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00:00:12,339 --> 00:00:18,339
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,339 --> 00:00:23,440
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:23,440 --> 00:00:32,880
de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy

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00:00:32,880 --> 00:00:50,500
estudiaremos el criterio de compatibilidad. En esta videoclase vamos a estudiar el criterio

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00:00:50,500 --> 00:00:55,000
de compatibilidad. Os recuerdo que en la primera videoclase de introducción de la unidad

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00:00:55,000 --> 00:01:00,679
decíamos que íbamos a distinguir sistemas incompatibles, aquellos que no tienen solución,

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00:01:00,859 --> 00:01:03,359
de compatibles, aquellos que sí tienen solución.

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00:01:03,759 --> 00:01:06,819
Y en un siguiente paso, los sistemas compatibles, a su vez,

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00:01:07,280 --> 00:01:10,980
se iban a dividir en sistemas compatibles determinados, aquellos que tienen solución

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00:01:10,980 --> 00:01:15,379
y esta solución es una única, y sistemas compatibles indeterminados,

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00:01:15,379 --> 00:01:21,180
aquellos que tienen solución, tienen más de una solución y de hecho tienen infinitas soluciones.

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00:01:21,180 --> 00:01:26,099
Bien, el teorema de Rousseff-Rovenius nos habla de la compatibilidad.

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00:01:26,319 --> 00:01:31,239
Nos da un criterio para poder decidir si un sistema de ecuaciones tiene o no tiene solución.

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00:01:32,000 --> 00:01:41,599
Y es que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz de coeficientes ampliada.

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00:01:42,079 --> 00:01:50,799
En cualquier otro caso, si el rango de la matriz de coeficientes y la matriz de coeficientes ampliada no coincide, lo que tenemos es un sistema incompatible.

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00:01:51,180 --> 00:01:57,200
El teorema de Rousseff-Rovenius, en sentido estricto, nos habla de compatibilidad, el sistema es compatible o no.

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00:01:57,480 --> 00:02:04,099
No obstante, no sólo utilizando los rangos de m y m estrella, la matriz de coeficientes y la matriz de coeficientes ampliada,

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00:02:04,599 --> 00:02:12,259
sino además comparando con n el número de incógnitas, podemos encontrar un criterio para discutir las soluciones,

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00:02:12,400 --> 00:02:14,620
el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

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00:02:14,620 --> 00:02:23,199
De hecho, si un sistema de ecuaciones es compatible y tiene soluciones, podremos decidir si esa solución es única o bien si hay infinitas soluciones.

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00:02:24,180 --> 00:02:34,340
La idea es esta. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz de coeficientes ampliada y este número a su vez coincide con el número de incógnitas,

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00:02:34,919 --> 00:02:43,539
el sistema es compatible, puesto que estos rangos son iguales y eso nos lo garantiza el teorema de los sephrobenius, y además es un sistema compatible determinado.

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00:02:43,539 --> 00:02:46,639
tiene solución y esa solución es una única.

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00:02:47,439 --> 00:02:51,240
Si el rango de ambas matrices, la de coeficientes y la de coeficientes ampliada,

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00:02:51,520 --> 00:02:54,639
coinciden, el sistema es compatible por el teorema de Roche-Frobenius,

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00:02:54,960 --> 00:02:57,360
pero es menor que el número de incógnitas,

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00:02:57,939 --> 00:03:01,659
en ese caso tendremos un sistema que será compatible indeterminado.

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00:03:02,780 --> 00:03:07,580
Puede darse el caso en el que tengamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,

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00:03:07,580 --> 00:03:11,879
n va a ser igual a 3, el rango de m es 3, el de m estrella es 3,

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00:03:11,879 --> 00:03:13,919
ambos rangos son iguales a 3

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00:03:13,919 --> 00:03:15,719
el número de incógnitas, en ese caso

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00:03:15,719 --> 00:03:17,520
el sistema es compatible determinado.

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00:03:18,580 --> 00:03:19,259
Podría ser

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00:03:19,259 --> 00:03:21,419
que el rango de la matriz de coeficientes

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00:03:21,419 --> 00:03:23,539
y de la matriz de coeficientes ampliada fuera

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00:03:23,539 --> 00:03:25,479
2 iguales a 2

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00:03:25,479 --> 00:03:27,879
que va a ser menor que el número de incógnitas

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00:03:27,879 --> 00:03:29,560
que es 3. En ese caso

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00:03:29,560 --> 00:03:31,680
el sistema va a ser compatible, va a tener solución

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00:03:31,680 --> 00:03:33,719
indeterminado, va a haber infinitas

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00:03:33,719 --> 00:03:35,699
soluciones. Y la dimensión

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00:03:35,699 --> 00:03:37,759
del espacio de soluciones, como veis aquí, va a ser

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00:03:37,759 --> 00:03:39,539
n menos el rango de m. En este ejemplo

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00:03:39,539 --> 00:03:41,439
que os acabo de contar, 3 menos 2

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00:03:41,439 --> 00:03:46,580
igual a 1, lo que va a ocurrir es que una de las incógnitas, una de las tres, no va a estar

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00:03:46,580 --> 00:03:52,719
determinada y dependiendo de los infinitos valores que pudiera tomar esa incógnita tendremos infinitas

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00:03:52,719 --> 00:03:58,300
soluciones. Y cuando hablo de la dimensión del espacio de soluciones 3 menos 2 igual a 1 me

