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00:00:00,680 --> 00:00:09,720
Buenas tardes, hoy a petición de algunos alumnos os voy a grabar un vídeo sobre la factorización de polinomios

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00:00:09,720 --> 00:00:13,880
y cómo utilizamos la división de polinomios para ayudarnos a conseguirla.

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00:00:14,419 --> 00:00:21,000
Entonces, en principio el otro día nos quedamos, no sé si recordáis, que en el vídeo anterior

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00:00:21,000 --> 00:00:26,740
podíamos multiplicar este factor por un binomio de esta manera

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00:00:26,740 --> 00:00:36,640
y entonces al multiplicar, esto se multiplicaba por 3, 6x cubo se multiplicaba por menos 2x

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00:00:36,640 --> 00:00:45,120
y lo que resultaba era 18x al cubo menos 12x a la cuarta.

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00:00:46,260 --> 00:00:53,700
Nosotros este contenido de aquí es un polinomio que tenemos en forma de suma, porque es una suma de varios términos

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00:00:53,700 --> 00:00:56,719
pero si nos fijamos en este otro lado, en realidad,

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00:00:56,740 --> 00:01:05,640
lo que tenemos aquí es una multiplicación, porque tenemos un factor multiplicado por este otro factor.

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00:01:05,640 --> 00:01:14,900
Entonces, vamos a llamar factorizar a escribir como un producto de factores, es decir, a hacer este camino.

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00:01:14,900 --> 00:01:22,800
En lugar de multiplicar, ver como un polinomio que es una suma, lo puedo escribir como un producto de factores.

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00:01:22,800 --> 00:01:26,719
Un poco semejante a como cuando yo escribía que 12x es igual a 12x.

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00:01:26,739 --> 00:01:28,500
¿Qué era 8x4?

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00:01:28,640 --> 00:01:33,959
¿O qué 12x era 4x3?

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00:01:35,239 --> 00:01:46,359
Porque en realidad, si nos fijamos, esto es 4x2 más 4x1 y si saco factor común es 4x2 más 1 y es 3.

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00:01:46,359 --> 00:01:53,439
Esto nosotros lo hacíamos porque nos ayudaba en un montón de operaciones al descomponer

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00:01:53,439 --> 00:01:56,719
en factores, normalmente además en unos factores muy especiales

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00:01:56,740 --> 00:02:23,600
que son los factores primos, pues un poco análogo va a ser factorizar, lo voy a utilizar en esas mismas operaciones cuando yo trabaje aquí con álgebra y es verdad que no voy a tener factores primos como yo tenía en aritmética, pero sí voy a tener binomios, que son los factores más pequeños, que van a ser del estilo x más algo o x menos algo, eso es lo que yo voy a ir buscando.

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00:02:23,599 --> 00:02:45,019
Entonces voy a buscar, fijaos que esto respondería a una factorización similar, ahora lo vamos a ir viendo, entonces es un poco el tener en claro que es factorizar, es escribir como un producto de factores, ¿por qué? Pues porque nos va a ser útil para operar, igual que factorizar con factores primos nos será útil para operar en aritmética.

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00:02:45,659 --> 00:02:52,919
Entonces, bueno, pues lo primero que podemos hacer es eso, ¿cómo hemos llegado, si de aquí hemos aplicado la propiedad distributiva?

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00:02:53,599 --> 00:03:23,400
Si vamos a sacar al polinomio, pues para pasar del polinomio a la factorización tendré que hacer lo contrario que era sacar factor común, entonces lo primero que yo voy a hacer para factorizar siempre es ver si puedo sacar factor común, algo en mi polinomio, en este caso, ¿cómo lo vemos? Pues tengo que mirar los factores y veo que aquí tengo una x cubo, porque aquí tengo 4, así que puedo sacar x cubo y aquí tengo 18 y tengo 12, que en realidad ambos son,

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00:03:23,599 --> 00:03:50,280
divisibles entre 6, por eso el factor común que sale es 6x cubo, vamos a verlo con un ejemplo, si yo tuviera, por ejemplo, 3x a la quinta más 6x a la cuarta, de aquí a aquí yo sé que por lo menos puedo sacar 4x, así que x a la cuarta es lo que voy a tener, y de entre 3 y 2 el factor sería el 3, así que esto es por lo que voy a poderlo sacar.

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00:03:50,979 --> 00:03:53,280
Si no se ve muy claro, mira, desarrolla.

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00:03:53,599 --> 00:04:23,279
¿Qué factor es el común? Se repiten, mira, 4x las tengo aquí y el 3 lo tengo aquí, así que ¿por qué voy a multiplicar 3x a la cuarta para que me dé 3x a la quinta? Por el factor que queda.

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00:04:23,600 --> 00:04:33,960
Por x más, ¿y por qué voy a multiplicar 3x a la cuarta para que me dé 6x a la cuarta? Por el factor que queda, que es el 2.

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00:04:34,879 --> 00:04:41,840
Y ya tendría la primera factorización, 3x a la cuarta por x más 2.

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00:04:48,840 --> 00:04:50,860
Otro ejemplo, un poquito más largo.

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00:04:53,600 --> 00:05:05,140
2x a la cuarta más 8x al cubo más 8x al cuadrado.

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00:05:05,240 --> 00:05:09,879
Me fijo primero en los números 1, 2, 1, 8 y 1, 8, 1, 1000.

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00:05:10,220 --> 00:05:16,180
Ya creo que habéis visto que lo que yo quiero es el máximo común divisor de todos esos coeficientes, que va a ser el 2.

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00:05:16,640 --> 00:05:22,780
Pues va a ser 2 lo que yo pueda sacar, porque es el mayor que puedo sacar aquí, que es el más pequeño y ya no puedo sacar otro factor.

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00:05:22,780 --> 00:05:25,760
Y aquí tengo 4x, aquí tengo 3 y aquí tengo 2.

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00:05:25,860 --> 00:05:28,060
¿Cuántas puedo sacar? Evidentemente 2.

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00:05:28,500 --> 00:05:34,480
Entonces, lo único que voy a hacer es ver por lo que tengo que multiplicar este para que me dé este.

35
00:05:34,600 --> 00:05:35,780
Es decir, dividir.

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00:05:36,080 --> 00:05:43,100
Si yo 2x a la cuarta lo divido entre 2x al cuadrado, se me quedan x al cuadrado.

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00:05:43,580 --> 00:05:47,620
Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

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00:05:48,080 --> 00:05:51,680
4 menos 2 es 2, así que aquí voy a poner un x al cuadrado.

39
00:05:51,680 --> 00:05:51,700
¿Qué hago?

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00:05:52,780 --> 00:05:56,720
Signo más, que va a ser mi coeficiente, más entre más, más, así que más.

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00:05:57,180 --> 00:06:00,540
Y ahora, 8 entre 2, 4.

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00:06:01,540 --> 00:06:04,360
Y x al cubo entre x al cuadrado, x.

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00:06:04,600 --> 00:06:05,620
Voy a comprobarlo.

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00:06:06,080 --> 00:06:12,340
8x al cubo entre, perdón, 2x al cuadrado.

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00:06:17,220 --> 00:06:22,740
Divido 8 entre 2, que es 4, y x al cubo entre x al cuadrado, dejo la misma base y resto los exponentes.

46
00:06:22,940 --> 00:06:25,160
x a la 1, 4x.

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00:06:26,140 --> 00:06:34,480
Y ahora, más 8 entre más 2, más 4 otra vez, y x al cuadrado entre x al cuadrado, nada.

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00:06:34,720 --> 00:06:36,080
Pues acabo de factorizar.

49
00:06:36,880 --> 00:06:37,800
Esto sobra.

