 01:02:05,000
...eso sí...

1174
01:02:05,000 --> 01:02:07,000
...pero no un cambio de variable trigonometrico...

1175
01:02:07,000 --> 01:02:09,000
...eso no suele pasar...

1176
01:02:09,000 --> 01:02:11,000
...por lo tal...

1177
01:02:11,000 --> 01:02:13,000
...¿y si me cambio de tipo de doble?...

1178
01:02:13,000 --> 01:02:15,000
...¿y si empiezo integrando la Y?...

1179
01:02:15,000 --> 01:02:17,000
...pues echarle un vistazo...

1180
01:02:17,000 --> 01:02:19,000
...no pierdo nada...

1181
01:02:19,000 --> 01:02:21,000
...esta ya sé cómo la tengo que hacer...

1182
01:02:21,000 --> 01:02:23,000
...esta ya sé que me tengo que meter en un cambio de variable trigonometrico...

1183
01:02:23,000 --> 01:02:25,000
...o sea que esto va a ser echarle un lado...

1184
01:02:25,000 --> 01:02:27,000
...bueno pues...

1185
01:02:27,000 --> 01:02:29,000
...como esta ya sé cómo hay que hacerla...

1186
01:02:29,000 --> 01:02:31,000
...vamos a darle la vuelta...

1187
01:02:31,000 --> 01:02:33,000
...a ver si es más sencillo...

1188
01:02:33,000 --> 01:02:35,000
...¿de acuerdo?...

1189
01:02:35,000 --> 01:02:37,000
...pues este mismo dibujo...

1190
01:02:37,000 --> 01:02:39,000
...le voy a poner como dominio tipo 1...

1191
01:02:39,000 --> 01:02:41,000
...lo escribo aquí...

1192
01:02:41,000 --> 01:02:43,000
...y lo escribimos...

1193
01:02:45,000 --> 01:02:47,000
...cambiamos...

1194
01:02:47,000 --> 01:02:49,000
...el tipo de dominio...

1195
01:02:57,000 --> 01:02:59,000
...¿vale?...anotadlo por ahí...

1196
01:02:59,000 --> 01:03:01,000
...que cambio el tipo de dominio...

1197
01:03:01,000 --> 01:03:03,000
...porque empezar con la X me tengo que ir con los dos pies...

1198
01:03:03,000 --> 01:03:05,000
...¿vale?...

1199
01:03:05,000 --> 01:03:07,000
...supongo un cambio de variable trigonometrica...

1200
01:03:07,000 --> 01:03:09,000
...y no está fuera la vuelta...

1201
01:03:09,000 --> 01:03:11,000
...si al final no queda otra...

1202
01:03:11,000 --> 01:03:13,000
...no la compras...

1203
01:03:15,000 --> 01:03:17,000
...¿vale?...ahora tengo que ver todo...

1204
01:03:17,000 --> 01:03:19,000
...en formato vertical...

1205
01:03:19,000 --> 01:03:21,000
...el negro...

1206
01:03:27,000 --> 01:03:29,000
...meto una línea vertical entre B...

1207
01:03:31,000 --> 01:03:33,000
...y ahora...

1208
01:03:33,000 --> 01:03:35,000
...X tengo que ponerla entre dos números...

1209
01:03:35,000 --> 01:03:37,000
...así que fijaros en el eje de las X...

1210
01:03:37,000 --> 01:03:39,000
...y la X empieza en el 0...

1211
01:03:39,000 --> 01:03:41,000
...porque empieza en el origen de coordenadas...

1212
01:03:41,000 --> 01:03:43,000
...y termina en el 1...

1213
01:03:43,000 --> 01:03:45,000
...porque termina en la vertical X igual a 1...

1214
01:03:45,000 --> 01:03:47,000
...¿está claro eso, no?...

1215
01:03:47,000 --> 01:03:49,000
...así que D es...

1216
01:03:49,000 --> 01:03:51,000
...XI...

1217
01:03:51,000 --> 01:03:53,000
...y ahora X...

1218
01:03:55,000 --> 01:03:57,000
...D0...

1219
01:03:57,000 --> 01:03:59,000
...porque la línea que yo he dibujado en negro...

1220
01:03:59,000 --> 01:04:01,000
...lo más a la izquierda que puede estar es en el 0...

1221
01:04:01,000 --> 01:04:03,000
...y lo más a la derecha...

1222
01:04:03,000 --> 01:04:05,000
...en el 1...

1223
01:04:05,000 --> 01:04:07,000
...y ahora...

1224
01:04:07,000 --> 01:04:09,000
...¿dónde empieza la línea en negro?...

1225
01:04:09,000 --> 01:04:11,000
...en el eje...

1226
01:04:11,000 --> 01:04:13,000
...y el eje Y vale 0...

1227
01:04:13,000 --> 01:04:15,000
...y ¿dónde termina...

1228
01:04:15,000 --> 01:04:17,000
...siempre la línea en negro?...

1229
01:04:17,000 --> 01:04:19,000
...en la curva en azul...

1230
01:04:19,000 --> 01:04:21,000
...y la curva en azul...

1231
01:04:21,000 --> 01:04:23,000
...Y es X al cubo...

1232
01:04:23,000 --> 01:04:25,000
...no cometéis el error...

1233
01:04:25,000 --> 01:04:27,000
...de coger la línea en negro...

1234
01:04:27,000 --> 01:04:29,000
...y ponerla justo ahí...

1235
01:04:29,000 --> 01:04:31,000
...y decís...

1236
01:04:31,000 --> 01:04:33,000
...dejadlo, ¿no?...

1237
01:04:33,000 --> 01:04:35,000
...materna, siempre en el negro...

1238
01:04:35,000 --> 01:04:37,000
...no en los bordes...

1239
01:04:37,000 --> 01:04:39,000
...porque os va a llevar error...

1240
01:04:39,000 --> 01:04:41,000
...si yo meto la línea como he puesto...

1241
01:04:41,000 --> 01:04:43,000
...esta empieza en 0...

1242
01:04:43,000 --> 01:04:45,000
...y termina en esa curva...

1243
01:04:45,000 --> 01:04:47,000
...y esa curva Y vale X al cubo...

1244
01:04:47,000 --> 01:04:49,000
...por eso lo que escribo aquí...

1245
01:04:49,000 --> 01:04:51,000
...que Y va de 0...

1246
01:04:53,000 --> 01:04:55,000
...a X al cubo...

1247
01:04:57,000 --> 01:04:59,000
...¿eso ha quedado claro?...

1248
01:04:59,000 --> 01:05:01,000
...¿cómo he cambiado de dominio tipo 2...

1249
01:05:01,000 --> 01:05:03,000
...a dominio tipo 1?...

1250
01:05:11,000 --> 01:05:13,000
...bien...

1251
01:05:13,000 --> 01:05:15,000
...pues ahora...

1252
01:05:15,000 --> 01:05:17,000
...lo que tendremos que hacer es...

1253
01:05:17,000 --> 01:05:19,000
...replantear la integral que me he puesto...

1254
01:05:19,000 --> 01:05:21,000
...a ver si como estoy tipo 1...

1255
01:05:21,000 --> 01:05:23,000
...es mejor...

1256
01:05:23,000 --> 01:05:25,000
...y si no, pues somos periódico...

1257
01:05:27,000 --> 01:05:29,000
...me voy aquí arriba...

1258
01:05:31,000 --> 01:05:33,000
...a ver...

1259
01:05:39,000 --> 01:05:41,000
...la integral ahora es...

1260
01:05:41,000 --> 01:05:43,000
...X...

1261
01:05:43,000 --> 01:05:45,000
...entre 0 y 1...

1262
01:05:45,000 --> 01:05:47,000
...a casualidad que son los mismos...

1263
01:05:47,000 --> 01:05:49,000
...pero yo primero...

1264
01:05:49,000 --> 01:05:51,000
...tengo que integrar la Y...

1265
01:05:51,000 --> 01:05:53,000
...y la Y va ahora de 0 a X al cubo...

1266
01:05:53,000 --> 01:05:55,000
...0...

1267
01:05:55,000 --> 01:05:57,000
...a X al cubo...

1268
01:05:57,000 --> 01:05:59,000
...lo de dentro no se toca...

1269
01:05:59,000 --> 01:06:01,000
...no se toca...

1270
01:06:03,000 --> 01:06:05,000
...pero ahora empiezo con la Y...

1271
01:06:05,000 --> 01:06:07,000
...y continúo con la X...

1272
01:06:07,000 --> 01:06:09,000
...eso si cabe...

1273
01:06:11,000 --> 01:06:13,000
...por lo tanto...

1274
01:06:13,000 --> 01:06:15,000
...yo empiezo a integrar la Y...

1275
01:06:15,000 --> 01:06:17,000
...así que ahora la raíz no me molesta...

1276
01:06:17,000 --> 01:06:19,000
...porque en la raíz no hay Y...

1277
01:06:19,000 --> 01:06:21,000
...así que para mí la raíz cuadrada...

1278
01:06:21,000 --> 01:06:23,000
...esa que me han puesto es una constante...

1279
01:06:23,000 --> 01:06:25,000
...luego...

1280
01:06:25,000 --> 01:06:27,000
...esta raíz con el número 6...

1281
01:06:27,000 --> 01:06:29,000
...y una pieza integral que lleva...

1282
01:06:29,000 --> 01:06:31,000
...lo único que tenemos que integrar es esto...

1283
01:06:31,000 --> 01:06:33,000
...y la integral de diferencial de Y...

1284
01:06:33,000 --> 01:06:35,000
...es Y...

1285
01:06:43,000 --> 01:06:45,000
...así...

1286
01:06:45,000 --> 01:06:47,000
...entre 0...

1287
01:06:47,000 --> 01:06:49,000
...y X al cubo...

1288
01:06:49,000 --> 01:06:51,000
...y ahora ahí tengo...

1289
01:06:51,000 --> 01:06:53,000
...X al cubo...

1290
01:06:53,000 --> 01:06:55,000
...menos 0...

1291
01:06:55,000 --> 01:06:57,000
...6X al cubo...

1292
01:06:57,000 --> 01:06:59,000
...6X al cubo...

1293
01:06:59,000 --> 01:07:01,000
...y esta raíz la pongo así...

1294
01:07:03,000 --> 01:07:05,000
...porque ahora...

1295
01:07:05,000 --> 01:07:07,000
...si que voy a poder hacer la integral...

1296
01:07:07,000 --> 01:07:09,000
...porque eso es una potencia...

1297
01:07:09,000 --> 01:07:11,000
...ya que casi tengo la derivada de lo dentro...

1298
01:07:13,000 --> 01:07:15,000
...la derivada de lo dentro es menos 4...

1299
01:07:15,000 --> 01:07:17,000
...X al cubo...

1300
01:07:17,000 --> 01:07:19,000
...el menos 4 no es un problema...

1301
01:07:19,000 --> 01:07:21,000
...multiplico por menos 4...

1302
01:07:21,000 --> 01:07:23,000
...divido por menos 4...

1303
01:07:23,000 --> 01:07:25,000
...y el 6...

1304
01:07:25,000 --> 01:07:27,000
...sale tumbado fuera de la integral...

1305
01:07:27,000 --> 01:07:29,000
...así que...

1306
01:07:29,000 --> 01:07:31,000
...6 como divido entre menos 4...

1307
01:07:31,000 --> 01:07:33,000
...divido entre menos 4...

1308
01:07:35,000 --> 01:07:37,000
...y aquí dentro...