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00:03:58,300 --> 00:04:05,080
refiero precisamente a eso, hay una incógnita que no podremos determinar. Otra posibilidad sería que

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00:04:05,080 --> 00:04:10,460
el rango de m y el rango de m ampliada ambos fueran igual a 1, iguales, iguales a 1, menor que el

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00:04:10,460 --> 00:04:14,120
número de incógnitas, que es 3. Estamos como antes, tenemos un sistema

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00:04:14,120 --> 00:04:18,199
compatible, los rangos coinciden, el teorema de Roche-Frobenius garantiza que el sistema

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00:04:18,199 --> 00:04:21,980
es compatible, pero el sistema es compatible indeterminado, tenemos

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00:04:21,980 --> 00:04:26,720
infinitas soluciones. En este caso, fijaos, las dimensiones

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00:04:26,720 --> 00:04:29,879
del espacio de soluciones serían n menos el rango de m,

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00:04:30,240 --> 00:04:34,259
3 menos 1 igual a 2. En este caso lo que estaría ocurriendo es que

56
00:04:34,259 --> 00:04:38,120
no hay una sino dos incógnitas que no se podrían determinar.

57
00:04:38,439 --> 00:04:42,699
Tendríamos, por ejemplo, z perteneciente a r e y perteneciente a r.

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00:04:43,680 --> 00:04:50,720
Podemos elegir tanto y como z de una forma arbitraria y podremos determinar el valor de x que le corresponde.

59
00:04:51,040 --> 00:04:56,360
Cuando digo que la dimensión del espacio de soluciones es igual a 2, 3 menos 1 igual a 2, me refiero precisamente a esto.

60
00:04:56,860 --> 00:05:02,819
Va a haber dos incógnitas que no se van a poder determinar y que tomarán valores arbitrarios.

61
00:05:02,819 --> 00:05:09,519
En cualquier otro caso, si el rango de m es menor que el rango de m ampliada, el sistema va a ser incompatible y no va a tener solución.

62
00:05:09,560 --> 00:05:19,100
Fijaos que el rango de M tiene que necesariamente ser menor o igual que el rango de M estrella, la matriz de coeficientes ampliada, puesto que M es una submatriz de M ampliada.

63
00:05:19,620 --> 00:05:27,079
Fijaos, recordad, M ampliada se formaba añadiendole a la matriz de coeficientes una columna extra, que es la columna de los términos independientes.

64
00:05:27,079 --> 00:05:32,060
Así pues, el rango de M siempre va a ser menor o igual que el rango de la matriz de coeficientes ampliada.

65
00:05:32,879 --> 00:05:37,800
Si es menor, estrictamente menor, el teorema de los Sheffrovenius garantiza que el sistema es incompatible.

66
00:05:37,800 --> 00:05:41,639
si son iguales, este teorema garantiza que el sistema va a ser

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00:05:41,639 --> 00:05:44,939
compatible, va a tener solución. Si los rangos

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00:05:44,939 --> 00:05:47,779
coinciden y son iguales al número de incógnitas, el sistema

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00:05:47,779 --> 00:05:50,819
será compatible determinado, habrá una única solución

70
00:05:50,819 --> 00:05:53,720
nos encontramos ante un sistema de Cramer que podremos

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00:05:53,720 --> 00:05:56,879
resolver, por ejemplo, con cualquiera de los métodos que vimos en la videoclase

72
00:05:56,879 --> 00:05:59,480
anterior. En el caso en el que los rangos coinciden

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00:05:59,480 --> 00:06:02,600
pero son menores que el número de incógnitas, habrá una

74
00:06:02,600 --> 00:06:05,579
o dos incógnitas o más. En el caso general

75
00:06:05,579 --> 00:06:09,680
posiblemente que no podremos determinar, tomarán valores reales

76
00:06:09,680 --> 00:06:13,800
y sí podremos determinar, dar expresiones algebraicas para todas las demás

77
00:06:13,800 --> 00:06:17,420
en función de éstas. Con esto que acabamos de ver

78
00:06:17,420 --> 00:06:21,540
ya se puede resolver este ejercicio en el cual se nos pide estudiar

79
00:06:21,540 --> 00:06:25,699
la compatibilidad y el número de soluciones de estos dos sistemas

80
00:06:25,699 --> 00:06:29,899
de ecuaciones lineales. Primero estudiar la compatibilidad y el número de soluciones

81
00:06:29,899 --> 00:06:33,959
más adelante los resolveremos en función de cómo fueran

82
00:06:33,959 --> 00:06:38,040
Si el sistema es incompatible, evidentemente no lo resolveremos, puesto que no se puede resolver.

83
00:06:38,660 --> 00:06:45,939
En el caso en el que sea compatible determinado, podríamos utilizar cualquiera de los métodos que vimos en la videoclase anterior del sistema de Kramer,

84
00:06:46,079 --> 00:06:47,800
puesto que estaríamos ante un sistema de Kramer.

85
00:06:48,420 --> 00:06:53,399
Si el sistema es compatible indeterminado, tendremos que utilizar otras técnicas que veremos en videoclases posteriores.

86
00:06:54,100 --> 00:06:57,959
Resolveremos, como decía, este ejercicio en clase en videoclases posteriores.

87
00:06:57,959 --> 00:07:06,589
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

88
00:07:07,310 --> 00:07:11,430
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

89
00:07:12,250 --> 00:07:17,009
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

90
00:07:17,610 --> 00:07:18,949
Un saludo y hasta pronto.