50
00:06:39,260 --> 00:06:41,420
Y he sacado factor común.

51
00:06:46,960 --> 00:06:49,600
Voy a borrar todo esto que sobra.

52
00:06:52,780 --> 00:07:06,080
Y he sacado factor común, 2x al cuadrado, y aquí está multiplicando a este otro factor, que no deja de ser un polinomio.

53
00:07:07,280 --> 00:07:15,340
Fijaos que ahora, el problema es que este polinomio yo no lo puedo deshacer en factores más pequeños,

54
00:07:15,680 --> 00:07:18,860
porque no puedo sacar factor común, luego necesito otra herramienta.

55
00:07:19,180 --> 00:07:19,460
¿Cómo?

56
00:07:19,460 --> 00:07:22,460
Pues igual que tanteábamos antes, con la divisibilidad.

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00:07:23,140 --> 00:07:26,900
Que me daba resto 0, pues ahora voy a tantear con restos.

58
00:07:27,020 --> 00:07:34,740
Entonces, con restos 0, con factores algebraicos que multiplicados, o sea, que divididos, me den 0.

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00:07:35,960 --> 00:07:40,880
Entonces, para entender bien cómo utilizo la división para factorizar,

60
00:07:41,460 --> 00:07:47,600
vamos primero a entender un teorema muy importante, que es el teorema del resto.

61
00:07:48,020 --> 00:07:52,260
El teorema del resto, lo que me dice,

62
00:07:52,780 --> 00:08:02,760
es que el valor numérico de un polinomio

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00:08:02,760 --> 00:08:13,560
Pbx

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00:08:18,020 --> 00:08:21,980
cuando x toma el valor de a,

65
00:08:21,980 --> 00:08:23,980
de un número a,

66
00:08:26,759 --> 00:08:27,759
es decir,

67
00:08:29,819 --> 00:08:30,819
PdA,

68
00:08:32,100 --> 00:08:35,180
coincide, y esto es lo importante,

69
00:08:35,180 --> 00:08:39,180
ese PdA coincide con el valor

70
00:08:42,840 --> 00:08:44,259
del resto,

71
00:08:44,259 --> 00:08:46,259
vamos a dejarlo solo con el resto,

72
00:08:46,259 --> 00:08:48,259
coincide con el resto

73
00:08:48,259 --> 00:08:50,259
que,

74
00:08:50,259 --> 00:08:51,960
que,

75
00:08:51,960 --> 00:08:55,120
se obtiene,

76
00:08:55,120 --> 00:08:59,120
al dividir,

77
00:08:59,120 --> 00:09:03,120
Pdx,

78
00:09:03,120 --> 00:09:05,120
entre,

79
00:09:05,120 --> 00:09:10,560
el binomio x-a.

80
00:09:10,560 --> 00:09:13,120
Entonces,

81
00:09:13,120 --> 00:09:18,879
hombre, está claro que para esto, para empezar a hablar esto, hablamos de división de polinomios,

82
00:09:18,879 --> 00:09:21,320
estaría bien saber cómo se divide en polinomios,

83
00:09:21,320 --> 00:09:24,320
que sabemos multiplicarlos, pero no hemos dividido hasta ahora.

84
00:09:24,879 --> 00:09:32,700
Entonces, vamos por ejemplo a dividir este polinomio x cuadrado más 4x más 4 entre el polinomio x menos 2.

85
00:09:32,700 --> 00:09:41,940
Vamos a ver, x cuadrado más 4x más 4, no, lo voy a dividir entre x menos 3.

86
00:09:46,480 --> 00:09:49,580
¿Vale? Quiero hacer esta división.

87
00:09:49,580 --> 00:10:00,100
Si la ponemos en forma de cajetín, sería aquí x cuadrado más 4x más 4 y lo voy a repartir entre x menos 3.

88
00:10:01,540 --> 00:10:06,560
Al igual que hacemos la división aritmética, la vamos a hacer aquí.

89
00:10:06,960 --> 00:10:16,680
Yo necesito un número, encontrar una expresión, un monomio, en realidad no es un número, es un monomio, que multiplicado por este, me dé este.

90
00:10:16,900 --> 00:10:19,560
Pues lo que yo hago habitualmente en una división.

91
00:10:19,580 --> 00:10:22,820
La división es que x cuadrado lo divido entre x y veo lo que toca.

92
00:10:23,100 --> 00:10:25,480
Entonces, x cuadrado entre x sale x.

93
00:10:28,440 --> 00:10:32,420
Porque es x cuadrado entre x a la 1 y queda x a la 1.

94
00:10:33,040 --> 00:10:37,040
Así que ese x a la 1 es el que pongo aquí, que es x.

95
00:10:39,700 --> 00:10:44,340
Y ahora, vamos a recordar lo que hacíamos con la división normal.

96
00:10:44,340 --> 00:10:49,340
Si yo divido el número 17 entre el número 3, busco...

97
00:10:50,100 --> 00:10:53,220
Un número que multiplicado por 3 se acerque a 17.

98
00:10:53,480 --> 00:10:55,420
5 por 3, 15.

99
00:10:55,759 --> 00:10:58,600
Y ese 15 se lo resto a 17.

100
00:10:58,740 --> 00:11:00,340
Es decir, le añado...

101
00:11:03,620 --> 00:11:10,120
Yo no le añado 15, le añado menos 15, lo resto.

102
00:11:10,700 --> 00:11:14,879
Y me queda 2, que es el resto de dividir 17 entre 3.

103
00:11:14,980 --> 00:11:16,520
Pues eso es lo que voy a hacer aquí.

104
00:11:16,960 --> 00:11:18,879
Yo voy a ir multiplicando, voy a ir poniendo...

105
00:11:19,580 --> 00:11:23,540
El homonomio resultante debajo del grado que le toque con el signo opuesto,

106
00:11:23,660 --> 00:11:24,720
porque lo voy a quitar.

107
00:11:25,980 --> 00:11:28,500
Y voy a sumar el opuesto de lo que me sale.

108
00:11:28,820 --> 00:11:31,280
Igual que aquí, añado menos 15.

109
00:11:31,800 --> 00:11:33,480
En la aritmética.

110
00:11:33,759 --> 00:11:35,440
Entonces, x por x, x cuadrado.

111
00:11:35,600 --> 00:11:38,480
Pues añado menos x cuadrado.

112
00:11:39,080 --> 00:11:41,500
x por menos 3 es menos 3x.

113
00:11:41,500 --> 00:11:47,500
Así que añadiré más 3x, que es el opuesto de lo que me da aquí, que es menos 3x.

114
00:11:48,800 --> 00:11:49,500
Y ahora...

115
00:11:49,580 --> 00:11:50,360
Ya no hay más.

116
00:11:50,560 --> 00:11:54,000
Lo que hago es resto y veo que me queda...

117
00:11:54,000 --> 00:11:54,740
Estos se van.

118
00:11:57,600 --> 00:12:02,080
Y me va a quedar 7x y bajo la cifra siguiente, que es 4.

119
00:12:03,180 --> 00:12:08,259
Ahora, voy a dividir 7x entre x.

120
00:12:08,740 --> 00:12:10,320
Y me da 7.

121
00:12:10,600 --> 00:12:12,900
Ojo que 7 en álgebra es más 7.

122
00:12:13,320 --> 00:12:16,600
Eso significa que aquí yo voy a poner mi término más 7.

123
00:12:18,500 --> 00:12:19,500
Y con más 7...

124
00:12:19,580 --> 00:12:22,500
Yo voy a tener más 7 por x, más 7.

125
00:12:22,680 --> 00:12:25,040
Pues aquí, menos 7x, que es el opuesto.

126
00:12:25,639 --> 00:12:28,580
Menos 3 por más 7 es menos 21.

