1
00:00:00,000 --> 00:00:06,429
Bueno, pues vamos a empezar con los problemas de números complejos.

2
00:00:07,650 --> 00:00:12,339
El primer problema son cuatro cuentas.

3
00:00:12,880 --> 00:00:14,740
Entonces vamos a hacer las cuatro cuentas.

4
00:00:16,039 --> 00:00:23,100
Me piden que exprese de forma binómica, polar y trigonométrica los siguientes números.

5
00:00:24,539 --> 00:00:31,239
Y lo que me piden es, pues bueno, hacer unas cuentas, conseguir los números en forma binómica

6
00:00:31,239 --> 00:00:38,299
y posteriormente pasarlos a forma trigonométrica y luego a forma polar.

7
00:00:39,719 --> 00:00:46,719
Esto lo único que requiere es de un poquito de cariño y un poquito de orden, pero sois capaces de hacerlo perfectamente.

8
00:00:49,409 --> 00:00:50,469
¿Cuadrado de una suma?

9
00:00:51,929 --> 00:00:59,909
El primero al cuadrado más el segundo al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo, 2 por 1 por i.

10
00:00:59,909 --> 00:01:03,490
¿Cuánto vale 1 al cuadrado? Vale 1

11
00:01:03,490 --> 00:01:06,469
¿Cuánto vale y al cuadrado? Vale menos 1

12
00:01:06,469 --> 00:01:12,989
Y esto vale 2y, este se me va con este, este es igual a 2 por y

13
00:01:12,989 --> 00:01:16,629
Bueno, forma binómica

14
00:01:16,629 --> 00:01:27,040
¿Forma trigonométrica? Pues lo que tengo que hacer es calcular el módulo y el argumento

15
00:01:27,040 --> 00:01:32,739
Y posteriormente ya, pues podré ponerlo en forma trigonométrica y en forma polar

16
00:01:33,500 --> 00:01:35,299
Bueno, pues 2y igual.

17
00:01:35,980 --> 00:01:37,760
Esta es la forma en la que os propongo hacerlo.

18
00:01:38,159 --> 00:01:39,760
Cada uno lo expresáis como queráis.

19
00:01:41,299 --> 00:01:46,560
Digo que el módulo de z es igual a la raíz de la parte real.

20
00:01:46,560 --> 00:01:51,879
La parte real vale 0 más la parte imaginaria al cuadrado, que son 2.

21
00:01:52,019 --> 00:01:52,719
Esto vale 2.

22
00:01:54,280 --> 00:02:02,159
Y luego esto es arco tangente de la parte imaginaria entre la parte real, que es 2 entre 0.

23
00:02:02,739 --> 00:02:07,340
Es decir, arco tangente de infinito.

24
00:02:07,640 --> 00:02:13,990
El arco tangente de infinito, ¿cuál será?

25
00:02:15,050 --> 00:02:22,349
Pues acordaos, la tangente de alfa es igual a seno de alfa entre coseno de alfa.

26
00:02:23,469 --> 00:02:28,530
En el momento en el que este valor se me haga cero, la tangente se me irá al infinito.

27
00:02:28,530 --> 00:02:38,810
Entonces lo que tengo que hacer es buscar cuál es el ángulo que me hace que el coseno valga cero.

28
00:02:39,430 --> 00:02:42,870
Es arco coseno de cero.

29
00:02:44,150 --> 00:02:55,729
Y estos son 90 grados porque el coseno de 90 es igual a cero y el seno de 90 es igual a uno.

30
00:02:56,849 --> 00:02:58,530
Entonces estos son 90 grados.

31
00:02:58,530 --> 00:03:07,240
Entonces, lo expresamos de forma polar. Sería 2 y un 90 abajo.

32
00:03:07,900 --> 00:03:16,620
Y si lo expreso en forma trigonométrica sería 2 por el coseno de 90 grados más i por el seno de 90 grados.

33
00:03:16,740 --> 00:03:29,889
Y acordaos que en forma binómica, en forma trigonométrica, no sustituyo los valores, simplemente los dejo así como están.

34
00:03:30,090 --> 00:03:31,729
Y esta sería la forma polar.

35
00:03:31,729 --> 00:03:37,430
Bueno, pues voy a resolver el resto de casos, pero voy a ir un poquito más rápido

36
00:03:37,430 --> 00:03:39,270
Vale, 1 partido por i

37
00:03:39,270 --> 00:03:47,990
¿Qué es lo que hago cuando tengo un número imaginario en el denominador?

