1
00:00:00,860 --> 00:00:06,700
Bueno, pues vamos a resolver este problema que tenéis ahí, que consiste en determinar la distancia,

2
00:00:06,960 --> 00:00:12,839
determinar dos puntos de la recta cuya distancia al punto que nos dan A es igual a 10 unidades.

3
00:00:13,160 --> 00:00:15,740
Es decir, a ver si hago un poco de zoom y lo veis mejor,

4
00:00:16,379 --> 00:00:23,820
lo que nos gustaría es buscar aquí un punto de la recta y, por tanto, por simetría, otro punto de la recta,

5
00:00:23,900 --> 00:00:28,539
de manera que esta distancia de aquí a aquí sea exactamente 10 unidades.

6
00:00:28,539 --> 00:00:31,439
Y, claro, pues está también 10 unidades.

7
00:00:31,579 --> 00:00:39,619
Hay dos, pues porque aquí se forma un triángulo que es isósceles, cuyos lados iguales miden 10 y la base pues medirá lo que mida.

8
00:00:40,119 --> 00:00:47,599
La restricción es que los puntos, vamos a llamarlos los que voy a buscar P y Q, tienen que estar en la recta.

9
00:00:48,140 --> 00:00:54,280
Entonces, la importancia de este problema es porque podemos resolverlo de una forma,

10
00:00:54,280 --> 00:00:58,519
bueno, podríamos resolver construyendo directamente este,

11
00:00:58,539 --> 00:01:04,299
el triángulo calculando su área, calculando la proyección, calculando este vector,

12
00:01:04,299 --> 00:01:07,299
para ello, previamente, tendríamos que calcular la base, un follón.

13
00:01:07,299 --> 00:01:11,299
Entonces, lo ideal es lo siguiente, esta estrategia.

14
00:01:11,299 --> 00:01:17,299
Lo primero de todo es que voy a escribir la ecuación de la recta de forma paramétrica, ya veréis para qué.

15
00:01:17,299 --> 00:01:26,780
Entonces, recuerdo que para calcular la ecuación paramétrica lo que me interesa es tenerla dada mediante un vector y un punto.

16
00:01:26,780 --> 00:01:28,079
Para ello,

17
00:01:28,079 --> 00:01:37,319
despejo y me da que la pendiente es 3, y como la pendiente es 3, el vector director es, puede ser, el vector , ¿verdad?

18
00:01:37,319 --> 00:01:39,319
Es un vector cuya pendiente es 3.

19
00:01:39,319 --> 00:01:47,640
También podría haber visto directamente desde esta ecuación que el vector normal, el vector perpendicular a la recta, es el vector ,

20
00:01:47,640 --> 00:01:55,319
que son los coeficientes de la ecuación y, por lo tanto, un vector perpendicular a este sería el vector director.

21
00:01:55,319 --> 00:01:56,319
Es decir,

22
00:01:56,319 --> 00:01:57,920
este vector director lo voy a pintar,

23
00:01:57,920 --> 00:01:59,920
lo voy a pintar de azulito,

24
00:01:59,920 --> 00:02:03,920
pues sería, pues un vector que está, pues por aquí, en esta recta.

25
00:02:03,920 --> 00:02:04,920
Bien.

26
00:02:04,920 --> 00:02:07,920
Es este vector director, vamos a llamarlo V sub r.

27
00:02:07,920 --> 00:02:09,920
V sub r.

28
00:02:09,920 --> 00:02:14,920
Entonces, a partir de aquí yo ya puedo calcular la ecuación de la recta en forma paramétrica.

29
00:02:14,920 --> 00:02:15,920
Esto es muy sencillo.

30
00:02:15,920 --> 00:02:17,920
Ay, perdón, claro, me falta un punto.

31
00:02:17,920 --> 00:02:21,920
Pues un punto dándole a x el valor 0, un punto pues haría el 0, 1, por ejemplo.

32
00:02:21,920 --> 00:02:24,920
Esto es un punto posición de la recta.

33
00:02:24,920 --> 00:02:27,920
El punto , que es justo este que está aquí.

34
00:02:27,920 --> 00:02:31,920
Entonces ya sí puedo escribir las ecuaciones paramétricas.