127
00:12:29,420 --> 00:12:31,960
Pues aquí lo voy a añadir, más 21.

128
00:12:32,300 --> 00:12:33,139
¿Qué me va a quedar?

129
00:12:33,500 --> 00:12:36,300
Aquí se van y me queda un resto de 25.

130
00:12:36,740 --> 00:12:40,100
Ya no puedo seguir dividiendo porque esto es un término de grado 0.

131
00:12:40,560 --> 00:12:42,300
Y esto es un término de grado 1.

132
00:12:42,620 --> 00:12:44,200
Así que no puedo dividir más.

133
00:12:44,680 --> 00:12:46,940
He terminado y mi resto es 25.

134
00:12:47,720 --> 00:12:49,540
¿Qué me dice el teorema del resto?

135
00:12:49,540 --> 00:12:49,560
¿Qué me dice el teorema del resto?

136
00:12:49,560 --> 00:13:00,840
Que si yo cojo este polinomio que está dividiendo x al cuadrado más 4x más 4

137
00:13:00,840 --> 00:13:09,560
y calculo su valor para p de a, que sería x igual a 3...

138
00:13:10,160 --> 00:13:17,820
Perdón, a igual a 3, porque esto es x menos a.

139
00:13:17,820 --> 00:13:18,820
Y nosotros...

140
00:13:19,560 --> 00:13:25,020
Aquí estábamos diciendo que si yo dividía entre x menos a,

141
00:13:25,820 --> 00:13:29,540
la raíz que ponía, o sea, el valor que cogía era x igual a a,

142
00:13:30,080 --> 00:13:30,920
hacia p de a.

143
00:13:31,280 --> 00:13:36,200
Entonces, si aquí tengo que es x menos 3, a es igual a 3.

144
00:13:37,100 --> 00:13:40,680
Entonces, donde pone x, yo pongo p de 3.

145
00:13:41,820 --> 00:13:46,180
Es decir, calculo el valor numérico de mi polinomio para x igual a 3.

146
00:13:46,180 --> 00:13:49,180
Entonces, sería 3 al cuadrado más 4x.

147
00:13:49,560 --> 00:13:51,480
4x3 más 4.

148
00:13:51,620 --> 00:13:56,340
Fíjate que sale 9 más 12 más 4.

149
00:13:56,780 --> 00:13:58,820
Y eso nos da 25.

150
00:13:58,820 --> 00:14:05,560
Que coincide justo con el resto de dividir mi polinomio entre x menos 3.

151
00:14:08,940 --> 00:14:12,300
Este tipo de divisiones es muy cómoda.

152
00:14:12,480 --> 00:14:12,820
Lo que pasa...

153
00:14:13,640 --> 00:14:17,080
O sea, este teorema es muy cómodo de utilizar,

154
00:14:17,720 --> 00:14:19,220
pero la división es un poquito engorrosa.

155
00:14:19,560 --> 00:14:24,820
Entonces, cuando yo dividía por binomios,

156
00:14:24,940 --> 00:14:27,800
porque son dos términos, de la forma x menos a,

157
00:14:28,660 --> 00:14:34,080
Ruffini inventó una forma de hacer esta división bastante más sencilla.

158
00:14:34,920 --> 00:14:38,960
En realidad hago lo mismo, pero me quedo solo con los coeficientes.

159
00:14:39,380 --> 00:14:41,500
Y me va a dar el cociente y el resto.

160
00:14:41,780 --> 00:14:47,560
Fijaos, en esta división yo puedo escribir que mi dividendo...

161
00:14:47,560 --> 00:14:49,460
Voy a borrar ya lo que no sale.

162
00:14:49,820 --> 00:14:50,900
Lo que no nos sirve.

163
00:14:53,020 --> 00:14:54,500
Voy a coger la división.

164
00:15:01,820 --> 00:15:03,500
Y me la voy a pasar aquí.

165
00:15:08,520 --> 00:15:10,600
Esta era la división que teníamos por ahí.

166
00:15:14,320 --> 00:15:18,340
Fíjate que a mí, en la prueba de la división que funcionaba en aritmética,

167
00:15:18,740 --> 00:15:19,540
también me funcionó.

168
00:15:19,560 --> 00:15:26,200
Ahora, nadie me ha dicho que tiene que ser en aritmética, pues en álgebra.

169
00:15:26,540 --> 00:15:30,760
Entonces, el dividendo siempre es el divisor por el cociente más el resto.

170
00:15:30,920 --> 00:15:33,400
Podemos aprovecharlo además para ir repasando.

171
00:15:34,040 --> 00:15:35,560
Entonces, voy a hacer que...

172
00:15:36,620 --> 00:15:40,700
Voy a hacer el dividendo por el cociente,

173
00:15:41,420 --> 00:15:44,800
que es x menos 3 es mi divisor,

174
00:15:46,000 --> 00:15:49,280
y lo voy a multiplicar por x más 7, que es mi cociente.

175
00:15:49,560 --> 00:16:02,900
Y luego, si yo ahora quiero añadirle el resto,

176
00:16:04,780 --> 00:16:07,520
tendré que añadirle el 25.

177
00:16:09,520 --> 00:16:14,800
Vamos a comprobar que esto que he escrito yo aquí

178
00:16:14,800 --> 00:16:16,560
es justo...

179
00:16:16,560 --> 00:16:17,560
es justo...

180
00:16:19,560 --> 00:16:25,160
x al cuadrado más 4x más 4.

181
00:16:25,540 --> 00:16:26,280
Vamos a ver.

182
00:16:30,360 --> 00:16:33,620
Aquí lo dejo tal cual, y aquí empiezo a operar.

183
00:16:34,800 --> 00:16:37,840
Recordamos, el primero por todo lo anterior,

184
00:16:38,460 --> 00:16:40,400
y el segundo por todo lo anterior.

185
00:16:40,580 --> 00:16:43,320
Entonces, x por x, x cuadrado.

186
00:16:43,780 --> 00:16:46,280
x por más 7, más 7x.

187
00:16:46,279 --> 00:16:51,500
Menos 3 por x, menos 3x.

188
00:16:51,799 --> 00:16:54,360
Y menos 3 por más 7, menos 21.

189
00:16:54,699 --> 00:16:57,079
Y luego me queda añadirle el más 25.

190
00:17:04,099 --> 00:17:09,740
Entonces, por aquí me queda x al cuadrado más 4x más 4.

191
00:17:10,399 --> 00:17:14,339
Y por aquí me queda x cuadrado, solo hay uno.

192
00:17:14,339 --> 00:17:15,579
x cuadrado ahora.

193
00:17:15,579 --> 00:17:19,319
Más 7x menos 3x, más 4x.

194
00:17:19,859 --> 00:17:24,039
Y menos 25, menos 21 más 25, más 4.

195
00:17:26,039 --> 00:17:27,519
¿Veis que queda lo mismo?

196
00:17:28,659 --> 00:17:34,259
Luego, igual que puedo hacer la división,

197
00:17:34,419 --> 00:17:35,759
como es un poco engorroso,

198
00:17:36,000 --> 00:17:39,480
a Ruffini se le ocurrió que podía entonces hacer un algoritmo

199
00:17:39,480 --> 00:17:42,799
de esta misma división, pero puesto de otra manera.

200
00:17:42,799 --> 00:17:43,980
Me voy a quedar...

201
00:17:43,980 --> 00:17:45,559
Él dice, me voy a quedar solo con los cuadrados,

202
00:17:45,559 --> 00:17:47,440
con los coeficientes de mi polinomio.

203
00:17:47,879 --> 00:17:51,639
El dividendo es x cuadrado más 4x más 4.