38
00:03:48,990 --> 00:03:50,449
Multiplicar y dividir por el conjugado

39
00:03:50,449 --> 00:03:52,710
Entonces, ¿cuál es el conjugado de i?

40
00:03:52,710 --> 00:04:01,129
El conjugado de i es menos i, entonces tengo i, multiplico y divido por el mismo número, que es menos i

41
00:04:01,129 --> 00:04:03,889
entonces aquí me queda menos i

42
00:04:03,889 --> 00:04:06,069
y abajo me queda i por i

43
00:04:06,069 --> 00:04:07,330
i cuadrado

44
00:04:07,330 --> 00:04:08,930
con un menos aquí

45
00:04:08,930 --> 00:04:12,789
i entre menos 1

46
00:04:12,789 --> 00:04:15,129
porque puedo quitar los menos

47
00:04:15,129 --> 00:04:16,550
i cuadrado vale menos 1

48
00:04:16,550 --> 00:04:18,350
y esto me queda menos i

49
00:04:18,350 --> 00:04:23,069
ya está, esta es la forma binomical

50
00:04:23,069 --> 00:04:27,839
módulo de z

51
00:04:27,839 --> 00:04:32,730
sería la raíz de la parte imaginaria

52
00:04:32,730 --> 00:04:34,110
i al cuadrado

53
00:04:34,110 --> 00:04:36,569
es 1 al cuadrado más la parte real al cuadrado

54
00:04:36,569 --> 00:04:37,129
que vale 0

55
00:04:37,129 --> 00:04:52,240
Esto vale 1. Y el argumento es el arco tangente de la parte imaginaria entre la parte real, que es 0, infinito.

56
00:04:53,339 --> 00:05:05,230
Esto es igual a 90 o 270. Recordad, este número, menos i, está aquí.

57
00:05:05,230 --> 00:05:11,449
Este es el punto 0 menos 1, por tanto, este es el número menos i.

58
00:05:12,209 --> 00:05:15,029
¿De qué ángulo estoy hablando? Estoy hablando de este ángulo.

59
00:05:16,129 --> 00:05:21,930
Los 90 son estos, y estos son los 270.

60
00:05:23,709 --> 00:05:30,610
Este ángulo y este ángulo tienen el mismo coseno, que es 0, y por tanto su arco tangente va al infinito.

61
00:05:30,610 --> 00:05:46,920
Pues en este caso, estos son 200. Y la forma trigonométrica sería 1 coseno de 270 más i seno de 200.

62
00:05:48,850 --> 00:05:53,350
Cuando tengamos un arco tangente, siempre voy a tener dos soluciones.

63
00:05:54,389 --> 00:06:05,589
Si es positivo, porque estoy en el primer o en el tercer cuadrante, y si es negativo, porque estoy en el segundo o en el cuarto cuadrante.

64
00:06:05,589 --> 00:06:12,670
Lo que tengo que hacer es entonces mirar en qué posición está mi punto, en cuál de los cuatro cuadrantes está mi punto,

65
00:06:13,189 --> 00:06:19,490
y así tomo este valor o este valor si es positivo, o este valor y este valor si el arco tangente es negativo.

66
00:06:21,430 --> 00:06:26,170
Todo esto que estamos practicando nos va a hacer el siguiente tema muchísimo más sencillo. Pensad en ello.

67
00:06:27,370 --> 00:06:35,410
Bueno, vamos a continuar ahora mismo. Estoy con el apartado C, que me dice i a la 7 más i a la 17.

68
00:06:35,410 --> 00:06:41,170
Bueno, vamos a escribirnos las potencias de i.

69
00:06:41,649 --> 00:06:53,209
i a la 0 es 1, i a la 1 es i, i al cuadrado es menos 1, recordad que i es igual a la raíz de menos 1,

70
00:06:55,509 --> 00:07:01,649
i cubo es menos i, i a la cuarta es igual a 1.

71
00:07:02,509 --> 00:07:06,019
Es decir, cíclico.

72
00:07:06,699 --> 00:07:08,819
Y a la quinta sería y, y a la sexta...

73
00:07:08,819 --> 00:07:10,720
Pero bueno, vamos a hacerlo de la siguiente manera.

74
00:07:11,839 --> 00:07:14,220
Y a la cuatro por y a la tres.

75
00:07:15,639 --> 00:07:18,040
Esto es y a la siete, simplemente sumo los exponentes.

76
00:07:18,680 --> 00:07:20,660
Y a la cuatro es uno, ¿vale?