35
00:02:31,920 --> 00:02:40,920
Sería vector 0, 1, como punto posición, más t veces el valor 1, más t veces el valor 3.

36
00:02:40,920 --> 00:02:52,920
Aquí, recuerdo que se pone los coeficientes, perdón, aquí se pone los coeficientes del vector y aquí los coeficientes del punto.

37
00:02:52,920 --> 00:02:54,920
Punto posición y vector.

38
00:02:54,920 --> 00:02:55,920
Bien.

39
00:02:55,920 --> 00:02:56,920
Eh...

40
00:02:56,920 --> 00:03:01,920
Lo interesante de esto es que estas coordenadas las voy a escribir como punto.

41
00:03:01,920 --> 00:03:06,920
Serían c más t, 0 más t, 1 más 3t.

42
00:03:06,920 --> 00:03:16,920
Esto es un punto que al variar los valores de la t, vamos a simplificarlo, esto sería t, 3t más 1, lo puedo escribir así.

43
00:03:16,920 --> 00:03:17,920
Bien.

44
00:03:17,920 --> 00:03:20,920
Esto es un punto de la recta.

45
00:03:20,920 --> 00:03:22,920
Diréis, no, no es un punto porque tiene la t.

46
00:03:22,920 --> 00:03:25,920
Bueno, de acuerdo, pues son infinitos, son todos los de la recta.

47
00:03:26,920 --> 00:03:39,920
Si yo varío el valor de t como un número real cualquiera, es decir, si doy valores a la t, ahí el punto p se me va a ir moviendo en función, o sea, a lo largo de la recta.

48
00:03:39,920 --> 00:03:46,920
Es decir, es como que t fuese el tiempo y el p, el punto, se fuese moviendo en la recta a lo largo del tiempo.

49
00:03:46,920 --> 00:03:48,920
Y diréis, ¿qué utilidad puede tener esto?

50
00:03:48,920 --> 00:03:49,920
Pues fijaos.

51
00:03:49,920 --> 00:03:53,920
Ahora, p es un punto que pertenece a la recta.

52
00:03:53,920 --> 00:03:54,920
Eh...

53
00:03:54,920 --> 00:04:04,920
Y a mí me puede interesar, yo estoy buscando qué punto de la recta mi distancia con el punto a es 10.

54
00:04:04,920 --> 00:04:11,920
Bueno, entonces, lo bueno de esto es que como ahora he convertido la recta en un punto, en un punto móvil, yo puedo calcular la distancia entre estos dos puntos.

55
00:04:11,920 --> 00:04:12,920
¿Cómo?

56
00:04:12,920 --> 00:04:21,920
Pues la distancia era el módulo del vector p.

57
00:04:21,920 --> 00:04:22,920
Es decir...

58
00:04:22,920 --> 00:04:23,920
A mí me están diciendo...

59
00:04:23,920 --> 00:04:26,920
Que el módulo de esa distancia es 10.

60
00:04:26,920 --> 00:04:31,920
Entonces, voy a calcular aquí, aparte, el punto a era el punto .

61
00:04:31,920 --> 00:04:34,920
El punto p que me están dando es...

62
00:04:34,920 --> 00:04:37,920
Bueno, que lo calculo yo, es el .

63
00:04:37,920 --> 00:04:39,920
Y yo ahora puedo calcular el vector.

64
00:04:39,920 --> 00:04:44,920
El vector es directamente restar las coordenadas de t menos las de a.

65
00:04:44,920 --> 00:04:51,920
Es decir, que me va a quedar , .

66
00:04:51,920 --> 00:04:52,920
Es decir...

67
00:04:52,920 --> 00:04:59,920
Ese vector es el vector .

68
00:04:59,920 --> 00:05:00,920
Bien.

69
00:05:00,920 --> 00:05:05,920
Y ahora yo quiero calcular y imponer esto, que es, en realidad, una ecuación que depende de t.

70
00:05:05,920 --> 00:05:07,920
Quiero resolver esta ecuación.

71
00:05:07,920 --> 00:05:12,920
Es decir, la subrayo esto.