204
00:17:51,899 --> 00:17:53,919
¿Quiénes son mis coeficientes?

205
00:17:55,480 --> 00:17:57,859
Pues el coeficiente de la x,

206
00:17:58,119 --> 00:18:00,659
voy a borrar esto de aquí para que se vea mejor.

207
00:18:11,019 --> 00:18:14,339
El coeficiente de la x, como no hay nada, es un 1.

208
00:18:14,339 --> 00:18:15,339
El coeficiente...

209
00:18:15,339 --> 00:18:16,480
Perdón, del x cuadrado.

210
00:18:16,599 --> 00:18:18,539
El coeficiente de la x más 4.

211
00:18:18,779 --> 00:18:22,000
Y el coeficiente, que es el término independiente, otro más 4.

212
00:18:22,099 --> 00:18:26,619
Entonces, más 1, 4 y 4.

213
00:18:27,000 --> 00:18:30,000
Y ponemos aquí dos barras.

214
00:18:30,439 --> 00:18:32,799
Y ahora, aquí, en el lugar de aquí,

215
00:18:32,980 --> 00:18:35,559
tengo que poner la raíz del divisor.

216
00:18:35,759 --> 00:18:39,119
Es decir, el valor que hace que el divisor valga 0.

217
00:18:39,839 --> 00:18:43,279
Es 3x igual a 3, que era, ¿os acordáis?

218
00:18:43,279 --> 00:18:45,279
Cuando decíamos el valor...

219
00:18:45,339 --> 00:18:50,740
El polinomio para x igual a a es el resto de dividir mi polinomio entre x menos a.

220
00:18:51,119 --> 00:18:54,539
Luego, yo tengo que poner la a, que se llama la raíz del divisor.

221
00:18:54,859 --> 00:18:56,939
El valor que anula el divisor.

222
00:18:57,259 --> 00:18:58,759
En este caso, es x igual a 3.

223
00:18:59,099 --> 00:19:03,679
Así que aquí voy a poner, porque para x igual a 3, 3 menos 3 se hace 0.

224
00:19:04,079 --> 00:19:09,740
Entonces, aquí voy a poner un 3, que es el divisor.

225
00:19:10,539 --> 00:19:15,299
Y ahora, este número de aquí, este coeficiente principal,

226
00:19:15,459 --> 00:19:16,759
siempre lo bajo, 1.

227
00:19:17,039 --> 00:19:20,220
Y lo que yo voy a hacer siempre es multiplicar el número que tengo aquí

228
00:19:20,220 --> 00:19:21,859
por el factor que tengo aquí.

229
00:19:22,299 --> 00:19:23,459
1 por 3, 3.

230
00:19:28,639 --> 00:19:30,899
Y entonces, aquí voy a poner un 3.

231
00:19:32,019 --> 00:19:34,819
Y para abajo sumo 4 más 3, 7.

232
00:19:35,319 --> 00:19:36,720
7 por 3, 21.

233
00:19:36,980 --> 00:19:38,459
Pues aquí pongo 21.

234
00:19:38,459 --> 00:19:41,359
Y lo que pongo para abajo sumo 25.

235
00:19:41,899 --> 00:19:44,899
Y lo que me dice Ruffini es que lo que me queda

236
00:19:45,339 --> 00:19:49,079
en el último término es el resto.

237
00:19:50,759 --> 00:19:55,240
Y lo que me queda aquí son los coeficientes del cociente.

238
00:19:59,259 --> 00:20:01,480
Y esta es la raíz del divisor.

239
00:20:08,899 --> 00:20:14,899
Y estos son los coeficientes de...

240
00:20:15,339 --> 00:20:16,339
...el dividendo.

241
00:20:19,599 --> 00:20:23,939
Entonces, fíjate que como yo siempre he dividido por un x menos algo,

242
00:20:24,199 --> 00:20:27,699
si es x al cuadrado, voy a tener un orden menos.

243
00:20:27,959 --> 00:20:31,759
Entonces, el cociente me tiene que quedar 1 por x.

244
00:20:32,539 --> 00:20:36,539
Si este ha sido 1 por x cuadrado, porque tengo otros términos.

245
00:20:37,119 --> 00:20:37,619
¿Lo veis?

246
00:20:38,459 --> 00:20:43,000
Entonces, podría escribir directamente viendo esta división.

247
00:20:45,339 --> 00:20:52,039
Que mi dividendo x al cuadrado más 4x más 4

248
00:20:52,039 --> 00:20:57,139
es igual a mi cociente, que lo tengo aquí.

249
00:20:57,139 --> 00:21:05,439
Y sería x más 7, recuerda que entre paréntesis, que va junto, por el divisor.

250
00:21:05,659 --> 00:21:08,000
¡Ojo! Recuerda que este solo es la raíz.

251
00:21:08,480 --> 00:21:15,119
Así que mi divisor es x menos 3 más el resto, que es esto.

252
00:21:15,339 --> 00:21:19,019
Que es justo lo que teníamos aquí.

253
00:21:19,799 --> 00:21:24,299
Entonces, lo que estamos viendo es que la división que en principio era un poco engorrosa de hacer,

254
00:21:24,699 --> 00:21:27,139
con el algoritmo de Ruffini se hace muy fácil.

255
00:21:27,619 --> 00:21:28,839
Vamos a comprobar otro.

256
00:21:29,339 --> 00:21:33,899
Vamos, por ejemplo, a dividir este mismo polinomio.

257
00:21:33,899 --> 00:21:33,939
¿Qué es esto?

258
00:21:41,679 --> 00:21:44,899
Lo quiero dividir entre x...

259
00:21:45,339 --> 00:21:53,799
Entre x más 2.

260
00:21:54,240 --> 00:21:54,359
Vale.

261
00:21:55,220 --> 00:21:56,519
Pongo mis rayas.

262
00:21:58,119 --> 00:21:59,759
Y entonces digo, vale, vamos a ver.

263
00:21:59,859 --> 00:22:01,339
Coeficientes del dividendo.

264
00:22:02,519 --> 00:22:05,720
El 1, el 4 y el 4.

265
00:22:07,039 --> 00:22:11,519
Raíz del divisor menos 2.

266
00:22:12,079 --> 00:22:15,199
Porque es el valor que anula a x más 2.

267
00:22:15,339 --> 00:22:16,439
Y yo aquí pongo menos 2.

268
00:22:16,519 --> 00:22:18,000
Menos 2 más 2 se hace 0.

269
00:22:19,679 --> 00:22:20,859
Así que es la raíz.

270
00:22:21,240 --> 00:22:23,879
Raíz en álgebra es el valor que anula un polinomio.

271
00:22:24,059 --> 00:22:25,039
Una expresión algebraica.

272
00:22:25,399 --> 00:22:26,639
Entonces, la raíz del divisor.

273
00:22:27,039 --> 00:22:30,119
Y ahora, el 1 lo bajo.

274
00:22:30,819 --> 00:22:31,119
1.

275
00:22:31,119 --> 00:22:33,759
1 por menos 2, menos 2.

276
00:22:34,359 --> 00:22:37,879
4 por menos 2, 4 menos 2, más 2.

277
00:22:38,419 --> 00:22:40,659
Menos 2 por más 2, menos 4.

278
00:22:40,839 --> 00:22:41,939
Y resto 0.

279
00:22:42,639 --> 00:22:43,039
¡Anda!

280
00:22:43,500 --> 00:22:44,039
Fíjate.

281
00:22:44,779 --> 00:22:45,119
Como...

282
00:22:45,339 --> 00:22:47,079
Me da un resto de 0.