77
00:07:20,680 --> 00:07:24,100
Entonces me voy a quedar con el y al cubo, pero vamos a ir desarrollando poco a poco.

78
00:07:24,759 --> 00:07:25,920
Y a la diecisiete.

79
00:07:26,079 --> 00:07:31,220
Pues si a la diecisiete lo que hago es utilizar la división euclídea.

80
00:07:31,360 --> 00:07:32,360
Divido en grupos de cuatro.

81
00:07:32,959 --> 00:07:35,699
4 por 4, 16, y de resto me queda 1.

82
00:07:36,420 --> 00:07:42,620
Esto sería lo mismo que i elevado a 4, elevado a 4, por i.

83
00:07:43,939 --> 00:07:48,019
Aquí tengo el 4, aquí tengo el 4, aquí tengo el 1.

84
00:07:50,389 --> 00:07:51,709
Reflexionad un poco sobre esto.

85
00:07:52,550 --> 00:08:04,240
Aquí, simplemente, cuando dividía 7 entre 4, lo que me quedaría es 1, y de resto me quedaría 3.

86
00:08:04,240 --> 00:08:10,720
Es decir, tengo un grupo de 4, 1 por 4, y 3 de resto.

87
00:08:11,920 --> 00:08:15,079
Potencias de la misma base, sumo exponentes, 4 más 3 son 7.

88
00:08:16,060 --> 00:08:17,259
Aquí, ¿qué es lo que tengo?

89
00:08:17,959 --> 00:08:21,839
Potencia de la potencia, producto de los exponentes, 4 por 4, 16.

90
00:08:22,800 --> 00:08:26,839
Y como es un producto luego de dos potencias, sería 16 más 1, 17.

91
00:08:27,459 --> 00:08:29,699
Bueno, sustituyo. Y a la cuarta es igual a 1.

92
00:08:30,860 --> 00:08:33,240
Y al cubo es igual a menos i.

93
00:08:34,240 --> 00:08:42,980
más i a la cuarta, que es 1, elevado a la cuarta, por i a la 1, que es i,

94
00:08:43,980 --> 00:08:49,379
es decir, me queda aquí, menos i, más i, y esto me sale,

95
00:08:53,960 --> 00:08:56,679
que si no me equivoco es el resultado, sí, es el resultado.

96
00:08:57,960 --> 00:09:02,139
Bueno, y voy a hacer el d, el d, después de todo lo que hemos hecho,

97
00:09:02,259 --> 00:09:03,840
nos va a resultar muchísimo más sencillo.

98
00:09:03,840 --> 00:09:12,580
Esto vale un medio de 1 más i por 1 más i a la menos 4.

99
00:09:13,720 --> 00:09:18,019
Bueno, ¿qué hago?

100
00:09:18,679 --> 00:09:25,679
Pues lo primero voy a poner esto de forma un poquito más limpia para que nos quede suficientemente mono.

101
00:09:26,879 --> 00:09:31,679
Y a la menos 4 lo que tengo que hacer es que paso aquí el i a la 4.

102
00:09:31,679 --> 00:09:34,539
Bueno, me voy a mis potencias

103
00:09:34,539 --> 00:09:35,960
Y a la 4 vale 1

104
00:09:35,960 --> 00:09:39,379
Pues entonces este 1 entre 1 me va a valer 1

105
00:09:39,379 --> 00:09:40,700
1 más 1, 2

106
00:09:40,700 --> 00:09:44,000
Vamos a ver cómo esto mejora todo un montón

107
00:09:44,000 --> 00:09:46,980
1 medio de y más 1

108
00:09:46,980 --> 00:09:52,220
Y 1 más 1 entre y a la cuarta, que es 1

109
00:09:52,220 --> 00:10:00,340
Es decir, me queda 1 medio de y más 1 por 2

110
00:10:00,340 --> 00:10:02,200
Y este 2 y este 2 se me van

111
00:10:02,200 --> 00:10:05,879
por tanto me queda al final del todo 1 más i

112
00:10:05,879 --> 00:10:12,960
perdonadme, luego hago un inciso sobre este ejercicio

113
00:10:12,960 --> 00:10:15,360
1 más i, ¿qué tengo que hacer ahora?

