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00:00:02,029 --> 00:00:08,029
Hola, en este vídeo vamos a estudiar algunas de las propiedades de los radicales que vamos a usar durante el curso,

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00:00:08,689 --> 00:00:14,750
así como aprender cómo se extraen factores de un radical o cómo se introducen factores en un radical.

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00:00:15,289 --> 00:00:19,030
La primera de las propiedades que vamos a estudiar es la de la potencia de un radical,

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00:00:19,609 --> 00:00:23,010
que nos dice que si yo tengo un radical elevado a una potencia,

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00:00:23,010 --> 00:00:35,609
puedo sustituir eso por el radical de la potencia que yo tendría dentro del mismo, elevada al exponente que aparecía antes fuera.

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00:00:35,850 --> 00:00:42,009
Es como si el exponente simplemente directamente entrara dentro del radical y yo pudiera efectuar,

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00:00:42,850 --> 00:00:49,130
usar aquí la propiedad aquella que me decía que la potencia de una potencia se multiplica en los exponentes.

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00:00:49,130 --> 00:01:00,270
¿De acuerdo? Entonces raíz cuadrada de 2 elevado a 5 es lo mismo que raíz cuadrada de 2 elevado a 15.

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00:01:00,590 --> 00:01:09,409
¿De acuerdo? Esto surge de la propia definición de radical como potencia exponente fraccionario

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00:01:09,409 --> 00:01:16,030
que a mí me permite escribir raíz cuadrada de 2 al cubo como 2 elevado a 3 medios.

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00:01:16,030 --> 00:01:44,329
Si 2 elevado a 3 medios yo lo tengo elevado a 5, potenciado a una potencia se multiplican exponentes, habría que multiplicar 3 medios por 5, que ya sabéis que se multiplican numeradores entre sí, denominadores entre sí, me quedaría 15 medios y si vuelvo de nuevo a traducir esta potencia de exponente fraccionario a radical me quedaría 2 elevado a 15 en el radicando el índice 2.

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00:01:44,329 --> 00:01:57,510
Lo mismo que teníamos aquí escrito, solo que es mucho más fácil no hacer toda la conversión a potencia de exponente fraccionario, sino aprender a lo mejor quizá esta propiedad nueva.

13
00:01:57,849 --> 00:02:09,849
No lo sé, yo soy partidaria de aplicar solo propiedades que ya conozco, en este caso las propiedades de las potencias, pero la verdad es que es bastante más cómodo simplemente pasar el exponente.

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00:02:09,849 --> 00:02:13,770
la segunda propiedad es aquella que nos dice que cuando yo tengo un producto

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00:02:13,770 --> 00:02:18,770
el radical de un producto se puede descomponer como el producto de dos radicales

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00:02:18,770 --> 00:02:20,849
y sucede lo mismo con un cociente

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00:02:20,849 --> 00:02:23,909
para multiplicaciones y divisiones

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00:02:23,909 --> 00:02:28,449
es decir, si yo me encuentro por ejemplo raíz cúbica de un producto de 3 por 5

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00:02:28,449 --> 00:02:34,330
puedo reescribir esto como raíz cúbica de 3 por raíz cúbica de 5

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00:02:34,330 --> 00:02:38,789
de igual manera si yo me encuentro raíz cúbica por ejemplo de 3 quintos

21
00:02:38,789 --> 00:02:47,210
puedo reescribir este radical como el cociente entre la raíz cúbica de 3 y la raíz cúbica de 5, ¿de acuerdo?

22
00:02:47,770 --> 00:02:53,069
O sea, es como simplemente hacer el radical de numerador y denominador, ¿vale?

23
00:02:53,550 --> 00:02:55,750
Y o de cada uno de los factores.

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00:02:56,830 --> 00:03:00,150
Estas propiedades son muy interesantes, ¿vale?

25
00:03:00,189 --> 00:03:02,849
Porque cuando yo las aplico al revés, ¿vale?

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00:03:02,849 --> 00:03:25,629
Si yo, por ejemplo, me dan, a mí me ponen que haga la multiplicación de dos números, dos radicales que tienen el mismo índice, y esto es importante, que tengan el mismo índice, yo puedo simplemente coger, escribir el signo radical bien grandote, escribir dentro el producto de los radicandos que tenía, ¿vale?

27
00:03:25,629 --> 00:03:27,849
y reescribir esto como raíz de 6.

28
00:03:28,689 --> 00:03:34,610
De igual forma, si a mí por ejemplo me ponen que haga la división entre raíz cúbica de 27 y raíz cúbica de 9,

29
00:03:35,250 --> 00:03:42,169
como tengo los mismos índices, puedo reescribir esto como la raíz cúbica de 27 entre 9.

