1 00:00:12,339 --> 00:00:18,339 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:18,339 --> 00:00:23,440 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:23,440 --> 00:00:32,840 de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy 4 00:00:32,840 --> 00:00:49,219 caracterizaremos los sistemas de ecuaciones lineales. En esta primera videoclase de la 5 00:00:49,219 --> 00:00:53,979 unidad vamos a introducir algunos conceptos y definiciones que van a ser importantes a 6 00:00:53,979 --> 00:00:59,659 lo largo de toda ella. En esta ecuación vamos a estudiar sistemas de ecuaciones lineales. ¿Qué es 7 00:00:59,659 --> 00:01:05,359 un sistema de ecuaciones? Bien, pues está formado por un conjunto de varias, dos o más, ecuaciones 8 00:01:05,359 --> 00:01:10,640 que pretendemos resolver simultáneamente. Queremos encontrar los valores de las incógnitas que hacen 9 00:01:10,640 --> 00:01:16,620 que todas ellas se verifiquen simultáneamente. Estas ecuaciones van a ser lineales y eso quiere 10 00:01:16,620 --> 00:01:21,640 decir que las incógnitas van a aparecer dentro de las ecuaciones siempre en la forma de un 11 00:01:21,640 --> 00:01:26,799 coeficiente numérico que multiplica a la incógnita. No la incógnita al cuadrado, no la incógnita al 12 00:01:26,799 --> 00:01:32,900 cubo, no la incógnita en un cociente como 3 partido de x, 3 partido de y, no en el argumento de ninguna 13 00:01:32,900 --> 00:01:42,200 función. No nos encontraremos con raíz cuadrada de x, logaritmo neperiano de x, e elevado a x más 2. 14 00:01:42,480 --> 00:01:48,040 Nos vamos a encontrar siempre las ecuaciones en la forma coeficiente por incógnita más coeficiente 15 00:01:48,040 --> 00:01:53,079 por antincógnita más coeficiente por antincógnita, así tantas como tengamos, igual a, por último, 16 00:01:53,540 --> 00:02:00,379 un término independiente, un último valor numérico. En general, los sistemas de n ecuaciones con m 17 00:02:00,379 --> 00:02:06,439 incógnitas, sistemas lineales, van a tener la forma que vemos aquí. Un coeficiente a1,1 por 18 00:02:06,439 --> 00:02:12,800 la primera incógnita x1 más un segundo coeficiente a1,2 por la segunda incógnita x2 más así 19 00:02:12,800 --> 00:02:19,840 sucesivamente hasta encontrarnos con un último coeficiente, a sub 1m, por la última incógnita, 20 00:02:19,919 --> 00:02:25,580 en este caso la m-ésima, puesto que tenemos m incógnitas, xm. Es igual al término independiente, 21 00:02:25,680 --> 00:02:34,680 en este caso b1. Fijaos en que los coeficientes vienen denotados con un subíndice doble. Nos 22 00:02:34,680 --> 00:02:42,479 encontramos 1, 1, 1, 2 hasta 1m. El primer subíndice indica la ecuación. Nos encontramos a 1, 1, a 1, 2, 23 00:02:42,479 --> 00:02:48,460 a1m con la primera ecuación y aquí b1, el primer término independiente. En el caso de los 24 00:02:48,460 --> 00:02:54,360 coeficientes, el segundo subíndice nos va a indicar cuál es la incógnita. a11 es la primera incógnita, 25 00:02:54,520 --> 00:03:02,560 a12 la segunda incógnita, así hasta a1m, la emésima incógnita de la primera ecuación. Lo mismo con 26 00:03:02,560 --> 00:03:09,819 todas las demás ecuaciones. La última sería an1 por x1 más an2 por x2 más, así todas las demás 27 00:03:09,819 --> 00:03:15,599 incógnitas hasta anm por xm igual al último término independiente del anésimo puesto que 28 00:03:15,599 --> 00:03:25,060 tenemos n ecuaciones b sub n y le des la misma a sub n1 en la enésima ecuación el coeficiente de 29 00:03:25,060 --> 00:03:30,919 la primera incógnita a sub n2 en la enésima ecuación el coeficiente de la segunda