114
00:10:15,740 --> 00:10:17,200
módulo y argumento

115
00:10:17,200 --> 00:10:20,919
pues módulo de 1 más i, módulo de z

116
00:10:20,919 --> 00:10:24,480
a que es igual, es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado

117
00:10:24,480 --> 00:10:27,200
más la parte real al cuadrado

118
00:10:27,200 --> 00:10:28,559
más la parte imaginaria al cuadrado

119
00:10:28,559 --> 00:10:30,600
1 al cuadrado más 1 al cuadrado

120
00:10:30,600 --> 00:10:32,179
esto es raíz de 2

121
00:10:32,179 --> 00:10:36,179
¿y el argumento cuánto vale?

122
00:10:37,340 --> 00:10:39,419
Arco tangente de 1.

123
00:10:40,559 --> 00:10:44,379
Bien, arco tangente de 1 es 45 grados.

124
00:10:44,559 --> 00:10:45,980
¿Pero en qué cuadrante estoy?

125
00:10:46,299 --> 00:10:48,740
¿Es positivo en el primero o en el tercero?

126
00:10:49,820 --> 00:10:52,779
Pues si esto es positivo y esto es positivo, estoy en el primer cuadrante.

127
00:10:53,000 --> 00:10:53,799
Esto vale 45.

128
00:10:55,990 --> 00:11:00,309
Por lo tanto, esto vale raíz de 2 y su angulito 45.

129
00:11:00,309 --> 00:11:06,850
Y expresado en forma trigonométrica, raíz de 2 por coseno de 45.

130
00:11:08,250 --> 00:11:13,399
Más y seno de 40.

131
00:11:13,679 --> 00:11:13,899
Bien.

132
00:11:15,159 --> 00:11:15,879
Pues ya está hecho.

133
00:11:18,220 --> 00:11:21,220
Recordad, la forma binómica en este caso sería esta.

134
00:11:22,820 --> 00:11:24,340
Esta sería la forma polar.

135
00:11:25,019 --> 00:11:27,159
Y esta sería la forma trigonométrica.

136
00:11:28,279 --> 00:11:29,460
Y un pequeño inciso.

137
00:11:30,000 --> 00:11:30,559
El número cero.

138
00:11:31,480 --> 00:11:35,620
El número cero no hace falta que lo exprese ni de forma polar ni de forma binómica.

139
00:11:35,620 --> 00:11:39,860
Porque no le puedo asociar ningún ángulo.

140
00:11:42,730 --> 00:11:46,450
Porque el cero que está aquí podría asociarle a cualquier otro ángulo.

141
00:11:47,590 --> 00:11:55,230
Si no lo habéis entendido, simplemente recordad que el número cero no tiene ni forma polar ni forma trigonométrica.

142
00:11:55,929 --> 00:12:03,149
Porque si esto fuera cero, el módulo, y le pusiera el coseno de cualquier ángulo e i por el seno de cualquier ángulo, siempre me daría cero.

143
00:12:04,210 --> 00:12:05,509
Esto es lo que se llama una aberración.

144
00:12:05,509 --> 00:12:15,970
Es decir, es el punto en el que yo puedo tener una variable definida y la otra la tengo completamente indefinida, porque puedo poner cualquier punto.

145
00:12:16,970 --> 00:12:25,669
Pero, simplemente deciros que el número 0 no tiene ni forma polar ni forma trigonométrica, exclusivamente tiene forma binómica.

146
00:12:26,809 --> 00:12:35,070
Voy a hacer el ejercicio número 2. El ejercicio número 2, que ya lo hemos hecho en clase, z sub 1 es igual a 260.

147
00:12:35,509 --> 00:12:54,200
z sub 2 es igual a, menos 1 más i, z sub 3 es igual a 2 coseno de 210, más i seno de 210.

148
00:12:55,519 --> 00:12:59,659
Bueno, y entonces ahora lo que me piden son varias cuentas.

149
00:13:00,639 --> 00:13:06,059
Me piden z sub 1 por z sub 2 por z sub 3, multiplicar conjugados y demás.

150
00:13:06,059 --> 00:13:11,679
Bueno, pues vamos a poner todos los números, porque no estamos sumando ningún número en lo que me piden.

151
00:13:11,860 --> 00:13:13,100
Voy a poner el enunciado aquí.

152
00:13:14,340 --> 00:13:21,200
El enunciado me pide z sub 1 por z sub 2 por z sub 3, z sub 1 por el conjugado de z sub 2 dividido entre z sub 3,

153
00:13:21,679 --> 00:13:23,840
z sub 3 a la cuarta y z sub 2 a la menos 2.

154
00:13:24,460 --> 00:13:28,940
Bueno, pues lo que vamos a hacer es pasar todo a forma polar.