30
00:03:43,129 --> 00:03:50,849
¿Vale? Es decir, esto sería 27 entre 9 es 3, por tanto, esa división es la raíz cúbica de 3.

31
00:03:50,849 --> 00:03:58,050
ojo porque es súper importante esto de que los dos radicales tienen el mismo índice

32
00:03:58,050 --> 00:04:02,810
¿vale? porque cuando tienen distinto índice lo veremos en algún vídeo más adelante

33
00:04:02,810 --> 00:04:05,569
que las operaciones cambian, es un poquito más tedioso

34
00:04:05,569 --> 00:04:09,810
venga, vamos a ver ahora la última de las propiedades

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00:04:09,810 --> 00:04:13,050
que dice que si yo me encuentro la raíz de una raíz

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00:04:13,050 --> 00:04:18,689
para poder simplificar esta expresión simplemente multiplico los índices entre sí

37
00:04:18,689 --> 00:04:38,490
¿Vale? Es tan sencillo como pensar que si, por ejemplo, aquí tengo una raíz cuadrada, que sabéis que el índice no aparece pero se entiende que es 2, y después tengo una raíz cúbica, puedo reescribir esto como el radical, cuyo radical no es 5, pero aquí reescribo los índices como el producto de esos dos que tengo, ¿vale?

38
00:04:38,490 --> 00:04:43,930
De tal manera que este radical es lo mismo que raíz sexta de 5, ¿vale?

39
00:04:44,389 --> 00:04:54,110
Esta propiedad surge de aquella propiedad de las potencias que me decía lo de que aquello de que la potencia de una potencia se calcula multiplicando los exponentes.

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00:04:54,790 --> 00:04:57,910
¿Por qué surgen las propiedades de las potencias? Pues ya lo vimos en el vídeo anterior.

41
00:04:58,589 --> 00:05:05,949
Realmente yo puedo reescribir esto como raíz cúbica de 5 elevado a 1 medio, ¿vale?

42
00:05:05,949 --> 00:05:23,329
Si cojo la raíz cuadrada y la reescribo y de nuevo podré hacer un paso extra donde deje la potencia de un medio y reescriba la base que ahora es un radical como 5 elevado a un tercio, ¿vale?

43
00:05:23,329 --> 00:05:35,209
De tal manera que como tengo potencias de una potencia, puedo multiplicar los exponentes y si tengo mucho cuidado, puedo reescribir esto como 5 elevado a un sexto, ¿de acuerdo?

44
00:05:35,670 --> 00:05:42,230
Y transformarlo en el radical de índice 6 y exponente 1, que no lo escribo.

45
00:05:42,730 --> 00:05:46,589
Esto lo expliqué con mucho más detenimiento en el vídeo anterior, ¿vale?

46
00:05:47,889 --> 00:05:51,649
Vamos a ver ahora cómo sacamos factores de un radical.

47
00:05:51,649 --> 00:06:05,269
Vamos a ver, en muchas ocasiones, muchísimas ocasiones nos vamos a enfrentar a ejercicios con radicales en los que el radicando lo encontremos factorizado, ¿vale?

48
00:06:05,449 --> 00:06:17,709
O lo tengamos que factorizar nosotros. Esto va a suponer que me voy a encontrar una serie de potencias con exponentes, los que sean dentro de la, bajo el signo radical, ¿vale?

49
00:06:17,709 --> 00:06:19,870
O sea, en el radicando va a haber potencia.

50
00:06:20,889 --> 00:06:27,029
Si los exponentes de esas potencias que yo me encuentro son más grandes que el índice, voy a poder sacarlos de la raíz.

51
00:06:28,050 --> 00:06:31,250
En este primer ejemplo tengo raíz cúbica de 2 al cuadrado, ¿vale?

52
00:06:31,269 --> 00:06:40,670
Como el exponente 2 es más pequeño que el índice 3, no puedo manipular más el radical y lo tendría que dejar así escrito, ¿vale?

53
00:06:40,670 --> 00:06:50,870
Si la potencia es sencilla como esta que se puede calcular de cabeza, podríamos escribirlo así, pero vamos, lo dejaremos indicado, ¿vale?

54
00:06:51,550 --> 00:07:00,449
¿Qué sucede si yo me encuentro una potencia, perdón, un radical donde el índice y el exponente coinciden?

55
00:07:00,689 --> 00:07:09,610
En este caso yo puedo simplificar, ¿vale? Y simplificar el índice con el exponente y esto me dará el resultado 2.