283
00:22:47,079 --> 00:22:52,259
Yo puedo escribir que x cuadrado más 4x más 4

284
00:22:52,259 --> 00:22:58,059
es igual a mi divisor, que es x más 2,

285
00:22:59,659 --> 00:23:02,959
por mi cociente, que es x más 2,

286
00:23:03,359 --> 00:23:05,419
más 0.

287
00:23:06,179 --> 00:23:09,779
Como mi resto es 0, no hay nada que añadir.

288
00:23:10,099 --> 00:23:12,980
Y entonces consigo, utilizando esta herramienta,

289
00:23:13,459 --> 00:23:14,779
algo que era tan útil,

290
00:23:14,779 --> 00:23:16,799
y también en aritmética, que era

291
00:23:16,799 --> 00:23:21,480
cuando yo encuentro divisiones en que mi resto vale 0,

292
00:23:21,839 --> 00:23:24,579
lo que estoy haciendo en realidad es buscar factores.

293
00:23:24,740 --> 00:23:27,220
Estoy factorizando mi dividendo.

294
00:23:27,879 --> 00:23:31,759
Por eso, cuando tú divides 15 entre 3,

295
00:23:32,299 --> 00:23:34,180
que te da 5 y el resto 0,

296
00:23:34,599 --> 00:23:37,680
tú puedes escribir que 15 es 3 por 5,

297
00:23:37,859 --> 00:23:39,279
porque no hay resto que sume.

298
00:23:39,680 --> 00:23:41,799
Entonces estás factorizando el 15.

299
00:23:42,200 --> 00:23:44,079
Pues en este caso es lo mismo.

300
00:23:44,779 --> 00:23:51,599
En este caso, si yo consigo hacer la división

301
00:23:51,599 --> 00:23:56,420
de mis polinomios, de mi dividendo entre mi divisor,

302
00:23:56,740 --> 00:23:57,859
y el resto me da 0,

303
00:23:58,180 --> 00:24:01,960
lo que estoy haciendo es justo encontrar los factores

304
00:24:01,960 --> 00:24:03,920
que multiplicados entre sí me dan este.

305
00:24:04,299 --> 00:24:07,160
Mira, x por x, x cuadrado.

306
00:24:07,660 --> 00:24:08,000
Aquí.

307
00:24:08,000 --> 00:24:08,079
Aquí.

308
00:24:14,779 --> 00:24:18,920
, x por más 2, más 2x.

309
00:24:19,359 --> 00:24:21,639
Más 2 por x, más 2x.

310
00:24:22,000 --> 00:24:23,960
Y más 2 por más 2, más 4.

311
00:24:24,139 --> 00:24:25,619
De hecho, es una identidad notable,

312
00:24:26,000 --> 00:24:30,220
porque en realidad lo que yo estoy haciendo es que x cuadrado más 4x más 4,

313
00:24:30,579 --> 00:24:34,259
acabo de encontrar que es x más 2 al cuadrado.

314
00:24:34,480 --> 00:24:36,759
Que en las identidades notables será cuadro del primero,

315
00:24:37,139 --> 00:24:38,160
más el cuadro del segundo,

316
00:24:38,440 --> 00:24:40,379
más el doble producto del primero por el segundo,

317
00:24:40,519 --> 00:24:41,500
que es 4x.

318
00:24:42,440 --> 00:24:43,339
Así que es verdad.

319
00:24:44,779 --> 00:24:48,899
Voy a intentar entonces utilizar esta herramienta

320
00:24:48,899 --> 00:24:51,940
para factorizar polinomios más complicados.

321
00:24:52,119 --> 00:24:52,720
Por ejemplo,

322
00:24:55,420 --> 00:24:57,339
vamos a intentar factorizar este.

323
00:24:57,980 --> 00:25:00,220
x cuadrado menos x,

324
00:25:01,000 --> 00:25:05,059
menos 12.

325
00:25:05,980 --> 00:25:07,399
¿Cuál es mi problema ahora?

326
00:25:07,599 --> 00:25:10,059
Que cuando yo lo voy a dividir entre algo,

327
00:25:11,000 --> 00:25:13,579
no tengo ni idea de lo que tengo que poner aquí.

328
00:25:14,779 --> 00:25:16,619
Entonces, si yo hiciera esto,

329
00:25:17,359 --> 00:25:18,539
aquí pondría un 1,

330
00:25:18,899 --> 00:25:20,059
aquí un menos 1,

331
00:25:20,359 --> 00:25:21,519
y aquí un menos 12.

332
00:25:22,639 --> 00:25:25,480
Y aquí, pues no lo sé.

333
00:25:26,099 --> 00:25:27,759
Ahí no sé lo que tengo que poner.

334
00:25:28,319 --> 00:25:30,079
Pero yo sí sé algo.

335
00:25:30,500 --> 00:25:31,700
Y es que cuando yo...

336
00:25:33,819 --> 00:25:35,440
Ay, que no...

337
00:25:35,440 --> 00:25:38,119
¿Por qué no borra?

338
00:25:41,139 --> 00:25:41,700
Ahora.

339
00:25:42,899 --> 00:25:44,700
Yo sí sé que cuando yo...

340
00:25:44,779 --> 00:25:47,019
Yo haga la división entera,

341
00:25:47,240 --> 00:25:48,299
aquí en el resto,

342
00:25:48,660 --> 00:25:50,440
si busco factorizar,

343
00:25:51,059 --> 00:25:52,000
busco factores,

344
00:25:52,160 --> 00:25:54,799
aquí en el resto me tiene que quedar sí o sí o un cero.

345
00:25:55,139 --> 00:25:56,460
Para que aquí me quede cero,

346
00:25:56,859 --> 00:25:58,220
aquí arriba, ¿qué tiene que haber?

347
00:25:58,639 --> 00:26:01,059
Pues en este cuadrado tiene que haber un más 12.

348
00:26:02,019 --> 00:26:03,220
Pero este cuadrado,

349
00:26:03,740 --> 00:26:05,059
si os acordáis aquí,

350
00:26:05,839 --> 00:26:09,539
era el resultado de multiplicar este número por este.

351
00:26:09,980 --> 00:26:13,599
Es decir, que este número siempre va a ser un múltiplo de lo que tenga aquí.

352
00:26:13,599 --> 00:26:14,599
O lo que es lo mismo.

353
00:26:14,600 --> 00:26:17,000
Lo que tengo aquí, este menos 2,

354
00:26:17,340 --> 00:26:19,680
siempre va a ser un divisor de este número de aquí.

355
00:26:20,040 --> 00:26:22,900
El signo me da igual, porque puede ser positivo o negativo,

356
00:26:23,020 --> 00:26:25,400
tendré que averiguarlo.

357
00:26:25,560 --> 00:26:29,340
Pero seguro, seguro, que tiene que ser lo que yo ponga aquí,

358
00:26:29,720 --> 00:26:33,360
tiene que ser un múltiplo, o sea, un divisor de más 12.

359
00:26:33,880 --> 00:26:35,140
Divisores que tengo del 12.

360
00:26:35,280 --> 00:26:41,240
Pues el 1, el 2, el 3, el 4, el 6,

361
00:26:41,240 --> 00:26:44,500
y si no me acabo, no recuerdo mal,

362
00:26:44,500 --> 00:26:46,259
el 12 nada más, sí, ya está.

363
00:26:46,460 --> 00:26:48,619
Evidentemente, positivos o negativos,

364
00:26:48,619 --> 00:26:50,619
porque pueden ser de las dos maneras.

365
00:26:50,900 --> 00:26:53,259
Yo no sé lo que me va a salir.

366
00:26:53,420 --> 00:26:54,740
Entonces, ¿de qué se trata aquí?

367
00:26:54,740 --> 00:26:55,859
Pues de ir tanteando.

368
00:26:56,259 --> 00:27:00,859
De ir tanteando, empezar a coger uno que parezca posible.