155
00:13:29,919 --> 00:13:49,379
El z sub 1 ya está en forma polar, vamos a ver, z sub 2 es igual a, módulo de z es la parte real al cuadrado, es decir, menos 1 al cuadrado, más la parte imaginaria al cuadrado, que es 1 al cuadrado, y todo ello raíz, raíz de 2.

156
00:13:49,379 --> 00:14:01,009
Alfa sub 2 es el arco tangente de la parte imaginaria que es 1 dividido entre la parte real que es menos 1

157
00:14:01,009 --> 00:14:11,980
Arco tangente, bien, le doy a calculadora y me va a dar menos 45, menos 45 está en el cuarto cuadrante

158
00:14:13,259 --> 00:14:22,379
¿En qué cuadrante estoy? Si tengo la x negativa, que sería esta zona de aquí, y la y positiva, que es esta zona de aquí, pues estoy en el segundo cuadrante

159
00:14:22,379 --> 00:14:30,139
Por tanto, este ángulo de menos 45 se me transforma en este, que es de 90 más 45, que son 135.

160
00:14:32,110 --> 00:14:41,340
Si cogéis la calculadora, tangente de 135, veréis cómo nos sale menos 1 también.

161
00:14:43,720 --> 00:14:46,059
Entonces sale raíz de 2, 135.

162
00:14:47,639 --> 00:14:48,940
Y este es z sub 2.

163
00:14:51,259 --> 00:14:55,399
Y vamos a poner z sub 3 de forma polar también.

164
00:14:55,860 --> 00:14:57,100
Sería el módulo 2.

165
00:14:57,100 --> 00:15:00,799
Y luego, coseno más y seno, ya tengo el ángulo.

166
00:15:02,360 --> 00:15:06,000
Recordad que la forma trigonométrica es el módulo, el módulo,

167
00:15:06,480 --> 00:15:10,679
y el coseno del ángulo más y por el seno del ángulo, como este ángulo y este ángulo son iguales,

168
00:15:10,840 --> 00:15:13,299
significa que ya está expresado en forma trigonométrica.

169
00:15:14,059 --> 00:15:18,120
Por tanto, tengo estos tres números con los que voy a hacer algunas cuentas.

170
00:15:19,460 --> 00:15:24,919
Bien, pues voy por el apartado a z sub 1 por z sub 2 por z sub 3.

171
00:15:25,620 --> 00:15:28,299
El enunciado no me pide que lo deje en forma dinámica.

172
00:15:29,039 --> 00:15:31,600
Por tanto, podría dejarlo en forma polar y sería correcto.

173
00:15:31,799 --> 00:15:36,600
No obstante, lo que vamos a hacer es discutir un poco sobre los posibles valores y las implicaciones que tiene.

174
00:15:37,159 --> 00:15:38,159
Pues z sub 1, 260.

175
00:15:40,519 --> 00:15:43,919
Z sub 2, raíz de 2, 135.

176
00:15:46,559 --> 00:15:48,899
Z sub 3, 2, 210.

177
00:15:51,299 --> 00:15:55,100
2 por 2, 4 por raíz de 2, 4 raíz de 2.

178
00:15:55,100 --> 00:15:59,200
el producto de números en forma polar, multiplico los módulos

179
00:15:59,200 --> 00:16:02,919
y sumo los argumentos. Los argumentos los voy a sumar

180
00:16:02,919 --> 00:16:06,799
o podría sumar de memoria, pero como estoy un poco torpe hoy

181
00:16:06,799 --> 00:16:12,200
más 60 y esto me sale 405

182
00:16:12,200 --> 00:16:18,230
vamos a transformar 60

183
00:16:18,230 --> 00:16:22,990
405 más 60, vale. Esto

184
00:16:22,990 --> 00:16:26,990
vamos a transformarlo en un número

185
00:16:26,990 --> 00:16:35,100
vale, vamos a transformar el ángulo alfa, 405

186
00:16:35,100 --> 00:16:37,539
vamos a hacer el número de vueltas

187
00:16:37,539 --> 00:16:42,899
vamos a transformarlo en un ángulo de entre 1 y 360

188
00:16:42,899 --> 00:16:47,000
pues mirad, dividiendo con la calculadora

189
00:16:47,000 --> 00:16:51,299
yo todo esto os lo explico porque creo que son trucos

190
00:16:51,299 --> 00:16:54,259
que os pueden ayudar, ya sabéis que el examen lo podemos hacer con calculadora

191
00:16:54,259 --> 00:16:59,179
405 es igual a 360 más 45

192
00:16:59,179 --> 00:17:14,140
¿Por qué lo sé? Porque 405 entre 360 es igual a 1, es igual a una vuelta, voy a quitar esto, no es muy correcto.