1309
01:07:37,000 --> 01:07:39,000
...he multiplicado por menos 4...

1310
01:07:39,000 --> 01:07:41,000
...bien...

1311
01:07:47,000 --> 01:07:49,000
...claro, esto...

1312
01:07:49,000 --> 01:07:51,000
...el de arriba menos el de abajo...

1313
01:07:51,000 --> 01:07:53,000
...vale...

1314
01:07:59,000 --> 01:08:01,000
...ahora está ya sin la potencia...

1315
01:08:05,000 --> 01:08:07,000
...por lo tanto...

1316
01:08:07,000 --> 01:08:09,000
...queda...voy simplificando...

1317
01:08:09,000 --> 01:08:11,000
...menos 3 medios...

1318
01:08:11,000 --> 01:08:13,000
...y ahora me quedaría...

1319
01:08:13,000 --> 01:08:15,000
...1...

1320
01:08:15,000 --> 01:08:17,000
...menos X a la cuarta, 1 medio más 1...

1321
01:08:17,000 --> 01:08:19,000
...3 medios...

1322
01:08:19,000 --> 01:08:21,000
...dividido, 1 medio más 1...

1323
01:08:21,000 --> 01:08:23,000
...3 medios...

1324
01:08:23,000 --> 01:08:25,000
...y todo esto entre 0 y 1...

1325
01:08:27,000 --> 01:08:29,000
...así...

1326
01:08:31,000 --> 01:08:33,000
...3 medios multiplicando...

1327
01:08:33,000 --> 01:08:35,000
...3 medios dividiendo...

1328
01:08:35,000 --> 01:08:37,000
...fuera los 3 medios...

1329
01:08:41,000 --> 01:08:43,000
...vale...

1330
01:08:43,000 --> 01:08:45,000
...aquí tengo un signo menos...

1331
01:08:45,000 --> 01:08:47,000
...vale...

1332
01:08:47,000 --> 01:08:49,000
...voy a hacer una cosa...

1333
01:08:51,000 --> 01:08:53,000
...lo hago yo...no significa que lo tengáis que hacer vosotros...

1334
01:08:53,000 --> 01:08:55,000
...pero como yo me conozco...

1335
01:08:55,000 --> 01:08:57,000
...sé que estos signos menos me los termino comiendo...

1336
01:08:57,000 --> 01:08:59,000
...entonces yo hago lo siguiente...

1337
01:08:59,000 --> 01:09:01,000
...cuando veo un signo menos...

1338
01:09:01,000 --> 01:09:03,000
...y tengo que hacer el de arriba...

1339
01:09:03,000 --> 01:09:05,000
...menos el de abajo...

1340
01:09:05,000 --> 01:09:07,000
...lo hago al revés...

1341
01:09:07,000 --> 01:09:09,000
...y hago el de abajo...

1342
01:09:09,000 --> 01:09:11,000
...menos el de arriba...

1343
01:09:11,000 --> 01:09:13,000
...que yo sé que eso es multiplicar e integrar por menos 1...

1344
01:09:13,000 --> 01:09:15,000
...así que este signo menos...

1345
01:09:15,000 --> 01:09:17,000
...ni le tengo contra...

1346
01:09:17,000 --> 01:09:19,000
...desaparece...

1347
01:09:19,000 --> 01:09:21,000
...pero lo hago al revés...

1348
01:09:21,000 --> 01:09:23,000
...el de abajo menos el de arriba...pero lo hago yo...

1349
01:09:23,000 --> 01:09:25,000
...no tenéis por qué hacerlo vosotros...

1350
01:09:25,000 --> 01:09:27,000
...si no, vosotros ponéis menos...

1351
01:09:27,000 --> 01:09:29,000
...abrís un paréntesis...

1352
01:09:29,000 --> 01:09:31,000
...el de arriba menos el de abajo...

1353
01:09:31,000 --> 01:09:33,000
...¿entendido?...

1354
01:09:33,000 --> 01:09:35,000
...lo voy a hacer como lo haría vosotros primero...

1355
01:09:35,000 --> 01:09:37,000
...pero luego veréis que yo muchas veces lo hago al revés...

1356
01:09:37,000 --> 01:09:39,000
...si hago el de arriba...

1357
01:09:39,000 --> 01:09:41,000
...menos el de abajo...

1358
01:09:41,000 --> 01:09:43,000
...sustituyo aquí por 1...

1359
01:09:43,000 --> 01:09:45,000
...cero...

1360
01:09:45,000 --> 01:09:47,000
...menos...

1361
01:09:47,000 --> 01:09:49,000
...y ahora tengo que sustituir...

1362
01:09:49,000 --> 01:09:51,000
...el de abajo...

1363
01:09:51,000 --> 01:09:53,000
...sustituyo aquí...y me queda 1 elevado a 3 medios...

1364
01:09:53,000 --> 01:09:55,000
...o sea 1...

1365
01:09:57,000 --> 01:09:59,000
...y menos por menos...

1366
01:09:59,000 --> 01:10:01,000
...más...

1367
01:10:01,000 --> 01:10:03,000
...así que se integra...

1368
01:10:03,000 --> 01:10:05,000
...¿vale?...

1369
01:10:05,000 --> 01:10:07,000
...y hemos podido calcular...

1370
01:10:07,000 --> 01:10:09,000
...¿vale?...

1371
01:10:09,000 --> 01:10:11,000
...ojo...

1372
01:10:11,000 --> 01:10:13,000
...esta integral puede ser positiva...

1373
01:10:13,000 --> 01:10:15,000
...negativa...o cero...

1374
01:10:15,000 --> 01:10:17,000
...cuando os piden una área...

1375
01:10:17,000 --> 01:10:19,000
...tiene que ser positiva sí o sí...

1376
01:10:19,000 --> 01:10:21,000
...no existen áreas negativas...

1377
01:10:21,000 --> 01:10:23,000
...y mucho menos cero...

1378
01:10:23,000 --> 01:10:25,000
...si la tengo delante de la nariz es como va a dar...

1379
01:10:25,000 --> 01:10:27,000
...pero esto no es un área...

1380
01:10:27,000 --> 01:10:29,000
...esto es un campo escalar...

1381
01:10:29,000 --> 01:10:31,000
...lo que hay dentro de la integral...

1382
01:10:31,000 --> 01:10:33,000
...que estoy evaluándolo...

1383
01:10:33,000 --> 01:10:35,000
...sobre este dominio...

1384
01:10:35,000 --> 01:10:37,000
...ahora bien...

1385
01:10:37,000 --> 01:10:39,000
...podéis echar siempre el siguiente vistazo...

1386
01:10:39,000 --> 01:10:41,000
...el dominio...

1387
01:10:41,000 --> 01:10:43,000
...es en el primer cuadrante...

1388
01:10:43,000 --> 01:10:45,000
...luego todas las X...

1389
01:10:45,000 --> 01:10:47,000
...y todas las Y que yo cojo...

1390
01:10:47,000 --> 01:10:49,000
...son positivas...

1391
01:10:49,000 --> 01:10:51,000
...y esto de aquí...

1392
01:10:51,000 --> 01:10:53,000
...en el primer cuadrante...

1393
01:10:53,000 --> 01:10:55,000
...y X como mucho puede valer 1...

1394
01:10:55,000 --> 01:10:57,000
...esto de aquí dentro es positivo...

1395
01:10:57,000 --> 01:10:59,000
...porque es 1 menos algo...

1396
01:10:59,000 --> 01:11:01,000
...y ese algo como mucho vale 1...

1397
01:11:01,000 --> 01:11:03,000
...así que si algo positivo...

1398
01:11:03,000 --> 01:11:05,000
...lo estoy integrando sobre algo positivo...

1399
01:11:05,000 --> 01:11:07,000
...me tiene que dar positivo...

1400
01:11:07,000 --> 01:11:09,000
...no sé el número...

1401
01:11:09,000 --> 01:11:11,000
...pero si esto me hubiese salido menos 5...

1402
01:11:11,000 --> 01:11:13,000
...mosqueados...

1403
01:11:13,000 --> 01:11:15,000
...lo que pasa es que ese tipo de comprobacias nunca valen...

1404
01:11:17,000 --> 01:11:19,000
...y si me falto a lo mejor me sigue...

1405
01:11:19,000 --> 01:11:21,000
...porque a lo mejor me he confundido en una chorrada de signos...

1406
01:11:21,000 --> 01:11:23,000
...no me tiene que dar menos 5...

1407
01:11:23,000 --> 01:11:25,000
...me tiene que dar más 5...

1408
01:11:25,000 --> 01:11:27,000
...y lo pilláis...

1409
01:11:27,000 --> 01:11:29,000
...esa es un poco para la tradición social...

1410
01:11:29,000 --> 01:11:31,000
...me voy en menos...

1411
01:11:31,000 --> 01:11:33,000
...de acuerdo...

1412
01:11:33,000 --> 01:11:35,000
...problema de examen...

1413
01:11:35,000 --> 01:11:37,000
...vuestro...y ya habéis visto...

1414
01:11:37,000 --> 01:11:39,000
...dice que hay que cambiar el dominio...

1415
01:11:39,000 --> 01:11:41,000
...pero no lo dice...

1416
01:11:41,000 --> 01:11:43,000
...y hay que cambiar el dominio...

1417
01:11:43,000 --> 01:11:45,000
...este es algo que me rejería...

1418
01:11:45,000 --> 01:11:47,000
...que es lo último que están poniendo siempre...

1419
01:11:47,000 --> 01:11:49,000
...y lo hacen muchos...os plantan una...

1420
01:11:49,000 --> 01:11:51,000
...empezáis a intentar hacerla...

1421
01:11:51,000 --> 01:11:53,000
...quedaros enfregados que los habíamos metido si lo hacemos de la primera manera...

1422
01:11:53,000 --> 01:11:55,000
...acuérdate de cuál es el cambio...

1423
01:11:57,000 --> 01:11:59,000
...suponemos que te acuerdas...

1424
01:11:59,000 --> 01:12:01,000
...el cambio...y todos sabemos...

1425
01:12:01,000 --> 01:12:03,000
...por más que es uno...que con cricolometría esas integrales...

1426
01:12:03,000 --> 01:12:05,000
...los haríamos rápido...

1427
01:12:07,000 --> 01:12:09,000
...bueno...pues eso es...

1428
01:12:11,000 --> 01:12:13,000
...entonces...ahora...

1429
01:12:13,000 --> 01:12:15,000
...os voy a explicar integrales en R3...

1430
01:12:15,000 --> 01:12:17,000
...porque vista las de R2...

1431
01:12:17,000 --> 01:12:19,000
...resulta muy sencilla la explicación...

1432
01:12:19,000 --> 01:12:21,000
...porque lo único que tengo que hacer es...

1433
01:12:21,000 --> 01:12:23,000
...subir una división...

1434
01:12:23,000 --> 01:12:25,000
...integrales en R3...

1435
01:12:25,000 --> 01:12:27,000
...integrales en R3...

1436
01:12:27,000 --> 01:12:29,000
...tenéis todo esto ya...

1437
01:12:29,000 --> 01:12:31,000
...pues me lo voy a quitar todo de cara...

1438
01:12:31,000 --> 01:12:33,000
...¿estáis listos para copiar?

1439
01:12:55,000 --> 01:12:57,000
...pues vamos...

1440
01:13:25,000 --> 01:13:29,000
...

1441
01:13:29,000 --> 01:13:33,000
...

1442
01:13:33,000 --> 01:13:37,000
...