incógnita 30 00:03:30,919 --> 00:03:39,520 hasta el último a sub nm en la enésima ecuación el coeficiente de la mésima incógnita. Esta 31 00:03:39,520 --> 00:03:46,879 anotación con los coeficientes con dos subíndices nos recuerda mucho la que ya introdujimos hace 32 00:03:46,879 --> 00:03:50,780 dos unidades al hablar de matrices y también utilizamos en la unidad anterior hablando 33 00:03:50,780 --> 00:03:57,539 de terminantes y es que habitualmente vamos a transcribir los sistemas de n ecuaciones lineales 34 00:03:57,539 --> 00:04:06,120 con m incógnitas en forma de una única ecuación matricial en la forma m por x igual a b donde 35 00:04:06,120 --> 00:04:12,919 esta matriz X mayúscula es la matriz de incógnitas que se define como una matriz 36 00:04:12,919 --> 00:04:19,240 columna, con una única columna. Va a tener M filas, tantas como incógnitas, y lo que va a ocurrir es 37 00:04:19,240 --> 00:04:24,399 que nos vamos a encontrar con las incógnitas ordenadas de arriba abajo, X1, X2, así hasta la 38 00:04:24,399 --> 00:04:32,199 emésima incógnita. M mayúscula va a ser la matriz de coeficientes y en ella es una matriz n por m, 39 00:04:32,199 --> 00:04:39,300 una matriz cuadrada n por m, nos vamos a encontrar todos los coeficientes ordenados. Por filas vamos 40 00:04:39,300 --> 00:04:44,079 a tener los coeficientes de cada una de las ecuaciones y por columnas los coeficientes de 41 00:04:44,079 --> 00:04:49,240 cada una de las incógnitas. Así que en el mismo orden en el que la teníamos aquí los transcribiremos 42 00:04:49,240 --> 00:04:55,459 dentro de la matriz. A1, 1, A1, 2, los coeficientes de la primera fila son los coeficientes de la 43 00:04:55,459 --> 00:05:01,980 primera ecuación y si los leemos por columnas A1, 2, A2, 2 hasta AN2 lo que vamos a tener son 44 00:05:01,980 --> 00:05:08,500 los coeficientes de la correspondiente incógnita, en este caso la segunda. Por último, esta matriz 45 00:05:08,500 --> 00:05:14,600 B, B mayúscula, va a ser la matriz de términos independientes. Está definida como una matriz 46 00:05:14,600 --> 00:05:22,560 columna, tiene una única columna y en este caso tiene n filas. En esta matriz vamos a tener B1, 47 00:05:22,639 --> 00:05:28,319 B2 hasta Bn ordenados todos los términos independientes. Puesto que tenemos n ecuaciones, 48 00:05:28,319 --> 00:05:34,379 tenemos n términos independientes y esta va a ser una matriz n por 1, n filas, una columna. 49 00:05:35,160 --> 00:05:44,579 Y entonces todo cuadra. La matriz m n por m puede multiplicarse por esta matriz de incógnitas tal y como está definida m por 1 50 00:05:44,579 --> 00:05:50,319 y el resultado sería una matriz n por 1 las dimensiones de esta matriz de términos independientes. 51 00:05:50,319 --> 00:05:59,879 Entonces, nosotros habitualmente no vamos a resolver así, de esta forma, directamente el sistema de ecuaciones resolviendo la ecuación matricial. 52 00:06:00,000 --> 00:06:06,600 Aunque sea cierto que nosotros transcribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial puesto que nos va a ser útil. 53 00:06:07,379 --> 00:06:14,300 Nosotros habitualmente lo que vamos a hacer es utilizar no por separado esta matriz de coeficientes y esta matriz de términos independientes, 54 00:06:14,300 --> 00:06:24,339 sino que utilizaremos la que se define como matriz de coeficientes ampliada que vamos a denotar por m asterisco o también vamos a leerlo como m estrella 55 00:06:24,339 --> 00:06:33,639 y que no es más que poner a continuación de la matriz de coeficientes como columna adicional la matriz de términos independientes. 