193
00:17:15,579 --> 00:17:18,960
405 es igual a 5 es igual a una vuelta más el resto.

194
00:17:20,900 --> 00:17:26,779
405 es igual a 1 por 360 más 45, que es el resto.

195
00:17:28,140 --> 00:17:31,960
1 por 360, que es este de aquí, más 45.

196
00:17:31,960 --> 00:17:38,539
Si yo tuviera otro número, sería el cociente multiplicado por el divisor más el resto, que es lo que tengo aquí.

197
00:17:38,700 --> 00:17:42,299
Es decir, este ángulo es equivalente al de 45 grados.

198
00:17:43,359 --> 00:17:48,609
Entonces tengo 4 raíz de 2 por 40.

199
00:17:48,990 --> 00:17:51,450
Bien. ¿Cuál sería la forma polar? Esta.

200
00:17:52,269 --> 00:17:55,329
¿Cuál sería la forma trigonométrica? 4 raíz de 2.

201
00:17:56,369 --> 00:17:57,950
Lo voy a hacer en el primer caso nada más.

202
00:17:57,950 --> 00:18:08,769
4 raíz de 2, 45, es igual a 4 raíz de 2 coseno de 45 más y seno de 45.

203
00:18:09,329 --> 00:18:13,029
¿Y cuál sería la forma binómica?

204
00:18:13,609 --> 00:18:14,630
Sustituyo los valores.

205
00:18:15,450 --> 00:18:22,170
4 raíz de 2 por raíz de 2 partido por 2 más y raíz de 2 partido por 2.

206
00:18:23,130 --> 00:18:24,390
Y esto lo voy a hacer de cabeza.

207
00:18:24,390 --> 00:18:27,369
4 raíz de 2 por raíz de 2 son 8, entre 2 son 4.

208
00:18:27,369 --> 00:18:32,890
más lo mismo, 4 raíz de 2 por raíz de 2 son, raíz de 2 por raíz de 2 son 2,

209
00:18:33,009 --> 00:18:35,809
2 por 4, 8, entre 2 son 4, por i.

210
00:18:36,950 --> 00:18:38,869
Y ahora voy a hacer el resto de ejercicios.

211
00:18:39,630 --> 00:18:41,670
Un poquito más ligero.

212
00:18:42,170 --> 00:18:45,589
Lo que pasa es que ya tengo la primera piedra en el camino.

213
00:18:46,130 --> 00:18:48,329
Vamos a ver, z sub 2 conjugado.

214
00:18:49,750 --> 00:18:59,140
Partido por, bien, tengo mis tres números en forma polar.

215
00:18:59,460 --> 00:19:01,740
¿Cómo expreso un número?

216
00:19:01,740 --> 00:19:06,440
¿En forma polar? Perdón, ¿cómo es el conjugado de un número en forma polar?

217
00:19:06,920 --> 00:19:14,339
Bien, recordad, z sub 2 conjugado es igual a a menos bi, y z sub 2 es a más bi.

218
00:19:16,630 --> 00:19:24,430
Bueno, ¿cuánto vale el módulo de z sub 2? Pues vale el mismo que el de z sub 2.

219
00:19:25,630 --> 00:19:32,049
Fijaos, parte real al cuadrado más parte imaginaria al cuadrado, y todo ello raíz cuadrada.

220
00:19:32,049 --> 00:19:37,329
Como esto es un menos, menos por menos más, esto es igual a la raíz de a cuadrado más b cuadrado,

221
00:19:39,380 --> 00:19:43,640
esto es igual a la raíz de a cuadrado más b cuadrado, que aquí sí que no tengo que explicar mucho más,

222
00:19:44,480 --> 00:19:52,519
y por tanto el módulo de z sub 2 es el módulo de z sub 2 conjugado, tienen el mismo módulo.

223
00:19:53,220 --> 00:19:54,819
Vamos a ver el argumento.

224
00:19:54,819 --> 00:20:03,400
Alfa sub 2, vamos a llamarle prima, sería el arco tangente de menos b partido por a.

225
00:20:05,160 --> 00:20:11,920
Alfa sub 2, que sería este de aquí, arco tangente de b entre a.