1443
01:13:37,000 --> 01:13:41,000
...

1444
01:13:41,000 --> 01:13:43,000
...vale...

1445
01:13:43,000 --> 01:13:45,000
...todas las funciones que ustedes van a poner dentro son continuas...

1446
01:13:45,000 --> 01:13:47,000
...pero bueno...o si a alguien le damos preguntas...

1447
01:13:47,000 --> 01:13:49,000
...algo raro...en plan...

1448
01:13:49,000 --> 01:13:51,000
...

1449
01:13:51,000 --> 01:13:53,000
...

1450
01:13:53,000 --> 01:13:55,000
...

1451
01:13:55,000 --> 01:13:57,000
...

1452
01:13:57,000 --> 01:13:59,000
...vale...aquí tenemos ahora una pegada...

1453
01:13:59,000 --> 01:14:01,000
...el equivalente a rectángulo...

1454
01:14:01,000 --> 01:14:03,000
...es una caja de zapatos...

1455
01:14:03,000 --> 01:14:05,000
...vale...paralelo y equilibrado...

1456
01:14:05,000 --> 01:14:07,000
...pero para todos nosotros...

1457
01:14:07,000 --> 01:14:09,000
...una caja de zapatos...

1458
01:14:09,000 --> 01:14:11,000
...que es el primer tipo de dominio que vamos a poner...

1459
01:14:11,000 --> 01:14:13,000
...el FAP...vale...

1460
01:14:13,000 --> 01:14:15,000
...así que...tipos de dominios...

1461
01:14:15,000 --> 01:14:17,000
...

1462
01:14:17,000 --> 01:14:19,000
...

1463
01:14:19,000 --> 01:14:21,000
...

1464
01:14:21,000 --> 01:14:23,000
...

1465
01:14:23,000 --> 01:14:25,000
...

1466
01:14:25,000 --> 01:14:27,000
...

1467
01:14:27,000 --> 01:14:29,000
...

1468
01:14:29,000 --> 01:14:31,000
...

1469
01:14:31,000 --> 01:14:33,000
...

1470
01:14:33,000 --> 01:14:35,000
...

1471
01:14:35,000 --> 01:14:37,000
...

1472
01:14:37,000 --> 01:14:39,000
...

1473
01:14:39,000 --> 01:14:41,000
...

1474
01:14:41,000 --> 01:14:43,000
...

1475
01:14:43,000 --> 01:14:45,000
...

1476
01:14:45,000 --> 01:14:47,000
...

1477
01:14:47,000 --> 01:14:49,000
...

1478
01:14:49,000 --> 01:14:51,000
...

1479
01:14:52,000 --> 01:14:54,000
...

1480
01:15:04,000 --> 01:15:06,000
...

1481
01:15:06,000 --> 01:15:08,000
...

1482
01:15:10,000 --> 01:15:12,000
...

1483
01:15:12,000 --> 01:15:14,000
...

1484
01:15:14,000 --> 01:15:16,000
...

1485
01:15:17,000 --> 01:15:19,000
...

1486
01:15:21,000 --> 01:15:23,000
...

1487
01:15:24,000 --> 01:15:26,000
...

1488
01:15:26,000 --> 01:15:28,000
...

1489
01:15:28,000 --> 01:15:30,000
...

1490
01:15:31,000 --> 01:15:33,000
...

1491
01:15:33,000 --> 01:15:35,000
...

1492
01:15:36,000 --> 01:15:38,000
...

1493
01:15:39,000 --> 01:15:41,000
...

1494
01:15:41,000 --> 01:15:43,000
...

1495
01:15:49,000 --> 01:15:51,000
Así...

1496
01:15:52,000 --> 01:15:55,000
Si cambiáis el orden de las variables, la integral es...

1497
01:15:55,000 --> 01:15:57,000
...la misma.

1498
01:15:57,000 --> 01:16:00,000
Así que empezáis por la que más la veo.

1499
01:16:05,000 --> 01:16:07,000
¿Vale?

1500
01:16:07,000 --> 01:16:09,000
Y yo ahora voy a poner solo...

1501
01:16:09,000 --> 01:16:11,000
...uno de los tipos.

1502
01:16:11,000 --> 01:16:13,000
Antes he puesto tipo 1 o tipo 2.

1503
01:16:13,000 --> 01:16:15,000
Porque ahora aquí saldrían tres distintos.

1504
01:16:15,000 --> 01:16:17,000
Pero yo voy a poner el más típico.

1505
01:16:17,000 --> 01:16:19,000
Que casi siempre es el mismo.

1506
01:16:19,000 --> 01:16:22,000
Cuando salga en un curso de ejemplo otro distinto, pues a otro referencia.

1507
01:16:22,000 --> 01:16:25,000
Y es ver las cosas en vertical.

1508
01:16:25,000 --> 01:16:27,000
¿Vale?

1509
01:16:27,000 --> 01:16:30,000
Entonces, es lo que se llama dominio tipo 1.

1510
01:16:40,000 --> 01:16:42,000
...

1511
01:16:48,000 --> 01:16:50,000
Y aquí vamos.

1512
01:16:50,000 --> 01:16:53,000
Cuando yo veo las cosas en vertical.

1513
01:16:53,000 --> 01:16:55,000
¿Vale?

1514
01:16:55,000 --> 01:16:59,000
Z queda encerrada entre dos funciones...

1515
01:16:59,000 --> 01:17:02,000
...que dependen de X y de Y.

1516
01:17:02,000 --> 01:17:05,000
Así que yo voy a tener a Z así.

1517
01:17:10,000 --> 01:17:12,000
A Z1...

1518
01:17:12,000 --> 01:17:14,000
...me oiréis decir un montón de veces...

1519
01:17:14,000 --> 01:17:16,000
...esto es el suelo.

1520
01:17:19,000 --> 01:17:21,000
Y Z2...

1521
01:17:21,000 --> 01:17:23,000
...diremos que es el techo.

1522
01:17:25,000 --> 01:17:27,000
Z1...

1523
01:17:27,000 --> 01:17:29,000
...las superficies sobre las que yo muevo mis pies.

1524
01:17:29,000 --> 01:17:31,000
Y Z2...

1525
01:17:31,000 --> 01:17:33,000
...pues si levanto la cabeza, la que veo.

1526
01:17:35,000 --> 01:17:37,000
X e Y...

1527
01:17:37,000 --> 01:17:40,000
...pueden ser cualquier dominio de R2...

1528
01:17:40,000 --> 01:17:42,000
...que hemos visto antes.

1529
01:17:42,000 --> 01:17:44,000
Así que simplemente escribo así.

1530
01:17:45,000 --> 01:17:47,000
X y Y...

1531
01:17:47,000 --> 01:17:49,000
...pertenecerán a un dominio...

1532
01:17:49,000 --> 01:17:51,000
...T con asterisco.

1533
01:17:51,000 --> 01:17:53,000
¿Dónde?

1534
01:17:56,000 --> 01:17:58,000
T con asterisco puede ser...

1535
01:18:07,000 --> 01:18:11,000
...cualquier tipo visto en R2.

1536
01:18:13,000 --> 01:18:15,000
Puede ser un rectángulo...

1537
01:18:15,000 --> 01:18:17,000
...puede ser un dominio tipo 1...

1538
01:18:17,000 --> 01:18:19,000
...puede ser un dominio tipo 2...

1539
01:18:19,000 --> 01:18:21,000
...puede ser que me tenga que cambiar la coordenada por aires...

1540
01:18:21,000 --> 01:18:23,000
...lo que sea.

1541
01:18:26,000 --> 01:18:28,000
O sea, el truco, digamos, es...

1542
01:18:28,000 --> 01:18:30,000
...intentar quitarme la Z a lo más rápido posible.

1543
01:18:30,000 --> 01:18:32,000
Y una vez que me he quitado la Z...

1544
01:18:32,000 --> 01:18:34,000
...ya no tengo que invertirte.

1545
01:18:34,000 --> 01:18:36,000
Tengo que invertir doble la real.

1546
01:18:36,000 --> 01:18:38,000
Por eso los planteantes son tan importantes.

1547
01:18:38,000 --> 01:18:40,000
Porque éstas simplemente los planteas...

1548
01:18:40,000 --> 01:18:42,000
...y las Z normalmente te van a quitar en tu lugar.

1549
01:18:42,000 --> 01:18:44,000
Y ya estás en integrales de R.

1550
01:18:44,000 --> 01:18:46,000
¿Vale?

1551
01:18:48,000 --> 01:18:50,000
Bueno, hay algunas de las integrales...

1552
01:18:50,000 --> 01:18:52,000
...que os piden...

1553
01:18:52,000 --> 01:18:54,000
...que ni molestes.

1554
01:18:54,000 --> 01:18:56,000
Así que hay que hacer cambio de variable.

1555
01:18:56,000 --> 01:18:58,000
Pero los dos cambios de variable que utilizamos...

1556
01:18:58,000 --> 01:19:00,000
...aquí sí que son siempre lógicos.

1557
01:19:00,000 --> 01:19:02,000
Pero son importantísimos, ¿eh?

1558
01:19:02,000 --> 01:19:04,000
Así que tenedlos en cuenta porque los vamos a utilizar...

1559
01:19:04,000 --> 01:19:06,000
...muchas veces.

1560
01:19:10,000 --> 01:19:12,000
Es...

1561
01:19:12,000 --> 01:19:14,000
...cambio de variable.

1562
01:19:26,000 --> 01:19:28,000
No nos cuadra la integral para hacerla directamente...

1563
01:19:28,000 --> 01:19:30,000
...y nosotros queremos transformar...

1564
01:19:30,000 --> 01:19:32,000
...lo de dentro, el dominio...

1565
01:19:32,000 --> 01:19:34,000
...las dos cosas...

1566
01:19:34,000 --> 01:19:36,000
...con un cambio de variable.

1567
01:19:36,000 --> 01:19:38,000
Entonces...

1568
01:19:38,000 --> 01:19:40,000
...primer cambio de variable.

1569
01:19:40,000 --> 01:19:42,000
Ordenadas cinímicas.

1570
01:19:54,000 --> 01:19:56,000
Este.

1571
01:19:56,000 --> 01:19:58,000
Como si fuesen...

1572
01:19:58,000 --> 01:20:00,000
...unas polares...

1573
01:20:02,000 --> 01:20:04,000
...en X e Y.

1574
01:20:04,000 --> 01:20:06,000
Y la Z sigue siendo Z.

1575
01:20:08,000 --> 01:20:10,000
¿Vale?

1576
01:20:10,000 --> 01:20:12,000
De forma que yo paso...

1577
01:20:12,000 --> 01:20:14,000
...de mis coordenadas cartesianas...

1578
01:20:16,000 --> 01:20:18,000
...a mis coordenadas polares.

1579
01:20:18,000 --> 01:20:20,000
Y hay que respetar el orden.

1580
01:20:20,000 --> 01:20:22,000
Estas son las coordenadas...

1581
01:20:22,000 --> 01:20:24,000
...perdón, polares.

1582
01:20:24,000 --> 01:20:26,000
Cinímicas.

1583
01:20:26,000 --> 01:20:28,000
R, Z, Z.

1584
01:20:28,000 --> 01:20:30,000
Siempre S2.

1585
01:20:32,000 --> 01:20:34,000
Los tendríamos que hacer en esta gobierno.

1586
01:20:36,000 --> 01:20:38,000
Eh...

1587
01:20:38,000 --> 01:20:40,000
...les voy a poner con toda.

