1 00:00:03,740 --> 00:00:17,940 Comenzamos. A ver, yo tenía aquí preparada la hoja de ejercicios, un poco donde nos habíamos quedado. 2 00:00:18,480 --> 00:00:30,420 Vale, que era el cálculo de la imagen, vamos a ver también curvas de nivel, y luego ya los primeros problemas, digamos, tipo final, ¿no? 3 00:00:30,420 --> 00:00:34,560 De calcular extremos con curvas de nivel. 4 00:00:35,140 --> 00:01:00,340 Bueno, pues a ver, de esto que tenemos por aquí, a ver, vamos a tomar un poquito más gordo, a ver, bueno, bueno, pues a ver, 5 00:01:00,340 --> 00:01:17,939 Creo que ya comenté las particularidades de este y este ejercicio, si los habéis mirado, pues bueno, es verdad que se basan un poquito en algunos, digamos, algunos trucos o técnicas un poco especiales. 6 00:01:17,939 --> 00:01:33,799 ¿Cuáles son más importantes para nosotros? Pues el resto de los que hay ahí, ¿no? Bien, bueno, pues creo recordar que hicimos el a, ¿no? De la raíz cuadrada, ¿sí o no? Sí, vale. 7 00:01:33,799 --> 00:01:46,480 Vamos a coger ahora, por ejemplo, el L. No sé si llegamos a esbozarlo o no. El del logaritmo. ¿No? Vale. 8 00:01:46,480 --> 00:02:04,760 Pues a ver, nosotros vamos a tener una función, f, de x, y, ¿cuáles son los pasos que hay que escribir para calmar? 9 00:02:05,260 --> 00:02:16,719 Bueno, a ver, los dominios tienen unos pasos. Una vez que tú identificas si es una raíz cuadrada, si es una fracción o si es un logaritmo, se plantean unas desigualdades. 10 00:02:16,719 --> 00:02:19,599 incluso aunque no llegues al final 11 00:02:19,599 --> 00:02:21,379 a resolver la desigualdad, tú eres capaz 12 00:02:21,379 --> 00:02:23,300 de expresarla algebraicamente de forma correcta 13 00:02:23,300 --> 00:02:25,240 pero 14 00:02:25,240 --> 00:02:27,620 en el caso de la imagen es que no hay 15 00:02:27,620 --> 00:02:29,580 unos pasos, entonces nosotros nos 16 00:02:29,580 --> 00:02:31,419 apoyamos en 17 00:02:31,419 --> 00:02:32,539 que la imagen 18 00:02:32,539 --> 00:02:35,659 consiste en coger el dominio 19 00:02:35,659 --> 00:02:37,580 y enviarlo hacia arriba 20 00:02:37,580 --> 00:02:39,879 por usar 21 00:02:39,879 --> 00:02:40,460 este ejemplo 22 00:02:40,460 --> 00:02:42,919 el L hemos dicho 23 00:02:42,919 --> 00:02:45,939 si a ti te dan 24 00:02:45,939 --> 00:02:52,360 esto, si quieres como pasos 25 00:02:52,360 --> 00:02:54,379 podríamos decir primero, calcule 26 00:02:54,379 --> 00:02:58,500 el dominio, y tú el dominio 27 00:02:58,500 --> 00:03:00,199 sabes que son los puntos 28 00:03:00,199 --> 00:03:01,800 tales que la función existe, ¿no? 29 00:03:03,539 --> 00:03:04,199 pero bueno 30 00:03:04,199 --> 00:03:06,000 en el caso de 31 00:03:06,000 --> 00:03:08,400 la función que tienes, tú dices, pues se trata 32 00:03:08,400 --> 00:03:10,199 de un logaritmo 33 00:03:10,199 --> 00:03:12,580 pues son las parejas de puntos 34 00:03:12,580 --> 00:03:13,900 de R2 35 00:03:13,900 --> 00:03:16,240 tales que 36 00:03:16,240 --> 00:03:18,240 y escribes la desigualdad 37 00:03:18,240 --> 00:03:19,919 y eso ya está bien hecho, ¿no? 38 00:03:20,139 --> 00:03:22,340 luego verás si la sabes resolver o no, la desigualdad 39 00:03:22,340 --> 00:03:30,500 ¿Cuál es? Que 1 más x cuadrado más y cuadrado tiene que ser mayor estrictamente que 0. 40 00:03:32,159 --> 00:03:44,919 ¿Vale? Y esto, pues, a ver, este dominio habría que, los pasos que se dan es, se dibuja la región, ¿no? 41 00:03:45,520 --> 00:03:48,340 Se dibuja la región, se elige la región. 42 00:03:49,560 --> 00:03:54,599 Entonces lo que ocurre es que cuando uno va a dibujar esta región, el primer paso, 43 00:03:55,539 --> 00:03:56,900 Dibujar o representar, ¿no? 44 00:03:59,439 --> 00:04:04,840 Pues a ver, se da cuenta de lo siguiente, que 1 más x cuadrado más y cuadrado, 45 00:04:06,979 --> 00:04:09,199 yo quiero que esto sea igual a 0. 46 00:04:10,860 --> 00:04:16,160 Entonces esto no es un círculo, sino que simplemente es x cuadrado más y cuadrado igual a menos 1, 47 00:04:18,339 --> 00:04:19,540 pues no existe solución. 48 00:04:22,870 --> 00:04:25,350 ¿Vale? No existe solución, entonces bueno, pues a ver, 49 00:04:25,350 --> 00:04:29,149 esta región no tiene 50 00:04:29,149 --> 00:04:33,490 no tiene una frontera 51 00:04:33,490 --> 00:04:35,629 no es un círculo 52 00:04:35,629 --> 00:04:36,709 no es una palabra, no es nada 53 00:04:36,709 --> 00:04:38,970 entonces resulta que esa región es 54 00:04:38,970 --> 00:04:41,389 tú coges el plano cartesiano 55 00:04:41,389 --> 00:04:44,910 es todo el plano cartesiano 56 00:04:44,910 --> 00:04:46,829 ¿de acuerdo? ¿se ve o no? 57 00:04:48,110 --> 00:04:49,250 entonces hay que elegir si es todo 58 00:04:49,250 --> 00:04:49,790 o es nada 59 00:04:49,790 --> 00:04:53,149 es un poquito extraño esto 60 00:04:53,149 --> 00:04:58,610 creo que si queréis poner que el dominio es todo de red 2 porque se ve esto nadie va a decir oye 61 00:04:58,610 --> 00:05:05,149 qué dices tú no que el dominio esto de red o si alguien lo pone directamente bien está vale lo 62 00:05:05,149 --> 00:05:08,769 que vengo a decir aquí es que ahora cuando la segunda parte es comprobar el recinto no 63 00:05:09,889 --> 00:05:20,560 tú vas a comprobar pues pones un punto cualquiera venga el 00 yo meto el 00 y cuando lo ponga en la 64 00:05:20,560 --> 00:05:27,819 desigualdad 1 más 0 cuadrado más 0 cuadrado es mayor que 0 si vale pues entonces me y recinto 65 00:05:27,819 --> 00:05:33,220 es pues bueno todo todo el plano alguien dirá hoy estás dando ahí muchas vueltas para hacer algo muy 66 00:05:33,220 --> 00:05:43,550 sencillo no se lo veis así que es todo r2 si se ve no o no eso sea seguir el método no vale pues 67 00:05:43,550 --> 00:05:44,790 tú ahora tienes que calcular la 68 00:05:44,790 --> 00:05:46,670 la imagen, ¿vale? 69 00:05:47,230 --> 00:05:49,509 bueno, la imagen 70 00:05:49,509 --> 00:05:51,170 pues a ver 71 00:05:51,170 --> 00:05:52,930 el truco de la 72 00:05:52,930 --> 00:05:57,970 vamos, el truco 73 00:05:57,970 --> 00:05:59,370 la definición de imagen 74 00:05:59,370 --> 00:06:01,430 la teoría es que la imagen es 75 00:06:01,430 --> 00:06:05,970 coger el dominio y me lo llevo 76 00:06:05,970 --> 00:06:08,589 con f, en este caso 77 00:06:08,589 --> 00:06:13,160 pues es f de 78 00:06:13,160 --> 00:06:15,160 r2, ahora yo cojo 79 00:06:15,160 --> 00:06:16,980 todos los puntos y me los llevo, ¿vale? 80 00:06:17,879 --> 00:06:19,199 entonces, ¿qué análisis hace 81 00:06:19,199 --> 00:06:20,800 uno en una imagen? 82 00:06:21,139 --> 00:06:30,560 pues a ver, uno piensa en lo que serían los puntos del dominio o los inputs, los inputs que valen, ¿no? 83 00:06:31,079 --> 00:06:39,720 Entonces uno dice, a ver, un punto cualquiera, x y, yo primero le hago una cuenta, ¿qué es cuál? 84 00:06:43,319 --> 00:06:47,519 Esta cuenta, ¿no? Y luego hay una función que envuelve todo, que es la que coge estos valores. 