56
00:07:09,610 --> 00:07:16,129
Simplifico raíz cúbica con el exponente 3 y me queda 2

57
00:07:16,129 --> 00:07:21,209
Esto es muy fácil pensarlo, por ejemplo, con la raíz cuadrada de 4

58
00:07:21,209 --> 00:07:23,329
Bueno, que ya sabemos que es 2 y menos 2, ¿vale?

59
00:07:24,110 --> 00:07:28,550
Pero, bueno, si yo realmente pienso, me fijo solo en el positivo, ¿vale?

60
00:07:28,730 --> 00:07:36,389
Si yo realmente pienso que 4 es 2 al cuadrado, puedo simplificar la raíz con el cuadrado y por eso me queda 2, ¿vale?

61
00:07:36,389 --> 00:07:46,449
Con potencias más, bueno, con índices y exponentes más altos que no controlo tanto los números, pues bueno, simplemente simplificamos, ¿de acuerdo?

62
00:07:47,689 --> 00:07:53,350
Lo dificilillo surge cuando el exponente es más grande que el índice.

63
00:07:53,889 --> 00:08:03,910
En ese caso lo que vamos a hacer es grupos de tantos factores, porque ya sabes que 5, por ejemplo, aquí 5 elevado a 8 es 5 por 5 por 5, ta, ta, ta, 8 veces por sí mismo, ¿vale?

64
00:08:03,910 --> 00:08:13,129
Entonces yo puedo agrupar esos factores como quiera y realmente voy a hacer grupitos de tantos factores como me indique el índice.

65
00:08:13,529 --> 00:08:17,970
De tal manera que por cada grupito que yo forme dentro voy a poder sacar un factor.

66
00:08:18,589 --> 00:08:23,129
Mirad, aquí lo voy a hacer dando todos los pasos, luego en clase me iré comiendo alguno.

67
00:08:24,009 --> 00:08:33,230
Realmente yo 5 elevado a 8 es 5 por 5 por 5 por 5, 5 por 5 por 5 por 5, 8 veces por sí mismo.

68
00:08:33,230 --> 00:08:45,250
Yo puedo agrupar esos factores como a mí me vengan gana, los voy a agrupar de 3 en 3, de tal forma que tendré 5 elevado a 3 por 5 elevado a 3 por 5 elevado a 2, ¿vale?

69
00:08:47,070 --> 00:08:52,850
3 5s y 3 5s hacen 6 5s y otros 2 5s por aquí hacen 8 los que tenía, ¿vale?

70
00:08:52,850 --> 00:09:20,990
De esta forma, ¿qué sucede, chicos? Mirad, por cada grupito de tres cincos que yo he hecho, voy a sacar un factor, ¿vale? Imaginaos que esto es como una plastificadora, ¿vale? Algo que le metes tres láminas a una máquina y, como hemos metido tres láminas, plastifica las cosas y me saca un elemento al final, ¿vale?

71
00:09:20,990 --> 00:09:40,309
Entonces, por cada tres elementos sale uno, ¿vale? Es como que pagan un peaje, entonces, del primer grupito sale un cinco, del segundo grupito sale otro cinco y si os dais cuenta me ha quedado, pues aquí, dos cincos sueltos que no hacen grupito con nadie, ¿vale? Entonces, esos los vamos a dejar dentro.

72
00:09:40,309 --> 00:09:47,850
De esta forma, bueno, como yo he sacado dos 5 fuera del radical, pues bueno, los puedo agrupar como potencia, ¿vale?

73
00:09:47,970 --> 00:09:53,429
Y tendría, pues, la siguiente expresión, ¿vale?

74
00:09:54,289 --> 00:09:58,090
Venga, vemos ahora el siguiente ejemplo.

75
00:09:58,230 --> 00:10:01,210
Mirad, en este ejemplo tengo raíz cuarta de 512.

76
00:10:01,870 --> 00:10:05,110
El 512 no me lo están dando factorizado, aquí tengo un problema.

77
00:10:05,110 --> 00:10:08,309
Lo que vamos a hacer es, pues, factorizarlo, ¿vale?

78
00:10:08,309 --> 00:10:33,429
Vosotros lo haréis con el método más eficiente, ¿vale? Pues 512 me queda aquí, 256 entre 2, 128 entre 2, 64 entre 2, 32 entre 2, 16 entre 2, 8 y mirad, aquí no voy a terminar porque ya sé que 8 es 2 al cubo, ¿vale?

79
00:10:33,429 --> 00:10:37,070
Entonces, bueno, agrupo, me he comido tres pasos, ¿vale?