1588
01:20:40,000 --> 01:20:42,000
¿Vale?

1589
01:20:42,000 --> 01:20:44,000
Porque, bueno, este es fácil.

1590
01:20:44,000 --> 01:20:46,000
A ver, habría que hacer esto.

1591
01:20:48,000 --> 01:20:50,000
Tendríamos que hacer...

1592
01:20:50,000 --> 01:20:52,000
...esta matriz.

1593
01:20:54,000 --> 01:20:56,000
¿Vale?

1594
01:21:04,000 --> 01:21:06,000
La Y...

1595
01:21:06,000 --> 01:21:08,000
...la Z.

1596
01:21:08,000 --> 01:21:10,000
La Y...

1597
01:21:10,000 --> 01:21:12,000
...la Z.

1598
01:21:14,000 --> 01:21:16,000
Y luego la Y...

1599
01:21:16,000 --> 01:21:18,000
...respecto de Z...

1600
01:21:18,000 --> 01:21:20,000
...y la Z respecto de Z.

1601
01:21:24,000 --> 01:21:26,000
Ahora tendríamos...

1602
01:21:26,000 --> 01:21:28,000
...una matriz de 3 por 3.

1603
01:21:28,000 --> 01:21:30,000
La pongo en esta cualidad.

1604
01:21:32,000 --> 01:21:34,000
Y esto de aquí sería...

1605
01:21:34,000 --> 01:21:36,000
...coseno...

1606
01:21:36,000 --> 01:21:38,000
...menos R, seno y cero.

1607
01:21:42,000 --> 01:21:44,000
Seno...

1608
01:21:44,000 --> 01:21:46,000
...R, coseno y cero.

1609
01:21:46,000 --> 01:21:48,000
Y esto es cero, cero y uno.

1610
01:21:48,000 --> 01:21:50,000
Muy bien.

1611
01:21:50,000 --> 01:21:52,000
Siempre da R.

1612
01:21:52,000 --> 01:21:54,000
Igual que en polares.

1613
01:21:54,000 --> 01:21:56,000
Si hacéis ese determinante...

1614
01:21:56,000 --> 01:21:58,000
...de 3 por 3...

1615
01:21:58,000 --> 01:22:00,000
...sale R.

1616
01:22:08,000 --> 01:22:10,000
Y luego...

1617
01:22:10,000 --> 01:22:12,000
...los valores de R...

1618
01:22:12,000 --> 01:22:14,000
...de tinta y de Z...

1619
01:22:14,000 --> 01:22:16,000
...pues dependiendo de cómo sea el problema.

1620
01:22:16,000 --> 01:22:18,000
¿Vale? Luego hay que calcular...

1621
01:22:18,000 --> 01:22:20,000
...quién es D...

1622
01:22:20,000 --> 01:22:22,000
...con asterisco.

1623
01:22:48,000 --> 01:22:50,000
Vale.

1624
01:23:18,000 --> 01:23:20,000
O sea...

1625
01:23:20,000 --> 01:23:22,000
...la integral que a nosotros nos ponen...

1626
01:23:22,000 --> 01:23:24,000
...es esta.

1627
01:23:36,000 --> 01:23:38,000
Yo la sacerdo...

1628
01:23:38,000 --> 01:23:40,000
...y me paso a coordenadas tríplicas.

1629
01:23:40,000 --> 01:23:42,000
Y entonces, yo interno ahora...

1630
01:23:42,000 --> 01:23:44,000
...sobre D con asterisco.

1631
01:23:48,000 --> 01:23:50,000
F...

1632
01:23:50,000 --> 01:23:52,000
...ya no depende de XY y Z...

1633
01:23:52,000 --> 01:23:54,000
...sino de R, tinta y Z.

1634
01:23:54,000 --> 01:23:56,000
Porque yo he hecho el cambio de variable.

1635
01:23:56,000 --> 01:23:58,000
Donde he visto una X...

1636
01:23:58,000 --> 01:24:00,000
...he puesto R, coseno y así.

1637
01:24:00,000 --> 01:24:02,000
Multiplico con el taco diagonal.

1638
01:24:04,000 --> 01:24:06,000
Y ahora ya sí...

1639
01:24:06,000 --> 01:24:08,000
...integro en R, tinta y Z.

1640
01:24:10,000 --> 01:24:12,000
Y lógicamente uno espera que la de la derecha...

1641
01:24:12,000 --> 01:24:14,000
...sea mejor que la del izquierdo.

1642
01:24:14,000 --> 01:24:16,000
Entonces...

1643
01:24:16,000 --> 01:24:18,000
...este es el cambio...

1644
01:24:18,000 --> 01:24:20,000
...a coordenadas tríplicas.

1645
01:24:30,000 --> 01:24:32,000
Pues el otro...

1646
01:24:32,000 --> 01:24:34,000
Aunque parezca una tontería...

1647
01:24:34,000 --> 01:24:36,000
...anotarlo aquí.

1648
01:24:36,000 --> 01:24:38,000
¿Cuándo funciona bien este cambio?

1649
01:24:38,000 --> 01:24:40,000
Lógicamente con cilindros...

1650
01:24:40,000 --> 01:24:42,000
...conos...

1651
01:24:48,000 --> 01:24:50,000
...y paraboloides.

1652
01:24:52,000 --> 01:24:54,000
El paraboloide es el tazón.

1653
01:25:00,000 --> 01:25:02,000
Que son figuras, estas tres...

1654
01:25:02,000 --> 01:25:04,000
...que constantemente salen dobladas.

1655
01:25:04,000 --> 01:25:06,000
Esa es una opción.

1656
01:25:06,000 --> 01:25:08,000
No significa que sea un cónim...

1657
01:25:08,000 --> 01:25:10,000
...que sea tríplica.

1658
01:25:10,000 --> 01:25:12,000
Cuando dices que el jacobiano...

1659
01:25:12,000 --> 01:25:14,000
...es R...

1660
01:25:14,000 --> 01:25:16,000
...como por ejemplo en el ejemplo del círculo...

1661
01:25:16,000 --> 01:25:18,000
...antes cuando hemos dicho el ejemplo de la elipse...

1662
01:25:18,000 --> 01:25:20,000
...salía A, B, R.

1663
01:25:20,000 --> 01:25:22,000
Paralelito.

1664
01:25:22,000 --> 01:25:24,000
Vale, vale.

1665
01:25:24,000 --> 01:25:26,000
Si ahora yo me invento otras coordenadas distintas...

1666
01:25:26,000 --> 01:25:28,000
...que tengo que añadir a un jacobiano...

1667
01:25:28,000 --> 01:25:30,000
...porque puede cambiar.

1668
01:25:30,000 --> 01:25:32,000
Este es R, si yo pongo justo esto...

1669
01:25:32,000 --> 01:25:34,000
...como modifique esto...

1670
01:25:34,000 --> 01:25:36,000
...a lo mejor ya me sale.

1671
01:25:38,000 --> 01:25:40,000
Bueno, siguiente cambio de variable...

1672
01:25:40,000 --> 01:25:42,000
...espéricas.

1673
01:25:54,000 --> 01:25:56,000
Las coordenadas espéricas...

1674
01:25:56,000 --> 01:25:58,000
...dependen de R...

1675
01:25:58,000 --> 01:26:00,000
...y de los ángulos.

1676
01:26:04,000 --> 01:26:06,000
Yo utilizo tita...

1677
01:26:06,000 --> 01:26:08,000
...y fin.

1678
01:26:20,000 --> 01:26:22,000
Ese es el cambio.

1679
01:26:24,000 --> 01:26:26,000
Ahora habría que deducir al jacobiano.

1680
01:26:26,000 --> 01:26:28,000
Aquí la verdad es que uno...

1681
01:26:28,000 --> 01:26:30,000
...he hecho un rato.

1682
01:26:30,000 --> 01:26:32,000
Así que os lo planteo directamente como resultado.

1683
01:26:32,000 --> 01:26:34,000
Si queréis vosotros pues ya sabéis como tenéis que hallar.

1684
01:26:34,000 --> 01:26:36,000
El determinante de la matriz jacobiana...

1685
01:26:36,000 --> 01:26:38,000
...y veréis que es grande.

1686
01:26:38,000 --> 01:26:40,000
El resultado es este.

1687
01:26:46,000 --> 01:26:48,000
R al cuadrado...

1688
01:26:50,000 --> 01:26:52,000
...cero.

1689
01:26:54,000 --> 01:26:56,000
Los jacobianos siempre se toman en positivo.

1690
01:26:56,000 --> 01:26:58,000
Lo digo porque...

1691
01:26:58,000 --> 01:27:00,000
...este por ejemplo sale negativo.

1692
01:27:00,000 --> 01:27:02,000
Pero vosotros siempre en positivo.

1693
01:27:02,000 --> 01:27:04,000
Siempre. Sin excepción.

1694
01:27:04,000 --> 01:27:06,000
Nunca te ponemos jacobiano negativo.

1695
01:27:10,000 --> 01:27:12,000
Y lo siguiente que tendríamos que hallar...

1696
01:27:12,000 --> 01:27:14,000
...serían los nuevos valores...

1697
01:27:14,000 --> 01:27:16,000
...para R, para tita...

1698
01:27:16,000 --> 01:27:18,000
...y para fin.

1699
01:27:18,000 --> 01:27:20,000
Así que, por último...

1700
01:27:22,000 --> 01:27:24,000
...obtenemos...

1701
01:27:26,000 --> 01:27:28,000
...los valores...

1702
01:27:32,000 --> 01:27:34,000
...para R, tita y fin.

1703
01:27:34,000 --> 01:27:36,000
O sea, D...

1704
01:27:36,000 --> 01:27:38,000
...con asterisco.

1705
01:27:38,000 --> 01:27:40,000
Eso es lo que tendríamos que hacer.

1706
01:27:42,000 --> 01:27:44,000
Así que a nosotros nos plantean...

1707
01:27:44,000 --> 01:27:46,000
...esta integral triple...

1708
01:27:54,000 --> 01:27:56,000
...y yo hago...

1709
01:27:56,000 --> 01:27:58,000
...esta otra.

1710
01:27:59,000 --> 01:28:01,000
Mis nuevas variables...

1711
01:28:03,000 --> 01:28:05,000
...mi jacobiano...

1712
01:28:06,000 --> 01:28:08,000
...e integro...

1713
01:28:08,000 --> 01:28:10,000
...en las nuevas variables.

1714
01:28:20,000 --> 01:28:22,000
¿Cuándo nos conviene utilizar esto?

1715
01:28:22,000 --> 01:28:24,000
Pues lógicamente...

1716
01:28:24,000 --> 01:28:26,000
...con esfera.

1717
01:28:28,000 --> 01:28:30,000
Y con paraboloides...

1718
01:28:30,000 --> 01:28:32,000
...también suele salir bien.

1719
01:28:34,000 --> 01:28:36,000
A mí me gusta más utilizar elíndricas...

1720
01:28:36,000 --> 01:28:38,000
...pero si tengo un paraboloide y una esfera...

1721
01:28:38,000 --> 01:28:40,000
...pues entonces utilizo acelicas, claro.

1722
01:28:48,000 --> 01:28:50,000
¿Vale?

1723
01:28:50,000 --> 01:28:52,000
Y ahora viene una aplicación.

1724
01:28:52,000 --> 01:28:54,000
Y voy a poner un ejemplo con la aplicación...

1725
01:28:54,000 --> 01:28:56,000
...muy sencillo.