226
00:20:13,519 --> 00:20:13,960
Bien.

227
00:20:14,980 --> 00:20:25,480
Si este es el valor alfa sub 2, si yo cambio la tangente de signo, ¿qué es lo que me da?

228
00:20:25,480 --> 00:20:30,960
Pues me da el mismo ángulo pero cambiado de signo. Es decir, me sale menos alfa sub 2.

229
00:20:33,170 --> 00:20:36,509
Entonces, alfa sub 2. Imaginaos que alfa sub 2 me da 45.

230
00:20:37,170 --> 00:20:39,970
Pues ¿cuál es menos alfa sub 2? Es menos 45.

231
00:20:42,019 --> 00:20:47,339
Pero ¿qué es lo que hago? Yo siempre quiero expresar mis ángulos en números positivos, no negativos.

232
00:20:47,740 --> 00:20:51,599
¿Por qué? Porque me da menos posibilidades de error.

233
00:20:51,599 --> 00:21:01,980
Entonces, lo que tendré que hacer es decir que alfa' sub 2 es igual a 360 grados menos alfa sub 2.

234
00:21:04,630 --> 00:21:09,869
Dicho esto, vamos a expresar z sub 2 conjugado.

235
00:21:11,779 --> 00:21:13,319
¿Cuál sería? En forma polar.

236
00:21:16,039 --> 00:21:20,299
Raíz de 2 y 360 menos 135.

237
00:21:31,079 --> 00:21:33,220
360 menos 135.

238
00:21:33,220 --> 00:21:58,859
225, 225, z sub 1 por z sub 2 dividido entre z sub 3, ahora me voy arriba, z sub 1, 260, z sub 2 raíz de 2, 135, perdón, 225, he escrito el valor sin conjugar,

239
00:21:58,859 --> 00:22:08,039
Divido entre z sub 3, y z sub 3 es 2, 210.

240
00:22:11,140 --> 00:22:18,579
¿Qué hago? Multiplico los módulos, y los que multiplico sumo los argumentos, y los que divido resto los argumentos.

241
00:22:18,980 --> 00:22:25,650
2 entre 2 es 1, raíz de 2, y ¿qué cuenta me queda?

242
00:22:25,650 --> 00:22:39,069
Me queda 60 más 225 menos 210, que es raíz de 2 por, y el ángulo es 75.

243
00:22:39,069 --> 00:23:01,759
Bueno, ¿vamos a expresarlo en forma trigonométrica? Pues este número, y perdonadme el desorden, sería raíz de 2 por coseno de 75 más y seno de 75, ¿bien?

244
00:23:03,259 --> 00:23:08,720
Y este, como no es un ángulo conocido, si lo quiero expresar en forma binómica, pues tendré que morir al palo y hacerme la cuenta.

245
00:23:08,720 --> 00:23:13,059
perdón, esta x por afuera

246
00:23:13,059 --> 00:23:15,059
coseno de 75

247
00:23:15,059 --> 00:23:17,119
0,36

248
00:23:17,119 --> 00:23:19,259
raíz de 2 por coseno de 75

249
00:23:19,259 --> 00:23:20,539
0,36

250
00:23:20,539 --> 00:23:23,430
más

251
00:23:23,430 --> 00:23:31,920
seno de 75, 1,36

252
00:23:31,920 --> 00:23:38,240
bueno

253
00:23:38,240 --> 00:23:40,660
y ahora voy a hacer

254
00:23:40,660 --> 00:23:44,279
los dos que me faltan

255
00:23:44,279 --> 00:23:46,180
que es

256
00:23:46,180 --> 00:23:49,670
z3 a la cuarta

257
00:23:49,670 --> 00:23:51,589
z3, 2,2,1

258
00:23:51,589 --> 00:24:09,849
bien, recordad que el módulo

259
00:24:09,849 --> 00:24:13,369
de cualquier número que está multiplicado por otro es el producto de los módulos.

260
00:24:13,509 --> 00:24:19,250
Si lo que tengo es la potencia, si esto lo llamo Z, ¿vale?

261
00:24:19,369 --> 00:24:23,089
¿El módulo de Z cuál va a ser? Va a ser el módulo de Z3 elevado a la cuarta.

262
00:24:23,809 --> 00:24:25,650
¿El módulo de Z3 cuál es? Es 2.

263
00:24:27,109 --> 00:24:33,440
Pues 2. 2 por 2, 4. Por 2, 8. Por 2, 16.