72
00:05:12,920 --> 00:05:17,920
Esta ecuación lo que me viene a decir es que el módulo de este vector tiene que ser 10.

73
00:05:17,920 --> 00:05:20,920
Tengo que calcular la t para que ese módulo sea 10.

74
00:05:20,920 --> 00:05:22,920
Por lo tanto, ¿qué es lo que yo voy a hacer?

75
00:05:22,920 --> 00:05:24,920
Primero bajar, hacer un poco de scroll.

76
00:05:24,920 --> 00:05:25,920
Calcular este módulo.

77
00:05:25,920 --> 00:05:28,920
El módulo, recuerdo, que era la raíz cuadrada de...

78
00:05:28,920 --> 00:05:35,920
Pues, por Pitágoras, coordenada de x al cuadrado más coordenada de y al cuadrado.

79
00:05:35,920 --> 00:05:37,920
Y esto tiene que valer 10.

80
00:05:37,920 --> 00:05:38,920
¿Y esto qué es?

81
00:05:38,920 --> 00:05:43,920
Pues es una ecuación de segundo grado que yo puedo resolver elevando al cuadrado los dos términos.

82
00:05:43,920 --> 00:05:44,920
Se me va la raíz.

83
00:05:44,920 --> 00:05:46,920
Y me queda esta ecuación.

84
00:05:50,920 --> 00:05:53,920
Bueno, ¿y ahora cómo resuelvo esta ecuación?

85
00:05:53,920 --> 00:05:56,920
Pues esto es una ecuación de segundo grado que tengo que tener mucho cuidado.

86
00:05:56,920 --> 00:06:01,920
Elevando al cuadrado aquí y quitando con las identidades notables.

87
00:06:01,920 --> 00:06:03,920
Es decir, lo hago por aquí.

88
00:06:03,920 --> 00:06:10,920
Tendría t menos 2 al cuadrado será t al cuadrado más 4 menos 4t.

89
00:06:10,920 --> 00:06:12,920
Identidades notables, recordad.

90
00:06:12,920 --> 00:06:15,920
Y ahora el cuadrado del otro será 9t al cuadrado.

91
00:06:15,920 --> 00:06:20,920
9t al cuadrado más 10.

92
00:06:20,920 --> 00:06:23,920
16t, perdón, más 16.

93
00:06:23,920 --> 00:06:26,920
Menos el doble de 4 que es 8 por 3.

94
00:06:26,920 --> 00:06:27,920
8 por 3 es 24.

95
00:06:27,920 --> 00:06:28,920
24t.

96
00:06:28,920 --> 00:06:30,920
Y esto tiene que ser igual a 100.

97
00:06:30,920 --> 00:06:32,920
Bueno, pues aquí ¿qué hago?

98
00:06:32,920 --> 00:06:35,920
Pues es una ecuación de segundo grado que evidentemente tiene dos soluciones.

99
00:06:35,920 --> 00:06:37,920
Vamos a buscarla.

100
00:06:37,920 --> 00:06:41,920
Si simplifico me queda 10t al cuadrado.

101
00:06:41,920 --> 00:06:43,920
Haciendo la cuenta.

102
00:06:43,920 --> 00:06:46,920
Aquí me va a quedar menos 28t.

103
00:06:46,920 --> 00:06:48,920
Luego voy a tener 16 y 4, 20.

104
00:06:48,920 --> 00:06:49,920
Y con este menos 100.

105
00:06:49,920 --> 00:06:51,920
Pues van a ser menos 80.

106
00:06:51,920 --> 00:06:52,920
Igual a 0.

107
00:06:52,920 --> 00:06:54,920
Intento simplificar un poquito.

108
00:06:54,920 --> 00:06:57,920
5t al cuadrado menos 14t.

109
00:06:57,920 --> 00:06:59,920
Estoy dividiendo entre 2.

110
00:06:59,920 --> 00:07:01,920
Menos 40 igual a 0.

111
00:07:01,920 --> 00:07:04,920
Y ahora esa ecuación de segundo grado la tengo que resolver.

112
00:07:04,920 --> 00:07:07,920
Resolviendo esa ecuación de segundo grado voy a obtener los valores de t.

113
00:07:07,920 --> 00:07:09,920
Y diréis, pero si eso no son puntos.