80
00:10:37,110 --> 00:10:41,210
Pero bueno, de esta manera acabo de, bueno, si ahora contamos cuántos factores tengo,

81
00:10:41,309 --> 00:10:46,690
me doy cuenta que 512, perdón, es lo mismo que 2 elevado a 9.

82
00:10:47,330 --> 00:10:49,250
Esto lo vamos a tener que hacer muchas veces, ¿vale?

83
00:10:50,029 --> 00:10:55,509
Reescribir números compuestos, bueno, su descomposición factorial en este caso,

84
00:10:55,909 --> 00:10:59,529
en lugar de 512 voy a tener que escribir 2 elevado a 9, ¿vale?

85
00:11:00,009 --> 00:11:01,830
Y hacemos el mismo proceso de antes.

86
00:11:01,830 --> 00:11:14,429
Yo voy a hacer, ahora lo voy a hacer mentalmente, grupos de 4 doses en este caso, porque como el índice es 4, para poder sacar factores del radical necesito hacer grupos de 4.

87
00:11:14,830 --> 00:11:16,809
Cada 4 doses podrá salir 1.

88
00:11:17,549 --> 00:11:25,710
Como tengo en total 9 doses, puedo hacer un grupo de 4, otro grupo de 4 ya llevaría 8 doses y me sobra 1.

89
00:11:25,710 --> 00:11:35,889
¿Vale? Entonces del primer grupo de 4 sacaría un 2, del segundo grupo de 4 sacaría otro 2 y me queda solito un 2 dentro.

90
00:11:36,289 --> 00:11:41,730
¿Vale? Puedo reescribir esto como 2 al cuadrado por raíz cuarta de 2.

91
00:11:42,929 --> 00:11:48,850
Por último, bueno, tenemos aquí un ejemplo que el 72 seguro que nos sale muchísimas veces, ¿vale?

92
00:11:48,850 --> 00:11:54,789
Y vamos a hacer el mismo proceso. Vamos a intentar, en este caso la raíz es cuadrada, el índice es 2.

93
00:11:54,789 --> 00:12:00,090
Vamos a factorizar el 72 y voy a ver si puedo sacar factores del radical

94
00:12:00,090 --> 00:12:07,830
Vale, mirad, para factorizar el 72 no voy a usar el método de la rayita

95
00:12:07,830 --> 00:12:14,970
Sino que voy a pensar, vale, entonces voy a pensar en el 72 como resultado de una tabla de multiplicar

96
00:12:14,970 --> 00:12:18,889
En este caso, para mí 72 es lo mismo que 8 por 9, vale

97
00:12:19,730 --> 00:12:27,370
Una vez que sé que es 8 por 9, voy a reescribir el 8 y el 9 como potencias de números primos, ¿vale?

98
00:12:27,990 --> 00:12:34,649
Yo creo que ya sabéis todos que 8 es lo mismo que 2 al cubo y que 9 es lo mismo que 3 al cuadrado, ¿vale?

99
00:12:34,649 --> 00:12:40,730
De esa manera lo he factorizado pensando un poquito y no he tenido que hacer todo el proceso de la rayita, ¿vale?

100
00:12:41,710 --> 00:12:45,710
Entonces, bueno, pues una vez que lo tengo así escrito, el proceso es el mismo, ¿vale?

101
00:12:45,710 --> 00:13:03,190
Aquí realmente no tengo índice, pero sabéis que si un radical no tiene índice, se entiende que su índice es 2 y vamos a hacer exactamente lo mismo, o sea, ahora lo que pasa es que ahora pues tengo potencias diferentes, ¿vale?

102
00:13:03,190 --> 00:13:07,830
O sea, que tienen una base diferente, pero el proceso es el mismo.

103
00:13:08,669 --> 00:13:16,350
Aquí tengo tres doses, como el índice es 2, por cada grupito de dos doses sale un 2 fuera, ¿vale?

104
00:13:16,490 --> 00:13:23,029
Entonces, va a poder salir un 2, porque de los tres doses voy a hacer un grupito de dos y me va a quedar uno dentro, ¿vale?

105
00:13:23,870 --> 00:13:25,710
No se junta el pobrecito con nadie.

106
00:13:25,710 --> 00:13:34,090
Y del grupo de dos treses, pues justo, o sea, si tengo tres al cuadrado con el dos, pues pueden salir los dos treses y quedarían fuera, ¿vale?

107
00:13:34,750 --> 00:13:37,909
Y ya está, o sea, dentro del radical solo me ha quedado raíz de dos.

108
00:13:38,129 --> 00:13:50,169
Puedo ahora reescribir esto, hacer esta operación, dos por tres es sencilla, puedo escribir seis y raíz cuadrada de dos, pues bueno, ya quito el radical y dejo seis raíz de dos.

