1 00:00:00,000 --> 00:00:05,540 ¿O no es? Bueno, vamos a comenzar con algunos ejemplos de representación gráfica de funciones, ¿vale? 2 00:00:05,780 --> 00:00:10,640 Vamos a empezar con esta función que es racional, pero que además tiene un valor absoluto. 3 00:00:11,220 --> 00:00:17,980 Entonces, lo primero que vamos a hacer es expresarla como una función definida a trozos. 4 00:00:18,100 --> 00:00:24,800 Como siempre, tengo que ver dónde cambia de signo lo que está en el interior del valor absoluto. 5 00:00:24,940 --> 00:00:29,920 Como este caso simplemente es x, tendré que ver qué pasa cuando la x es menor que 0 6 00:00:29,920 --> 00:00:33,060 y cuando el x es mayor que 0, que es donde cambia de signo. 7 00:00:33,500 --> 00:00:37,000 Para los valores negativos, el valor absoluto lo que hace es cambiarle el signo. 8 00:00:37,479 --> 00:00:39,960 Por lo tanto, eso lo consigo poniendo un menos delante. 9 00:00:41,439 --> 00:00:45,200 Y en cambio, para los valores positivos, el valor absoluto no lo afecta, 10 00:00:45,799 --> 00:00:49,520 así que quedaría de la misma manera x partido por x al cuadrado más 1. 11 00:00:50,179 --> 00:00:53,759 Muy bien, pues ahora ya podemos empezar a hacer la representación gráfica de la función. 12 00:00:54,759 --> 00:00:59,500 Primero, como siempre, vamos a empezar con los puntos de corte, con los ejes. 13 00:00:59,920 --> 00:01:13,659 Muy bien, puntos de corte y dominio. El dominio de la función, como veis, va a ser toda la recta real. ¿Por qué? Porque el denominador es siempre distinto de cero, así que no va a haber ningún punto donde no esté definida. 14 00:01:13,799 --> 00:01:29,459 Y en el cero, tanto por la izquierda como por la derecha, podemos ir simplemente a ojo que se hace cero, así que va a ser continua. En este caso, como no me piden que estudie la continuidad, pues no tengo por qué hacerlo. Simplemente me piden que haga la representación gráfica de la función. 15 00:01:29,920 --> 00:01:36,780 Así que el dominio es toda la recta real, por lo tanto, no van a existir asíntotas verticales, ¿vale? 16 00:01:37,180 --> 00:01:39,939 Y vamos a ver los puntos de corte con los ejes. 17 00:01:40,420 --> 00:01:47,079 Pues nada, simplemente lo valoro. Cuando la x vale 0, la y vale 0. 18 00:01:47,540 --> 00:01:51,859 Y si la y vale 0, la única solución es que la x valga 0. 19 00:01:51,859 --> 00:02:03,079 Así que existe un único punto de corte con el eje x e y que va a ser el 0, 0. 20 00:02:03,739 --> 00:02:13,229 Porque si yo igualo a 0 la función, la única solución posible sería x igual a 0. 21 00:02:16,159 --> 00:02:19,879 Así que ya no hace falta ni siquiera que lo ponga porque es bastante trivial. 22 00:02:19,879 --> 00:02:28,580 Muy bien, pues lo primero que tenemos que hacer cuando representamos una función es ir dibujando lo que vayamos calculando 23 00:02:28,580 --> 00:02:37,520 Aquí tengo mis ejes de coordenadas, el eje X, el eje Y y ya sé que la gráfica va a tener un punto de corte en el 0,0 24 00:02:37,520 --> 00:02:38,840 Pues lo voy a dibujar, ¿vale? 25 00:02:39,479 --> 00:02:49,729 Muy bien, el siguiente paso es saber si tiene asíntotas horizontales, el comportamiento en el infinito 26 00:02:49,729 --> 00:03:05,289 Para ello tengo que hacer el límite cuando x tiende a más infinito de la función, que como es un valor mayor que cero, pues tendré que tomar el límite cuando x tiende a más infinito de x partido por x al cuadrado más uno. 27 00:03:05,289 --> 00:03:14,150 Como es una fracción algebraica, tendríamos infinito partido por infinito, pero como tiene mayor valor el denominador, ya sabemos que este límite va a ser cero. 28 00:03:14,689 --> 00:03:25,379 Así que tiene una asíntota horizontal y igual a cero, pero por la derecha. 