56 00:06:33,639 --> 00:07:02,000 Es una matriz n por m más 1, tiene n filas tantas como ecuaciones y m más 1 columnas tantas como incógnitas y una más para los términos independientes y lo que ocurre es que como decía se colocará a continuación de la matriz de coeficientes la matriz de términos independientes y habitualmente dibujaremos siempre esta línea vertical que nos va a ayudar a separar visualmente esas dos submatrices de esta matriz de coeficientes. 57 00:07:02,000 --> 00:07:06,379 La matriz de coeficientes a la izquierda y la de términos independientes a la derecha. 58 00:07:08,279 --> 00:07:16,300 Nosotros en esta unidad y en este curso estudiaremos sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con carácter general. 59 00:07:17,100 --> 00:07:25,339 La extensión a más ecuaciones o más incógnitas es inmediata, no es excesivamente complicada y sí lleva mucho más trabajo. 60 00:07:25,860 --> 00:07:31,540 Con lo cual nos vamos a restringir con carácter general, como decía, a tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 61 00:07:31,540 --> 00:07:48,480 Nuestros sistemas de ecuaciones en esta unidad van a ser de la forma a1,1 por x más a1,2 por y más a1,3 por z igual a b1, a2,1 por x más a2,2 por y más a2,3 por z igual a b2, a3,1 por x más a3,2 por y más a3,3 por z igual a b3. 62 00:07:48,839 --> 00:07:58,459 Y como podéis ver no vamos a denotar las incógnitas x1,x2,x3 de esa forma general sino que habitualmente utilizaremos x,y,z. 63 00:07:59,139 --> 00:08:05,500 En forma matricial, nuestra matriz de incógnitas será una matriz columna 3x1, tres filas y una única columna. 64 00:08:05,939 --> 00:08:08,579 En filas tendremos las incógnitas x, y, z. 65 00:08:09,480 --> 00:08:17,860 La matriz de coeficientes será una matriz cuadrada de orden 3 y tendremos los coeficientes a11, a12, a13, los de la primera ecuación, 66 00:08:18,379 --> 00:08:24,399 a21, a22, a23, los de la segunda, a31, a32, a33, los de la tercera, ordenados. 67 00:08:24,399 --> 00:08:39,059 En la primera columna los coeficientes de la primera incógnita en esta matriz, x, en la segunda columna los de la segunda incógnita en esta matriz, y, y en la tercera columna los de la tercera incógnita en esta matriz, z. 68 00:08:39,519 --> 00:08:48,360 La matriz de términos independientes es una matriz columna 3x1, tenemos tres ecuaciones y tenemos los términos independientes b1, b2 y b3. 69 00:08:48,360 --> 00:09:10,659 Y como decía, con carácter general, más que definir y escribir estas dos matrices por separado, la matriz de coeficientes y la matriz de términos independientes, utilizaremos la matriz de coeficientes ampliada, M asterisco, M estrella, como queramos leerla, que no es más que la matriz de coeficientes añadiendole a su derecha una columna adicional con la matriz de términos independientes. 70 00:09:10,659 --> 00:09:24,179 De tal forma que tenemos una matriz M asterisco formada por dos submatrices, matriz de coeficientes, esta línea vertical que nos ayuda a separar visualmente la información contenida en las dos matrices, a continuación la matriz de términos independientes. 71 00:09:24,179 --> 00:09:37,500 Si, por ejemplo, nos preguntamos por este sistema de ecuaciones, que trataremos más adelante en la siguiente videoclase, vemos cómo tenemos efectivamente tres ecuaciones. 72 00:09:38,039 --> 00:09:45,019 La primera x más 2y más z igual a 0, la segunda x menos y igual a 1 y la última menos y menos z igual a menos 1. 