369
00:27:01,140 --> 00:27:03,940
Yo en este caso, siempre os recomiendo empezar por el pequeño.

370
00:27:04,140 --> 00:27:07,140
No va a salir, pero os recomiendo empezar por el pequeño,

371
00:27:07,140 --> 00:27:08,380
porque siempre es mucho más fácil.

372
00:27:08,380 --> 00:27:11,740
Entonces, voy a empezar, si aquí tengo que tener un menos,

373
00:27:12,339 --> 00:27:14,180
voy a empezar con el más 1, por ejemplo.

374
00:27:14,500 --> 00:27:19,500
Entonces, este número lo bajo, más 1, más 1 por más 1, más 2.

375
00:27:19,500 --> 00:27:22,500
Menos 1, más 2, 1, y 1 por 1, 1.

376
00:27:22,500 --> 00:27:24,099
Veo que es distinto de 12.

377
00:27:24,099 --> 00:27:26,500
Este número que yo he cogido, no vale.

378
00:27:28,259 --> 00:27:33,259
¿Y si pusiera el menos 1?

379
00:27:33,259 --> 00:27:36,259
1 por menos 1, menos 1, menos 1.

380
00:27:44,500 --> 00:27:47,500
1 por menos 1, menos 1.

381
00:27:47,500 --> 00:27:51,500
Menos 1 y menos 1, menos 2.

382
00:27:51,500 --> 00:27:56,500
Esta pizarra últimamente no va bien.

383
00:27:56,500 --> 00:28:01,500
No sé por qué no me coge los valores en negro.

384
00:28:01,500 --> 00:28:10,500
Menos 2 por menos 1, más 2.

385
00:28:10,500 --> 00:28:12,500
También es distinto de más 12.

386
00:28:12,500 --> 00:28:14,500
Así que, no nos vale.

387
00:28:14,500 --> 00:28:18,500
A borrar.

388
00:28:18,500 --> 00:28:20,500
Y hay que ir tanteando.

389
00:28:20,500 --> 00:28:22,500
Estos ya no valen.

390
00:28:22,500 --> 00:28:26,500
Voy ahora a probar con el más 2.

391
00:28:26,500 --> 00:28:28,500
Y así voy buscando.

392
00:28:28,500 --> 00:28:30,500
Más 1 por más 2, más 2.

393
00:28:30,500 --> 00:28:32,500
Menos 1, más 2, más 1.

394
00:28:32,500 --> 00:28:36,500
No me vale.

395
00:28:36,500 --> 00:28:38,500
Voy ahora a probar con el menos 2.

396
00:28:38,500 --> 00:28:42,500
1 menos 2, menos 2, menos 1, menos 2, menos 3.

397
00:28:42,500 --> 00:28:44,339
Menos 3 por menos 2.

398
00:28:44,340 --> 00:28:46,340
Menos 2, más 6.

399
00:28:46,340 --> 00:28:48,340
No, pero ya me voy acercando.

400
00:28:48,340 --> 00:28:52,340
Así que, estos no valen.

401
00:28:52,340 --> 00:28:54,340
¿Cuál sería el siguiente?

402
00:28:54,340 --> 00:28:58,340
¿Más 3 o menos 3?

403
00:28:58,340 --> 00:29:04,340
Voy a probar con el más 3.

404
00:29:04,340 --> 00:29:06,340
1 por 3.

405
00:29:06,340 --> 00:29:08,340
3 menos 1, más 3.

406
00:29:08,340 --> 00:29:10,340
2, me sale más 6.

407
00:29:10,340 --> 00:29:12,340
No, no me vale.

408
00:29:12,340 --> 00:29:14,340
Voy a probar con el menos 3.

409
00:29:14,340 --> 00:29:16,340
1 menos 3, menos 3.

410
00:29:16,340 --> 00:29:18,340
Menos 1, menos 3, menos 4.

411
00:29:18,340 --> 00:29:20,340
Menos 4 por menos 3, más 12.

412
00:29:20,340 --> 00:29:22,340
Lo he encontrado.

413
00:29:22,340 --> 00:29:24,340
Aquí sí que me sale.

414
00:29:24,340 --> 00:29:26,340
Esta división está bien.

415
00:29:26,340 --> 00:29:28,340
Eso significa que yo puedo escribir

416
00:29:28,340 --> 00:29:30,340
este va a ser el cociente,

417
00:29:30,340 --> 00:29:32,340
que va a ser x menos 4.

418
00:29:32,340 --> 00:29:34,340
Y esto es la raíz del divisor.

419
00:29:34,340 --> 00:29:36,340
Luego mi factor va a ser

420
00:29:36,340 --> 00:29:38,340
x más 3.

421
00:29:38,340 --> 00:29:40,340
Esto que acabo de escribir aquí

422
00:29:40,340 --> 00:29:42,340
es lo que se conoce

423
00:29:42,340 --> 00:29:44,340
como el teorema del factor.

424
00:29:44,340 --> 00:29:46,340
Es decir,

425
00:29:46,340 --> 00:29:48,340
si la raíz de un polinomio

426
00:29:48,340 --> 00:29:50,340
es x,

427
00:29:50,340 --> 00:29:52,340
o sea, si un polinomio

428
00:29:52,340 --> 00:29:54,340
se anula para x igual a menos 3,

429
00:29:54,340 --> 00:29:56,340
eso quiere decir que su factor

430
00:29:56,340 --> 00:29:58,340
es x más 3.

431
00:29:58,340 --> 00:30:00,340
El teorema de factor me dice

432
00:30:00,340 --> 00:30:02,340
que cuando encuentro una raíz

433
00:30:02,340 --> 00:30:04,340
acabo de encontrar también

434
00:30:04,340 --> 00:30:06,340
un factor del polinomio.

435
00:30:06,340 --> 00:30:08,340
Así que esto en realidad

436
00:30:08,340 --> 00:30:10,340
es x más 3

437
00:30:10,340 --> 00:30:12,340
y la raíz es

438
00:30:12,340 --> 00:30:14,340
x igual a menos 3.

439
00:30:14,340 --> 00:30:16,340
Y si yo cojo este polinomio

440
00:30:16,340 --> 00:30:18,340
y calculo p de menos 3,

441
00:30:20,340 --> 00:30:22,340
por el teorema del resto

442
00:30:22,340 --> 00:30:24,340
lo que estoy calculando

443
00:30:24,340 --> 00:30:26,340
es este 0.

444
00:30:26,340 --> 00:30:28,340
Se anula el valor del polinomio

445
00:30:28,340 --> 00:30:30,340
para x igual a menos 3.

446
00:30:30,340 --> 00:30:32,340
Compruébalo.

447
00:30:32,340 --> 00:30:34,340
Menos 3 al cuadrado

448
00:30:34,340 --> 00:30:36,340
menos menos 3

449
00:30:36,340 --> 00:30:38,340
menos 12.

450
00:30:38,340 --> 00:30:40,340
Eso es igual a menos 3 al cuadrado

451
00:30:40,340 --> 00:30:42,340
menos 3 es más 3 menos 12

452
00:30:42,340 --> 00:30:44,340
que es igual a 0.

453
00:30:44,340 --> 00:30:46,340
Por eso x igual a menos 3

454
00:30:46,340 --> 00:30:48,340
es raíz

455
00:30:48,340 --> 00:30:50,340
de p de x.

456
00:30:54,340 --> 00:30:56,340
Porque

457
00:30:56,340 --> 00:30:58,340
p de menos 3

458
00:30:58,340 --> 00:31:00,340
el valor que adquiere el polinomio

459
00:31:00,340 --> 00:31:02,340
para x igual a menos 3

460
00:31:02,340 --> 00:31:04,340
es 0.

