1
00:00:00,110 --> 00:00:05,769
Vamos a considerar que tenemos un polígono, como por ejemplo aquí que tenemos un pentágono

2
00:00:05,769 --> 00:00:11,789
y los datos que me dan de ese polígono son las coordenadas de los vértices.

3
00:00:13,029 --> 00:00:17,210
Importante que si me dan las coordenadas de los vértices yo sitúe los vértices bien,

4
00:00:17,370 --> 00:00:23,210
es decir, en sentido horario o antihorario los vértices tienen que estar consecutivos

5
00:00:23,210 --> 00:00:29,149
A, B, C, D, E o si habéis empezado al revés este sería el A, el B, el C, etc.

6
00:00:30,109 --> 00:00:32,549
Los datos son las coordenadas de los vértices.

7
00:00:33,390 --> 00:00:35,670
Sabemos calcular distancias.

8
00:00:36,189 --> 00:00:47,649
Por ejemplo, si yo quiero calcular el lado AB, yo lo que hago es calcular el módulo del vector AB.

9
00:00:47,649 --> 00:00:53,609
Puesto que tengo las coordenadas de los vértices, calcularía primero este vector,

10
00:00:53,609 --> 00:00:58,329
el vector que va desde A hasta B

11
00:00:58,329 --> 00:01:03,229
y luego el módulo de ese vector

12
00:01:03,229 --> 00:01:09,159
también podría calcular por ejemplo una diagonal

13
00:01:09,159 --> 00:01:13,040
por ejemplo si yo quiero calcular la longitud de la diagonal

14
00:01:13,040 --> 00:01:19,129
AC, bueno, imaginar que va recto

15
00:01:19,129 --> 00:01:26,689
pues igual yo calcularía la longitud de esa diagonal

16
00:01:26,689 --> 00:01:44,560
calculando primero el vector AC, puesto que tengo las coordenadas del extremo y del origen de A y de C

17
00:01:44,560 --> 00:01:49,099
y el módulo de ese vector me daría la longitud de esa diagonal.

18
00:01:49,659 --> 00:01:52,120
De esta manera calculamos distancias.

19
00:01:52,620 --> 00:01:55,620
Vamos a ver ahora cómo podemos calcular ángulos.

20
00:01:55,620 --> 00:02:02,420
Imagina que yo ahora quiero calcular el ángulo que tenemos en el vértice E.

21
00:02:02,680 --> 00:02:04,319
Vamos a llamar ese ángulo alfa.

22
00:02:06,409 --> 00:02:13,349
En este caso, lo que vamos a hacer va a ser utilizar el producto escalar.

23
00:02:13,930 --> 00:02:20,650
Y el producto escalar con dos vectores que tengan el origen en el vértice E.

24
00:02:20,650 --> 00:02:40,479
Es decir, si yo quiero calcular el ángulo alfa, tengo que formar el vector ED y el vector DEA.

25
00:02:40,919 --> 00:02:45,599
Los dos tienen que partir del mismo, tienen que tener origen aquí, en el vértice E.

26
00:02:45,599 --> 00:03:15,159
De esa manera, el coseno de alfa, recordad que el producto escalar de EA por ED sería módulo de EA por el módulo de ED por el coseno del ángulo que forman

27
00:03:15,159 --> 00:03:21,659
Y también, si sé las componentes de estos dos vectores, componente a componente, puedo calcularlo.

28
00:03:21,879 --> 00:03:36,569
De esa manera, despejando coseno de alfa, sería el producto escalar de ea por ed,

29
00:03:37,270 --> 00:03:42,909
dividido por el producto de los módulos de los dos vectores.

30
00:03:42,909 --> 00:03:53,490
Alfa sería arco coseno de esta cantidad.

31
00:03:57,069 --> 00:04:03,789
La calculadora me va a dar el resultado correcto, porque siempre me da el ángulo más pequeño,

32
00:04:04,050 --> 00:04:15,340
es decir, no me va a dar nunca este ángulo de aquí, sino el que hemos definido como ángulo formado por dos vectores, el correcto.

33
00:04:15,340 --> 00:04:21,660
Si el coseno es positivo, es que ese ángulo va a ser agudo, menos que 90.

34
00:04:21,660 --> 00:04:30,819
Y si es mayor que 90, si está entre 90 y 180, pues entonces el coseno será negativo.

35
00:04:31,540 --> 00:04:39,319
En todo caso, la calculadora, cuando yo calcule arco coseno de esta cantidad, directamente me da el ángulo correcto.

36
00:04:39,379 --> 00:04:40,800
No tengo que hacer ninguna corrección.

37
00:04:41,800 --> 00:04:43,860
Como ejemplo vamos a hacer este ejercicio.

38
00:04:43,860 --> 00:04:52,040
En un rombo, como el de la figura, me dan los vértices

39
00:04:52,040 --> 00:05:00,120
Y me piden calcular el perímetro del rombo, la longitud de las diagonales y los ángulos

40
00:05:00,120 --> 00:05:05,160
En un rombo los lados son iguales

41
00:05:06,579 --> 00:05:12,839
Entonces, si me piden el perímetro del rombo, puedo calcular uno de los lados

42
00:05:12,839 --> 00:05:20,459
y luego multiplicar esa longitud por 4 para calcular el perímetro.

43
00:05:21,439 --> 00:05:36,990
Vamos a calcular, por ejemplo, el vector AB, que sería este,

44
00:05:37,829 --> 00:05:43,189
extremo menos origen, sería menos 2 menos menos 3, 1,

45
00:05:44,389 --> 00:05:49,290
y 0 menos 3 menos 3.