264
00:24:34,720 --> 00:24:39,259
¿Y el argumento cuál es? Pues el nuevo argumento es 4 por alfa.

265
00:24:39,259 --> 00:24:42,880
4 veces los 210, que son 4, 840.

266
00:24:43,240 --> 00:24:46,859
transformo 840, ¿cuántas vueltas son?

267
00:24:48,539 --> 00:24:51,359
Pues a ver, si no me equivoco, son 2, que son 710,

268
00:24:51,519 --> 00:24:54,940
2 por 0 es 0, al 0, 2 por 6, 12,

269
00:24:56,039 --> 00:25:00,559
al 14 me llevo 1, y 2 por 3, 6, 7,

270
00:25:01,299 --> 00:25:03,539
al 8, 1, resto 120.

271
00:25:03,539 --> 00:25:09,880
Es decir, 840 es igual a 2 por 360 más 120,

272
00:25:11,039 --> 00:25:12,640
me quedo con este número.

273
00:25:13,240 --> 00:25:23,940
Entonces, ¿cuál es mi cuenta? Z3 elevado a la cuarta es igual a 16 y de argumento tengo 120.

274
00:25:25,940 --> 00:25:41,950
Este es mi número Z. Por tanto, Z es igual a 16 coseno de 120 más y seno de 120.

275
00:25:41,950 --> 00:26:07,500
Y ahora, ¿cuánto vale el coseno de 120? Si estos son 60, y estos también son 60, este segmento y este segmento son iguales.

276
00:26:07,660 --> 00:26:16,019
¿Y este ángulo cuánto vale? Este que he dibujado aquí. Pues este ángulo vale 180 menos 60, que son 120.

277
00:26:16,880 --> 00:26:23,279
Por tanto, las razones trigonométricas de 120 son las de 60, solo que teniendo en cuenta los signos en el segundo cuadrante.

278
00:26:23,279 --> 00:26:30,279
El seno es positivo, este va a ser positivo, y el coseno va a ser negativo, este va a ser negativo.

279
00:26:31,200 --> 00:26:37,039
Bien, 16 por coseno de 60. ¿Cuánto vale el coseno de 60?

280
00:26:37,200 --> 00:26:39,759
Pues el coseno de 60, si no me he equivocado, vale un medio.

281
00:26:40,440 --> 00:26:51,339
Como digo que yo estoy un poco espeso, pues mira, vamos, y el seno es raíz de 3 partido por 2 por i.

282
00:26:51,759 --> 00:26:54,900
Pero aquí hay un error.

283
00:26:54,900 --> 00:26:59,019
Hemos dicho que el coseno tiene que ser negativo

284
00:26:59,019 --> 00:27:02,059
Entonces me queda

285
00:27:02,059 --> 00:27:03,460
Menos 8

286
00:27:03,460 --> 00:27:06,200
Más 8 raíz de 3

287
00:27:06,200 --> 00:27:09,200
Y este es mi número z

288
00:27:09,200 --> 00:27:13,259
Y aquí está expresado en forma trigonométrica

289
00:27:13,259 --> 00:27:14,960
Y aquí está expresado en forma polar

290
00:27:14,960 --> 00:27:16,500
Lo estoy haciendo completo

291
00:27:16,500 --> 00:27:18,460
Para que veáis que se puede pasar de uno a otro

292
00:27:18,460 --> 00:27:19,559
Con muchísima facilidad

293
00:27:19,559 --> 00:27:21,259
Pero lo que me interesa sobre todo

294
00:27:21,259 --> 00:27:22,920
Es que sepáis

295
00:27:22,920 --> 00:27:24,440
Que si no os dicen nada

296
00:27:24,440 --> 00:27:26,940
cualquiera de estas expresiones es correcta

297
00:27:26,940 --> 00:27:29,039
lo único que sí, yo todo esto lo desarrollo

298
00:27:29,039 --> 00:27:31,259
seguramente pueda detectar

299
00:27:31,259 --> 00:27:35,119
si me he equivocado o no me he equivocado

300
00:27:35,119 --> 00:27:36,240
y el apartado D

301
00:27:36,240 --> 00:27:38,599
el apartado D es

302
00:27:38,599 --> 00:27:39,960
Z2 a la menos 2

303
00:27:39,960 --> 00:27:42,460
bien, Z2

304
00:27:42,460 --> 00:27:44,619
a ver si lo tengo por aquí

305
00:27:44,619 --> 00:27:48,900
Z2

306
00:27:48,900 --> 00:27:51,559
es raíz de 2, 135