85 00:06:47,519 --> 00:07:11,420 Entonces, la función que coge estos valores es la función, en este caso, logaritmo de esto. Entonces, a ver, tú dices, este logaritmo, yo sé cómo es la función logaritmo, ¿sí o no? 86 00:07:11,420 --> 00:07:13,980 tienes que saberlo 87 00:07:13,980 --> 00:07:15,860 la función logaritmo 88 00:07:15,860 --> 00:07:19,060 todo lo que necesitas saber es que es así 89 00:07:19,060 --> 00:07:22,259 y que pasa por el punto 0 90 00:07:22,259 --> 00:07:24,740 1 91 00:07:24,740 --> 00:07:26,800 perdón, el 1 92 00:07:26,800 --> 00:07:29,220 el 1, 0 93 00:07:29,220 --> 00:07:33,129 el 1, 0 94 00:07:33,129 --> 00:07:35,089 este hay que saberlo 95 00:07:35,089 --> 00:07:36,709 también no sé si diréis vosotros 96 00:07:36,709 --> 00:07:37,769 que decís que el logaritmo 97 00:07:37,769 --> 00:07:40,350 no tiene asíntotas, crece muy despacio 98 00:07:40,350 --> 00:07:42,449 es la función que dice que crece más despacio 99 00:07:42,449 --> 00:07:45,490 Pero no tiene una asíntota horizontal, la tiene vertical aquí 100 00:07:45,490 --> 00:07:47,589 Vale, aquí sí, una asíntota vertical 101 00:07:47,589 --> 00:07:51,689 Entonces, la forma de pensar aquí es la siguiente 102 00:07:51,689 --> 00:07:53,490 Estos numeritos, vale 103 00:07:53,490 --> 00:07:56,149 Pues no sé, coger uno por ejemplo 104 00:07:56,149 --> 00:07:58,949 El 1, el 2 y el 3 105 00:07:58,949 --> 00:08:04,399 Estos puntos vienen de aquí, del plano, ¿no? 106 00:08:04,759 --> 00:08:08,160 Esto se convierte en 9 y 4, 13 y 1, 14 107 00:08:08,160 --> 00:08:11,240 Entonces, estoy haciendo aquí el logaritmo de quién, ¿de? 108 00:08:11,240 --> 00:08:13,779 De 14 109 00:08:13,779 --> 00:08:18,120 ¿por qué es 14? porque viene de un valor de x y de y 110 00:08:18,120 --> 00:08:23,699 entonces lo primero es, la imagen de la función viene condicionada 111 00:08:23,699 --> 00:08:26,279 por la imagen del logaritmo, ¿se ve eso o no? 112 00:08:27,019 --> 00:08:31,600 al final hago un logaritmo, luego tengo que estar pensando en la imagen del logaritmo 113 00:08:31,600 --> 00:08:35,279 ¿lo veis o no? entonces el logaritmo, su imagen 114 00:08:35,279 --> 00:08:44,149 ¿vale? su imagen es todo esto ¿no? 115 00:08:44,549 --> 00:08:48,309 para logaritmo, pero cuidado, yo no cojo 116 00:08:48,309 --> 00:08:50,470 logaritmos de cualquier número? ¿Cojo logaritmos 117 00:08:50,470 --> 00:08:52,490 de quién? Yo cojo 118 00:08:52,490 --> 00:08:53,350 logaritmos de 119 00:08:53,350 --> 00:08:55,809 de este estilo. 120 00:08:56,909 --> 00:08:58,509 Entonces, a ver, no, es que no hay 121 00:08:58,509 --> 00:09:00,470 cuentas, como tú preguntabas. ¿Qué cuentas se 122 00:09:00,470 --> 00:09:02,450 hacen? O sea, lo que normalmente uno dice 123 00:09:02,450 --> 00:09:04,470 es, a ver, el valor más pequeño 124 00:09:04,470 --> 00:09:05,889 este número, 125 00:09:08,190 --> 00:09:10,110 el valor más pequeño que toma, ¿cuál es? 126 00:09:12,110 --> 00:09:13,009 Uno. ¿Por qué? 127 00:09:13,629 --> 00:09:14,629 Pues uno más algo. 128 00:09:15,690 --> 00:09:17,309 ¿Se ve? Bien. 129 00:09:18,129 --> 00:09:18,970 ¿Y el más grande? 130 00:09:21,700 --> 00:09:32,980 infinito entonces estos el logaritmo este cuando yo lo aplico aquí se está tomando inputs de 1 a 131 00:09:32,980 --> 00:09:41,240 infinito entonces no se da cuenta que yo estoy estoy restringiendo la mis puntos caen aquí 132 00:09:41,240 --> 00:09:53,159 desde el 1 al al infinito no y ahora yo le hago que el logaritmo entonces ahora ya para son los 133 00:09:53,159 --> 00:10:09,360 posibles outputs de todo esto sería desde el logaritmo de 1 que lo toma hasta el logaritmo 134 00:10:09,360 --> 00:10:19,240 de infinito una forma de hablar no conclusión la imagen va del logaritmo de 1 que es 0 a 135 00:10:20,960 --> 00:10:30,600 infinito es decir que estos estos a dónde van luego ahí hay esa es la imagen de la 136 00:10:30,600 --> 00:10:34,159 función y no 137 00:10:34,159 --> 00:10:36,340 no sé, no hay otra 138 00:10:36,340 --> 00:10:36,820 forma 139 00:10:36,820 --> 00:10:40,620 a lo mejor alguno de vosotros 140 00:10:40,620 --> 00:10:42,080 después de pensar mucho 141 00:10:42,080 --> 00:10:43,480 dice, pero es más fácil hacer esto 142 00:10:43,480 --> 00:10:45,779 ¿tenéis alguna idea? ¿sugerencia? 143 00:10:47,220 --> 00:10:47,360 ¿no? 144 00:10:50,690 --> 00:10:52,330 a ver, cojamos otro 145 00:10:52,330 --> 00:11:02,179 se parecen ya mucho todos 146 00:11:02,179 --> 00:11:08,809 vamos a poner nosotros uno 147 00:11:08,809 --> 00:11:11,450 hicimos el de elevado a algo nosotros aquí el otro día 148 00:11:11,450 --> 00:11:13,169 imagen de f de x 149 00:11:13,169 --> 00:11:13,990 igual a elevado a algo 150 00:11:13,990 --> 00:11:18,429 vamos a inventarnos una función que sea 151 00:11:18,429 --> 00:11:20,370 un poquito más interesante 152 00:11:20,370 --> 00:11:24,019 a veces 153 00:11:24,019 --> 00:11:25,220 hasta la e 154 00:11:25,220 --> 00:11:31,340 vamos a hacer un apartado g 155 00:11:31,340 --> 00:11:34,480 suponemos que nuestro apartado g 156 00:11:34,480 --> 00:11:38,559 sea una función 157 00:11:38,559 --> 00:11:39,960 f 158 00:11:39,960 --> 00:11:41,879 de x 159 00:11:41,879 --> 00:11:43,679 y 160 00:11:43,679 --> 00:11:45,840 igual a 161 00:11:45,840 --> 00:11:49,769 y nosotros tenemos una función final 162 00:11:49,769 --> 00:11:51,990 que envuelve todo, en este caso va a ser la exponencial 163 00:11:51,990 --> 00:11:53,809 elevado 164 00:11:53,809 --> 00:11:55,629 elevado a algo 165 00:11:55,629 --> 00:11:57,370 ¿vale? 166 00:11:58,049 --> 00:11:59,450 bueno, ¿qué nos dan esto de aquí? 167 00:12:00,970 --> 00:12:01,289 ¿entendido? 168 00:12:04,190 --> 00:12:06,210 bueno, pues digamos que nos dan la función 169 00:12:06,210 --> 00:12:07,710 1 más 170 00:12:07,710 --> 00:12:09,250 vamos a cambiar un poquito esto 171 00:12:09,250 --> 00:12:15,059 x menos y 172 00:12:15,059 --> 00:12:20,590 al cuadrado, si quieres en vez de un 1 173 00:12:20,590 --> 00:12:21,629 vamos a poner un 174 00:12:21,629 --> 00:12:24,470 ya que va a dar igual el número 175 00:12:24,470 --> 00:12:25,370 un 2 176 00:12:25,370 --> 00:12:32,710 pues a ver, como antes 177 00:12:32,710 --> 00:12:35,529 hay una función 178 00:12:35,529 --> 00:12:37,710 final que sería cuál 179 00:12:37,710 --> 00:12:39,629 así que se empieza aún así a ver 180 00:12:39,629 --> 00:12:41,590 el x y primero se transforma en qué 181 00:12:41,590 --> 00:12:47,299 en esto 182 00:12:47,299 --> 00:12:49,500 en x menos y 183 00:12:49,500 --> 00:12:54,279 al cuadrado más 2 184 00:12:54,279 --> 00:12:56,159 poniéndolo aquí delante 185 00:12:56,159 --> 00:13:06,730 y esto es lo que recoge quién 186 00:13:06,730 --> 00:13:08,370 la e 187 00:13:08,370 --> 00:13:11,570 y pasa a un exponente 188 00:13:11,570 --> 00:13:14,950 es como antes 189 00:13:14,950 --> 00:13:16,330 yo conozco la exponencial 190 00:13:16,330 --> 00:13:18,389 pues tienes que conocerla 191 00:13:18,389 --> 00:13:26,100 sabes que tiene aquí su asíntota horizontal y es así en concreto es la es 192 00:13:26,100 --> 00:13:33,220 la inversa del logaritmo como habéis estudiado en intro o estudiaréis 193 00:13:33,220 --> 00:13:41,879 de bueno todo se reduce ahora a saber esto entre qué dos valores está 194 00:13:41,879 --> 00:13:46,000 nos hacemos algo parecido al de antes digamos el más pequeño de esto cuánto 195 00:13:46,000 --> 00:13:53,370 es pues esto lo vais enseguida porque vamos a practicar mucho esto tengo x 196 00:13:53,370 --> 00:14:01,769 menos y está al cuadrado el valor más pequeño es 0 puedo puedo conseguir el 0 si con cualquier x 197 00:14:01,769 --> 00:14:12,990 igual a y no pues desde luego esto es mayor o igual que 0 y menor o igual mayor o igual que 198 00:14:12,990 --> 00:14:27,330 20 y 22 correcto y en este caso menor o igual que infinito y estos valores les aplico que 199 00:14:28,169 --> 00:14:48,830 el exponencial, entonces se encontrará todos mis valores entre esto, ¿no? Pues nada, a ver, si lo tuvierais habrá que decir, a ver, ¿esto se encuentra ahora entre aquí? 200 00:14:48,830 --> 00:14:53,429 esto que ya habíamos llamado como 201 00:14:53,429 --> 00:14:55,929 inputs intermedios 202 00:14:55,929 --> 00:14:57,129 o como queráis llamarlo 203 00:14:57,129 --> 00:15:00,370 caen aquí, ¿no? 204 00:15:00,470 --> 00:15:03,610 en e al cuadrado 205 00:15:03,610 --> 00:15:06,230 y siguen hasta donde? 