1 00:00:00,500 --> 00:00:13,759 Para ver las propiedades de las funciones vamos a verlo a través de este otro documento, que no es el principal que os había entregado, pero viene una explicación que es muy visual ahora mismo, ¿vale? 2 00:00:13,759 --> 00:00:28,059 Entonces, dentro de las características de las funciones, las propiedades fundamentales, la primera es continuidad. Se dice que una función es continua cuando al dibujar la podemos hacer sin levantar el lápiz del papel. 3 00:00:28,059 --> 00:00:36,939 Es decir, esta función es continua porque si yo le intento dibujar entera, no tengo que levantar el lápiz para dibujarla completamente. 4 00:00:38,840 --> 00:00:47,479 Una función no es continua en un punto, es discontinua, se dice, si hay un salto, algún tipo de salto. 5 00:00:47,539 --> 00:00:56,979 Por ejemplo, yo al dibujar esta función, voy dibujando así, así, así, llego aquí, salto, levanto el lápiz, lo vuelvo a apoyar aquí y bajo. 6 00:00:56,979 --> 00:00:59,820 esto es un salto finito, porque he saltado 7 00:00:59,820 --> 00:01:04,439 pues un trocito, digamos, este de aquí sería una discontinuidad 8 00:01:04,439 --> 00:01:08,379 evitable, porque yo voy dibujando, dibujando, dibujando, dibujando, dibujando, cuando me voy 9 00:01:08,379 --> 00:01:12,620 acercando ahí, voy dibujando, pero salto justo en ese punto 10 00:01:12,620 --> 00:01:16,400 ¿vale? en el punto 2, menos 3, salto y vuelvo 11 00:01:16,400 --> 00:01:20,120 a escribir, ¿vale? se llama evitable porque, bueno, pues ya que 12 00:01:20,120 --> 00:01:24,280 es en todos los sitios, menos en este punto, pues si lo, en vez de 13 00:01:24,280 --> 00:01:26,299 evitarlo, pues digo, venga, pues lo dibujo 14 00:01:26,299 --> 00:01:27,519 también, pues entonces ya no sería 15 00:01:27,519 --> 00:01:29,439 evitable, sería una 16 00:01:29,439 --> 00:01:32,219 continua y ya está. Y esto es 17 00:01:32,219 --> 00:01:34,299 un salto infinito porque empiezo a dibujar 18 00:01:34,299 --> 00:01:36,379 dibujar dibujar y me voy hacia el infinito 19 00:01:36,379 --> 00:01:38,120 esto significa que 20 00:01:38,120 --> 00:01:40,079 me voy intentando acercar a esta recta 21 00:01:40,079 --> 00:01:40,920 cuando voy 22 00:01:40,920 --> 00:01:44,299 acercando mucho al 2 23 00:01:44,299 --> 00:01:46,120 me voy yendo cada vez 24 00:01:46,120 --> 00:01:48,040 más hacia el infinito y 25 00:01:48,040 --> 00:01:49,840 aquí salto, ¿vale? 26 00:01:49,920 --> 00:01:52,459 Y vengo desde el menos infinito. 27 00:01:52,459 --> 00:02:05,280 Estos saltos infinitos no solo tienen por qué ser yéndome hacia esta asíntota para arriba, sino que pueden venir los dos del mismo lado, es decir, este se puede ir para arriba y este puede venir desde arriba. 28 00:02:05,280 --> 00:02:11,699 Cuando tengo una recta de este tipo que se llama asíntota, entonces siempre voy a tener un salto infinito, siempre. 29 00:02:14,069 --> 00:02:24,870 Analíticamente también se dice que, como viene aquí, que una función es continua en un punto si está definida en ese punto y existe el valor. 30 00:02:26,689 --> 00:02:27,789 Simplemente es eso. 31 00:02:28,050 --> 00:02:35,650 Para las funciones polinómicas, que son las que vamos a estudiar más, todas nuestras funciones van a ser continuas, pero hay veces que suceden cosas raras. 32 00:02:36,650 --> 00:02:49,530 Hay otra propiedad de las funciones que serían las simetrías. Una función tiene algún tipo de simetría cuando sucede una de estas dos cosas. 33 00:02:50,990 --> 00:03:04,849 Es decir, que es simétrica respecto a un eje, respecto de este eje, la función es simétrica, que se dice par, cuando lo que tengo al lado y al otro del eje X es la misma. 