1726
01:28:56,000 --> 01:28:58,000
Y así ya...

1727
01:28:58,000 --> 01:29:00,000
...hemos divisado también R3.

1728
01:29:02,000 --> 01:29:04,000
Aplicación.

1729
01:29:14,000 --> 01:29:16,000
Nos piden calcular...

1730
01:29:16,000 --> 01:29:18,000
...el volumen...

1731
01:29:18,000 --> 01:29:20,000
...de D.

1732
01:29:26,000 --> 01:29:28,000
¿Vale?

1733
01:29:42,000 --> 01:29:44,000
Yo tengo D...

1734
01:29:44,000 --> 01:29:46,000
...que es lo que sea en el espacio.

1735
01:29:46,000 --> 01:29:48,000
En R3.

1736
01:29:50,000 --> 01:29:52,000
Bueno, pues ese volumen...

1737
01:29:52,000 --> 01:29:54,000
...siempre se hace de la misma manera.

1738
01:29:56,000 --> 01:29:58,000
Integro el número 1...

1739
01:30:00,000 --> 01:30:02,000
...sobre D.

1740
01:30:08,000 --> 01:30:10,000
Esto es lo que tenemos acá.

1741
01:30:10,000 --> 01:30:12,000
Fijaros que antes, en R2, el área...

1742
01:30:12,000 --> 01:30:14,000
...el número 1 sobre D, en R2.

1743
01:30:14,000 --> 01:30:16,000
O sea que era un U...

1744
01:30:16,000 --> 01:30:18,000
...sobre D, en R3.

1745
01:30:18,000 --> 01:30:20,000
¿Vale?

1746
01:30:24,000 --> 01:30:26,000
Lo preguntan mucho, ¿eh?

1747
01:30:26,000 --> 01:30:28,000
Lo de, hay que hacer volumen de tal forma.

1748
01:30:30,000 --> 01:30:32,000
Yo voy a poner uno súper sencillo y así veis como manejo esfericas.

1749
01:30:34,000 --> 01:30:36,000
Todavía nos han dicho que...

1750
01:30:36,000 --> 01:30:38,000
...el volumen de una esfera es 4 tercios de pi R3.

1751
01:30:38,000 --> 01:30:40,000
Pues vamos a ver si es verdad.

1752
01:30:42,000 --> 01:30:44,000
Ejemplo.

1753
01:30:48,000 --> 01:30:50,000
¿Vale?

1754
01:31:00,000 --> 01:31:02,000
Volumen de una esfera...

1755
01:31:02,000 --> 01:31:04,000
...de radio R.

1756
01:31:12,000 --> 01:31:14,000
O sea que tenemos que calcular esto.

1757
01:31:14,000 --> 01:31:16,000
Volumen de D...

1758
01:31:18,000 --> 01:31:20,000
...la integral triple...

1759
01:31:20,000 --> 01:31:22,000
...algunos de vuestros profesores se cansan de escribir las tres...

1760
01:31:22,000 --> 01:31:24,000
...y hacen esto.

1761
01:31:24,000 --> 01:31:26,000
Ponen una...

1762
01:31:26,000 --> 01:31:28,000
...y ponen aquí uno U.

1763
01:31:28,000 --> 01:31:30,000
De volumen.

1764
01:31:30,000 --> 01:31:32,000
Y entonces os ponen aquí F...

1765
01:31:32,000 --> 01:31:34,000
...que encima no ponen ni X, ni Y, ni Z...

1766
01:31:34,000 --> 01:31:36,000
...y ponen esto.

1767
01:31:36,000 --> 01:31:38,000
Diferencial en U.

1768
01:31:38,000 --> 01:31:40,000
Simplemente por cuajería, por escribir menos, de crear menos...

1769
01:31:40,000 --> 01:31:42,000
¿Vale?

1770
01:31:42,000 --> 01:31:44,000
Uno va leyendo el enunciado y sabe lo que le están preguntando.

1771
01:31:44,000 --> 01:31:46,000
Esto equivale a esto.

1772
01:31:46,000 --> 01:31:48,000
¿De acuerdo?

1773
01:31:48,000 --> 01:31:50,000
Yo voy a poner siempre dobles, triples...

1774
01:31:50,000 --> 01:31:52,000
...a no ser que en un problema no lo ponga.

1775
01:32:00,000 --> 01:32:02,000
Bueno, tenemos que hacer esto.

1776
01:32:02,000 --> 01:32:04,000
Pero como es una esfera...

1777
01:32:04,000 --> 01:32:06,000
...me voy a pasar a esfericas.

1778
01:32:06,000 --> 01:32:08,000
Lo voy a coger de la ecuación de una esfera...

1779
01:32:08,000 --> 01:32:10,000
...X cuadrado más Y cuadrado...

1780
01:32:10,000 --> 01:32:12,000
...x cuadrado es Z cuadrado, igual a R al cuadrado...

1781
01:32:12,000 --> 01:32:14,000
...y liarme a despejar la Z.

1782
01:32:14,000 --> 01:32:16,000
Así que me paso a coordenadas esféricas.

1783
01:32:16,000 --> 01:32:18,000
Así que, como me paso a coordenadas esféricas...

1784
01:32:20,000 --> 01:32:22,000
...no tengo nada que sustituir.

1785
01:32:22,000 --> 01:32:24,000
¿Vale? Así que me da lo mismo quien sea X, Y, Z...

1786
01:32:24,000 --> 01:32:26,000
...pero sí tengo que poner el faculián.

1787
01:32:26,000 --> 01:32:28,000
Eso no se me puede olvidar.

1788
01:32:28,000 --> 01:32:30,000
Así que esto...

1789
01:32:32,000 --> 01:32:34,000
...dejo así separación, porque ahora tengo que poner los límites.

1790
01:32:36,000 --> 01:32:38,000
Pongo el faculián.

1791
01:32:40,000 --> 01:32:42,000
¿Vale?

1792
01:32:42,000 --> 01:32:44,000
En el número uno no hay nada que sustituir.

1793
01:32:44,000 --> 01:32:46,000
Así que...

1794
01:32:46,000 --> 01:32:48,000
...uno por el faculián.

1795
01:32:48,000 --> 01:32:50,000
R minúscula.

1796
01:32:50,000 --> 01:32:52,000
R minúscula tiene que ir...

1797
01:32:52,000 --> 01:32:54,000
...desde el centro de la esfera...

1798
01:32:54,000 --> 01:32:56,000
...hasta que se choque con la superficie esférica.

1799
01:32:56,000 --> 01:32:58,000
Que he dicho que está a una distancia...

1800
01:32:58,000 --> 01:33:00,000
...R mayúscula.

1801
01:33:00,000 --> 01:33:02,000
El rayo de la esfera.

1802
01:33:02,000 --> 01:33:04,000
Así que R minúscula va...

1803
01:33:04,000 --> 01:33:06,000
...de cero a R.

1804
01:33:06,000 --> 01:33:08,000
Ya tengo los límites de integración...

1805
01:33:08,000 --> 01:33:10,000
...de la R minúscula.

1806
01:33:12,000 --> 01:33:14,000
Yo ahora quiero darme...

1807
01:33:14,000 --> 01:33:16,000
...una vuelta entera a la esfera...

1808
01:33:16,000 --> 01:33:18,000
...porque quiero calcularme todo su volumen.

1809
01:33:18,000 --> 01:33:20,000
Así que el ángulo tic-tac...

1810
01:33:20,000 --> 01:33:22,000
...que es el ángulo horizontal...

1811
01:33:22,000 --> 01:33:24,000
...tengo que dejar de ser una vuelta entera.

1812
01:33:24,000 --> 01:33:26,000
Cero dos pi.

1813
01:33:26,000 --> 01:33:28,000
Tic-tac.

1814
01:33:30,000 --> 01:33:32,000
Y ahora cuidado...

1815
01:33:32,000 --> 01:33:34,000
...porque phi no tiene que darme una vuelta entera.

1816
01:33:34,000 --> 01:33:36,000
Phi es el ángulo...

1817
01:33:36,000 --> 01:33:38,000
...con el eje Z.

1818
01:33:38,000 --> 01:33:40,000
Para que no haya redundancia...

1819
01:33:40,000 --> 01:33:42,000
...y pase dos veces por el mismo punto...

1820
01:33:42,000 --> 01:33:44,000
...sólo tengo que dejar...

1821
01:33:44,000 --> 01:33:46,000
...que haga 180 grados.

1822
01:33:46,000 --> 01:33:48,000
Así que va de cero...

1823
01:33:48,000 --> 01:33:50,000
...hasta pi.

1824
01:33:50,000 --> 01:33:52,000
De cero...

1825
01:33:52,000 --> 01:33:54,000
...hasta pi.

1826
01:33:54,000 --> 01:33:56,000
Diferencial de phi.

1827
01:33:56,000 --> 01:33:58,000
¿Vale?

1828
01:33:58,000 --> 01:34:00,000
Me estoy calculando el volumen de toda...

1829
01:34:00,000 --> 01:34:02,000
...una esfera.

1830
01:34:02,000 --> 01:34:04,000
No tengo los problemas donde me digan...

1831
01:34:04,000 --> 01:34:06,000
...sólo quiero el primer octante...

1832
01:34:06,000 --> 01:34:08,000
...quiero entre tal sitio y tal sitio...

1833
01:34:08,000 --> 01:34:10,000
...entonces tendré que cambiar los datos de los ángulos.

1834
01:34:10,000 --> 01:34:12,000
¿Vale?

1835
01:34:12,000 --> 01:34:14,000
Si no me cogen todas las esferas en un trozo...

1836
01:34:14,000 --> 01:34:16,000
...pues el trozo no me coja.

1837
01:34:18,000 --> 01:34:20,000
¿Para hallar qué volumen?

1838
01:34:20,000 --> 01:34:22,000
Sí.

1839
01:34:22,000 --> 01:34:24,000
Me puedo hallar el volumen de un cuarto de esfera...

1840
01:34:24,000 --> 01:34:26,000
...y lo multiplico por cuatro.

1841
01:34:26,000 --> 01:34:28,000
De un octavo de esfera...

1842
01:34:28,000 --> 01:34:30,000
...y lo multiplico por ocho.

1843
01:34:30,000 --> 01:34:32,000
Y todo eso...

1844
01:34:32,000 --> 01:34:34,000
Mira, los científicos lo han visto.

1845
01:34:34,000 --> 01:34:36,000
Os he visto ya...

1846
01:34:36,000 --> 01:34:38,000
...he visto preguntar dos veces esto.

1847
01:34:38,000 --> 01:34:40,000
Una...

1848
01:34:40,000 --> 01:34:42,000
...hallate el área de...

1849
01:34:44,000 --> 01:34:46,000
...lefiscata de Bernoulli.

1850
01:34:46,000 --> 01:34:48,000
Así empezó a dar problema.

1851
01:34:48,000 --> 01:34:50,000
Y así con lo del infinito.

1852
01:34:50,000 --> 01:34:52,000
Si intentas hallarte directamente...

1853
01:34:52,000 --> 01:34:54,000
...el área de esto...

1854
01:34:54,000 --> 01:34:56,000
...porque me dan coordenadas polares...

1855
01:34:56,000 --> 01:34:58,000
...que ya veremos qué pasa cuando me dan...

1856
01:34:58,000 --> 01:35:00,000
...las polares.

1857
01:35:00,000 --> 01:35:02,000
Porque la integral no se entera.

1858
01:35:02,000 --> 01:35:04,000
La integral hace...