29 00:03:25,919 --> 00:03:37,580 Si hago el límite cuando x tiende a menos infinito de la función, ahora sería el límite cuando x tiende a menos infinito de menos x partido por x al cuadrado más uno, 30 00:03:37,580 --> 00:03:48,620 que también va a dar cero. Así que tengo asíntota horizontal también igual a cero por la izquierda, ¿vale? 31 00:03:50,860 --> 00:03:55,379 Siempre tenemos que comprobar por los dos lados. Vamos a dibujar la asíntota, como hemos dicho, 32 00:03:55,960 --> 00:04:02,240 vamos a ir dibujándola, ¿sí? Va a haber una asíntota horizontal por la derecha y una asíntota horizontal 33 00:04:02,240 --> 00:04:04,319 por la izquierda, ¿vale? 34 00:04:04,860 --> 00:04:06,620 Una asíntota y la vamos a escribir 35 00:04:06,620 --> 00:04:08,539 asíntota horizontal 36 00:04:08,539 --> 00:04:10,319 y igual a 0 37 00:04:10,319 --> 00:04:11,159 con su ecuación. 38 00:04:12,080 --> 00:04:14,280 Muy bien, pues ya tenemos el comportamiento 39 00:04:14,280 --> 00:04:16,199 en el infinito, ya tenemos 40 00:04:16,199 --> 00:04:17,899 los puntos de corte, 41 00:04:18,339 --> 00:04:20,259 vamos a estudiar ahora el crecimiento, 42 00:04:20,500 --> 00:04:22,540 ¿vale? Máximos y mínimos 43 00:04:22,540 --> 00:04:29,620 relativos. Para ello 44 00:04:29,620 --> 00:04:31,060 tenemos que derivar la función, 45 00:04:35,000 --> 00:04:36,399 así que vamos a derivarla, 46 00:04:37,160 --> 00:04:38,660 derivar el primero por el segundo 47 00:04:38,660 --> 00:04:49,139 sin derivar menos el primero sin derivar por la derivada del segundo partido por el segundo al 48 00:04:49,139 --> 00:04:58,620 cuadrado y la otra pues sería exactamente igual pero cambiada de signo. Bueno pues si simplificamos 49 00:04:58,620 --> 00:05:10,100 esta expresión voy a obtener x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado y 50 00:05:10,100 --> 00:05:16,360 Y menos x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado. 51 00:05:16,800 --> 00:05:20,579 Cuando la x sea menor que 0 y cuando la x sea mayor que 0. 52 00:05:21,199 --> 00:05:27,000 Muy bien, pues para estudiar el crecimiento tengo primero que ver dónde cambia de signo la derivada. 53 00:05:27,480 --> 00:05:28,980 Así que la tengo que igualar a 0. 54 00:05:28,980 --> 00:05:37,180 F de x valdrá 0 si solamente si x al cuadrado menos 1 vale 0, que va a tener dos soluciones. 55 00:05:37,180 --> 00:05:44,079 x igual a 1 y x igual a menos 1. Así que vamos a construir su tabla de crecimiento. 56 00:05:45,360 --> 00:05:50,920 Como no tiene asíntotas verticales, simplemente vamos a ir desde el infinito más infinito 57 00:05:50,920 --> 00:06:00,720 y vamos a colocar los dos valores donde cambia de signo la derivada, que como hemos visto es en el menos 1 y en el 1. 58 00:06:01,240 --> 00:06:06,860 Pero en el 0, aunque no tenga ninguna asíntota, puesto que la función cambia de expresión, 59 00:06:07,180 --> 00:06:14,220 también podría ser que cambiase su crecimiento, así que también en el 0 voy a ponerlo en la tabla de crecimiento, ¿vale? 60 00:06:14,560 --> 00:06:20,040 No solamente cuando hay asíntotas verticales, sino también cuando es una función definida a trozos, 61 00:06:20,040 --> 00:06:24,639 porque en ese punto podría cambiar la expresión, como de hecho lo hace, ¿vale? 62 00:06:25,220 --> 00:06:30,259 Así que tendríamos que estudiar el signo de f' para ver el crecimiento de f. 63 00:06:30,740 --> 00:06:34,439 Como siempre, tomamos un valor que esté en el intervalo que nos interesa, ¿vale? 64 00:06:34,439 --> 00:06:37,000 tenemos aquí la expresión de la derivada 65 00:06:37,000 --> 00:06:39,459 así que si tomo un valor a la izquierda del menos 1 66 00:06:39,459 --> 00:06:41,699 por ejemplo tomamos el menos 2 67 00:06:41,699 --> 00:06:45,139 me quedaría positivo arriba, positivo abajo 68 00:06:45,139 --> 00:06:46,660 por lo tanto positivo 69 00:06:46,660 --> 00:06:48,759 aquí la función va a ser creciente 70 00:06:48,759 --> 00:06:51,019 si cojo el menos 0,5 71 00:06:51,019 --> 00:06:54,639 siguen mostrando valores menores que 0 72 00:06:54,639 --> 00:06:57,839 en cambio el menos 0,5 va a quedar negativo el numerador 73 00:06:57,839 --> 00:06:59,339 y positivo el denominador 74 00:07:00,000 --> 00:07:04,540 Así que va a estar aquí negativa y la función va a ser decreciente. 75 00:07:05,120 --> 00:07:16,000 Si tomo ahora un valor positivo, 0,5, hay que darse cuenta que ahora ya tengo que utilizar el otro trozo de la derivada, puesto que estamos valores que son mayores que 0. 76 00:07:16,240 --> 00:07:27,660 Así que en el 0,5 el numerador va a quedar menos por menos más, va a quedar más entre más positivo, así que la función va a ser creciente. 77 00:07:27,660 --> 00:07:34,019 y en cambio aquí va a ser negativo y la función va a ser decreciente. 78 00:07:34,439 --> 00:07:41,720 Muy bien, recordemos que se define un máximo relativo como el valor donde la función pasa de ser creciente a decreciente 79 00:07:41,720 --> 00:07:47,920 siempre que la función se continúa y un mínimo relativo donde la función pasa de ser decreciente a creciente. 80 00:07:48,420 --> 00:07:54,980 Así que como vemos aquí, podemos deducir que en el menos 1, el 1 va a haber un máximo relativo 81 00:07:54,980 --> 00:07:59,720 y sin embargo aquí en el 0 vamos a obtener un mínimo relativo. 82 00:08:02,500 --> 00:08:11,100 Así que intervalos de crecimiento tendríamos que f es creciente, si nos lo piden, 83 00:08:12,459 --> 00:08:17,079 en los intervalos que van de menos infinito a 1 y en el infinito 0 a 1. 84 00:08:17,079 --> 00:08:23,759 f es decreciente en el intervalo que va de menos 1 a 0 85 00:08:23,759 --> 00:08:27,019 y en el intervalo que va de 1 a más infinito 86 00:08:27,019 --> 00:08:38,539 y f tiene máximos relativos en x igual a 1 y x igual a menos 1 87 00:08:38,539 --> 00:08:46,559 y un mínimo relativo en x igual a 0 88 00:08:46,559 --> 00:08:51,220 Muy bien, pues lo que tenemos que hacer siempre cuando calculemos los máximos y los mínimos 89 00:08:51,220 --> 00:08:54,120 es representarlos, ¿vale? 90 00:08:54,840 --> 00:08:58,799 Para ello tenemos que calcular las dos coordenadas, no solamente una, 91 00:08:59,879 --> 00:09:05,100 sino que tenemos aquí x y en el menos uno, en el cero y en el uno. 92 00:09:05,259 --> 00:09:07,360 En el cero ya sabemos que valía cero, ¿vale? 93 00:09:07,840 --> 00:09:11,740 En el menos uno pues tendremos que sustituir el menos uno, 94 00:09:11,860 --> 00:09:15,580 tenemos que ver que sería uno partido por dos, un medio, 95 00:09:18,139 --> 00:09:21,320 y en el uno pues también va a valer un medio. 96 00:09:21,320 --> 00:09:32,299 Bueno, pues vamos a dibujar estos puntos. Sabemos que cambia en el 1 un medio, aquí va a haber un máximo relativo y aquí también va a haber un máximo relativo. 