206 00:15:08,600 --> 00:15:09,379 hasta infinito 207 00:15:09,379 --> 00:15:12,360 y estos son los que recoge la función exponencial 208 00:15:12,360 --> 00:15:13,580 luego los lleva a donde? 209 00:15:14,980 --> 00:15:15,639 de allí 210 00:15:15,639 --> 00:15:16,720 allí 211 00:15:16,720 --> 00:15:19,559 por lo tanto 212 00:15:19,559 --> 00:15:23,419 la imagen, bueno no la habíamos puesto aquí 213 00:15:23,419 --> 00:15:26,320 pero bueno, esto era la imagen 214 00:15:26,320 --> 00:15:31,909 la imagen de esta nueva 215 00:15:31,909 --> 00:15:34,350 de esta nueva función, ¿cuál sería? 216 00:15:39,860 --> 00:15:43,799 pues la imagen será, ¿cuál? 217 00:15:45,799 --> 00:15:46,539 ¿alguien lo ve? 218 00:15:49,389 --> 00:15:50,190 ¿no se ve eso? 219 00:15:51,929 --> 00:15:54,409 es que no hay una fórmula, tienes que ver 220 00:15:54,409 --> 00:15:58,490 ah, que lo has hecho con la calculadora 221 00:15:58,490 --> 00:16:01,830 bueno, bien, pero ya te aviso 222 00:16:01,830 --> 00:16:02,809 una cosa, que nosotros 223 00:16:02,809 --> 00:16:05,570 primero no vas a tener calculadora 224 00:16:05,570 --> 00:16:07,450 y segundo 225 00:16:07,450 --> 00:16:09,710 es más elegante 226 00:16:09,710 --> 00:16:10,470 escribir esto 227 00:16:10,470 --> 00:16:13,009 aunque a ti no te lo parezca 228 00:16:13,009 --> 00:16:17,480 de cuadrado hasta donde diría esto 229 00:16:17,480 --> 00:16:19,639 hasta 230 00:16:19,639 --> 00:16:21,639 hasta infinito 231 00:16:22,500 --> 00:16:28,129 ¿en el grado? 232 00:16:28,649 --> 00:16:29,929 pues supongo que en estadística 233 00:16:29,929 --> 00:16:30,909 si no tienes calculadora 234 00:16:30,909 --> 00:16:37,169 ¿Introducción a la estadística 235 00:16:37,169 --> 00:16:38,149 la tenéis ahora o después? 236 00:16:39,149 --> 00:16:40,629 En el segundo 237 00:16:40,629 --> 00:16:42,009 hay seguridad de calculadora 238 00:16:42,009 --> 00:16:44,029 y en el resto 239 00:16:44,029 --> 00:16:46,830 pues no lo sé, es que no sé las políticas 240 00:16:46,830 --> 00:16:49,009 ¿Os han dicho que no o qué? 241 00:16:50,649 --> 00:16:51,990 Básicamente que no 242 00:16:51,990 --> 00:16:52,409 Bueno 243 00:16:52,409 --> 00:16:56,519 A ver, aquí es porque realmente 244 00:16:56,519 --> 00:16:57,159 no hace falta 245 00:16:57,159 --> 00:16:59,519 No 246 00:16:59,519 --> 00:17:03,899 Vale, pues esto sería la 247 00:17:03,899 --> 00:17:06,960 sería el cálculo 248 00:17:06,960 --> 00:17:08,880 de la imagen 249 00:17:08,880 --> 00:17:11,000 bueno, no hemos puesto el dominio 250 00:17:11,000 --> 00:17:12,980 porque era muy sencillo, ¿alguien sabe el dominio 251 00:17:12,980 --> 00:17:13,279 de esto? 252 00:17:15,279 --> 00:17:17,180 ¿hay algún problema para que esto no exista 253 00:17:17,180 --> 00:17:17,680 alguna vez? 254 00:17:20,799 --> 00:17:22,579 en el dominio este tú lo miras y dices 255 00:17:22,579 --> 00:17:25,519 ¿hay alguna fracción? ¿hay alguna raíz? 256 00:17:25,640 --> 00:17:26,339 ¿hay algún logaritmo? 257 00:17:27,440 --> 00:17:29,119 no, la exponencial existe siempre 258 00:17:29,119 --> 00:17:31,259 ¿no? por lo tanto en el dominio de f 259 00:17:31,259 --> 00:17:34,960 lo pones así 260 00:17:34,960 --> 00:17:36,279 y te quedas tranquilo porque es 261 00:17:36,279 --> 00:17:38,200 bastante elemental, obvio 262 00:17:38,200 --> 00:17:40,380 que el dominio es todo 263 00:17:40,380 --> 00:17:42,500 todo R2 264 00:17:42,500 --> 00:17:44,660 ¿vale? 265 00:17:45,940 --> 00:17:46,599 entonces bueno 266 00:17:46,599 --> 00:17:47,940 estos son los tipos de imágenes 267 00:17:47,940 --> 00:17:50,400 en los que estamos interesados 268 00:17:50,400 --> 00:17:52,900 todas responden 269 00:17:52,900 --> 00:17:53,359 al mismo 270 00:17:53,359 --> 00:17:55,079 al mismo patrón 271 00:17:55,079 --> 00:17:59,799 la imagen tiene menos juego para nosotros 272 00:17:59,799 --> 00:18:00,920 por un motivo, porque claro 273 00:18:00,920 --> 00:18:03,440 es un conjunto, es un segmento 274 00:18:03,440 --> 00:18:06,720 es un intervalo 275 00:18:06,720 --> 00:18:10,079 y siempre va a estar 276 00:18:10,079 --> 00:18:11,680 asociada también a un dominio 277 00:18:11,680 --> 00:18:14,240 una imagen siempre va a estar asociada al cálculo de un dominio 278 00:18:14,240 --> 00:18:16,140 que es donde podemos hablar 279 00:18:16,140 --> 00:18:17,900 de si el dominio es 280 00:18:17,900 --> 00:18:19,839 como conjunto de redos abierto 281 00:18:19,839 --> 00:18:21,319 cerrado, etcétera 282 00:18:21,319 --> 00:18:24,160 bueno 283 00:18:24,160 --> 00:18:30,619 pues vamos a curvar 284 00:18:30,619 --> 00:18:30,960 de nivel 285 00:18:30,960 --> 00:18:33,200 curvar de nivel 286 00:18:33,200 --> 00:18:35,420 hay que hacer un montón 287 00:18:35,420 --> 00:18:37,359 vais a ver 288 00:18:37,359 --> 00:18:40,920 como lo manejamos 289 00:18:40,920 --> 00:19:22,259 pues a ver 290 00:19:22,259 --> 00:19:25,519 alguna vez 291 00:19:25,519 --> 00:19:28,960 en la clase de teoría se han dicho 292 00:19:28,960 --> 00:19:32,339 si tú quieres hacer curvas de nivel 293 00:19:32,339 --> 00:19:35,240 pues tienes que imaginarte 294 00:19:35,240 --> 00:19:36,539 que tienes la 295 00:19:36,539 --> 00:19:45,240 que tienes la función 296 00:19:45,240 --> 00:19:55,740 en R3 297 00:19:55,740 --> 00:19:58,279 y aquí abajo está el plano 298 00:19:58,279 --> 00:20:15,599 que hemos llamado x y no el plano de los dos de los inputs entonces a ver os han dicho bueno si 299 00:20:15,599 --> 00:20:23,579 yo busco una curva de nivel de altura pues no sé que una altura de 5 por ejemplo y esto es 5 300 00:20:23,579 --> 00:20:31,839 desde el suelo ahí pero lo que ocurre es que tú inter secas la superficie con un plano de altura 301 00:20:31,839 --> 00:20:34,839 5 y en la 302 00:20:34,839 --> 00:20:39,740 función se generan unas curvas 303 00:20:39,740 --> 00:20:46,420 ¿vale? que es la curva de nivel 304 00:20:46,420 --> 00:20:50,380 5. Esto es lo de los mapas topográficos, si alguna vez habéis ido por ahí 305 00:20:50,380 --> 00:20:52,980 de excursión con un mapa, ¿no? 306 00:20:53,920 --> 00:20:56,019 Las curvas, esto dice lo alto que vas, etc. 307 00:20:58,000 --> 00:21:02,460 Las curvas de nivel, técnicamente, si tú estás en una montaña te puedes imaginar 308 00:21:02,460 --> 00:21:06,400 que están en la montaña. Pero técnicamente la curva de nivel está pintada 309 00:21:06,400 --> 00:21:10,599 aquí abajo, ¿vale? Esto vamos a aclararlo. Pero hay gente que dice, ¿dónde está la curva de nivel? 