1859
01:35:04,000 --> 01:35:06,000
...área uno, área dos...

1860
01:35:06,000 --> 01:35:08,000
...área tres, área cuatro...

1861
01:35:08,000 --> 01:35:10,000
...como estas dos son iguales de arriba al negativo...

1862
01:35:10,000 --> 01:35:12,000
...cero. Ahí hay que darse cuenta...

1863
01:35:12,000 --> 01:35:14,000
...hacer un cuarto...

1864
01:35:14,000 --> 01:35:16,000
...es decir, que la figura es simétrica...

1865
01:35:16,000 --> 01:35:18,000
...multiplicado.

1866
01:35:18,000 --> 01:35:20,000
El año pasado...

1867
01:35:20,000 --> 01:35:22,000
...en la Ingeniería de la Energía...

1868
01:35:22,000 --> 01:35:24,000
...preguntaron esto.

1869
01:35:28,000 --> 01:35:30,000
Que es la rosa B...

1870
01:35:30,000 --> 01:35:32,000
...cuatro metados, en este caso.

1871
01:35:32,000 --> 01:35:34,000
¿Vale?

1872
01:35:34,000 --> 01:35:36,000
Como me la dieron en coordenadas polares...

1873
01:35:36,000 --> 01:35:38,000
...si intento hacerlo todo del pilón...

1874
01:35:38,000 --> 01:35:40,000
...subo el resto...cero.

1875
01:35:40,000 --> 01:35:42,000
Pero si hace dibujar...

1876
01:35:42,000 --> 01:35:44,000
...veo que esto es igual que lo demás...

1877
01:35:44,000 --> 01:35:46,000
...yo me doy un cuarto, lo multiplico por cuatro...

1878
01:35:46,000 --> 01:35:48,000
...y fuera. Pero en la esfera no hay truco.

1879
01:35:48,000 --> 01:35:50,000
En la esfera no va a salir bien.

1880
01:35:50,000 --> 01:35:52,000
¿Vale?

1881
01:35:52,000 --> 01:35:54,000
Cuando no me sale bien, es cuando me den esto...

1882
01:35:54,000 --> 01:35:56,000
...como su ecuación...

1883
01:35:56,000 --> 01:35:58,000
...por A.

1884
01:35:58,000 --> 01:36:00,000
Si me dan la ecuación por A...

1885
01:36:00,000 --> 01:36:02,000
...ahí hay que tener cuidado.

1886
01:36:02,000 --> 01:36:04,000
Porque, a lo mejor, si lo hago...

1887
01:36:04,000 --> 01:36:06,000
...hace la integral y dice...

1888
01:36:06,000 --> 01:36:08,000
...pero, ya sé lo que pasa.

1889
01:36:08,000 --> 01:36:10,000
He hecho todo de golpe, y estoy sumándolo de arriba a abajo.

1890
01:36:10,000 --> 01:36:12,000
Ahora, tengo que volver para atrás...

1891
01:36:12,000 --> 01:36:14,000
...hacer el dibujo, y ver...

1892
01:36:14,000 --> 01:36:16,000
...de dónde a dónde van las cosas en el primer cuadrante.

1893
01:36:16,000 --> 01:36:18,000
¿Vale?

1894
01:36:18,000 --> 01:36:20,000
Un área jamás os puede dar fe.

1895
01:36:20,000 --> 01:36:22,000
Bueno, seguimos con esta...

1896
01:36:24,000 --> 01:36:26,000
Voy a utilizar el problema de Fubini.

1897
01:36:26,000 --> 01:36:28,000
Porque todos son números.

1898
01:36:28,000 --> 01:36:30,000
Así que integro...

1899
01:36:30,000 --> 01:36:32,000
...r por un lado...

1900
01:36:40,000 --> 01:36:42,000
...entre cero...

1901
01:36:42,000 --> 01:36:44,000
...y r por dos.

1902
01:36:44,000 --> 01:36:46,000
Integro cero...

1903
01:36:46,000 --> 01:36:48,000
...menos cero.

1904
01:36:48,000 --> 01:36:50,000
Menos cero.

1905
01:36:52,000 --> 01:36:54,000
Entre cero...

1906
01:36:54,000 --> 01:36:56,000
...y pi.

1907
01:36:56,000 --> 01:36:58,000
Y como no hay tita...

1908
01:36:58,000 --> 01:37:00,000
...pues solo tengo que integrar diferencial de tita.

1909
01:37:00,000 --> 01:37:02,000
Que es tita.

1910
01:37:02,000 --> 01:37:04,000
Entre cero...

1911
01:37:04,000 --> 01:37:06,000
...y dos pi.

1912
01:37:08,000 --> 01:37:10,000
Vale.

1913
01:37:10,000 --> 01:37:12,000
Si sustituyo en la primera...

1914
01:37:12,000 --> 01:37:14,000
...solo hay que sustituir la R mayúscula...

1915
01:37:14,000 --> 01:37:16,000
...porque luego hay que sustituir un cero.

1916
01:37:16,000 --> 01:37:18,000
¿Vale?

1917
01:37:18,000 --> 01:37:20,000
R al cubo...

1918
01:37:20,000 --> 01:37:22,000
...tercios.

1919
01:37:26,000 --> 01:37:28,000
Menos coseno de pi.

1920
01:37:28,000 --> 01:37:30,000
Sustituyo por el de arriba.

1921
01:37:30,000 --> 01:37:32,000
Coseno de pi es menos uno.

1922
01:37:32,000 --> 01:37:34,000
Menos sustituyo por el de abajo.

1923
01:37:34,000 --> 01:37:36,000
Uno. O sea que me da menos dos.

1924
01:37:36,000 --> 01:37:38,000
Pero tengo un menos delante.

1925
01:37:38,000 --> 01:37:40,000
Dos.

1926
01:37:40,000 --> 01:37:42,000
Así que esto, dos.

1927
01:37:42,000 --> 01:37:44,000
Y este, dos pi.

1928
01:37:44,000 --> 01:37:46,000
Cuatro...

1929
01:37:46,000 --> 01:37:48,000
...pi tercios...

1930
01:37:48,000 --> 01:37:50,000
...de R.

1931
01:37:50,000 --> 01:37:52,000
Fórmula de todavía, el volumen...

1932
01:37:52,000 --> 01:37:54,000
...de una.

1933
01:37:54,000 --> 01:37:56,000
Así que ya podemos estar tranquilos...

1934
01:37:56,000 --> 01:37:58,000
...que lo sabemos.

1935
01:38:00,000 --> 01:38:02,000
¿Vale?

1936
01:38:06,000 --> 01:38:08,000
Pues, vistas de R2 y R3.

1937
01:38:08,000 --> 01:38:10,000
Me cambio de...

1938
01:38:10,000 --> 01:38:12,000
...este de aquí a ver si...

1939
01:38:12,000 --> 01:38:14,000
...que hemos hecho el apartado A.

1940
01:38:24,000 --> 01:38:26,000
Apartado B.

1941
01:38:26,000 --> 01:38:28,000
El mismo problema que he puesto antes...

1942
01:38:28,000 --> 01:38:30,000
...que hemos hecho el apartado A...

1943
01:38:30,000 --> 01:38:32,000
...vamos a hacer el apartado B.

1944
01:38:32,000 --> 01:38:34,000
Que me viene calcular un volumen.

1945
01:38:36,000 --> 01:38:38,000
Era el examen ese de junio...

1946
01:38:38,000 --> 01:38:40,000
...de la energía B.

1947
01:38:42,000 --> 01:38:44,000
Calcula el volumen.

1948
01:39:12,000 --> 01:39:14,000
¿Vale?

1949
01:39:42,000 --> 01:39:44,000
Vale.

1950
01:40:08,000 --> 01:40:10,000
Esto es lo mismo.

1951
01:40:10,000 --> 01:40:12,000
Esto es un dibujo tipo alfado.

1952
01:40:12,000 --> 01:40:14,000
¿Vale? El 2D.

1953
01:40:14,000 --> 01:40:16,000
Así que yo voy a dibujar...

1954
01:40:16,000 --> 01:40:18,000
...de esta manera.

1955
01:40:24,000 --> 01:40:26,000
La I...

1956
01:40:28,000 --> 01:40:30,000
...y la C.

1957
01:40:30,000 --> 01:40:32,000
La X sale así, nos pincha la A.

1958
01:40:32,000 --> 01:40:34,000
Por lo tanto...

1959
01:40:34,000 --> 01:40:36,000
...cuando yo veo un cilindro en alfado...

1960
01:40:36,000 --> 01:40:38,000
...yo lo veo como un rectángulo.

1961
01:40:38,000 --> 01:40:40,000
Yo veo algo que tiene altura...

1962
01:40:40,000 --> 01:40:42,000
...y una anchura 2 veces la radio.

1963
01:40:42,000 --> 01:40:44,000
Así que, el primero.

1964
01:40:44,000 --> 01:40:46,000
El radio es 2.

1965
01:40:46,000 --> 01:40:48,000
X cuadrado... ¡Ojo! Esto no son circunferencias.

1966
01:40:48,000 --> 01:40:50,000
Estamos en el espacio.

1967
01:40:50,000 --> 01:40:52,000
X cuadrado más Y cuadrado...

1968
01:40:52,000 --> 01:40:54,000
...igual a 4 es un cilindro...

1969
01:40:54,000 --> 01:40:56,000
...y el eje, la letra que falta.

1970
01:40:56,000 --> 01:40:58,000
La Z. Así que es un cilindro...

1971
01:40:58,000 --> 01:41:00,000
...como toda la vida. Un tú.

1972
01:41:00,000 --> 01:41:02,000
Si me pusiese...

1973
01:41:02,000 --> 01:41:04,000
...Y cuadrado más Z cuadrado...

1974
01:41:04,000 --> 01:41:06,000
...entonces sería un cilindro que sale así de la pared.

1975
01:41:06,000 --> 01:41:08,000
Pero sigue siendo un cilindro.

1976
01:41:08,000 --> 01:41:10,000
Y si me pusiese...

1977
01:41:10,000 --> 01:41:12,000
...X cuadrado más Z cuadrado...

1978
01:41:12,000 --> 01:41:14,000
...entonces sería un cilindro que sale de esta pared para allá.

1979
01:41:14,000 --> 01:41:16,000
Un cilindro en horizontal.

1980
01:41:16,000 --> 01:41:18,000
Pero sigue siendo un cilindro.

1981
01:41:18,000 --> 01:41:20,000
Así que, el primer cilindro...

1982
01:41:20,000 --> 01:41:22,000
...así.

1983
01:41:26,000 --> 01:41:28,000
Los cilindros no tienen fin.

1984
01:41:28,000 --> 01:41:30,000
Así que sigue para arriba y para arriba.

1985
01:41:30,000 --> 01:41:32,000
Sin embargo, aquí abajo, sí que me han puesto un toque.

1986
01:41:32,000 --> 01:41:34,000
En tierra y en el suelo...

1987
01:41:34,000 --> 01:41:36,000
...Z igual a 0.

1988
01:41:36,000 --> 01:41:38,000
Por eso no lo dibujo por debajo.

1989
01:41:38,000 --> 01:41:40,000
Solo lo dibujo por arriba.

1990
01:41:40,000 --> 01:41:42,000
Esto de aquí es el menos 2.

1991
01:41:42,000 --> 01:41:44,000
Esto de aquí es el 2.

1992
01:41:44,000 --> 01:41:46,000
Porque el radio del cilindro es 2.

