1 00:00:00,800 --> 00:00:15,859 buenas en este vídeo vamos a usar todo lo que hemos aprendido a lo largo de los 2 00:00:15,859 --> 00:00:20,420 vídeos de divisibilidad para calcular el máximo común divisor de una serie de 3 00:00:20,420 --> 00:00:26,179 números que nos den y veremos su utilidad en el próximo vídeo 4 00:00:26,179 --> 00:00:30,859 trataremos su hermano gemelo que sería el mínimo común múltiplo pero bueno 5 00:00:30,859 --> 00:00:33,820 ya nos ocupará en el siguiente vídeo por el momento vamos a centrarnos en 6 00:00:33,820 --> 00:00:41,659 calcular el máximo común divisor. ¿Qué es el máximo común divisor? A ver, dado una 7 00:00:41,659 --> 00:00:48,219 serie de números, el máximo común divisor, que lo escribiremos como MCD, es el divisor 8 00:00:48,219 --> 00:00:54,259 común más grande que tiene. Vamos a verlo con un ejemplo. Imaginad que queremos calcular 9 00:00:54,259 --> 00:01:00,719 el máximo común divisor de los números 6 y 8. Hacemos la lista de los divisores del 10 00:01:00,719 --> 00:01:13,859 6, que son 1, 2, 3 y 6. Y la divisor es del 8, que son 1, 2, 4 y 8. Si os fijáis, divisores 11 00:01:13,859 --> 00:01:18,459 comunes tienen el 1 y el 2, que son los que extraen ambas listas, y el más grande de 12 00:01:18,459 --> 00:01:25,379 ellos es 2. Por tanto, diremos que el máximo común divisor de 6 y de 8 es 2. ¿Vale? 13 00:01:25,379 --> 00:01:32,579 claro esto cuando calcular los divisores del número si el número es pequeño son poquitos 14 00:01:32,579 --> 00:01:38,459 pues es fácil hacer la lista y mira cuál es el más grande pero qué podemos hacer si los números 15 00:01:38,459 --> 00:01:44,760 son grandes y tenemos que calcular todos los divisores puede ser un trabajo muy laborioso 16 00:01:44,760 --> 00:01:51,439 vale imaginar por ejemplo que queremos calcular el máximo como un divisor de 48 64 y 72 que 17 00:01:51,439 --> 00:01:56,099 tampoco que sean tan grandes, pero ya podéis comprobar vosotros, os invito a 18 00:01:56,099 --> 00:01:59,719 hacerlo, que calcular todos los divisores de estos números es una tarea un poco 19 00:01:59,719 --> 00:02:03,879 pesada. Así que vamos a aprender otra estrategia para calcular el máximo común 20 00:02:03,879 --> 00:02:11,610 divisor que no sé hacer la lista de todos los divisores. Vamos a ello. Vamos 21 00:02:11,610 --> 00:02:14,990 a hacerlo primero con un ejemplo. Queremos calcular el máximo común divisor 22 00:02:14,990 --> 00:02:20,310 de 12 y 18. En el anterior vídeo vimos cómo se calculaba la factorización de un 23 00:02:20,310 --> 00:02:24,849 número en primos vale así que vamos a calcular la factorización en primos del 24 00:02:24,849 --> 00:02:27,889 12 y del 18 25 00:02:28,069 --> 00:02:33,189 os dejo ahora que paréis un momento el vídeo vale y que la calculéis vosotros 26 00:02:33,189 --> 00:02:38,729 vale o sea por lo menos intentando a ver si luego sale lo que me va a seguir a mí 27 00:02:38,729 --> 00:02:46,939 vale yo ya la he hecho fijaros que 12 primero se prueba entre 2 sale a 6 entre 28 00:02:46,939 --> 00:02:50,560 2 a 3 ya el 3 no se puede dividir por 2 