461
00:31:04,340 --> 00:31:06,340
Y eso significa

462
00:31:06,340 --> 00:31:08,340
que x menos 3

463
00:31:08,340 --> 00:31:10,340
es factor

464
00:31:10,340 --> 00:31:12,340
de p de x.

465
00:31:12,340 --> 00:31:14,340
Es factor

466
00:31:14,340 --> 00:31:16,340
de p de x.

467
00:31:16,340 --> 00:31:18,340
Por tanto,

468
00:31:18,340 --> 00:31:20,340
¿por qué?

469
00:31:20,340 --> 00:31:22,340
Porque voy a poder factorizar

470
00:31:22,340 --> 00:31:24,340
y escribir x al cuadrado

471
00:31:24,340 --> 00:31:26,340
menos x menos 12

472
00:31:26,340 --> 00:31:28,340
perdón

473
00:31:28,340 --> 00:31:30,340
como el producto

474
00:31:30,340 --> 00:31:32,340
de x más 3

475
00:31:32,340 --> 00:31:34,340
uy perdón

476
00:31:34,340 --> 00:31:36,340
aquí es un más 3

477
00:31:36,340 --> 00:31:38,340
si p de menos 3

478
00:31:38,340 --> 00:31:40,340
es 0

479
00:31:40,340 --> 00:31:42,340
el factor es x más 3

480
00:31:42,340 --> 00:31:44,340
por x más 3

481
00:31:44,340 --> 00:31:46,340
por x menos 4

482
00:31:46,340 --> 00:31:48,340
perdón me acabo de equivocar

483
00:31:48,340 --> 00:31:50,340
y acabo de factorizar el polinomio

484
00:31:50,340 --> 00:31:52,340
que es lo que yo voy buscando

485
00:31:52,340 --> 00:31:54,340
con este tipo de operaciones.

486
00:31:54,340 --> 00:31:56,340
Entonces,

487
00:31:56,340 --> 00:31:58,340
¿qué nos van a pedir habitualmente?

488
00:31:58,340 --> 00:32:00,340
Pues por ejemplo

489
00:32:00,340 --> 00:32:02,340
aquí

490
00:32:08,340 --> 00:32:10,340
2x a la cuarta

491
00:32:10,340 --> 00:32:12,340
más 10x al cubo

492
00:32:12,340 --> 00:32:14,340
menos 8x cuadrado

493
00:32:14,340 --> 00:32:16,340
menos 40x

494
00:32:16,340 --> 00:32:18,340
y me van a pedir que lo factorice.

495
00:32:18,340 --> 00:32:20,340
El primer paso

496
00:32:20,340 --> 00:32:22,340
siempre, sacar factor común

497
00:32:22,340 --> 00:32:24,340
par, par, par, par

498
00:32:24,340 --> 00:32:26,340
puedo sacar el 2

499
00:32:26,340 --> 00:32:28,340
y aquí tengo una x

500
00:32:28,340 --> 00:32:30,340
tengo que tener un término independiente

501
00:32:30,340 --> 00:32:32,340
para no poder sacar x

502
00:32:32,340 --> 00:32:34,340
y lo voy a multiplicar por

503
00:32:34,340 --> 00:32:36,340
¿qué le queda aquí?

504
00:32:36,340 --> 00:32:38,340
más 5x cuadrado

505
00:32:38,340 --> 00:32:40,340
menos 4x

506
00:32:40,340 --> 00:32:42,340
menos 20

507
00:32:42,340 --> 00:32:44,340
menos 20

508
00:32:44,340 --> 00:32:46,340
menos 20

509
00:32:46,340 --> 00:32:48,340
Entonces, ¿qué es lo que me toca ahora

510
00:32:48,340 --> 00:32:50,340
para seguir factorizando?

511
00:32:50,340 --> 00:32:52,340
Factorizar este

512
00:32:52,340 --> 00:32:54,340
Así que

513
00:32:54,340 --> 00:32:56,340
voy a hacer Ruffini

514
00:32:56,340 --> 00:32:58,340
me voy a quedar con los coeficientes

515
00:32:58,340 --> 00:33:00,340
y será

516
00:33:00,340 --> 00:33:02,340
1

517
00:33:02,340 --> 00:33:04,340
uy perdón

518
00:33:04,340 --> 00:33:06,340
1

519
00:33:06,340 --> 00:33:08,340
más 5

520
00:33:08,340 --> 00:33:10,340
menos 4

521
00:33:10,340 --> 00:33:12,340
y menos 20

522
00:33:12,340 --> 00:33:14,340
me fijo en este

523
00:33:14,340 --> 00:33:16,340
aquí voy a tener que tener un más 20

524
00:33:16,340 --> 00:33:18,340
porque aquí me tiene que salir 0 para factorizar

525
00:33:18,340 --> 00:33:20,340
el resto tiene que ser 0

526
00:33:20,340 --> 00:33:22,340
eso quiere decir que voy a probar con los

527
00:33:22,340 --> 00:33:24,340
con las raíces del 20

528
00:33:24,340 --> 00:33:26,340
pueden ser

529
00:33:26,340 --> 00:33:28,340
más menos 1

530
00:33:28,340 --> 00:33:30,340
más menos 2

531
00:33:30,340 --> 00:33:32,340
más menos 4

532
00:33:32,340 --> 00:33:34,340
y más menos 5

533
00:33:34,340 --> 00:33:36,340
y más menos 10

534
00:33:36,340 --> 00:33:38,340
voy a empezar con el 1

535
00:33:38,340 --> 00:33:40,340
bajo el 1

536
00:33:40,340 --> 00:33:42,340
1 por 1 es 1

537
00:33:42,340 --> 00:33:44,340
estos son 6

538
00:33:44,340 --> 00:33:46,340
6 por 1 es 6

539
00:33:46,340 --> 00:33:48,340
estos son 2

540
00:33:48,340 --> 00:33:50,340
2 por 1 es 2

541
00:33:50,340 --> 00:33:52,340
no me vale

542
00:33:52,340 --> 00:33:54,340
menos 1

543
00:33:54,340 --> 00:33:56,340
1 por menos 1 es menos 1

544
00:33:56,340 --> 00:33:58,340
4 por menos 1 es menos 4

545
00:33:58,340 --> 00:34:00,340
menos 4 y menos 4 es menos 8

546
00:34:00,340 --> 00:34:02,340
menos 8 por menos 1 es más 8

547
00:34:02,340 --> 00:34:04,340
no me vale

548
00:34:04,340 --> 00:34:06,340
entonces

549
00:34:06,340 --> 00:34:08,340
estos ninguno

550
00:34:10,340 --> 00:34:12,340
más 2

551
00:34:12,340 --> 00:34:14,340
1 por más 2

552
00:34:14,340 --> 00:34:16,340
más 2 5 más 2 son 7

553
00:34:16,340 --> 00:34:18,340
7 por 2 14

554
00:34:18,340 --> 00:34:20,340
14 menos 4 son 10

555
00:34:20,340 --> 00:34:22,340
y 10 por 2 20 lo tengo

556
00:34:22,340 --> 00:34:24,340
así que

557
00:34:24,340 --> 00:34:26,340
yo podría escribir

558
00:34:26,340 --> 00:34:28,340
este polinomio como 2x por

559
00:34:28,340 --> 00:34:30,340
y ahora esto

560
00:34:30,340 --> 00:34:32,340
su cociente

561
00:34:32,340 --> 00:34:34,340
que es este por su divisor

562
00:34:34,340 --> 00:34:36,340
sería

563
00:34:36,340 --> 00:34:38,340
x menos 2

564
00:34:38,340 --> 00:34:40,340
así que es el divisor x menos 2

565
00:34:40,340 --> 00:34:42,340
por el cociente que me sale

566
00:34:42,340 --> 00:34:44,340
que es x cuadrado

567
00:34:44,340 --> 00:34:46,340
más 7x más 10

568
00:34:46,340 --> 00:34:48,340
os recordáis porque si este es

569
00:34:48,340 --> 00:34:50,340
de grado 3

570
00:34:50,340 --> 00:34:52,340
esto va a ser

571
00:34:52,340 --> 00:34:54,340
de grado 2

572
00:35:02,340 --> 00:35:04,340
que me pasa?