1993
01:41:46,000 --> 01:41:48,000
Y ahora en rojo...

1994
01:41:48,000 --> 01:41:50,000
...dibujo el otro.

1995
01:41:50,000 --> 01:41:52,000
Que como el radio es 3...

1996
01:41:52,000 --> 01:41:54,000
...pues es un poquito más grande.

1997
01:42:02,000 --> 01:42:04,000
Dibujado los cilindros.

1998
01:42:04,000 --> 01:42:06,000
Y ahora tengo...

1999
01:42:06,000 --> 01:42:08,000
...en negro...

2000
01:42:08,000 --> 01:42:10,000
...plano Z igual a 0.

2001
01:42:10,000 --> 01:42:12,000
Aquí lo tenéis.

2002
01:42:12,000 --> 01:42:14,000
El suelo.

2003
01:42:14,000 --> 01:42:16,000
Ya lo he dibujado. Ese es Z.

2004
01:42:16,000 --> 01:42:18,000
Así que ahora voy a trazar...

2005
01:42:18,000 --> 01:42:20,000
...me voy a calcular...

2006
01:42:20,000 --> 01:42:22,000
...o voy a dibujar mejor...

2007
01:42:22,000 --> 01:42:24,000
...la traza del otro plano...

2008
01:42:24,000 --> 01:42:26,000
...cuando...

2009
01:42:26,000 --> 01:42:28,000
...corta mi pizarra.

2010
01:42:28,000 --> 01:42:30,000
Cuando yo corto la pizarra...

2011
01:42:30,000 --> 01:42:32,000
...X es 0.

2012
01:42:32,000 --> 01:42:34,000
En la pizarra X es 0.

2013
01:42:34,000 --> 01:42:36,000
Yo solo dibujo Y y Z.

2014
01:42:36,000 --> 01:42:38,000
Lo X es 0.

2015
01:42:38,000 --> 01:42:40,000
Así que lo que tengo que dibujar en la pizarra es una recta.

2016
01:42:40,000 --> 01:42:42,000
Que es la traza del plano...

2017
01:42:42,000 --> 01:42:44,000
...contra el plano.

2018
01:42:44,000 --> 01:42:46,000
Contra la pizarra.

2019
01:42:46,000 --> 01:42:48,000
Así que Z igual a menos Y...

2020
01:42:48,000 --> 01:42:50,000
...más 5.

2021
01:42:50,000 --> 01:42:52,000
Esto es lo que voy a dibujar.

2022
01:42:52,000 --> 01:42:54,000
Z igual a 5 menos Y.

2023
01:42:54,000 --> 01:42:56,000
Si Y vale 0...

2024
01:42:56,000 --> 01:42:58,000
...Z vale 5.

2025
01:42:58,000 --> 01:43:00,000
Si Y vale 5...

2026
01:43:00,000 --> 01:43:02,000
...Z vale 0.

2027
01:43:02,000 --> 01:43:04,000
Pues pongo por aquí...

2028
01:43:04,000 --> 01:43:06,000
...el punto 5.

2029
01:43:06,000 --> 01:43:08,000
Digo que este es el 5.

2030
01:43:08,000 --> 01:43:10,000
Y digo que este es el 5.

2031
01:43:14,000 --> 01:43:16,000
Por aquí.

2032
01:43:18,000 --> 01:43:20,000
Así.

2033
01:43:20,000 --> 01:43:22,000
Ese es...

2034
01:43:22,000 --> 01:43:24,000
...el plano.

2035
01:43:24,000 --> 01:43:26,000
Entonces esto de aquí...

2036
01:43:26,000 --> 01:43:28,000
...para verlo bien, pues me conviene...

2037
01:43:28,000 --> 01:43:30,000
...subir un poco más...

2038
01:43:30,000 --> 01:43:32,000
...para terminar bien el dibujo...

2039
01:43:32,000 --> 01:43:34,000
...esta parte de los cilindros...

2040
01:43:34,000 --> 01:43:36,000
...las pongo así...

2041
01:43:36,000 --> 01:43:38,000
...para que se choquen con el plano.

2042
01:43:38,000 --> 01:43:40,000
Que viene por aquí.

2043
01:43:42,000 --> 01:43:44,000
Esto es Z igual a...

2044
01:43:44,000 --> 01:43:46,000
...5 menos Y...

2045
01:43:46,000 --> 01:43:48,000
...más 6.

2046
01:43:48,000 --> 01:43:50,000
Pero yo solo veo la traza.

2047
01:43:54,000 --> 01:43:56,000
Luego me están pidiendo...

2048
01:43:56,000 --> 01:43:58,000
...que nos calculemos el volumen.

2049
01:43:58,000 --> 01:44:00,000
Lo que me están pidiendo...

2050
01:44:00,000 --> 01:44:02,000
...es que me calcule...

2051
01:44:02,000 --> 01:44:04,000
...todo esto de aquí.

2052
01:44:04,000 --> 01:44:06,000
Y esto de aquí.

2053
01:44:08,000 --> 01:44:10,000
Cuidado. Esto...

2054
01:44:10,000 --> 01:44:12,000
...lo he dibujado en 2D.

2055
01:44:12,000 --> 01:44:14,000
Pero esto sale así.

2056
01:44:14,000 --> 01:44:16,000
¿Vale? Yo lo que he hecho es un corte.

2057
01:44:16,000 --> 01:44:18,000
Así. Pero esto tiene volumen.

2058
01:44:18,000 --> 01:44:20,000
Esto sale así.

2059
01:44:20,000 --> 01:44:22,000
Así que visto desde arriba...

2060
01:44:22,000 --> 01:44:24,000
...yo veo desde arriba los dos cilindros...

2061
01:44:24,000 --> 01:44:26,000
...yo lo que estoy viendo es esto.

2062
01:44:26,000 --> 01:44:28,000
Es una corona circular.

2063
01:44:28,000 --> 01:44:30,000
Yo veo el cilindro grande...

2064
01:44:34,000 --> 01:44:36,000
...y el cilindro pequeño.

2065
01:44:36,000 --> 01:44:38,000
¿Vale? O sea que yo tengo...

2066
01:44:38,000 --> 01:44:40,000
...un volumen. Lo que pasa que ahí...

2067
01:44:40,000 --> 01:44:42,000
...al dibujarlo en R2 parece que son dos áreas.

2068
01:44:42,000 --> 01:44:44,000
No. Lo rayamos un volumen.

2069
01:44:46,000 --> 01:44:48,000
Muy bien.

2070
01:44:48,000 --> 01:44:50,000
Así.

2071
01:44:50,000 --> 01:44:52,000
Planteamos la integral.

2072
01:44:52,000 --> 01:44:54,000
La integral que nos están pidiendo...

2073
01:44:54,000 --> 01:44:56,000
...es calcular esto.

2074
01:44:58,000 --> 01:45:00,000
Volumen D.

2075
01:45:00,000 --> 01:45:02,000
El número 1...

2076
01:45:02,000 --> 01:45:04,000
...sobre D.

2077
01:45:12,000 --> 01:45:14,000
¿Vale?

2078
01:45:14,000 --> 01:45:16,000
Entonces, el número 1 no es un problema.

2079
01:45:16,000 --> 01:45:18,000
Yo lo que quiero es ver quién es D.

2080
01:45:20,000 --> 01:45:22,000
D.

2081
01:45:24,000 --> 01:45:26,000
Meteos dentro del volumen...

2082
01:45:26,000 --> 01:45:28,000
...que quieren que os cayéis.

2083
01:45:28,000 --> 01:45:30,000
O sea, yo hago esto.

2084
01:45:30,000 --> 01:45:32,000
Me cojo aquí...

2085
01:45:32,000 --> 01:45:34,000
...y me meto dentro del volumen.

2086
01:45:38,000 --> 01:45:40,000
Mis pies...

2087
01:45:40,000 --> 01:45:42,000
...están en Z igual a 0.

2088
01:45:42,000 --> 01:45:44,000
Y cuando levanto la cabeza...

2089
01:45:44,000 --> 01:45:46,000
...veo el plano.

2090
01:45:46,000 --> 01:45:48,000
Mi techo...

2091
01:45:48,000 --> 01:45:50,000
...es el plano.

2092
01:45:50,000 --> 01:45:52,000
Luego, tal como he puesto en teoría...

2093
01:45:52,000 --> 01:45:54,000
...Z sub 1...

2094
01:45:54,000 --> 01:45:56,000
...es el suelo.

2095
01:45:56,000 --> 01:45:58,000
Z igual a 0.

2096
01:45:58,000 --> 01:46:00,000
Y Z sub 2 es el plano.

2097
01:46:00,000 --> 01:46:02,000
Y aquí tengo despejada Z.

2098
01:46:02,000 --> 01:46:04,000
Así que yo ya sé de dónde...

2099
01:46:04,000 --> 01:46:06,000
...a dónde va Z.

2100
01:46:06,000 --> 01:46:08,000
Algunos de vuestros profesores...

2101
01:46:08,000 --> 01:46:10,000
...dicen...

2102
01:46:10,000 --> 01:46:12,000
...no te hagas...

2103
01:46:12,000 --> 01:46:14,000
...una integral triple.

2104
01:46:14,000 --> 01:46:16,000
Pues dicen que todas las integrales triples...

2105
01:46:16,000 --> 01:46:18,000
...de este tipo...

2106
01:46:18,000 --> 01:46:20,000
...se pueden convertir en integrales dobles.

2107
01:46:20,000 --> 01:46:22,000
De esta manera.

2108
01:46:24,000 --> 01:46:26,000
Ahora vamos a ver quién es D con este disco.

2109
01:46:28,000 --> 01:46:30,000
Directamente voy a poner...

2110
01:46:30,000 --> 01:46:32,000
...mi techo menos mi suelo.

2111
01:46:32,000 --> 01:46:34,000
Eso es lo que voy a hacer.

2112
01:46:34,000 --> 01:46:36,000
Techo...

2113
01:46:38,000 --> 01:46:40,000
...menos suelo.

2114
01:46:40,000 --> 01:46:42,000
Me recomiendo hacerlo así siempre.

2115
01:46:42,000 --> 01:46:44,000
Porque de un plumazo...

2116
01:46:44,000 --> 01:46:46,000
...os quitáis Z.

2117
01:46:46,000 --> 01:46:48,000
Y ya sólo me tengo que preocupar en qué pasa en el suelo.

2118
01:46:48,000 --> 01:46:50,000
¿Vale?

2119
01:46:50,000 --> 01:46:52,000
Muy útil... ¡Ojo! Esto sólo sirve...

2120
01:46:52,000 --> 01:46:54,000
...cuando estoy calculándome volúmenes.

2121
01:46:54,000 --> 01:46:56,000
Si aquí dentro...

2122
01:46:56,000 --> 01:46:58,000
...hay una función...

2123
01:46:58,000 --> 01:47:00,000
...tened cuidado de si vais a empezar por la Z...

2124
01:47:00,000 --> 01:47:02,000
...porque la Z es un espanto de integral.

2125
01:47:02,000 --> 01:47:04,000
Y conviene empezar por otra variable antes.

2126
01:47:04,000 --> 01:47:06,000
Aquí, como no hay ninguna...

2127
01:47:06,000 --> 01:47:08,000
...elijo Z. ¿Por qué?

2128
01:47:08,000 --> 01:47:10,000
Porque los volúmenes que nos ponen a todos los otros...

2129
01:47:10,000 --> 01:47:12,000
...siempre son en vertical.