114
00:07:09,920 --> 00:07:12,920
Bueno, pero es que cuando yo tenga el valor solución t1 y t2.

115
00:07:12,920 --> 00:07:14,920
Esos son dos numeritos de t.

116
00:07:14,920 --> 00:07:16,920
Dos valores de t, dos números.

117
00:07:16,920 --> 00:07:18,920
Lo voy a sustituir luego.

118
00:07:18,920 --> 00:07:20,920
En el punto.

119
00:07:20,920 --> 00:07:22,920
Las coordenadas del punto.

120
00:07:22,920 --> 00:07:23,920
Yo calculo aquí.

121
00:07:23,920 --> 00:07:24,920
Yo tengo la t.

122
00:07:24,920 --> 00:07:25,920
Y ya tengo el punto.

123
00:07:25,920 --> 00:07:26,920
Y ya está.

124
00:07:26,920 --> 00:07:27,920
Ya tengo los puntos.

125
00:07:27,920 --> 00:07:28,920
Así de sencillo.

126
00:07:28,920 --> 00:07:29,920
Bueno, pues vamos allá.

127
00:07:29,920 --> 00:07:39,920
La t será.

128
00:07:39,920 --> 00:07:40,920
No me ha dado exactamente eso.

129
00:07:40,920 --> 00:07:43,920
Vamos a ver que me he podido equivocar en algún sitio.

130
00:07:43,920 --> 00:07:46,920
Vamos a ver.

131
00:07:46,920 --> 00:07:48,920
Bueno, si ya he visto el error.

132
00:07:48,920 --> 00:07:49,920
Fijaos.

133
00:07:49,920 --> 00:07:51,920
Hay que tener mucho cuidado con cuando restáis.

134
00:07:51,920 --> 00:07:52,920
Vamos a ver.

135
00:07:52,920 --> 00:07:53,920
Donde tengo el lápiz.

136
00:07:53,920 --> 00:07:54,920
Por aquí.

137
00:07:54,920 --> 00:07:55,920
Fijaos.

138
00:07:55,920 --> 00:07:56,920
Al restar.

139
00:07:56,920 --> 00:07:57,920
El punto p menos el punto a.

140
00:07:57,920 --> 00:07:58,920
Aquí yo tengo un menos.

141
00:07:58,920 --> 00:07:59,920
Y menos.

142
00:07:59,920 --> 00:08:00,920
Al restar.

143
00:08:00,920 --> 00:08:01,920
Pues esto tendría que haber sido más.

144
00:08:01,920 --> 00:08:02,920
Entonces voy a cambiarlo en rojo.

145
00:08:02,920 --> 00:08:03,920
Para que veáis.

146
00:08:03,920 --> 00:08:04,920
Por si lo veis.

147
00:08:04,920 --> 00:08:05,920
Lo que estoy cambiando.

148
00:08:05,920 --> 00:08:06,920
Para tenerlo muy en cuenta.

149
00:08:06,920 --> 00:08:07,920
Esto era un más.

150
00:08:07,920 --> 00:08:08,920
Ok.

151
00:08:08,920 --> 00:08:09,920
Vamos a ver.

152
00:08:09,920 --> 00:08:10,920
Vamos a ver.

153
00:08:10,920 --> 00:08:11,920
Vamos a ver.

154
00:08:11,920 --> 00:08:12,920
Vamos a ver.

155
00:08:12,920 --> 00:08:13,920
Ok.

156
00:08:13,920 --> 00:08:14,920
Vamos a ver.

157
00:08:14,920 --> 00:08:15,920
Vamos a ver.

158
00:08:15,920 --> 00:08:16,920
Era un menos veinte.

159
00:08:16,920 --> 00:08:17,920
Ahora ya sé que es diferente.

160
00:08:17,920 --> 00:08:18,920
Un menos.

161
00:08:18,920 --> 00:08:19,920
Un más.

162
00:08:19,920 --> 00:08:20,920
Un más.

163
00:08:20,920 --> 00:08:21,920
Ok.

164
00:08:21,920 --> 00:08:22,920
Porque es t menos.

165
00:08:22,920 --> 00:08:23,920
Menos dos.