73 00:09:45,139 --> 00:09:48,519 Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Ya vemos x, y, z. 74 00:09:49,519 --> 00:09:55,940 ¿Cuál va a ser la matriz de incógnitas? Pues va a ser una matriz columna con las incógnitas en este orden x, y, z. 75 00:09:56,440 --> 00:10:04,639 ¿Cuál va a ser la matriz de coeficientes? Bueno, pues en este orden los coeficientes por incógnitas, ordenados por incógnitas, en cada una de las ecuaciones. 76 00:10:04,639 --> 00:10:14,980 En la primera fila tendremos 1, 2, 1. En la segunda fila tendremos 1, menos 1, 0, puesto que en la incógnita z no aparece en esta ecuación. 77 00:10:14,980 --> 00:10:22,360 Y en cuanto a la tercera fila, tendremos 0, menos 1, menos 1, 0, porque en esta ecuación no aparece la incógnita x. 78 00:10:22,820 --> 00:10:32,440 En cuanto a la matriz de términos independientes, va a ser una matriz columna, 3 por 1, y lo que tendrá serán los términos independientes ordenados, 0, 1, menos 1. 79 00:10:33,220 --> 00:10:41,840 La matriz de coeficientes ampliada, m asterisco, lo que contiene son los coeficientes y los términos independientes en este orden. 80 00:10:41,840 --> 00:10:45,279 Podríamos escribirlo directamente leyéndolo también en el sistema de ecuaciones. 81 00:10:45,759 --> 00:10:51,240 En la primera fila de M asterisco tendremos 1, 2, 1, 0, el término independiente. 82 00:10:51,899 --> 00:10:56,120 En la segunda, 1, menos 1, 0, 1, el término independiente. 83 00:10:56,620 --> 00:10:59,820 Y en la última, 0, menos 1, menos 1 y menos 1. 84 00:11:00,580 --> 00:11:07,340 Y pondríamos una línea vertical separando la última columna para tener claro que la última columna son términos independientes, 85 00:11:07,700 --> 00:11:10,279 las tres columnas anteriores serían los coeficientes. 86 00:11:11,019 --> 00:11:17,320 Voy a volver atrás para continuar con algunas definiciones que nos van a hacer falta dentro de esta unidad. 87 00:11:17,879 --> 00:11:27,039 Como decía al principio, nosotros buscamos resolver el sistema de ecuaciones y eso supone resolver todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. 88 00:11:27,919 --> 00:11:34,820 Atendiendo a cuáles sean las soluciones que podamos o no encontrar del sistema de ecuaciones, vamos a distinguir tres tipos de sistemas. 89 00:11:34,820 --> 00:11:40,860 En primer lugar, los sistemas que llamaremos incompatibles son aquellos que no tienen solución. 90 00:11:41,440 --> 00:11:47,299 Bien porque algunas o todas las ecuaciones no tengan solución, podría ocurrir, 91 00:11:47,840 --> 00:11:55,919 o bien porque teniendo todas las ecuaciones solución, no haya ninguna solución que sea solución simultánea de todas ellas. 92 00:11:57,019 --> 00:12:02,980 Por oposición a los sistemas incompatibles, definimos los sistemas compatibles, que son aquellos que sí tienen solución. 93 00:12:02,980 --> 00:12:17,179 Y aquí distinguiremos sistemas compatibles determinados, son aquellos que tienen solución y esa solución es una única, y sistemas compatibles indeterminados, que son aquellos que sí tienen solución, pero esa solución no es única. 94 00:12:17,360 --> 00:12:30,519 Y en ese caso las soluciones van a ser infinitas. Fijaos en que si tenemos un número finito de soluciones va a ser una única. Y si tienen solución y no es única, tendremos infinitas soluciones. 95 00:12:31,519 --> 00:12:41,080 Cuando hablo de una única solución, tened en mente que no hablo de un único valor numérico, sino de un único valor para la matriz de coeficientes. 96 00:12:41,419 --> 00:12:50,659 En el caso en el que tenemos sistemas con tres incógnitas, como va a ser el caso, la solución va a estar dada por tres números cada una de las soluciones. 