310 00:21:10,680 --> 00:21:14,339 Pues la curva de nivel está aquí. Le podéis poner una etiqueta como si fuera 311 00:21:14,339 --> 00:21:18,140 un mapa del tiempo o un mapa del... 312 00:21:18,140 --> 00:21:21,799 de la montaña. Vale. 313 00:21:22,440 --> 00:21:24,839 Eso es la curva de nivel. 314 00:21:26,799 --> 00:21:30,279 Fijar. Entonces, las curvas de nivel, estos sí tienen 315 00:21:30,279 --> 00:21:34,279 ecuaciones, las podéis hacer vosotros, y bueno, ¿cuál es la curva de nivel esta? Pues a ver, si esta es z 316 00:21:34,279 --> 00:21:40,319 igual a f de x y, la curva de nivel 317 00:21:40,319 --> 00:21:44,299 que yo he pintado aquí, es esta, es 318 00:21:44,299 --> 00:21:47,140 f de x y 319 00:21:47,140 --> 00:21:51,480 igual a 5, ¿no? 320 00:21:52,140 --> 00:21:55,740 Las curvas de nivel en realidad están en el mapa, no están en la montaña, están en el mapa. 321 00:21:56,220 --> 00:21:59,740 Tú digo que llevas en el bolsillo, es esto de aquí abajo, el mapa. 322 00:21:59,740 --> 00:22:20,059 ¿Vale? Bueno, pues esto es lo que hace uno cuando calcula una curva de nivel, ¿vale? Es cogerse gráficas de esos cortes. Bueno, vamos a empezar a hacer alguna y luego también representaremos alguna en el ordenador. 323 00:22:20,059 --> 00:22:31,740 Pues a ver, para el apartado A, pues la curva de nivel C1, C-1 y C-3 324 00:22:31,740 --> 00:22:36,200 A veces se usa así esta nomenclatura, una C mayúscula y un 1, ¿vale? 325 00:22:37,299 --> 00:22:39,160 Dice la curva de nivel 1, ¿quién es? 326 00:22:39,819 --> 00:22:45,009 Pues es cuando f de x y vale 1 327 00:22:45,009 --> 00:22:51,799 En mi caso, cuando x por y vale 1 328 00:22:51,799 --> 00:22:53,559 ¿Entendido? 329 00:22:55,119 --> 00:22:56,019 Esa es mi curva de nivel 330 00:22:56,019 --> 00:22:59,440 Me van a pedir dibujarla 331 00:22:59,440 --> 00:23:03,259 Por lo tanto, tiene que ser una curva de nivel 332 00:23:03,259 --> 00:23:07,220 Que pertenezca a las categorías de funciones que sabes dibujar 333 00:23:07,220 --> 00:23:10,480 Rectas, parábolas, círculos 334 00:23:10,480 --> 00:23:13,059 En este caso es una hipérbola 335 00:23:13,059 --> 00:23:14,599 Despejamos la Y 336 00:23:14,599 --> 00:23:19,740 Y nos da la hipérbola 1 partido por X 337 00:23:19,740 --> 00:23:20,200 ¿De acuerdo? 338 00:23:21,039 --> 00:23:22,180 Esta la sabréis pintar, ¿no? 339 00:23:22,180 --> 00:23:25,519 Con lo que hayáis visto en intro del año pasado a lo mejor 340 00:23:25,519 --> 00:23:27,380 ¿La hipérbola os suena o no? 341 00:23:27,519 --> 00:23:30,279 no mucho, ahora la pintamos 342 00:23:30,279 --> 00:23:32,519 otra más 343 00:23:32,519 --> 00:23:34,680 c3 344 00:23:34,680 --> 00:23:43,599 bueno, son familias 345 00:23:43,599 --> 00:23:45,339 de funciones que se parecen bastante 346 00:23:45,339 --> 00:23:46,579 igual a 347 00:23:46,579 --> 00:23:48,740 3 partido por 348 00:23:48,740 --> 00:23:49,799 x 349 00:23:49,799 --> 00:23:53,200 veréis que en muchos ejercicios eres tú 350 00:23:53,200 --> 00:23:55,059 quien decide las curvas de nivel 351 00:23:55,059 --> 00:23:57,220 normalmente con 3 curvas de nivel ya ves 352 00:23:57,220 --> 00:23:59,240 cómo va la cosa, suelen poner el 1 353 00:23:59,240 --> 00:24:00,460 2, 3 o yo que sé 354 00:24:00,460 --> 00:24:01,980 4, 5, 6 355 00:24:01,980 --> 00:24:22,609 Bien, aquí nos cambian a C-1. Pues nada, la curva de nivel será otra función. Bueno, pues ya la tenemos y lo que nos pide es dibujarlas. 356 00:24:23,869 --> 00:24:32,640 Bueno, esto es bastante importante que aprendáis a representarlas y lo vamos a hacer aquí. 357 00:24:32,640 --> 00:24:35,660 pues se trata de bocetos 358 00:24:35,660 --> 00:24:37,859 como sabéis, no queremos dibujos 359 00:24:37,859 --> 00:24:39,039 muy precisos 360 00:24:39,039 --> 00:24:44,759 pero bueno, plantear los ejes 361 00:24:44,759 --> 00:24:46,480 vamos a pintar la curva de nivel 1 362 00:24:46,480 --> 00:24:47,940 igual a 1 partido por x 363 00:24:47,940 --> 00:24:49,380 ¿sabéis que es la hipérbola? 364 00:24:49,619 --> 00:24:52,359 la hipérbola típica, no, no suena 365 00:24:52,359 --> 00:24:56,400 a ver 366 00:24:56,400 --> 00:24:58,480 vamos a coger 367 00:24:58,480 --> 00:24:59,720 la C1 368 00:24:59,720 --> 00:25:09,009 la voy a etiquetar, voy a decir que esta es la curva de nivel 369 00:25:09,009 --> 00:25:10,750 1, como si fuera 370 00:25:10,750 --> 00:25:26,240 un mapa del tiempo esta es su ecuación voy a dar un punto por aquello que parezca un poquito más 371 00:25:26,240 --> 00:25:43,160 por el 1 dónde pasa está por el 1 cuando la x vale 1 11 muy mal una función de repertorio 372 00:25:43,160 --> 00:25:45,299 hay que saber eso, da igual que te sale la parábola. 373 00:25:45,900 --> 00:25:47,519 Si no la sabéis, pues bueno, pintarla 374 00:25:47,519 --> 00:25:49,380 un par de veces en el ordenador o lo que sea. 375 00:25:49,680 --> 00:25:50,579 No tiene ningún misterio. 376 00:25:52,140 --> 00:25:53,380 Vamos a la 3. 377 00:25:53,640 --> 00:25:55,579 Bueno, la 3 es la misma función multiplicada 378 00:25:55,579 --> 00:25:56,980 por... 379 00:25:56,980 --> 00:25:58,599 multiplicada por 3. 380 00:25:59,880 --> 00:26:00,140 De bueno, 381 00:26:01,519 --> 00:26:02,920 pasa lo siguiente, mirad. 382 00:26:10,130 --> 00:26:12,309 En vez de en el 1, 1 va a pasar por el 1, ¿cuál? 383 00:26:12,809 --> 00:26:14,569 Cuando el x vale 1, pasa por el 1. 384 00:26:14,930 --> 00:26:15,210 3. 385 00:26:15,210 --> 00:26:27,039 Entonces, bueno, como digo, no se trata de hacer dibujos muy exactos, pero sí bocetos, ¿no?, que representen la realidad. 386 00:26:28,579 --> 00:26:30,759 Entonces, a esta lo que le pasa es que está un poquito más separada. 387 00:26:32,299 --> 00:26:35,339 Por cierto, son curvas que aparecen bastante en economía. 388 00:26:36,500 --> 00:26:38,740 Bueno, un poquito también a ojo, la hacéis pasar por aquí. 389 00:26:44,400 --> 00:26:49,920 Bueno, casi la 4 tú ya la sabrías dibujar, ¿no?, más o menos, por donde quedaría. 390 00:26:51,740 --> 00:27:12,329 Bueno, no me la piden, pero bueno, si te la pidieran, bueno, pues si me piden la 4, pues yo la pinto más o menos, pues, por aquí, ¿no? 4, 4, bueno, al final no le he puesto la etiqueta a esa, pero esta era la, esta era la 3, ¿no? 391 00:27:12,329 --> 00:27:16,750 esta era la 3 392 00:27:16,750 --> 00:27:18,369 vamos a ponerle la etiqueta 393 00:27:18,369 --> 00:27:19,410 aunque sea por aquí encima 394 00:27:19,410 --> 00:27:21,430 la 3, vale 395 00:27:21,430 --> 00:27:23,609 entonces cuando uno tiene 396 00:27:23,609 --> 00:27:26,109 unas poquitas curvas de nivel 397 00:27:26,109 --> 00:27:28,130 es suficiente saber 398 00:27:28,130 --> 00:27:30,670 si crece o decrece la función 399 00:27:30,670 --> 00:27:32,029 entonces normalmente uno 400 00:27:32,029 --> 00:27:34,390 lo que vais a tener que hacer es dibujar un par de curvas 401 00:27:34,390 --> 00:27:35,349 de nivel, 3 o así 402 00:27:35,349 --> 00:27:38,849 y si esto fuera un mapa y aquí te dice 1, 3 y 4 403 00:27:38,849 --> 00:27:40,269 pues no sé, si a ti te dicen 404 00:27:40,269 --> 00:27:40,809 a ver 405 00:27:40,809 --> 00:27:43,930 cógete esta dirección 406 00:27:43,930 --> 00:27:45,509 tira para allá 407 00:27:45,509 --> 00:27:46,990 ¿estás subiendo o bajando? 