34 00:03:04,849 --> 00:03:08,969 ¿Vale? Simétrico respecto de este eje, no desde cualquier otro 35 00:03:08,969 --> 00:03:10,909 ¿Vale? Simétrico respecto de este eje 36 00:03:10,909 --> 00:03:15,069 Y es simétrica impar si la simetría es central 37 00:03:15,069 --> 00:03:19,129 Con centro del eje, el origen de coordenadas 38 00:03:19,129 --> 00:03:21,650 ¿Vale? Todos los puntos, este de aquí 39 00:03:21,650 --> 00:03:24,289 Si yo trazo una recta y me voy a la misma distancia 40 00:03:24,289 --> 00:03:26,610 Pues si voy encontrando así todos 41 00:03:26,610 --> 00:03:29,509 Esta función, por ejemplo, es impar 42 00:03:29,509 --> 00:03:31,909 ¿Vale? Estos son dos tipos de simetría 43 00:03:31,909 --> 00:03:34,590 Pues muy interesantes en algunos casos 44 00:03:34,590 --> 00:03:39,469 después también tenemos cuando una función es periódica 45 00:03:39,469 --> 00:03:43,090 una función es periódica cuando se repite de vez en cuando lo mismo 46 00:03:43,090 --> 00:03:46,430 por ejemplo, una función es periódica 47 00:03:46,430 --> 00:03:51,349 si podemos tomarnos un electrocardiograma nuestro 48 00:03:51,349 --> 00:03:55,449 pues ahí veríamos que nuestra función del electrocardiograma 49 00:03:55,449 --> 00:03:58,669 es periódico, a no ser que tengamos algún tipo de arritmia 50 00:03:58,669 --> 00:03:59,930 o alguna cosa rara 51 00:03:59,930 --> 00:04:05,490 este ejemplo es de una cisterna 52 00:04:05,490 --> 00:04:08,509 que se va llenando y vaciando automáticamente 53 00:04:08,509 --> 00:04:12,689 la cisterna se llena y vacía expulsando 6 litros 54 00:04:12,689 --> 00:04:17,930 es decir, aquí se representa el tiempo y aquí se representan los litros 55 00:04:17,930 --> 00:04:21,089 entonces como tarda un minuto 56 00:04:21,089 --> 00:04:24,129 en llenarse y está lleno 3 minutos y medio 57 00:04:24,129 --> 00:04:27,870 pues entonces vemos que la función es de este tipo 58 00:04:27,870 --> 00:04:39,089 durante un minuto se está llenando hasta los 6 litros está tres minutos lleno tres minutos y 59 00:04:39,089 --> 00:04:47,430 medio lleno hasta aquí y después se vacía se vacía en 0.5 entonces se vacía que hace luego lo mismo 60 00:04:47,430 --> 00:04:55,870 sube y baja vale si os fijáis tenemos la misma representación está este trozo está repetido y 61 00:04:55,870 --> 00:05:03,230 El periodo es el tiempo que transcurre desde un momento hasta otro que vuelve a ser lo mismo. 62 00:05:07,329 --> 00:05:12,550 Funciones periódicas hay algunas, de las que vamos a utilizar generalmente no vamos a tener muchas periódicas, 63 00:05:12,550 --> 00:05:21,689 pero hay funciones periódicas. Analíticamente, una función es periódica cuando f de x más un determinado periodo es igual a f de x. 64 00:05:21,689 --> 00:05:40,029 Y luego otra propiedad interesante es la tendencia, el comportamiento que puede tener una determinada función a lo largo del tiempo. Tenemos realmente tres tipos de tendencia, podríamos decir, que serían las asíntotas. 65 00:05:40,029 --> 00:05:46,509 podemos tener una asíntota horizontal, es decir, hacia dónde se acercan todos los valores 66 00:05:46,509 --> 00:05:50,889 cuando yo me acerco al más infinito en la x, cuando yo me voy alejando mucho 67 00:05:50,889 --> 00:05:57,230 en este caso se va alejando todo este valor, podríamos mirar absolutamente igual hacia el menos infinito 68 00:05:57,230 --> 00:06:03,610 podemos tener una función con una asíntota oblicua que sería lo mismo que esta 69 00:06:03,610 --> 00:06:08,589 pero en vez de acercarme hacia un determinado valor me voy acercando a una determinada recta 70 00:06:08,589 --> 00:06:12,550 sin ser esa recta, y una asíntota vertical que es la que tenemos 71 00:06:12,550 --> 00:06:16,889 en el ejemplo anterior que habíamos visto 72 00:06:16,889 --> 00:06:20,490 hay una tendencia un poco rara, podríamos decir 73 