1
00:00:01,330 --> 00:00:07,809
Vamos a resolver un problema de optimización, concretamente un ejercicio planteado en la

2
00:00:07,809 --> 00:00:13,970
EBAU de 2023 en la extraordinaria coincidente. Dice así, se quiere construir un depósito

3
00:00:13,970 --> 00:00:20,489
de barro cilíndrico de volumen 432 pi decímetros cúbicos para elaborar un vino artesanal usando

4
00:00:20,489 --> 00:00:26,070
técnicas antiguas. El depósito se sitúa verticalmente, apoyado sobre su base circular.

5
00:00:26,870 --> 00:00:30,370
Se sabe que al utilizar ese material poroso se produce, con el tiempo,

6
00:00:31,010 --> 00:00:34,329
una pérdida de líquido a través de la superficie que está en contacto con el vino.

7
00:00:35,170 --> 00:00:39,409
Dicha pérdida, a través de la pared lateral, es de 10 centilitros por decímetro cuadrado

8
00:00:39,409 --> 00:00:42,969
y a través del suelo, de 20 centilitros por decímetro cuadrado.

9
00:00:43,509 --> 00:00:47,869
Calcular las dimensiones que debe tener el depósito para que la filtración de vino sea mínima.

10
00:00:48,570 --> 00:00:55,229
Luego, básicamente, tenemos un cilindro sin tapa, solo con la base,

11
00:00:55,229 --> 00:01:02,950
del que desconocemos el radio y la altura, que vamos a llamar respectivamente x e y.

12
00:01:03,689 --> 00:01:07,189
Lo que sí que sabemos es que el volumen es 432 pi.

13
00:01:08,170 --> 00:01:13,569
Como lo que vamos a buscar es una función que haga la función pérdida mínima,

14
00:01:14,650 --> 00:01:18,329
lo que nos dicen es que en función del área de la base y lateral es diferente.

15
00:01:18,329 --> 00:01:30,129
En función del área de la base, que vemos al desarrollar la figura, que es un rectángulo de base 2pi x y altura y, pierde 10 centilitros por decímetro cuadrado.

16
00:01:30,689 --> 00:01:36,250
Y hay que sumarle lo que pierde por la base, que es pi x cuadrado por 20.

17
00:01:37,329 --> 00:01:44,890
Con lo que nos queda una función de dos variables definida como 20pi paréntesis x por y más x cuadrado.

18
00:01:44,890 --> 00:01:48,709
no sabemos optimizar funciones de dos variables

19
00:01:48,709 --> 00:01:51,010
así que tenemos que crear la ligadura

20
00:01:51,010 --> 00:01:52,370
¿cuál es la ligadura?

21
00:01:52,890 --> 00:01:56,590
la ligadura es el volumen que es 432 pi

22
00:01:56,590 --> 00:02:00,409
y eso que es área de la base pi x cuadrado por la altura

23
00:02:00,409 --> 00:02:03,010
luego es fácil despejar la altura

24
00:02:03,010 --> 00:02:06,069
que es 432 entre x cuadrado

25
00:02:06,069 --> 00:02:08,270
siempre que la x no sea cero

26
00:02:08,270 --> 00:02:11,210
así nuestra función solo depende de una variable

27
00:02:11,210 --> 00:02:21,110
y se puede simplificar a 20pi por 432 entre x más x cuadrado.

28
00:02:21,810 --> 00:02:25,009
Es completamente necesario hablar del dominio de esta función.

29
00:02:25,689 --> 00:02:31,250
Esta función existe siempre que el radio sea mayor estrictamente que cero

30
00:02:31,250 --> 00:02:34,090
y podría ser en principio ilimitado.

31
00:02:34,090 --> 00:02:35,930
Así que ponemos de cero infinito.

32
00:02:36,969 --> 00:02:41,090
Bien, como hemos visto en la teoría, lo primero que hacemos es derivar la función.

33
00:02:41,210 --> 00:02:46,569
porque tenemos que estudiar tres cosas de esa función al hacer la derivada la

34
00:02:46,569 --> 00:02:54,569
derivada de 432 por x a la menos 1 nos queda 4 menos 432 por x a la menos 2 y

35
00:02:54,569 --> 00:03:00,030
la del polinomio x cuadrado se convierte en 2x con lo cual no tiene puntos

36
00:03:00,030 --> 00:03:08,090
angulosos porque siempre existe la la derivada para los valores de 0 en

37
00:03:08,090 --> 00:03:13,110
adelante extremos relativos son aquellos que

38
00:03:13,110 --> 00:03:17,270
tienen la tangente horizontal luego cuando la derivada 0 bueno pues la

39
00:03:17,270 --> 00:03:23,150
derivada 0 no cuando 20 pies 0 sino cuando lo dentro del paréntesis es 0 es

40
00:03:23,150 --> 00:03:29,210
decir cuando 2x es 432 entre x cuadrado simplificando entre 2 y cambiando de

41
00:03:29,210 --> 00:03:35,750
lado las x cuando x cubos 216 es decir cuando x es la raíz cúbica de 216 es

42
00:03:35,750 --> 00:03:36,770
es decir, cuando es 6.

43
00:03:37,530 --> 00:03:39,409
Bien, no tiene puntos angulosos,

44
00:03:39,490 --> 00:03:42,090
hemos encontrado un candidato a extremo relativo

45
00:03:42,090 --> 00:03:45,110
que no nos molestamos en mirar si es máximo o mínimo,

46
00:03:45,750 --> 00:03:46,969
finalmente será mínimo,

47
00:03:47,669 --> 00:03:50,330
pero ya lo veremos más adelante comparando los valores.

48
00:03:50,509 --> 00:03:50,949
¿Qué valores?

49
00:03:51,590 --> 00:03:53,870
Los extremos del dominio de la función

50
00:03:53,870 --> 00:03:57,490
que hemos visto que era un intervalo abierto y no acotado,

51
00:03:57,490 --> 00:03:58,689
el 0 e infinito,

52
00:03:59,150 --> 00:04:01,810
con lo cual no podemos hacer f de 0 y f de infinito,

53
00:04:02,169 --> 00:04:04,870
sino el límite cuando x tiende a 0 y cuando tiende a infinito,

54
00:04:04,870 --> 00:04:06,610
que en ambos casos también es infinito

55
00:04:06,610 --> 00:04:10,110
como resulta que f de 6 es un valor menor que infinito

56
00:04:10,110 --> 00:04:12,590
en concreto 2160pi

57
00:04:12,590 --> 00:04:17,350
pues podemos concluir que en x igual a 6 se alcanza un mínimo absoluto

58
00:04:17,350 --> 00:04:22,269
por tanto en y igual a 432 entre 6 al cuadrado que sale 12

59
00:04:22,269 --> 00:04:23,790
también se alcanza un mínimo

60
00:04:23,790 --> 00:04:25,930
el radio debe ser por tanto 6

61
00:04:25,930 --> 00:04:30,569
y la altura 12 centímetros, 12 decímetros de altura

62
00:04:30,569 --> 00:04:34,930
bueno, replicar esto para resolver vuestros problemas

63
00:04:34,930 --> 00:04:35,790
un saludo