vale esto ya lo hablé en el vídeo 29 00:02:50,560 --> 00:02:55,599 anterior y entre 3 sale a 1 cuando llegabas al 1 habéis terminado 30 00:02:55,599 --> 00:03:00,740 ahora el 18 entre 2 a 9 el 9 entre 2 no se puede porque no es un número par así 31 00:03:00,740 --> 00:03:06,180 que pasamos al 3 que sale 3 también se puede dividir entre 3 sale a 1 32 00:03:06,180 --> 00:03:11,280 por tanto la factorización de ambos números sería 2 al cuadrado por 3 33 00:03:11,280 --> 00:03:19,979 elevado a 1 esa para el 12 y 18 sería 2 elevado a 1 por 3 al cuadrado vale que 34 00:03:19,979 --> 00:03:28,479 tenemos que hacer ahora vamos a coger los factores que hay comunes 35 00:03:28,479 --> 00:03:33,199 al menor exponente vale eso es la regla para calcular el máximo común divisor de 36 00:03:33,199 --> 00:03:39,960 una serie de números coger los factores primos comunes en todos los números al 37 00:03:39,960 --> 00:03:44,919 menor exponente vale aquí por ejemplo los factores comunes serían el 2 y el 3 38 00:03:44,919 --> 00:03:50,360 vale fijaros que tanto el 2 está en los dos sitios en el 12 en el 18 como el 3 39 00:03:50,360 --> 00:03:55,360 vale ojo hablo de los números que están abajo no hablo de los exponentes vale 40 00:03:55,360 --> 00:04:00,680 aquí los factores por ejemplo serían 2 y 3 y aquí también serían 2 y 3 como 41 00:04:00,680 --> 00:04:03,759 están en ambos sitios esos son los factores comunes 42 00:04:03,759 --> 00:04:10,199 el 2 en el 12 está elevado al cuadrado y en el 18 está elevado a 1 nos quedamos 43 00:04:10,199 --> 00:04:14,439 con el exponente más pequeño así que nos vamos a quedar con el del 18 que es 44 00:04:14,439 --> 00:04:19,240 2 elevado a 1 el 3 también está en ambos sitios aquí 45 00:04:19,240 --> 00:04:23,560 está elevado a 1 en el 12 y en el 18 está elevado al cuadrado nos quedamos 46 00:04:23,560 --> 00:04:27,120 con el más pequeño que sería en el 12 que está elevado a 1 47 00:04:27,120 --> 00:04:31,060 con esto ya tenemos el máximo común divisor 48 00:04:31,060 --> 00:04:35,339 el máximo común divisor aquí arriba aparece sería el 2 elevado a 1 que nos 49 00:04:35,339 --> 00:04:38,959 hemos quedado multiplicado por el 3 elevado a 1 que también nos hemos 50 00:04:38,959 --> 00:04:43,920 quedado si hacemos esta cuenta 2 elevado a 1 es 2 por 3 elevado a 1 que esto es 3 51 00:04:43,920 --> 00:04:51,980 2 por 3, 6. Así que el máximo común divisor de 12 y 18 es 6. Vamos a hacerlo ahora con otro ejemplo, ¿vale? 52 00:04:52,100 --> 00:04:58,160 Espero que haya quedado claro. Cualquier dificultad, como siempre os digo, escribidme, ¿vale? 53 00:04:58,699 --> 00:05:01,879 Pero confío en que con esto haya quedado claro. Voy a hacer otro ejemplo de todas maneras. 