408 00:27:51,559 --> 00:27:52,420 la persona 409 00:27:52,420 --> 00:27:54,819 tú coges el mapa y dices, tienes que venir de aquí 410 00:27:54,819 --> 00:27:56,400 ahí 411 00:27:56,400 --> 00:27:58,720 estás subiendo porque 412 00:27:58,720 --> 00:28:00,039 pasas de un metro de alto 413 00:28:00,039 --> 00:28:02,819 a tres, a cuatro, ¿no? 414 00:28:03,660 --> 00:28:04,940 luego seguirías con cinco, ¿no? 415 00:28:06,839 --> 00:28:08,880 lo primero que uno hace con las curvas de nivel 416 00:28:08,880 --> 00:28:10,680 es identificar la dirección del crecimiento 417 00:28:10,680 --> 00:28:12,960 y a ojo, sí, a ojo 418 00:28:12,960 --> 00:28:13,420 más o menos 419 00:28:13,420 --> 00:28:15,359 luego veréis que hay unas formas 420 00:28:15,359 --> 00:28:16,619 un poquito más precisas 421 00:28:16,619 --> 00:28:19,180 bueno, nos hemos saltado una 422 00:28:19,180 --> 00:28:20,279 que era 423 00:28:20,279 --> 00:28:23,420 esta, ¿no? 424 00:28:24,460 --> 00:28:25,660 bueno, esta vamos a ponerla 425 00:28:25,660 --> 00:28:27,500 es la misma que la primera 426 00:28:27,500 --> 00:28:27,920 pero 427 00:28:27,920 --> 00:28:31,220 como es negativa, para el otro lado, ¿no? 428 00:28:32,519 --> 00:28:33,160 pues nada 429 00:28:33,160 --> 00:28:35,519 esta es la curva de nivel 430 00:28:35,519 --> 00:28:42,029 menos uno, os podéis imaginar 431 00:28:42,029 --> 00:28:43,670 a ver, cuando has hecho tres o cuatro 432 00:28:43,670 --> 00:28:45,710 ya lánzate, pinta más, si no 433 00:28:45,710 --> 00:28:47,609 no pasa nada, no tienen que ser exactas 434 00:28:47,609 --> 00:28:48,769 La menos 2, ¿por dónde estará? 435 00:28:50,190 --> 00:28:51,509 Bueno, se ve que va a estar ahí. 436 00:28:57,359 --> 00:28:59,900 Bueno, hay una cosa que no hemos hecho que suele ser casi siempre útil. 437 00:29:00,000 --> 00:29:01,799 Esto también en matemáticas es una variable. 438 00:29:02,279 --> 00:29:03,859 Y es que normalmente cuando uno le da una función, 439 00:29:04,180 --> 00:29:08,059 intenta sacar el dominio. 440 00:29:08,200 --> 00:29:10,319 El dominio de la función, ¿no? 441 00:29:12,279 --> 00:29:15,819 Entonces tú dices, a ver, bueno, por curiosidad, ¿cuál es el dominio de esto? 442 00:29:18,410 --> 00:29:19,430 No hay que hacer mucho, ¿no? 443 00:29:21,109 --> 00:29:22,490 No, la función, mira, era esta. 444 00:29:23,569 --> 00:29:24,069 X por Y. 445 00:29:25,250 --> 00:29:26,049 ¿Cuál es el dominio? 446 00:29:28,049 --> 00:29:28,589 Todo, ¿no? 447 00:29:28,650 --> 00:29:28,809 Todo. 448 00:29:30,589 --> 00:29:33,069 Luego, esta función existe siempre, ¿no? 449 00:29:34,369 --> 00:29:35,589 Esto lo digo porque a veces la gente dice, 450 00:29:35,630 --> 00:29:36,829 no me ha salido la curva de nivel. 451 00:29:37,410 --> 00:29:39,630 Cuidado, a lo mejor es que no estás en el dominio. 452 00:29:40,190 --> 00:29:40,890 Esta función tiene. 453 00:29:42,730 --> 00:29:44,630 Bueno, y esta tiene una curva de nivel un poquito especial, 454 00:29:45,789 --> 00:29:47,450 que es la de la cero. 455 00:29:47,509 --> 00:29:48,089 Vamos a pintarla. 456 00:29:48,349 --> 00:29:49,869 No lo pide el problema, pero la cero, ¿cuál es? 457 00:29:51,960 --> 00:29:56,619 Pues f de x y igual a cero, 458 00:29:56,619 --> 00:29:59,839 o lo que es lo mismo, x por y igual a 0. 459 00:30:00,079 --> 00:30:03,400 Y esto es una ecuación de las que os dije que se separan en dos. 460 00:30:03,640 --> 00:30:03,920 ¿En cuál? 461 00:30:06,119 --> 00:30:09,500 x, 0 e y, 0. 462 00:30:09,920 --> 00:30:12,680 Luego resulta que la curva de nivel 0, bueno, se veía venir un poquito, 463 00:30:12,779 --> 00:30:14,940 no se lo veíais vosotros, que iba a coincidir con los ejes. 464 00:30:15,079 --> 00:30:16,500 Se van pegando, pegando a los ejes, ¿no? 465 00:30:18,890 --> 00:30:21,730 Pues serían los propios ejes, ¿no? 466 00:30:22,609 --> 00:30:24,049 Si lo queréis lo etiquetamos aquí. 467 00:30:24,170 --> 00:30:26,730 Esta es la curva de nivel 0. 468 00:30:26,730 --> 00:30:27,970 La curva de nivel 0. 469 00:30:27,970 --> 00:30:36,210 bueno por lo primero es saber pintar estas curvas a ver si queréis para 470 00:30:37,970 --> 00:30:42,529 otros decir bueno lo tendré bien no lo tendré bien cuando lo hagáis estos ejercicios no 471 00:30:42,529 --> 00:30:50,549 tenemos las soluciones pero si queréis usar el tema este de los vamos a ver vamos a hacerlo 472 00:30:50,549 --> 00:31:08,900 despacito así lo tenéis también grabado para acordar el 3d no el call plotter más carga a esta 473 00:31:10,420 --> 00:31:24,500 voy a poner mi función y funciones la equis y no como sale sale esta función que se llama 474 00:31:24,500 --> 00:31:26,500 bueno, se llama la silla de montar 475 00:31:27,259 --> 00:31:29,440 montar a caballo, ¿no? 476 00:31:31,079 --> 00:31:32,279 ¿Tenéis caballo alguno en casa? 477 00:31:33,299 --> 00:31:33,660 ¿No? 478 00:31:35,000 --> 00:31:36,200 ¿Siempre alguien que tiene un caballo? 479 00:31:37,259 --> 00:31:38,440 No hay nadie aquí con caballo 480 00:31:38,440 --> 00:31:42,259 o de juguete, no sé 481 00:31:42,259 --> 00:31:45,650 tampoco, bueno 482 00:31:45,650 --> 00:31:50,049 vale, esta es la función 483 00:31:50,049 --> 00:31:52,109 entonces a ver 484 00:31:52,109 --> 00:31:53,910 las curvas de nivel, ¿qué es lo que hacen? 485 00:31:54,650 --> 00:31:56,170 voy a hacer una cosa, esto 486 00:31:56,170 --> 00:31:57,930 el otro día no lo hicimos, si le das a la E 487 00:31:57,930 --> 00:31:59,549 se queda como suavizado 488 00:32:00,170 --> 00:32:01,190 Con menos rayas, ¿no? 489 00:32:01,269 --> 00:32:01,569 ¿Lo veis? 490 00:32:02,089 --> 00:32:02,890 Con menos rayas. 491 00:32:04,549 --> 00:32:06,890 Bueno, voy a añadir un gráfico. 492 00:32:06,930 --> 00:32:07,950 A ver si me acuerdo cómo es esto. 493 00:32:08,150 --> 00:32:08,869 Add graphic. 494 00:32:09,509 --> 00:32:10,130 Add to graph. 495 00:32:11,049 --> 00:32:13,170 Bueno, vamos a añadir una función. 496 00:32:13,769 --> 00:32:14,910 Por ejemplo, la z igual a 1. 497 00:32:15,609 --> 00:32:17,690 Z igual a 1. 498 00:32:18,410 --> 00:32:22,750 Eso, no sé si os dais cuenta que es la que se usa para la curva de nivel de altura. 499 00:32:22,910 --> 00:32:23,150 ¿Cuánto? 500 00:32:23,829 --> 00:32:24,130 1. 501 00:32:24,390 --> 00:32:25,069 Pero bueno, ¿verdad? 502 00:32:26,210 --> 00:32:28,369 Y entonces ha salido un plano por ahí. 503 00:32:29,549 --> 00:32:36,769 que corta a la función no de la curva de nivel está está aquí arriba bueno en realidad está 504 00:32:36,769 --> 00:32:43,309 abajo en el plano pero si al corte queda así como con muchos pinchos pero si le metéis en 505 00:32:43,309 --> 00:32:57,319 vez de 30 100 eso se suaviza bastante bueno la que tengo que suavizar es esto tenemos 100 puntos 506 00:32:57,319 --> 00:33:00,480 Ahora ya 507 00:33:00,480 --> 00:33:04,279 Como los ejes son transparentes 508 00:33:04,279 --> 00:33:06,019 ¿Veis que se parece a la hipérbola o no? 509 00:33:07,579 --> 00:33:08,240 La curva de nivel 510 00:33:08,240 --> 00:33:09,299 ¿Veis que se parece a la hipérbola? 