97 00:09:32,740 --> 00:09:45,299 Y lo vamos a escribir, ¿vale? Máximo relativo en el punto 1 un medio y máximo relativo en el punto menos 1 un medio. 98 00:09:46,039 --> 00:09:51,559 ¿Vale? Pues nos faltaría saber si la función es o no es derivable en el cero, ¿vale? 99 00:09:51,840 --> 00:10:05,700 Porque en el cero habíamos visto que la derivada no era nula, entonces realmente no vamos a tener un mínimo relativo en un punto donde la derivada no es cero, donde la tangente no es horizontal. 100 00:10:06,480 --> 00:10:14,539 Efectivamente, si yo hago el límite al cero por la izquierda y por la derecha, vamos a ver que por un lado me va a dar menos uno y por el otro lado uno. 101 00:10:14,539 --> 00:10:20,960 así que la función no es derivable bueno vamos a ver si ya podríamos representar gráficamente 102 00:10:20,960 --> 00:10:28,000 a la función vamos a ver me dicen que tiene un asíntota horizontal y que tiene un máximo 103 00:10:28,000 --> 00:10:36,779 relativo así que parece que la función sube hasta su máximo y tenderá hacia su asíntota horizontal 104 00:10:36,779 --> 00:10:45,360 y también parece ser que captará su máximo y luego su asíntota horizontal bueno como veis tiene toda 105 00:10:45,360 --> 00:10:51,299 la pinta de que la concavidad también va a cambiar tiene toda la pinta que por aquí habrá algún punto 106 00:10:51,299 --> 00:10:55,860 de inflexión y por aquí también habrá algún punto de inflexión y como vemos en el cero va a ser un 107 00:10:55,860 --> 00:11:02,720 punto no derivable así que la función va a ser convexa entre los dos puntos de inflexión y 108 00:11:02,720 --> 00:11:08,659 cóncava cuando tiende hacia sus asíntotas así que si nos lo piden tendríamos que estudiar la segunda 109 00:11:08,659 --> 00:11:14,600 derivada vale vamos a hacer la segunda derivada ojo esto no lo tengo que hacer siempre ni mucho 110 00:11:14,600 --> 00:11:20,159 menos para representar la gráfica nosotros ya habríamos representado básicamente lo que es la 111 00:11:20,159 --> 00:11:27,419 gráfica de la función solamente si me lo piden haríamos la segunda derivada vamos a hacer la 112 00:11:27,419 --> 00:11:37,399 segunda derivada, que sería, vamos a ponerla aquí, tendríamos que derivar x cuadrado 113 00:11:37,399 --> 00:11:42,620 menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado. Así que sería derivada del primero 114 00:11:42,620 --> 00:11:53,419 por el segundo sin derivar menos el primero sin derivar por la derivada del segundo partido 115 00:11:53,419 --> 00:12:01,360 por el segundo al cuadrado. Fijaos siempre que en la segunda derivada va a ser muy común 116 00:12:01,360 --> 00:12:06,419 en las fracciones alfebraicas que podamos simplificar un factor, en este caso x al cuadrado 117 00:12:06,419 --> 00:12:12,360 más uno, porque se repite en todos los sumandos del numerador y en el denominador. Así que si 118 00:12:12,360 --> 00:12:32,059 la simplificamos me quedaría de esta manera 2x al cubo más 2x menos 4x al cubo más 4x partido por 119 00:12:32,059 --> 00:12:41,179 x cuadrado más 1 al cubo. Si la simplificamos un poco más, me va a quedar, esto es un cubo, 120 00:12:41,399 --> 00:12:52,840 ¿vale? Menos 2x al cubo más 6x partido por x cuadrado más 1 al cubo. Esto cuando la x es 121 00:12:52,840 --> 00:13:00,840 menor que 0. Y cuando es mayor que 0, simplemente va a quedar 2x al cubo menos 6x, cambiada de 122 00:13:00,840 --> 00:13:10,769 signo. Muy bien, entonces si igualamos a 0 la derivada, la segunda derivada, menos 2x al cubo 123 00:13:10,769 --> 00:13:29,159 más 6x será 0 o bien cuando la x vale 0 o bien cuando x al cuadrado es igual a 3, o sea cuando 124 00:13:29,159 --> 00:13:38,019 x vale raíz de 3 y x vale menos raíz de 3. Estos van a ser justamente los puntos de inflexión. 