54 00:05:02,600 --> 00:05:06,980 ¿Os acordáis de qué os he dicho antes, no? El máximo común divisor de estos tres números, ¿vale? 55 00:05:07,420 --> 00:05:12,279 Vuelvo a deciros que paréis un momento el vídeo y que intentéis rellenar la factorización de números primos 56 00:05:12,279 --> 00:05:19,579 estos tres números vale confío en que lo hayáis intentado esa factorización sería 57 00:05:19,579 --> 00:05:26,779 estas vale ya las tienes aquí 48 entre 2 a 24 entre 2 a 12 bueno esto ya sabéis 58 00:05:26,779 --> 00:05:32,519 cómo se hace vale podéis pararlo para mirarlo un poquito más tímidamente 59 00:05:32,519 --> 00:05:35,620 el caso es que 60 00:05:36,160 --> 00:05:41,040 un segundo 48 se puede escribir como 2 elevado a la 61 00:05:41,040 --> 00:05:50,160 cuarta por 3, 64,2 elevado a 6 y 72,2 al cubo por 3 al cuadrado. Fijaros que ahora el único 62 00:05:50,160 --> 00:05:56,660 factor común es el 2. El 3 no aparece como factor en el 64, así que el 3 queda descartado. 63 00:05:57,279 --> 00:06:03,680 Tiene que estar el 3 en los tres sitios, bueno, el 3 o el factor que sea. Tiene que aparecer 64 00:06:03,680 --> 00:06:09,660 en todos los números. Aunque esté en el 48 y en el 72, si no está en el 64 no funciona. 65 00:06:12,610 --> 00:06:15,529 El 2, sin embargo, sí que está en los tres sitios, así que vamos a quedar con el 2. 66 00:06:16,250 --> 00:06:19,009 Una posible pregunta es, ¿y qué pasa si no hay ninguno en común? 67 00:06:19,350 --> 00:06:24,250 Bueno, en ese caso, decimos siempre que el máximo común divisor es 1, y ya está, ¿vale? 68 00:06:24,350 --> 00:06:30,889 Si no hubiera ningún factor en común, ponemos que el máximo común divisor de los números que aparecen es 1. 69 00:06:32,069 --> 00:06:34,889 Vale, ahora el 2, ¿a qué números está elevado? 70 00:06:35,310 --> 00:06:37,670 Está elevado a 4, a 6 y a 3. 71 00:06:37,670 --> 00:06:40,310 por tanto, el más pequeño es el 3 72 00:06:40,310 --> 00:06:43,050 nos quedamos con 2 elevado al cubo 73 00:06:43,050 --> 00:06:44,610 si calculamos 2 elevado al cubo 74 00:06:44,610 --> 00:06:46,350 os recuerdo que es 2 por 2 por 2 75 00:06:46,350 --> 00:06:47,089 que sale 8 76 00:06:47,089 --> 00:06:50,610 el máximo común divisor de todos estos 3 números 77 00:06:50,610 --> 00:06:52,110 de 48, 64, 72 78 00:06:52,110 --> 00:06:53,290 es 8 79 00:06:53,290 --> 00:06:55,550 lo vais a construir en la lista de divisores también 80 00:06:55,550 --> 00:06:57,170 y veis que efectivamente sale eso 81 00:06:57,170 --> 00:07:01,319 bueno, espero que os haya quedado claro 82 00:07:01,319 --> 00:07:03,839 ahora vamos a ver esto aplicado a un problema 83 00:07:03,839 --> 00:07:08,319 el máximo común divisor 84 00:07:08,319 --> 00:07:09,300 lo vamos a usar en problemas 85 00:07:09,300 --> 00:07:15,959 donde queremos agrupar diferentes cantidades en conjuntos que tengan todos el mismo tamaño y que 86 00:07:15,959 --> 00:07:23,100 sean lo más grande posible. Yo he pensado un ejemplo, sería este por ejemplo. Sara tiene 98 87 00:07:23,100 --> 00:07:31,060 cromos de sus jugadoras de fútbol favoritas y Marina tiene 42. Quieren formar montones con sus 88 00:07:31,060 --> 00:07:37,699 cromos. Los montones tienen que tener el mismo tamaño y no queremos mezclar los cromos. Es decir, 89 00:07:37,699 --> 00:07:41,519 que tanto los cromos de Sara como los cromos de Marina tienen que poder ser divisibles 90 00:07:41,519 --> 00:07:47,540 ¿vale? entre la cantidad que tenga cada montón ¿vale? para que no se tengan que mezclar 91 00:07:47,540 --> 00:07:51,980 ¿vale? de qué tamaño tienen que ser esos montones y cuántos montones tendrá cada 92 00:07:51,980 --> 00:07:59,399 una ¿vale? para hacer el problema vamos a calcular el máximo común divisor de esas 93 00:07:59,399 --> 00:08:08,500 dos cantidades, aquí os he hecho la descomposición en factores primos, 42 es 2 por 3 por 7 y 94 00:08:08,500 --> 00:08:15,480 98 es 2 por 7 al cuadrado. ¿Qué factores hay comunes? El 2 y el 7. El 3 no, que no está aquí abajo en el 98. 95 00:08:16,939 --> 00:08:21,399 El 2 aquí está elevado a 1, y aquí está elevado a 1, así que nos quedamos con 2 elevado a 1. 96 00:08:22,220 --> 00:08:26,980 El 7 está elevado aquí a 1, y aquí al cuadrado, así que nos quedamos con el 7 elevado a 1. 97 00:08:27,399 --> 00:08:38,240 Por tanto, el máximo común divisor de 42 y 98 es 2 elevado a 1 por 7 elevado a 1, 2 por 7, 14. 98 00:08:38,240 --> 00:08:45,600 ¿Qué significa entonces este 14? El 14 significa la cantidad que tiene que tener cada montón de cromos 99 00:08:45,600 --> 00:08:49,059 Los montones son de 14 cromos cada uno 100 00:08:49,059 --> 00:08:56,559 ¿Cuántos montones tendrá cada una? Pues ahora tendrá, si tenía 98 cromos y los quiere dividir en montones de 14 cromos 101 00:08:56,559 --> 00:08:59,100 Pues si hace la división le sale 7, 7 montones 102 00:08:59,100 --> 00:09:05,320 Y si Marina tenía 42 cromos y lo va a dividir en montones de 14, pues le saltarán 3 montones 103 00:09:05,320 --> 00:09:11,600 Bueno, entonces os voy a dejar aquí un par de ejercicios para hacer 104 00:09:11,600 --> 00:09:15,980 El primer ejercicio sería calcular estos dos máximos comunes divisores 105 00:09:15,980 --> 00:09:19,539 Aquí de tres números pequeñitos y aquí de dos números grandes 106 00:09:19,539 --> 00:09:23,820 Me gustaría que se hiciera con lo de la descomposición en factores primos 107 00:09:23,820 --> 00:09:29,309 Lo podéis hacer también de la otra manera, poniendo la lista de divisores 108 00:09:29,309 --> 00:09:32,110 Pero quiero que intentéis la que os he explicado en el vídeo 109 00:09:32,110 --> 00:09:34,789 Y si hubiera alguna dificultad, me la mandáis 110 00:09:34,789 --> 00:09:36,830 Y luego un problema, ¿vale? 111 00:09:36,830 --> 00:09:39,250 Juan tiene una cuerda de 120 metros 112 00:09:39,250 --> 00:09:40,610 y otra de 96 metros 113 00:09:40,610 --> 00:09:42,929 las quiere cortar en trozos iguales 114 00:09:42,929 --> 00:09:44,669 pero lo más largos posibles 115 00:09:44,669 --> 00:09:47,370 cuántos tienen que medir esos trozos 116 00:09:47,370 --> 00:09:49,529 y cuántos trozos de cuerda obtendrá 117 00:09:49,529 --> 00:09:51,590 un ejercicio muy parecido al de los cromos 118 00:09:51,590 --> 00:09:55,629 bueno, pues aquí dejo el vídeo 119 00:09:55,629 --> 00:09:58,149 me repito una vez más 120 00:09:58,149 --> 00:10:00,409 si hay algo que no se haya entendido 121 00:10:00,409 --> 00:10:02,669 escribidme 122 00:10:02,669 --> 00:10:04,789 y lo intento solucionar 123 00:10:04,789 --> 00:10:06,389 un saludo 124 00:10:06,830 --> 00:10:08,289 Gracias.