2130
01:47:12,000 --> 01:47:14,000
Y hacer en vertical es muy fácil. Ver quién es el suelo...

2131
01:47:14,000 --> 01:47:16,000
...y ver quién es el techo. Cuesta más ver quiénes son las paredes laterales.

2132
01:47:16,000 --> 01:47:18,000
¿Vale?

2133
01:47:18,000 --> 01:47:20,000
Z sub 2...

2134
01:47:20,000 --> 01:47:22,000
...el plano.

2135
01:47:22,000 --> 01:47:24,000
Z sub 1...

2136
01:47:24,000 --> 01:47:26,000
...el suelo.

2137
01:47:26,000 --> 01:47:28,000
¿Vale? Z sub 2...

2138
01:47:28,000 --> 01:47:30,000
...este plano.

2139
01:47:34,000 --> 01:47:36,000
Z sub 1...

2140
01:47:36,000 --> 01:47:38,000
...el suelo.

2141
01:47:38,000 --> 01:47:40,000
Pues sustituyo.

2142
01:47:40,000 --> 01:47:42,000
Y ya sólo tengo X y Y.

2143
01:47:42,000 --> 01:47:44,000
Así que el volumen es...

2144
01:47:44,000 --> 01:47:46,000
...la integral doble...

2145
01:47:46,000 --> 01:47:48,000
...de con asterisco...

2146
01:47:48,000 --> 01:47:50,000
...de X menos Y menos Z...

2147
01:47:50,000 --> 01:47:52,000
...diferencial de X...

2148
01:47:52,000 --> 01:47:54,000
...diferencial de Y.

2149
01:48:02,000 --> 01:48:04,000
Ya me he quitado la tercera dimensión.

2150
01:48:04,000 --> 01:48:06,000
¿No sería más 5?

2151
01:48:06,000 --> 01:48:08,000
Es más 5. Gracias.

2152
01:48:14,000 --> 01:48:16,000
¿Vale?

2153
01:48:18,000 --> 01:48:20,000
Pues ahora...

2154
01:48:20,000 --> 01:48:22,000
...siempre que os quitéis...

2155
01:48:22,000 --> 01:48:24,000
...la tercera dimensión...

2156
01:48:24,000 --> 01:48:26,000
...como si fueseis un pájaro...

2157
01:48:26,000 --> 01:48:28,000
...os ponéis desde arriba, vista cenital...

2158
01:48:28,000 --> 01:48:30,000
...y lo que veáis desde arriba.

2159
01:48:30,000 --> 01:48:32,000
¿Y qué es lo que veo desde arriba?

2160
01:48:34,000 --> 01:48:36,000
Yo tengo un cilindro dentro de otro cilindro.

2161
01:48:36,000 --> 01:48:38,000
Así que yo desde arriba veo una corona circular.

2162
01:48:40,000 --> 01:48:42,000
He dicho circular...

2163
01:48:42,000 --> 01:48:44,000
...a polares.

2164
01:48:44,000 --> 01:48:46,000
¿De acuerdo?

2165
01:48:46,000 --> 01:48:48,000
Así que D con asterisco...

2166
01:48:48,000 --> 01:48:50,000
...es esto.

2167
01:48:52,000 --> 01:48:54,000
En X y Y...

2168
01:48:54,000 --> 01:48:56,000
...es...

2169
01:48:56,000 --> 01:48:58,000
...esta corona circular.

2170
01:48:58,000 --> 01:49:00,000
Radio pequeño, 2.

2171
01:49:00,000 --> 01:49:02,000
Radio grande, 3.

2172
01:49:02,000 --> 01:49:04,000
4 y 9.

2173
01:49:04,000 --> 01:49:06,000
Así que tengo que poner esto.

2174
01:49:08,000 --> 01:49:10,000
Todos los puntos que estén...

2175
01:49:10,000 --> 01:49:12,000
...entre un radio 2...

2176
01:49:12,000 --> 01:49:14,000
...y un radio 3.

2177
01:49:14,000 --> 01:49:16,000
O sea, entre 4 y 9.

2178
01:49:18,000 --> 01:49:20,000
La circunferencia grande menos la circunferencia pequeña.

2179
01:49:22,000 --> 01:49:24,000
Y ahora me paso a coordenadas polares.

2180
01:49:26,000 --> 01:49:28,000
Así que ahora voy a poner D con asterisco...

2181
01:49:28,000 --> 01:49:30,000
...en polares.

2182
01:49:30,000 --> 01:49:32,000
Ya sabemos cuáles son...

2183
01:49:32,000 --> 01:49:34,000
...así que no tengo por qué ponerlas.

2184
01:49:34,000 --> 01:49:36,000
Vosotros en el examen ponerlas, eh.

2185
01:49:36,000 --> 01:49:38,000
Jacobiano, ya sabemos cuál es.

2186
01:49:38,000 --> 01:49:40,000
Es R, no tengo por qué deducirlo.

2187
01:49:40,000 --> 01:49:42,000
Solo me tengo que preocupar...

2188
01:49:42,000 --> 01:49:44,000
...de dónde a dónde va R minúscula...

2189
01:49:44,000 --> 01:49:46,000
...que va de 2 a 3.

2190
01:49:46,000 --> 01:49:48,000
No de 4 a 9.

2191
01:49:48,000 --> 01:49:50,000
Eso es R al cuadrado.

2192
01:49:50,000 --> 01:49:52,000
De 2...

2193
01:49:52,000 --> 01:49:54,000
...a 3.

2194
01:49:56,000 --> 01:49:58,000
Y quiero darme una vuelta entera...

2195
01:49:58,000 --> 01:50:00,000
...porque me piden todo el volumen.

2196
01:50:00,000 --> 01:50:02,000
Así que el angulito tita...

2197
01:50:02,000 --> 01:50:04,000
...cero dos pi.

2198
01:50:08,000 --> 01:50:10,000
Y luego pongo aquí...

2199
01:50:10,000 --> 01:50:12,000
...para que no se me olvide el Jacobiano.

2200
01:50:16,000 --> 01:50:18,000
Que en coordenadas polares...

2201
01:50:18,000 --> 01:50:20,000
...sabemos qué es R.

2202
01:50:20,000 --> 01:50:22,000
Voy a poner todo esto fuera.

2203
01:50:22,000 --> 01:50:24,000
Dibujo fuera.

2204
01:50:28,000 --> 01:50:30,000
Y ahora...

2205
01:50:30,000 --> 01:50:32,000
...esta de aquí.

2206
01:50:32,000 --> 01:50:34,000
Me paso a polares.

2207
01:50:36,000 --> 01:50:38,000
Volumen...

2208
01:50:38,000 --> 01:50:40,000
...entre 2 y 3.

2209
01:50:42,000 --> 01:50:44,000
Entre 0 y 2.

2210
01:50:46,000 --> 01:50:48,000
Todas las X...

2211
01:50:48,000 --> 01:50:50,000
...sabemos que son R coseno de 90.

2212
01:50:50,000 --> 01:50:52,000
Porque estamos utilizando las polares de toda la vida.

2213
01:50:52,000 --> 01:50:54,000
Así que esto es R coseno de 90.

2214
01:50:54,000 --> 01:50:56,000
Y estamos utilizando las polares de toda la vida.

2215
01:50:56,000 --> 01:50:58,000
Así que esto es R coseno de 90.

2216
01:51:00,000 --> 01:51:02,000
Menos...

2217
01:51:02,000 --> 01:51:04,000
...R seno de 90.

2218
01:51:04,000 --> 01:51:06,000
Más 5...

2219
01:51:06,000 --> 01:51:08,000
...por el Jacobiano.

2220
01:51:10,000 --> 01:51:12,000
Diferencial de tita...

2221
01:51:12,000 --> 01:51:14,000
...diferencial de R.

2222
01:51:18,000 --> 01:51:20,000
Y ahora vosotros visualizad el caso.

2223
01:51:20,000 --> 01:51:22,000
Empezamos por tita.

2224
01:51:22,000 --> 01:51:24,000
¿Vale?

2225
01:51:24,000 --> 01:51:26,000
Para ver si alguna de las trigonometrías se me va.

2226
01:51:26,000 --> 01:51:28,000
Y entonces esa ya la tengo que acelerar.

2227
01:51:28,000 --> 01:51:30,000
Donde se vaya.

2228
01:51:30,000 --> 01:51:32,000
Como puedo elegir porque todos son números...

2229
01:51:32,000 --> 01:51:34,000
...pues empiezo por tita.

2230
01:51:36,000 --> 01:51:38,000
La integral de coseno...

2231
01:51:38,000 --> 01:51:40,000
...C.

2232
01:51:42,000 --> 01:51:44,000
Esta ya se va a ir a la basura.

2233
01:51:48,000 --> 01:51:50,000
La integral de menos seno...

2234
01:51:50,000 --> 01:51:52,000
...Coseno.

2235
01:51:52,000 --> 01:51:54,000
Otra que va de sobre.

2236
01:52:00,000 --> 01:52:02,000
Y la única que no va a quedar...

2237
01:52:02,000 --> 01:52:04,000
...es esta de aquí. La integral de 5.

2238
01:52:04,000 --> 01:52:06,000
5 por tita.

2239
01:52:10,000 --> 01:52:12,000
Y luego, que no se os olvide, que aquí fuera del paréntesis hay otra.

2240
01:52:12,000 --> 01:52:14,000
Otra.

2241
01:52:18,000 --> 01:52:20,000
Por tanto...

2242
01:52:20,000 --> 01:52:22,000
Seno de 2pi, 0.

2243
01:52:22,000 --> 01:52:24,000
Seno de 0, 0.

2244
01:52:24,000 --> 01:52:26,000
Coseno de 2pi, 1.

2245
01:52:26,000 --> 01:52:28,000
Coseno de 0, 1.

2246
01:52:28,000 --> 01:52:30,000
1 menos 1, 0.

2247
01:52:30,000 --> 01:52:32,000
Esas dos integrales, 4.

2248
01:52:32,000 --> 01:52:34,000
Así que solo me queda esta.

2249
01:52:38,000 --> 01:52:40,000
Eso va de 2pi.

2250
01:52:40,000 --> 01:52:42,000
Que no puedo sacar fuera de la integral.

2251
01:52:42,000 --> 01:52:44,000
Junto con el 5.

2252
01:52:44,000 --> 01:52:46,000
10pi.

2253
01:52:48,000 --> 01:52:50,000
Y entonces hay que hacer la integral de R.

2254
01:52:50,000 --> 01:52:52,000
Aquí hay una R que multiplicaba al paréntesis.

2255
01:52:54,000 --> 01:52:56,000
Así.

2256
01:53:00,000 --> 01:53:02,000
Bueno, pues he recuadrado medios...

2257
01:53:04,000 --> 01:53:06,000
...es el pi.

2258
01:53:06,000 --> 01:53:08,000
Y esto entre 3...

2259
01:53:08,000 --> 01:53:10,000
...y 2.

2260
01:53:14,000 --> 01:53:16,000
9 medios...

2261
01:53:16,000 --> 01:53:18,000
...menos, para sustituir a por 2...

2262
01:53:18,000 --> 01:53:20,000
...4 menos.

2263
01:53:24,000 --> 01:53:26,000
5 menos.

2264
01:53:26,000 --> 01:53:28,000
25.

2265
01:53:30,000 --> 01:53:32,000
Esto.

2266
01:53:36,000 --> 01:53:38,000
¿De acuerdo?

2267
01:53:38,000 --> 01:53:40,000
Pues ahí lo vamos.