511 00:33:10,440 --> 00:33:11,180 Vamos a girarla 512 00:33:11,180 --> 00:33:13,859 Ahí 513 00:33:13,859 --> 00:33:15,539 Como la hipérbola 514 00:33:15,539 --> 00:33:18,779 Bueno, no os preocupéis 515 00:33:18,779 --> 00:33:20,339 Porque esto está 516 00:33:20,339 --> 00:33:22,299 Al revés 517 00:33:22,299 --> 00:33:24,019 Esta la mantengo 518 00:33:24,019 --> 00:33:25,859 Esta la quito 519 00:33:25,859 --> 00:33:34,029 bueno pues esta función pues si vais aquí abajo a este menú ves ves esto 520 00:33:37,990 --> 00:33:48,950 veis que pone con tour plot drogo con tu flor no se ve o no no contó un loto es porque las 521 00:33:48,950 --> 00:33:53,630 curvas negras se llaman en inglés level lines o contour lines líneas de contorno 522 00:33:53,630 --> 00:33:57,890 Entonces tú le dices, venga, píntame las curvas de nivel 523 00:33:57,890 --> 00:34:00,710 Te propone aquí unos números 524 00:34:00,710 --> 00:34:02,609 Que se los puedes tú cambiar, ¿no? 525 00:34:03,869 --> 00:34:05,130 Hacele que los pinte 526 00:34:05,130 --> 00:34:10,300 Nos ha pintado esto que nosotros habíamos hecho 527 00:34:10,300 --> 00:34:13,440 De forma más o menos esquemática aquí 528 00:34:13,440 --> 00:34:14,019 ¿Vale? 529 00:34:15,119 --> 00:34:15,739 Nos lo ha pintado 530 00:34:15,739 --> 00:34:17,219 A ver, de nuevo, dirá 531 00:34:17,219 --> 00:34:18,619 Bueno, si yo esto no lo voy a tener en el examen 532 00:34:18,619 --> 00:34:20,719 No, lo voy a tener en casa 533 00:34:20,719 --> 00:34:23,159 Para ayudarte a ver si lo que has hecho está bien o no 534 00:34:23,159 --> 00:34:26,179 Y luego a ver si queda claro esto 535 00:34:26,179 --> 00:34:28,039 Estas son las curvas de nivel literales 536 00:34:28,039 --> 00:34:29,079 Están en el plano XY 537 00:34:29,079 --> 00:34:32,059 Si las quieres ver dibujadas en la montaña 538 00:34:32,059 --> 00:34:34,579 Si haces click aquí otra vez 539 00:34:34,579 --> 00:34:35,300 Mira, si haces click 540 00:34:35,300 --> 00:34:37,739 Aquí las tienes en el mapa 541 00:34:37,739 --> 00:34:39,960 Y aquí las tendrías dibujadas en la 542 00:34:39,960 --> 00:34:42,139 En la montaña 543 00:34:42,139 --> 00:34:42,699 ¿Lo veis o no? 544 00:34:44,320 --> 00:34:45,860 No sé si se ven las curvas en la montaña 545 00:34:45,860 --> 00:34:48,199 Si hacemos vista de pájaro 546 00:34:48,199 --> 00:34:49,239 Claro que parecen 547 00:34:49,239 --> 00:34:51,619 Hiperbolas, ¿lo veis? 548 00:34:55,889 --> 00:34:56,329 Vale 549 00:34:56,329 --> 00:34:58,590 Bueno, pues esto es lo que tiene 550 00:34:58,590 --> 00:35:00,789 Podríamos ir comprobando 551 00:35:00,789 --> 00:35:02,949 Si estos tipos tienen curva de nivel 552 00:35:02,949 --> 00:35:06,329 Pero bueno, sabéis lo que estáis haciendo entonces, ¿no? 553 00:35:06,349 --> 00:35:07,369 Cuando no hacéis curva de nivel 554 00:35:07,369 --> 00:35:11,730 Bueno, volvemos aquí a los ejemplos 555 00:35:11,730 --> 00:35:20,690 Bueno, pues vamos a tomar este que es un 556 00:35:20,690 --> 00:35:25,530 Bueno, que es una pequeña ecuación exponencial 557 00:35:25,530 --> 00:35:27,469 A ver, vamos a hacer el b 558 00:35:27,469 --> 00:35:30,289 elevado a x y 559 00:35:30,289 --> 00:35:32,489 pues a ver, el b 560 00:35:32,489 --> 00:35:34,650 es elevado 561 00:35:34,650 --> 00:35:45,179 a x y, f de x y 562 00:35:45,179 --> 00:35:51,300 y los valores 563 00:35:51,300 --> 00:35:53,039 que nos dan son 1 564 00:35:53,039 --> 00:35:55,119 menos 1 y 3, ¿no? 565 00:35:56,199 --> 00:35:56,500 vale 566 00:35:56,500 --> 00:35:59,280 pues a ver, cuando hagáis esto, bueno 567 00:35:59,280 --> 00:36:01,079 por lo menos escribid la curva de nivel, bien, a ver 568 00:36:01,079 --> 00:36:03,380 ¿quién es c1? pues nada, lo de 569 00:36:03,380 --> 00:36:04,199 antes, bla bla bla 570 00:36:04,199 --> 00:36:09,909 es esto, ¿sí o no? 571 00:36:11,090 --> 00:36:12,030 ¿quién es c3? 572 00:36:13,369 --> 00:36:43,539 Pues es esto, ¿vale? ¿Quién es la curva de nivel? C-1. Esto igual a menos 1, ¿vale? Lo tenemos bien escrita. Y ahora hay que dibujarla. Bueno, pues para dibujar esto hay que despejar la i, ¿sí o no? 573 00:36:43,539 --> 00:36:47,480 Bueno, ¿cómo se resuelve una ecuación de estas? 574 00:36:47,719 --> 00:36:48,159 ¿Recordáis? 575 00:36:48,679 --> 00:36:50,659 Tomando logaritmos, muy bien, señor 576 00:36:50,659 --> 00:36:56,900 Tomo logaritmos en los dos lados 577 00:36:56,900 --> 00:37:08,500 Y queda xy igual a 1 578 00:37:08,500 --> 00:37:10,000 Bueno, la de antes, ¿no? 579 00:37:12,480 --> 00:37:15,480 Esta, logaritmo de 580 00:37:15,480 --> 00:37:22,059 Igual a logaritmo de 3 581 00:37:22,059 --> 00:37:27,559 xy igual a logaritmo de 3 582 00:37:27,559 --> 00:37:34,440 Bueno, un poco también como antes, no hace falta pasarlo al valor numérico 583 00:37:34,440 --> 00:37:39,099 Es mucho más bonito dejar un logaritmo de 3 que no 40 decimales 584 00:37:39,099 --> 00:37:41,239 Vamos a la siguiente 585 00:37:41,239 --> 00:37:46,380 Logaritmo de elevado a xy 586 00:37:48,380 --> 00:37:51,079 Igual logaritmo de menos 1 587 00:37:51,079 --> 00:37:59,000 bueno pues aquí hay una cosa que no si veis que esto no existe no esta curva de nivel no existe 588 00:37:59,000 --> 00:38:09,679 aquí ya se veía no esto no existe una exponencial nunca es negativa elevado a algo qué le pasa 589 00:38:09,679 --> 00:38:22,940 siempre es mayor que esta no existe pues nada las las pondríamos y las pintaríamos pues esta 590 00:38:22,940 --> 00:38:40,590 es de este estilo y esta otra es de este estilo bueno te coges unos ejes y aquí tendríamos a ver 591 00:38:40,590 --> 00:38:51,239 vamos a ir pintando las la curva de nivel 1 es la hipérbola no sé cómo llamarla hipérbola canónica 592 00:38:53,980 --> 00:38:56,420 en matemáticas se llama de pero la equilátera 593 00:38:56,420 --> 00:39:03,730 vale, con sus dos ramas 594 00:39:03,730 --> 00:39:07,690 luego la curva de nivel 3 595 00:39:07,690 --> 00:39:08,630 está aquí 596 00:39:08,630 --> 00:39:15,199 cuidado que es la curva de nivel 3, aunque tiene un logaritmo 597 00:39:15,199 --> 00:39:15,619 por ahí, ¿no? 598 00:39:20,030 --> 00:39:20,929 curva de nivel 599 00:39:20,929 --> 00:39:22,710 3 600 00:39:22,710 --> 00:39:25,849 a ver si queréis, esta pasa por el 1,1 601 00:39:25,849 --> 00:39:29,980 ¿no? y la otra pasa por el 1 602 00:39:29,980 --> 00:39:35,519 ¿por el 1 qué? cuando pongo un 1 aquí 603 00:39:35,519 --> 00:39:37,239 ¿qué pasa? 604 00:39:37,239 --> 00:39:40,670 logaritmo de 3 605 00:39:40,670 --> 00:39:47,760 bueno, a la vista de esto 606 00:39:47,760 --> 00:39:49,179 tú ves que las curvas 607 00:39:49,179 --> 00:39:51,619 siguen haciendo más o menos grandes 608 00:39:51,619 --> 00:39:52,179 o 609 00:39:52,179 --> 00:39:54,400 pequeñas, ¿no? 610 00:39:56,920 --> 00:39:57,360 bueno 611 00:39:57,360 --> 00:39:59,199 lo que pasa es que no hay 612 00:39:59,199 --> 00:40:01,559 curvas de nivel negativas 613 00:40:01,559 --> 00:40:03,340 ¿vale? no hay curvas de nivel negativas 614 00:40:03,340 --> 00:40:08,320 pero 615 00:40:08,320 --> 00:40:10,559 alguien dirá, ¿y por aquí hay algo? 616 00:40:11,219 --> 00:40:13,059 hay una cosa es que no hay curvas de nivel negativas 617 00:40:13,059 --> 00:40:14,539 ¿pero por ahí creéis que hay algo? 618 00:40:14,639 --> 00:40:20,050 Bueno, siempre que el logaritmo sea un número negativo 619 00:40:20,050 --> 00:40:22,530 Aparecerá una curva de nivel 620 00:40:22,530 --> 00:40:24,789 ¿A qué me refiero? 