97 00:12:51,240 --> 00:12:59,399 Y así, por ejemplo, diremos que un sistema de ecuaciones tiene una única solución y esa solución será x igual a 1, y igual a 2, t igual a 3, por ejemplo. 98 00:13:00,039 --> 00:13:07,360 Fijaos que una única solución va a estar formada por un único juego de valores para el número de incógnitas que nosotros tengamos. 99 00:13:07,360 --> 00:13:12,340 No es un único número, sino tantos valores numéricos como incógnitas tengamos. 100 00:13:13,059 --> 00:13:22,379 Aprovecho para decir que nosotros definiremos la matriz de incógnitas de esta manera y entonces esperamos encontrarnos la solución de esta manera, 101 00:13:22,480 --> 00:13:28,899 en forma de una matriz columna que va a tener tres filas, tantas filas como incógnitas tengamos, y una única columna. 102 00:13:29,399 --> 00:13:44,100 Alternativamente y por una cuestión estética, para que no ocupe tanto en la vertical, podremos dar las soluciones en ciertas ocasiones cuando no estemos utilizando en sentido estricto la notación matricial porque no estemos resolviendo en sentido estricto la ecuación matricial. 103 00:13:44,100 --> 00:13:48,019 Lo veremos más adelante a lo largo de esta unidad, en las siguientes videoclases. 104 00:13:48,399 --> 00:13:53,740 Como decía, utilizaremos una notación que va a ser más alargada en una única fila. 105 00:13:53,840 --> 00:13:59,820 Y entonces lo que haremos será no dar la solución en forma de matriz columna, sino en forma de matriz fila. 106 00:13:59,980 --> 00:14:04,840 Y lo que tendremos será, en primer lugar, la X, a continuación la Y, a continuación Z. 107 00:14:05,080 --> 00:14:07,620 Lo veremos, como digo, más adelante en alguna videoclase posterior. 108 00:14:08,720 --> 00:14:12,659 Por último, para cerrar esta primera videoclase de introducción, 109 00:14:12,659 --> 00:14:17,840 quiero señalar que dentro de los sistemas de ecuaciones van a tener especial importancia 110 00:14:17,840 --> 00:14:20,120 los sistemas que se llaman homogéneos. 111 00:14:20,379 --> 00:14:25,480 Son aquellos cuyos términos independientes son todos idénticamente nulos. 112 00:14:26,460 --> 00:14:31,220 Estos sistemas homogéneos van a ser importantes porque van a aparecer en la vida real 113 00:14:31,220 --> 00:14:34,740 en muchas condiciones de importancia, de importancia real. 114 00:14:34,740 --> 00:14:38,299 Y desde el punto de vista algebraico, desde el punto de vista operativo 115 00:14:38,299 --> 00:14:42,200 porque todos estos sistemas van a ser siempre compatibles. 116 00:14:42,659 --> 00:14:54,019 Pueden ser compatibles determinados, compatibles indeterminados, pero seguro que compatibles, puesto que la solución idénticamente nula, x igual a 0, igual a 0, z igual a 0, va a ser siempre solución de estos sistemas. 117 00:14:54,279 --> 00:15:00,580 En un sistema compatible determinado, solución única, esta será la única solución, la idénticamente nula. 118 00:15:01,139 --> 00:15:08,679 En sistemas compatibles indeterminados tendremos infinitas soluciones, pero una de ellas al menos va a ser la solución idénticamente nula. 119 00:15:08,679 --> 00:15:22,679 Con esto vamos a poder resolver ya estos sistemas de ecuaciones dados en forma de un enunciado, los plantearemos, los transcribiremos en forma de matricial y los resolveremos en clase y en posteriores videoclases. 120 00:15:23,179 --> 00:15:36,710 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes videográficas y en la web. 121 00:15:37,549 --> 00:15:42,269 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 122 00:15:42,870 --> 00:15:44,230 Un saludo y hasta pronto.