166
00:08:23,920 --> 00:08:24,920
Pues t más dos.

167
00:08:24,920 --> 00:08:25,920
nose que.

168
00:08:25,920 --> 00:08:26,920
Esto.

169
00:08:26,920 --> 00:08:27,920
Pues ha habido esta.

170
00:08:27,920 --> 00:08:28,920
Por favor.

171
00:08:28,920 --> 00:08:29,920
Hay que cenar.

172
00:08:29,920 --> 00:08:30,920
Entonces.

173
00:08:30,920 --> 00:08:31,920
Esto tenemos aquí un más.

174
00:08:31,920 --> 00:08:32,920
Vamos a ver.

175
00:08:32,920 --> 00:08:33,920
Si con esas.

176
00:08:33,920 --> 00:08:34,920
Ya da.

177
00:08:34,920 --> 00:08:35,920
Porque creo que la cuenta daba exac.

178
00:08:35,920 --> 00:08:36,920
Entonces aquí tenemos.

179
00:08:36,920 --> 00:08:37,920
Un más.

180
00:08:37,920 --> 00:08:38,920
Okey.

181
00:08:38,920 --> 00:08:39,920
Y entonces.

182
00:08:39,920 --> 00:08:40,920
Este más.

183
00:08:40,920 --> 00:08:41,920
Con este menos hace que esto sea un.

184
00:08:41,920 --> 00:08:42,920
Exacto.

185
00:08:42,920 --> 00:08:43,920
Ahora ya sé que cuadra.

186
00:08:43,920 --> 00:08:44,920
Esto era un menos veinte.

187
00:08:44,920 --> 00:08:45,920
Y entonces.

188
00:08:45,919 --> 00:08:52,519
Vamos a borrar todo esto porque ya vamos a hacerlo bien que la cuenta estaba preparada para que diese exacta.

189
00:08:52,659 --> 00:08:59,079
De hecho, este ejemplo lo habían cogido dos compañeros vuestros de clase y les daba bien, por eso lo he elegido.

190
00:08:59,719 --> 00:09:10,139
Entonces, esta cuenta, ya la pongo en azul, sigo en azul, sería dividiendo entre 10 todo t cuadrado menos 2t menos 8 igual a 0.

191
00:09:10,139 --> 00:09:19,360
Y ahora ya aquí las soluciones sí que son exactas porque tienen que ser dos números que al multiplicar dan menos 8 y que al sumar dan 2.

192
00:09:19,600 --> 00:09:25,819
Y esos dos números que al multiplicar dan menos 8 y al sumar dan 2, pues van a ser el 4 y el menos 2.

193
00:09:26,299 --> 00:09:32,039
Fijaos, el 4 y el menos 2 al multiplicar esto, pues va a dar 0.

194
00:09:33,319 --> 00:09:37,519
2 por menos 4 es menos 8 y menos 4t más 2t menos 2t.

195
00:09:37,519 --> 00:09:40,080
En cualquier caso, si lo queréis lo podéis resolver.

196
00:09:40,199 --> 00:09:45,039
Por la ecuación de segundo grado que también os van a dar las soluciones, menos 2 y 4.

197
00:09:45,960 --> 00:09:47,179
Fijaos, lo comprobamos.

198
00:09:47,340 --> 00:09:53,720
En menos b más menos 2b cuadrado menos más 32 partido por 2.

199
00:09:54,120 --> 00:09:57,399
Y esto es 2 más menos 6 partido por 2.

200
00:09:57,480 --> 00:09:59,659
2 y 6, 8 entre 2, 4.

201
00:09:59,779 --> 00:10:02,120
2 menos 6 menos 4 entre 2, menos 2.

202
00:10:02,659 --> 00:10:07,019
Ok, las soluciones eran menos 2 y 4.

203
00:10:07,019 --> 00:10:10,019
Y esas dos soluciones dan lugar a...

204
00:10:10,139 --> 00:10:11,039
2 puntos.

205
00:10:11,340 --> 00:10:12,679
Cada una de ellas da 2 puntos.

206
00:10:13,059 --> 00:10:14,340
Cada una de ellas pregunta un punto.