621 00:40:25,429 --> 00:40:29,599 Si damos un valor más pequeño que 1 622 00:40:29,599 --> 00:40:33,059 Por ejemplo, la curva de nivel 623 00:40:33,059 --> 00:40:36,360 Yo quiero la curva de nivel 1 medio 624 00:40:36,360 --> 00:40:38,300 ¿Qué pasa? 625 00:40:39,440 --> 00:40:43,340 Elevada a x y tiene que valer 1 medio 626 00:40:43,340 --> 00:40:45,519 Tomo logaritmos 627 00:40:45,519 --> 00:40:55,199 Y esto queda x por y 628 00:40:55,199 --> 00:40:57,760 igual al logaritmo de un medio 629 00:40:57,760 --> 00:41:02,809 logaritmo de un medio es negativo, ¿no? 630 00:41:03,510 --> 00:41:04,030 ¿vale? 631 00:41:04,510 --> 00:41:09,170 porque es menor que 1 632 00:41:09,170 --> 00:41:10,690 pues nada 633 00:41:10,690 --> 00:41:12,829 la hipérbola que nos va a quedar es 634 00:41:12,829 --> 00:41:16,559 igual a 635 00:41:16,559 --> 00:41:19,019 logaritmo de un medio 636 00:41:19,019 --> 00:41:20,159 partido por x 637 00:41:20,159 --> 00:41:22,860 pues nada, donde quede 638 00:41:22,860 --> 00:41:25,179 sabemos que sí que hay, ¿no? 639 00:41:25,179 --> 00:41:25,619 por aquí 640 00:41:25,619 --> 00:41:29,179 aquí tendríamos, pues por algún sitio 641 00:41:29,179 --> 00:41:30,059 habría que 642 00:41:30,059 --> 00:41:35,360 la curva de nivel de un medio 643 00:41:35,360 --> 00:41:44,500 vale, pues ahí tenemos unas pocas 644 00:41:44,500 --> 00:41:48,039 como va, hay que decir, bueno, ahora vamos a comprobar 645 00:41:48,039 --> 00:41:54,019 un poco aquí, con la función ahora 646 00:41:54,019 --> 00:42:03,550 vamos a poner la función 647 00:42:03,550 --> 00:42:09,210 es la función 648 00:42:09,210 --> 00:42:17,199 elevada a x, y, tejadito 649 00:42:17,199 --> 00:42:20,400 ¿Por qué no coge esto? 650 00:42:20,920 --> 00:42:21,099 E. 651 00:42:25,079 --> 00:42:25,800 Ah, vale. 652 00:42:26,239 --> 00:42:26,659 Error. 653 00:42:28,420 --> 00:42:28,679 E. 654 00:42:30,679 --> 00:42:31,199 Fijadito. 655 00:42:31,260 --> 00:42:33,420 Vamos a poner paréntesis por si acaso no lo agrupa bien. 656 00:42:35,300 --> 00:42:36,340 De paréntesis. 657 00:42:40,289 --> 00:42:40,809 X. 658 00:42:42,929 --> 00:42:43,449 Vale. 659 00:42:43,989 --> 00:42:45,369 Bueno, esta es la función ahora. 660 00:42:45,469 --> 00:42:46,170 Hemos cambiado de función. 661 00:42:48,550 --> 00:42:48,809 ¿Vale? 662 00:42:52,389 --> 00:42:53,789 Vamos a decir que haga el... 663 00:42:54,570 --> 00:42:56,250 Que le pinte las curvas de nivel. 664 00:43:02,860 --> 00:43:03,179 Bien. 665 00:43:03,460 --> 00:43:19,239 La 0.8, 0.6, ¿por qué ha pintado todas las negativas? Bueno, porque las ha metido del menos 1 al 0.2, ¿no? ¿Lo veis? 666 00:43:20,380 --> 00:43:30,460 Vamos a decir que pinte, por ejemplo, bueno, la negativa no la va a pintar, con lo cual vamos a decir que pinte del 0.1 al 2. 667 00:43:38,320 --> 00:43:43,539 Ahora sí, ¿no? Ahora empieza a sacar por los dos lados curvas de nivel. ¿Lo veis? 668 00:43:43,699 --> 00:44:07,030 Vale, más curvar de nivel. Bueno, vemos que las hipérbolas son importantes, a ver, pintarlas. Bueno, vamos a uno que sea una familia, por ejemplo, de esta, la E, f de xy igual a x cuadrado menos y. 669 00:44:07,030 --> 00:44:11,170 x cuadrado menos y 670 00:44:11,170 --> 00:44:41,289 a ver, y los valores son 671 00:44:41,289 --> 00:44:50,369 0, 1, menos 1, bueno, como antes 672 00:44:50,369 --> 00:44:54,389 c0, x cuadrado 673 00:44:54,389 --> 00:44:57,849 menos y, igual a 0, bueno 674 00:44:57,849 --> 00:45:01,710 la ecuación es igual a x cuadrado 675 00:45:01,710 --> 00:45:05,190 ¿sabemos pintarla? por supuesto, esto es una 676 00:45:05,190 --> 00:45:09,320 es la parábola canónica, ¿no? 677 00:45:09,539 --> 00:45:09,980 esta sí 678 00:45:09,980 --> 00:45:25,300 a ver 679 00:45:25,300 --> 00:45:30,519 sí 680 00:45:30,519 --> 00:45:42,280 ah, no, bueno 681 00:45:42,280 --> 00:45:44,900 no, no 682 00:45:44,900 --> 00:45:47,960 vale, entonces esta parábola ¿cuál es? 683 00:45:48,760 --> 00:45:50,059 pues la que sabemos todos, ¿no? 684 00:46:01,980 --> 00:46:03,900 vamos a pintarla aproximadamente 685 00:46:03,900 --> 00:46:06,619 y la vamos a etiquetar 686 00:46:06,619 --> 00:46:08,099 esta es la curva de nivel 0 687 00:46:08,099 --> 00:46:11,920 seguimos 688 00:46:11,920 --> 00:46:14,119 pues bueno, pues la curva de nivel 1 689 00:46:14,119 --> 00:46:14,559 ¿cómo será? 690 00:46:14,559 --> 00:46:19,440 x cuadrado menos y igual a 1 691 00:46:19,440 --> 00:46:23,860 despejo la y y me queda x cuadrado menos 1 692 00:46:23,860 --> 00:46:27,699 igual a y, entonces aquí claro, de nuevo 693 00:46:27,699 --> 00:46:31,719 influye mucho lo que tú separe de funciones, esta es la misma parábola pero 694 00:46:31,719 --> 00:46:35,659 una unidad hacia abajo, no, trasladada verticalmente 695 00:46:35,659 --> 00:46:38,639 pues nada, pintamos más o menos 696 00:46:38,639 --> 00:46:45,409 con, sabiendo que pasa por aquí, pues venga 697 00:46:45,409 --> 00:46:51,039 parecida, pero que pasa por aquí 698 00:46:51,039 --> 00:46:52,340 y la etiquetamos 699 00:46:52,340 --> 00:46:54,219 curva de nivel 1 700 00:46:54,219 --> 00:47:00,519 bueno, aunque no lo pide, casi sabríais como es la curva de nivel 2 701 00:47:00,519 --> 00:47:01,820 es igual 702 00:47:01,820 --> 00:47:10,159 aquí está el 1 703 00:47:10,159 --> 00:47:12,260 porque es la traslación 704 00:47:12,260 --> 00:47:14,500 y bueno, como nos piden una negativa 705 00:47:14,500 --> 00:47:16,280 pues también, la hace 706 00:47:16,280 --> 00:47:17,300 menos 1 707 00:47:17,300 --> 00:47:20,440 x cuadrado menos y 708 00:47:20,440 --> 00:47:22,719 igual a menos 1 709 00:47:22,719 --> 00:47:24,440 despejando 710 00:47:24,440 --> 00:47:25,920 x cuadrado más 1 711 00:47:25,920 --> 00:47:27,159 igual a y 712 00:47:27,159 --> 00:47:30,460 Pues nada, la más 1 está por aquí arriba 713 00:47:30,460 --> 00:47:40,599 La menos 1 714 00:47:40,599 --> 00:47:44,900 Pues nada, ahí tendríais 715 00:47:44,900 --> 00:47:48,480 Las curvas de M, ¿no? 716 00:47:49,280 --> 00:47:50,599 Lo que hay que saber pintar 717 00:47:50,599 --> 00:47:51,679 Este estilo 718 00:47:51,679 --> 00:47:56,599 Bueno, como antes, si lo quisierais comprobar 719 00:47:56,599 --> 00:47:59,760 Eh... 720 00:47:59,760 --> 00:48:00,780 Es aquí 721 00:48:00,780 --> 00:48:05,840 Cambiáis la función por 722 00:48:05,840 --> 00:48:13,309 X cuadrado menos Y, ¿no? 723 00:48:19,630 --> 00:48:20,789 ¿Qué pasa aquí? 724 00:48:20,789 --> 00:48:21,190 Ah, vale 725 00:48:21,190 --> 00:48:25,380 es esta cosa 726 00:48:25,380 --> 00:48:26,340 por aquí, vale 727 00:48:26,340 --> 00:48:30,059 y bueno, a ver, haz los 728 00:48:30,059 --> 00:48:32,539 las curvas de nivel 729 00:48:32,539 --> 00:48:38,860 se ve bastante bien, ¿no? 730 00:48:40,579 --> 00:48:41,940 las quieres ver en la montaña 731 00:48:41,940 --> 00:48:43,699 y no en el suelo, haces click 732 00:48:43,699 --> 00:48:43,980 aquí 733 00:48:43,980 --> 00:48:46,639 y aquí se ven las curvas de nivel 734 00:48:46,639 --> 