00:06:20,490 --> 00:06:23,990 que es la tendencia cuadrática que es 74 00:06:23,990 --> 00:06:28,529 que nos vamos acercando hacia una parábola 75 00:06:28,529 --> 00:06:32,329 y bueno, pues 76 00:06:32,329 --> 00:06:36,689 pues nada más, de aquí simplemente decir cosas raras 77 00:06:36,689 --> 00:06:43,649 bueno pues hay algún tipo de funciones que son raras ésta se llama una función 78 00:06:43,649 --> 00:06:47,089 se podría llamar como 79 00:06:47,089 --> 00:06:56,649 la parte entera de x vale qué lo que está diciendo es que para todos 80 00:06:56,649 --> 00:07:05,189 los valores de un determinado punto por ejemplo entre 5 y 6 el 55 56 57 58 pues 81 00:07:05,189 --> 00:07:14,790 siempre vale 5, ¿vale? Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, está a esta altura que sería, esta 82 00:07:14,790 --> 00:07:22,290 altura de aquí, 1, 2, 3, 4, 5, ¿vale? Es decir, entre el 5 y el 6 siempre vale 5, ¿vale? 83 00:07:22,290 --> 00:07:33,029 Esto sería lo que es la parte entera. Y ya está, nada más por aquí. Bueno, vamos 84 00:07:33,029 --> 00:07:40,490 a ver este ejemplo que también es interesante. A mí me interesa mucho que cuando tengamos 85 00:07:40,490 --> 00:07:46,410 problemas sepamos interpretar lo que nos están diciendo. Juan tiene hoy una excursión en 86 00:07:46,410 --> 00:07:51,089 el colegio y como vive lejos va en bicicleta. Nada más llegar al colegio salen todos los 87 00:07:51,089 --> 00:07:56,069 alumnos andando hacia la estación de tren y allí esperan un rato. Suben al tren y por 88 00:07:56,069 --> 00:08:01,170 fin llegan a su destino hay dos gráficas una representa 89 00:08:01,170 --> 00:08:05,490 la distancia que va recorriendo juan con respecto al tiempo transcurrido y la 90 00:08:05,490 --> 00:08:12,509 otra representa la velocidad de la que se desplaza entonces aquí tenemos las 91 00:08:12,509 --> 00:08:19,769 dos una de ellas es continua cuál es continua bueno pues esta es continua 92 00:08:19,769 --> 00:08:23,569 porque no voy levantando el papel en ningún momento está es discontinuo 93 00:08:23,569 --> 00:08:33,809 porque voy pegando saltos. ¿Cuál de estas va a representar la distancia que va recorriendo Juan 94 00:08:33,809 --> 00:08:38,830 con respecto al tiempo? Bueno, pues esta viene representada aquí. ¿Por qué? 95 00:08:39,009 --> 00:08:43,450 Porque aquí lo que representamos es el tiempo y aquí representamos la distancia. 96 00:08:43,450 --> 00:08:49,850 Como va montando en bicicleta, pues en bicicleta va más o menos rápido en algunos momentos. 97 00:08:49,850 --> 00:09:05,830 Por ejemplo, en este tramo va a una determinada velocidad, bastante rápido. En este otro tramo, hasta aquí, va un poco más despacio. En este tramo, que está en horizontal, no se desplaza, es decir, está quieto. 98 00:09:05,830 --> 00:09:14,870 Y en este tramo ha recorrido en poco tiempo mucha distancia, en poco tiempo toda esta distancia. 99 00:09:15,490 --> 00:09:23,289 Entonces esto es cuando va en tren, esto es cuando está quieto, esto es cuando va al colegio en bici, más rápido y aquí más despacio. 100 00:09:23,850 --> 00:09:27,669 Y aquí se representa la velocidad, ¿por qué? Porque esto es el tiempo y esto es la velocidad. 101 00:09:27,669 --> 00:09:34,929 En todo este tiempo va a una determinada velocidad constante, ¿vale? En todo este tiempo. 102 00:09:35,830 --> 00:09:47,889 va a una determinada velocidad. En este otro tiempo, una velocidad menor, por eso está a esta altura, aquí está quieto y aquí está en el tren, por eso hemos llegado a esta velocidad. 103 00:09:49,250 --> 00:10:04,730 Entonces, una interpretación muy interesante de este ejercicio. Os dejo esta imagen aquí para que la podáis parar, darle al pause y lo podáis observar como bien he explicado, pero es interesante.