207
00:10:14,799 --> 00:10:18,740
El punto p sub 1 sería si la t es menos 2.

208
00:10:19,340 --> 00:10:27,100
Y ese punto sale de sustituir las coordenadas de aquí, del punto parametrizado.

209
00:10:27,580 --> 00:10:31,059
Es decir, lo selecciono y...

210
00:10:31,059 --> 00:10:33,980
Lo selecciono, ya no me acuerdo dónde estaba el selector.

211
00:10:35,120 --> 00:10:36,919
Esto es para dibujar rectángulos, creo que era este.

212
00:10:38,360 --> 00:10:38,840
Sí.

213
00:10:40,860 --> 00:10:42,580
Copiamos y pegamos hacia abajo.

214
00:10:54,419 --> 00:10:57,019
Y tendríamos...

215
00:10:57,019 --> 00:11:00,360
Si la t es menos 2, el punto menos 2.

216
00:11:00,620 --> 00:11:02,480
Y 3 por menos 2, menos 6.

217
00:11:03,019 --> 00:11:04,759
Menos 6 más 1, menos 5.

218
00:11:05,159 --> 00:11:06,679
Aquí tenemos el primer punto.

219
00:11:06,939 --> 00:11:08,759
Y si la t vale 4...

220
00:11:08,759 --> 00:11:15,340
Pues el punto en cuestión sería 4, 3 por 4, 12, más 1, 13.

221
00:11:15,600 --> 00:11:17,960
Vamos a ver si tiene algo de sentido esto con el dibujo.

222
00:11:18,080 --> 00:11:19,220
Tengo el menos 2, 5.

223
00:11:20,200 --> 00:11:21,220
Menos 2, 5.

224
00:11:21,700 --> 00:11:22,759
Que está más o menos...

225
00:11:24,159 --> 00:11:26,399
Lo había puesto más o menos bien, justo por aquí.

226
00:11:26,500 --> 00:11:27,179
Menos 2, 5.

227
00:11:29,639 --> 00:11:31,799
Y el otro punto que me ha dado, ¿verdad?

228
00:11:31,819 --> 00:11:32,419
Es el 4.

229
00:11:33,220 --> 00:11:34,539
El 3, 11 es...

230
00:11:34,539 --> 00:11:35,799
No, el 4, 13.

231
00:11:36,279 --> 00:11:37,919
Bueno, este lo había dibujado un poquillo mal.

232
00:11:38,759 --> 00:11:44,960
El 4, 13 que está justo por aquí.

233
00:11:45,840 --> 00:11:46,379
Más o menos.

234
00:11:46,580 --> 00:11:47,639
Entonces, bueno.

235
00:11:48,080 --> 00:11:52,220
Pues de todas formas, si queréis, para resolverlo con GeoGebra,

236
00:11:52,299 --> 00:11:54,319
si queremos resolverlo con GeoGebra, que se puede,

237
00:11:54,899 --> 00:11:57,419
la cosa sería tal que así.

238
00:11:57,559 --> 00:11:59,379
Yo lo he resuelto ya, lo voy a volver a resolver.

239
00:11:59,919 --> 00:12:02,360
Si queremos calcular los puntos cuya distancia es 10,

240
00:12:02,759 --> 00:12:06,419
pues básicamente lo que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio 10.

241
00:12:06,639 --> 00:12:08,740
Esos son los puntos cuya distancia es punto A.

242
00:12:08,759 --> 00:12:11,299
Entonces, pincho ahí, le digo que la distancia es 10,

243
00:12:11,720 --> 00:12:14,759
me marca y ahora simplemente tengo que buscar los puntos de intersección

244
00:12:15,319 --> 00:12:19,279
y los puntos de intersección son justo al 4, 13 y el menos 2, 5.

245
00:12:19,439 --> 00:12:20,120
O sea que lo tengo bien.

246
00:12:20,480 --> 00:12:20,639
¿Ok?

247
00:12:21,120 --> 00:12:23,639
Bueno, pues esto era el primero de los problemas que os quería enseñar.

248
00:12:23,980 --> 00:12:24,860
Enseguida grabo el siguiente.

249
00:12:25,139 --> 00:12:25,439
¡Hasta luego!