125 00:13:38,139 --> 00:13:43,279 Pero para estar seguros de que lo son, tendremos que hacer ahora una tabla de concavidad. 126 00:13:44,259 --> 00:13:59,500 Como siempre, desde menos infinito hasta más infinito, vamos a dar los dos valores, menos infinito, más infinito, menos raíz de 3, 0 y raíz de 3. 127 00:13:59,700 --> 00:14:04,000 Siempre vamos a tener que poner el valor donde cambia de trozo la función. 128 00:14:04,000 --> 00:14:14,419 Así que f' perdón, f' y f' y vamos viendo cómo cambia la segunda derivada a su signo en cada uno de los intervalos, ¿vale? 129 00:14:14,679 --> 00:14:23,659 Si tomo un valor a la izquierda de menos raíz de 3, por ejemplo, el valor menos 2, ¿vale? Va a quedar positivo, por lo que la función va a ser cóncava. 130 00:14:23,960 --> 00:14:27,480 Si cojo un valor entre menos raíz de 3 y 0, por ejemplo, el 1, ¿vale? 131 00:14:30,230 --> 00:14:34,870 Si tomo ahora un valor comprendido entre el menor raíz de 3 y 0 como el menos 1, 132 00:14:35,409 --> 00:14:37,970 pues vamos a ver que aquí esta expresión me va a quedar negativa. 133 00:14:38,570 --> 00:14:41,950 Por lo tanto, en este intervalo la función va a ser convexa. 134 00:14:42,450 --> 00:14:46,129 Si tomo el 1, me va a pasar exactamente lo mismo. 135 00:14:46,850 --> 00:14:51,370 En el 1, ahora como ya tomaríamos el otro trozo de la segunda derivada, 136 00:14:51,870 --> 00:14:55,889 me va a quedar negativo, por lo tanto es convexa, y aquí positivo y cóncava. 137 00:14:55,889 --> 00:15:00,409 así que podemos ver que en realidad solo existen dos puntos de inflexión 138 00:15:00,409 --> 00:15:03,769 a pesar de que en el 0 se haya anulado la segunda derivada 139 00:15:03,769 --> 00:15:09,009 así que esos puntos de inflexión que ya habíamos adivinado que tenían que existir 140 00:15:09,009 --> 00:15:14,990 van a estar en el menos raíz de 3 y en el raíz de 3 141 00:15:14,990 --> 00:15:19,330 son los puntos donde la función pasa de ser cóncava, compresa, viceversa 142 00:15:19,330 --> 00:15:24,990 y este punto 0 es lo que llamamos un punto singular 143 00:15:24,990 --> 00:15:38,230 ¿Vale? Es un punto no derivable, ¿de acuerdo? Un punto singular de la gráfica, así que ya tendríamos la concavidad. 144 00:15:38,529 --> 00:15:44,450 Si además me pidieran la paridad, pues nos damos cuenta rápidamente que esta es una función par, ¿vale? 145 00:15:45,669 --> 00:16:00,600 f de x es simétrica par, ya que f de menos x, que sería igual al valor absoluto de menos x partido por menos x al cuadrado más 1, 146 00:16:01,039 --> 00:16:11,899 Esto es lo mismo que x partido por x cuadrado más 1 que es f de x y como veis en la gráfica pues efectivamente es una función simétrica. 147 00:16:12,419 --> 00:16:22,879 Si lo hubiera tenido en cuenta desde el principio pues ya hubiera tenido seguro que iba a haber dos máximos relativos y dos puntos de inflexión simétricos respecto a la recta igual a x. 148 00:16:22,879 --> 00:16:29,679 Bueno, pues simplemente recordaros que siempre con GeoGebra os podéis corregir las gráficas, ¿vale? 149 00:16:30,159 --> 00:16:34,200 Y si la metéis en GeoGebra os va a salir este dibujo que os enseño aquí ahora, ¿vale? 150 00:16:34,600 --> 00:16:39,879 Que como veis, pues es muy similar a la que habíamos dibujado nosotros previamente.