573
00:35:04,340 --> 00:35:06,340
y lo tendría que seguir

574
00:35:06,340 --> 00:35:08,340
porque yo esto todavía lo puedo factorizar

575
00:35:08,340 --> 00:35:10,340
como antes

576
00:35:10,340 --> 00:35:12,340
eso significa que

577
00:35:12,340 --> 00:35:14,340
lo bueno es que ya tengo aquí puesto los coeficientes

578
00:35:14,340 --> 00:35:16,340
lo que voy a hacer es

579
00:35:16,340 --> 00:35:18,340
agrandar mi rufiní

580
00:35:18,340 --> 00:35:20,340
y volverlo a hacer con los que me quedaban

581
00:35:20,340 --> 00:35:22,340
no pruebo con las que no funcionan

582
00:35:22,340 --> 00:35:24,340
si no funcionaron antes no pueden funcionar ahora

583
00:35:24,340 --> 00:35:26,340
si no son divisores de un factor anterior

584
00:35:26,340 --> 00:35:28,340
no lo van a ser de ahora

585
00:35:28,340 --> 00:35:30,340
pero yo puedo volver a probar por ejemplo con el más 2

586
00:35:30,340 --> 00:35:32,340
el menos 2 el más 4 menos 4 más 5

587
00:35:32,340 --> 00:35:34,340
menos 5 más 10 y menos 10

588
00:35:34,340 --> 00:35:36,340
me da 2

589
00:35:36,340 --> 00:35:38,340
9, 9 por 2

590
00:35:38,340 --> 00:35:40,340
18, 28 por 2

591
00:35:40,340 --> 00:35:42,340
36, perdón

592
00:35:42,340 --> 00:35:44,340
que me he ido

593
00:35:44,340 --> 00:35:46,340
28 no puede ser

594
00:35:46,340 --> 00:35:48,340
porque aquí me tiene que dar

595
00:35:48,340 --> 00:35:50,340
0

596
00:35:50,340 --> 00:35:52,340
es decir que aquí me tiene que dar

597
00:35:52,340 --> 00:35:54,340
menos 10

598
00:35:56,340 --> 00:35:58,340
voy con el menos 2

599
00:35:58,340 --> 00:36:00,340
1 por menos 2

600
00:36:00,340 --> 00:36:02,340
perdón

601
00:36:02,340 --> 00:36:04,340
1 por menos 2

602
00:36:04,340 --> 00:36:06,340
menos 2

603
00:36:06,340 --> 00:36:08,340
7 menos 2

604
00:36:08,340 --> 00:36:10,340
5 y 5 por 2 menos 10

605
00:36:10,340 --> 00:36:12,340
ya lo he encontrado

606
00:36:12,340 --> 00:36:14,340
entonces esta es una raíz

607
00:36:14,340 --> 00:36:16,340
su factor es x menos 2

608
00:36:16,340 --> 00:36:18,340
pues esta es una raíz

609
00:36:18,340 --> 00:36:20,340
su factor va a ser x más 2

610
00:36:20,340 --> 00:36:22,340
que va a ser el divisor

611
00:36:22,340 --> 00:36:24,340
entonces yo ahora puedo escribir que este mismo

612
00:36:24,340 --> 00:36:26,340
polinomio es

613
00:36:26,340 --> 00:36:28,340
2x por

614
00:36:28,340 --> 00:36:30,340
el que tenía antes

615
00:36:30,340 --> 00:36:32,340
no cambia x menos 2

616
00:36:32,340 --> 00:36:34,340
y ahora este nuevo dividendo

617
00:36:34,340 --> 00:36:36,340
es el que voy a escribir como

618
00:36:36,340 --> 00:36:38,340
su divisor

619
00:36:38,340 --> 00:36:40,340
que ahora es

620
00:36:40,340 --> 00:36:42,340
x más 2

621
00:36:42,340 --> 00:36:44,340
por su cociente

622
00:36:44,340 --> 00:36:46,340
que es

623
00:36:46,340 --> 00:36:48,340
x más 5

624
00:36:48,340 --> 00:36:50,340
y ahora sí que tengo

625
00:36:50,340 --> 00:36:52,340
factorizado mi polinomio

626
00:36:52,340 --> 00:36:54,340
p de x

627
00:36:58,340 --> 00:37:00,340
fíjate

628
00:37:00,340 --> 00:37:02,340
que raíces tengo

629
00:37:02,340 --> 00:37:04,340
pues las que anulan cada uno de los factores

630
00:37:04,340 --> 00:37:06,340
que es por lo que es interesante

631
00:37:06,340 --> 00:37:08,340
yo sé que esto va a valer 0

632
00:37:08,340 --> 00:37:10,340
si la x vale 0

633
00:37:10,340 --> 00:37:12,340
si la x

634
00:37:12,340 --> 00:37:14,340
es igual a 2

635
00:37:14,340 --> 00:37:16,340
si la x

636
00:37:16,340 --> 00:37:18,340
es igual a menos 2

637
00:37:18,340 --> 00:37:20,340
y si la x es igual a menos 5

638
00:37:20,340 --> 00:37:22,340
entonces

639
00:37:22,340 --> 00:37:24,340
p de 0

640
00:37:24,340 --> 00:37:26,340
es 0

641
00:37:26,340 --> 00:37:28,340
si vosotros en este polinomio hacéis que la x valga 0

642
00:37:28,340 --> 00:37:30,340
mi polinomio vale 0

643
00:37:30,340 --> 00:37:32,340
p

644
00:37:32,340 --> 00:37:34,340
de 2

645
00:37:34,340 --> 00:37:36,340
también es 0

646
00:37:36,340 --> 00:37:38,340
porque x igual a 2 es una raíz

647
00:37:38,340 --> 00:37:40,340
luego si yo sustituyo

648
00:37:40,340 --> 00:37:42,340
en este

649
00:37:42,340 --> 00:37:44,340
factor la x por 2

650
00:37:44,340 --> 00:37:46,340
p de x se hace 0

651
00:37:52,340 --> 00:37:54,340
p de menos 2

652
00:37:54,340 --> 00:37:56,340
también es 0

653
00:37:56,340 --> 00:37:58,340
y p de menos 5

654
00:37:58,340 --> 00:38:00,340
también es 0

655
00:38:00,340 --> 00:38:02,340
y el valor numérico tiene que salir así

656
00:38:02,340 --> 00:38:04,340
así que esto

657
00:38:04,340 --> 00:38:06,340
es para lo que sirve realmente

658
00:38:06,340 --> 00:38:08,340
factorizar un polinomio

659
00:38:08,340 --> 00:38:10,340
para encontrar los valores que lo anulan

660
00:38:10,340 --> 00:38:12,340
que es para lo que lo vamos a usar

661
00:38:12,340 --> 00:38:14,340
encontrar que valores

662
00:38:14,340 --> 00:38:16,340
son los que anulan un polinomio

663
00:38:16,340 --> 00:38:18,340
os he dejado en el aula virtual

664
00:38:18,340 --> 00:38:20,340
una ficha con

665
00:38:20,340 --> 00:38:22,340
ejercicios de factorización de polinomios