46
00:05:49,490 --> 00:06:13,449
De tal manera que el módulo de A a B sería la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más menos 3 al cuadrado raíz de 10.

47
00:06:14,550 --> 00:06:25,459
Como en el rombo todos los lados son iguales, el perímetro sería 4 raíz de 10.

48
00:06:31,060 --> 00:06:32,160
Apartado B.

49
00:06:33,040 --> 00:06:34,560
Longitud de las diagonales.

50
00:06:34,560 --> 00:06:40,439
Aquí tenemos dos diagonales de longitud distinta.

51
00:06:40,600 --> 00:06:45,519
Vamos a calcular cada una de ellas.

52
00:06:46,860 --> 00:06:53,579
Por ejemplo, vamos a empezar por la diagonal menor.

53
00:07:00,019 --> 00:07:11,519
Calculamos el vector de b, coordenadas del extremo menos las del origen, menos 2, menos menos 4, 2.

54
00:07:11,519 --> 00:07:16,540
Y la segunda componente sería 0, 0, menos 0, 0.

55
00:07:17,480 --> 00:07:30,649
De tal manera que el módulo de este vector, como una componente es cero, me quedaría dos.

56
00:07:31,449 --> 00:07:35,029
Esta sería la longitud de la diagonal menor.

57
00:07:44,019 --> 00:07:50,579
Bueno, se ve claramente porque si lo representamos como las coordenadas en el eje Y son cero,

58
00:07:50,579 --> 00:07:53,259
de menos cuatro a menos dos, pues van dos unidades.

59
00:07:54,139 --> 00:07:57,459
Y aquí nos va a salir seis unidades la diagonal mayor, pero vamos a hacerlo también.

60
00:07:57,459 --> 00:08:06,839
El vector AC que me daría la otra diagonal

61
00:08:06,839 --> 00:08:11,740
Pues menos 3 menos menos 3 sería 0

62
00:08:11,740 --> 00:08:15,399
Y menos 3 menos 3 menos 6

63
00:08:15,399 --> 00:08:20,699
El módulo pues me da 6

64
00:08:20,699 --> 00:08:40,100
Longitud de la diagonal por último

65
00:08:40,100 --> 00:08:42,559
Los ángulos del rombo

66
00:08:42,559 --> 00:08:45,179
Los ángulos del rombo son iguales 2 a 2

67
00:08:45,179 --> 00:08:53,700
Este ángulo es igual que este y luego este ángulo es igual que este

68
00:08:53,700 --> 00:09:00,049
Vamos a calcular primero este de aquí, por ejemplo

69
00:09:00,049 --> 00:09:02,370
Vamos a llamarle ángulo alfa

70
00:09:02,370 --> 00:09:11,980
Para ello voy a construir los vectores AB y AB

71
00:09:11,980 --> 00:09:14,659
Los dos con vértice en A

72
00:09:14,659 --> 00:09:28,860
AB tiene coordenadas, bueno esto ya lo teníamos de antes, 1, menos 3

73
00:09:28,860 --> 00:09:43,210
Y el AD tiene coordenadas, menos 1, menos 3

74
00:09:43,210 --> 00:10:00,720
El coseno de alfa será el producto escalar de AB por AD

75
00:10:00,720 --> 00:10:07,980
Dividido por sus módulos, por el producto de los módulos

76
00:10:07,980 --> 00:10:25,779
1 por menos 1 más menos 3 por menos 3 que es 9

77
00:10:25,779 --> 00:10:31,620
Así que en el numerador quedaría menos 1 más 9, 8

78
00:10:31,620 --> 00:10:38,960
Y en el denominador los módulos estos son iguales porque los lados son iguales

79
00:10:38,960 --> 00:10:49,860
Y el módulo de cualquiera de ellos pues es la raíz de 10

80
00:10:49,860 --> 00:11:09,250
Así que aquí me quedaría raíz de 10 por raíz de 10, 10, simplificando, 4 quintos.

81
00:11:09,250 --> 00:11:16,870
Y de aquí el ángulo alfa, pues sería arco coseno de 4 quintos.

82
00:11:35,940 --> 00:11:45,299
36 grados, 52 minutos, vamos a poner casi 12 segundos.

83
00:11:45,299 --> 00:12:00,870
Para el otro ángulo, bueno, puedo utilizar también otro resultado

84
00:12:00,870 --> 00:12:09,360
Es que en un cuadrilátero la suma de todos los ángulos tiene que ser 360

85
00:12:09,360 --> 00:12:12,519
Es decir, que dos veces alfa

86
00:12:12,519 --> 00:12:14,779
Dos veces alfa

87
00:12:14,779 --> 00:12:17,860
Si aquí le llamamos beta a este ángulo

88
00:12:17,860 --> 00:12:22,250
Más dos veces beta

89
00:12:22,250 --> 00:12:25,889
Tiene que ser igual a 360

90
00:12:25,889 --> 00:12:32,669
es decir, alfa más beta, 180 grados

91
00:12:32,669 --> 00:12:40,370
con lo cual beta sería el suplementario de este ángulo que acabamos de calcular

92
00:12:40,370 --> 00:12:46,740
también podríamos calcularlo como hemos hecho con el ángulo alfa

93
00:12:46,740 --> 00:12:49,059
pero esto sería más rápido

94
00:12:49,059 --> 00:12:58,960
143 grados, 7 minutos, 48 segundos