109
00:13:51,169 --> 00:13:56,250
Venga, vamos a ver muy rápidamente el proceso inverso a sacar factores de un radical, ¿vale?

110
00:13:56,809 --> 00:14:01,710
Venga, si os dais cuenta, para sacar factores de un radical, por cada grupo de 3 salía 1.

111
00:14:02,350 --> 00:14:09,029
En este caso, porque el índice era 3, en este caso por cada grupo de 4 salía 1 y en este caso por cada grupito de 2 salía 1.

112
00:14:09,809 --> 00:14:12,269
Pues meter factores de un radical es el proceso contrario.

113
00:14:12,269 --> 00:14:19,970
Si yo tengo un número, lo voy a meter dentro del radical elevado a lo que me indique el índice, ¿vale?

114
00:14:19,970 --> 00:14:32,129
En este caso, bueno, no tenemos nada, entendemos que son 2, si yo quiero meter el 3 dentro del radical de la raíz cuadrada, tendré que elevarlo al índice que tenía, ¿vale?

115
00:14:32,230 --> 00:14:42,450
En este caso, como la raíz era cuadrada, elevo 3 al cuadrado, así lo meto, es como que lo, pues bueno, como lo contrario a lo que hace la plastificadora, ¿vale?

116
00:14:42,450 --> 00:14:47,490
o sea, meto un elemento y salen, o sea, aparecen dos en este caso porque el índice es dos.

117
00:14:48,169 --> 00:14:52,450
Si queréis hacer esta operación, pues tres al cuadrado es nueve por cinco, cuarenta y cinco.

118
00:14:54,269 --> 00:15:01,889
Mirad lo que tenemos aquí, ahora tengo que meter dentro del radical cinco al cubo y en este caso el radical es de índice tres,

119
00:15:01,889 --> 00:15:12,289
por tanto voy a hacer un gran radical de índice tres y voy a meter cinco al cubo elevado a lo mismo que me indica el índice en este caso a tres.

120
00:15:12,450 --> 00:15:22,769
Ojo porque este 3 que ya había es el que ya tenía el 5 y el 3 detrás del paréntesis es el que he tenido que multiplicar para introducirlo.

121
00:15:23,029 --> 00:15:25,870
Y que no se me olvide poner el 2.

122
00:15:26,809 --> 00:15:34,330
Entonces una vez que tenemos esto así escrito, lo podemos simplificar un poquito más escribiendo 5 elevado a 9 por 2.

123
00:15:35,590 --> 00:15:41,370
Por último, en este último ejemplo tendríamos 12 raíz de 3.

124
00:15:41,370 --> 00:15:48,169
Me piden introducir el 12 dentro del radical, pues bueno, de nuevo será tomar el 12, ¿vale?

125
00:15:48,309 --> 00:15:54,649
Y elevarlo, en este caso como la raíz es cuadrada, pues elevo 12 a 2 y escribo el 3 que ya vi.

126
00:15:55,250 --> 00:16:05,570
¿Qué vamos a hacer aquí? Pues bueno, chicos, si os dais cuenta, a ver, 12 es un número compuesto que yo puedo reescribir como producto de números primos, ¿vale?

127
00:16:05,570 --> 00:16:15,669
12 es lo mismo que 4 por 3 ¿vale? y 4 es 2 al cuadrado ¿vale? por tanto yo puedo reescribir 12 como 2 al cuadrado por 3

128
00:16:15,669 --> 00:16:20,129
¿qué voy a hacer aquí? reescribir el 12 como 2 al cuadrado por 3

129
00:16:20,129 --> 00:16:26,490
escribirle la potencia, el exponente que ya tenía y volver a copiar el 3 ¿vale?

130
00:16:26,490 --> 00:16:30,830
de esta manera, bueno pues voy a poder agrupar aquí cositas dentro ¿vale?

131
00:16:30,950 --> 00:16:34,149
es como un ejercicio de potencias metido ahí en el radicando

132
00:16:34,149 --> 00:16:53,750
Ya sabéis que si tengo un producto de potencias elevado a un mismo exponente es como si tuviera cada uno de los factores elevados a ese exponente, 2 al cuadrado, otra vez al cuadrado por 3 al cuadrado y por 3, ¿vale? El 3 que ya había, ¿vale?

133
00:16:53,750 --> 00:17:02,570
Entonces esto puedo volver a reescribirlo como 2 a la cuarta por 3, en este caso al cubo, ¿vale?

134
00:17:02,610 --> 00:17:04,990
Porque he agrupado 3 al cuadrado por 3.