00:48:48,980 no sé por qué las has separado tanto 735 00:48:48,980 --> 00:48:51,619 es que solo ha hecho 736 00:48:51,619 --> 00:48:52,139 dos, ¿no? 737 00:48:54,059 --> 00:48:55,440 pues nada, podemos decir 738 00:48:55,440 --> 00:48:56,960 a ver 739 00:48:56,960 --> 00:48:59,539 que haga más 740 00:48:59,539 --> 00:49:04,480 curvas de nivel 741 00:49:04,480 --> 00:49:12,190 desde el 742 00:49:12,190 --> 00:49:14,510 lo que sea, desde el menos 2 743 00:49:14,510 --> 00:49:17,710 hasta el 2 744 00:49:17,710 --> 00:49:20,510 y que nos haga 745 00:49:20,510 --> 00:49:22,610 quizás porque hay demasiadas 746 00:49:22,610 --> 00:49:22,869 o 747 00:49:22,869 --> 00:49:25,210 nos haga 6 748 00:49:25,210 --> 00:49:26,349 vale 749 00:49:26,349 --> 00:49:44,530 saca la 0 750 00:49:44,530 --> 00:49:47,230 veis aquí que está la etiqueta 751 00:49:47,230 --> 00:49:54,639 no sé si es la escala 752 00:49:54,639 --> 00:50:03,780 porque está sacando solo tres curvas si lo he dicho que saque 6 mejor dejarlo en blanco no 753 00:50:08,559 --> 00:50:19,260 pero es de ver con vale vale o sea que te dice la más pequeña y arriba vamos a darle de 0.2 754 00:50:19,260 --> 00:50:32,480 que está volviendo que la distancia fuera de dos pasaba claro de 1 a 2 aquí sé 755 00:50:34,159 --> 00:50:53,059 lo único desde la de menos menos 2 la primera mal he metido exactamente la misma función x 756 00:50:53,059 --> 00:51:03,780 cuadrado menos y y aquí es x cuadrado menos y vale menos 2 vale ha sacado y se debería seguir 757 00:51:03,780 --> 00:51:11,000 yendo para abajo no si le decimos más ahí está vale menos 1 con 8 menos 1 vale pues le decimos 758 00:51:11,000 --> 00:51:34,179 más que tú le digas vamos mete en vez de 6 26 20 más gracias a las que ver aquí en la especie 759 00:51:34,179 --> 00:51:43,780 bueno, dejadme ver que esto sigue grabando 760 00:51:43,780 --> 00:51:44,619 porque ya lo dudo 761 00:51:44,619 --> 00:51:51,659 a ver, entonces 762 00:51:51,659 --> 00:51:56,119 no sé, si tuvierais que indicar así la dirección de crecimiento 763 00:51:56,119 --> 00:51:58,840 para aquí, ¿cuál sería? yo te voy a decir la dirección de crecimiento 764 00:51:58,840 --> 00:52:02,639 tú estás aquí, metido en el mapa 765 00:52:02,639 --> 00:52:05,840 y quieres saber hacia dónde se crece 766 00:52:05,840 --> 00:52:08,559 ¿para dónde tirarías? ¿para abajo o para arriba? 767 00:52:08,559 --> 00:52:12,550 si quieres subir, si quieres 768 00:52:12,550 --> 00:52:16,559 subir en la montaña, hacia abajo 769 00:52:16,559 --> 00:52:18,119 ¿no? bueno 770 00:52:18,119 --> 00:52:19,880 muy bien, entonces esto 771 00:52:19,880 --> 00:52:22,139 uno determina la dirección de crecimiento 772 00:52:22,139 --> 00:52:24,260 pero ahí hay algo más 773 00:52:24,260 --> 00:52:25,260 y es que, mirad 774 00:52:25,260 --> 00:52:29,500 la dirección de 775 00:52:29,500 --> 00:52:32,059 de crecimiento 776 00:52:32,059 --> 00:52:35,579 ¿vale? dado un 777 00:52:35,579 --> 00:52:36,599 dado un punto 778 00:52:36,599 --> 00:52:40,610 sería para allá, ¿no? 779 00:52:40,929 --> 00:52:42,789 para allá, para allá 780 00:52:42,789 --> 00:52:44,809 ¿no? Lo que no es, iría 781 00:52:44,809 --> 00:52:46,650 es para el otro lado. Bueno, por de todas estas 782 00:52:46,650 --> 00:52:48,489 direcciones, eso lo vamos a estudiar nosotros, 783 00:52:49,050 --> 00:52:50,650 hay una que es, por así decir, la peor, 784 00:52:50,750 --> 00:52:53,050 la que vas más contra la montaña, 785 00:52:53,130 --> 00:52:54,269 ¿no? Tú sabes que una montaña 786 00:52:54,269 --> 00:52:56,710 la puedes subir así como bordeando un poquito, ¿no? 787 00:52:57,110 --> 00:52:58,550 Y cuesta menos. Pero si vas 788 00:52:58,550 --> 00:53:00,389 justo contra la montaña, 789 00:53:00,949 --> 00:53:03,130 bueno, pues esa dirección es la que corta 790 00:53:03,130 --> 00:53:04,769 las curvas de 791 00:53:04,769 --> 00:53:06,650 nivel formando 792 00:53:06,650 --> 00:53:07,809 90 grados, ¿vale? 793 00:53:08,650 --> 00:53:10,010 Se puede comprobar eso, ¿no? 794 00:53:10,010 --> 00:53:28,829 Entonces, cuando detecta la dirección de máximo crecimiento, si decimos, si estás aquí, pues tú simplemente en tu boceto haces esto. Bueno, ¿qué quieres? ¿La dirección de máximo crecimiento? A ver, la dirección de máximo crecimiento es, me hago un poquito de tangente y para allá, porque aquí hay 90 grados, ¿vale? Es lo que se dice. 795 00:53:28,829 --> 00:53:31,050 cuando la tienes que esbozar 796 00:53:31,050 --> 00:53:32,929 cuando tengas que dar el vector 797 00:53:32,929 --> 00:53:35,730 sus dos componentes 798 00:53:35,730 --> 00:53:37,789 pues hay una fórmula para hacerlo 799 00:53:37,789 --> 00:53:38,710 entonces sería el boceto 800 00:53:38,710 --> 00:53:41,869 entonces para ahí decrece, y la de máximo decrecimiento 801 00:53:41,869 --> 00:53:42,690 es la opuesta 802 00:53:42,690 --> 00:53:44,070 ¿entendido? 803 00:53:47,510 --> 00:53:49,070 bueno, pues a ver 804 00:53:49,070 --> 00:53:51,230 esto es una parte 805 00:53:51,230 --> 00:53:53,550 importante de un tipo de ejercicios 806 00:53:53,550 --> 00:53:55,170 que es, vosotros 807 00:53:55,170 --> 00:53:57,110 lo vais a ver también en micro 808 00:53:57,110 --> 00:53:58,829 siempre que te dicen 809 00:53:58,829 --> 00:54:01,130 ISO algo, son curvas que tienen 810 00:54:01,130 --> 00:54:02,730 el mismo comportamiento, ¿no? ISO 811 00:54:02,730 --> 00:54:05,530 ISO terma, ¿no? La misma temperatura 812 00:54:05,530 --> 00:54:07,250 ISO vara, la misma presión 813 00:54:07,250 --> 00:54:09,449 Entonces estas curvas, aunque parece 814 00:54:09,449 --> 00:54:10,570 que no sirven para nada 815 00:54:10,570 --> 00:54:13,409 si estos son 816 00:54:13,409 --> 00:54:15,150 temperaturas y aquí te piden y dices 817 00:54:15,150 --> 00:54:17,110 bueno, esto es España 818 00:54:17,110 --> 00:54:21,760 ¿no? 819 00:54:22,599 --> 00:54:24,699 Pues os podéis imaginar cuál es el punto que 820 00:54:24,699 --> 00:54:26,159 hace más frío, ¿cuál? 821 00:54:27,300 --> 00:54:28,280 ¿En qué punto hace más frío? 822 00:54:31,239 --> 00:54:32,860 Y seguís el mapa del tiempo 823 00:54:32,860 --> 00:54:35,340 seguís el mapa del tiempo 824 00:54:35,340 --> 00:54:35,599 así 825 00:54:35,599 --> 00:54:41,880 voy a pintar una última por aquí 826 00:54:41,880 --> 00:54:42,840 esto que es 827 00:54:42,840 --> 00:54:43,579 Salmería 828 00:54:43,579 --> 00:54:44,639 bueno, Salmería 829 00:54:44,639 --> 00:54:46,659 y esto la Coluña 830 00:54:46,659 --> 00:54:48,820 a ver, ¿cuál es el punto más frío de España? 831 00:54:49,400 --> 00:54:50,420 si esos son isotermas 832 00:54:50,420 --> 00:54:53,340 según ese mapa 833 00:54:53,340 --> 00:54:54,039 ¿eh? 834 00:54:54,860 --> 00:54:56,559 el más frío 835 00:54:56,559 --> 00:55:01,199 pero fíjate cómo va creciendo 836 00:55:01,199 --> 00:55:02,639 crece hacia 837 00:55:02,639 --> 00:55:05,599 hacia abajo la temperatura 838 00:55:05,599 --> 00:55:07,179 luego esta isoterma 839 00:55:07,179 --> 00:55:09,019 a lo mejor si este era 1, 2, 3, 4, 840 00:55:09,099 --> 00:55:10,619 aquí habría 5 grados, ¿no? 841 00:55:11,239 --> 00:55:13,239 ¿Lo ves? Esta a lo mejor es la 842 00:55:13,239 --> 00:55:14,119 isoterma 5. 843 00:55:16,360 --> 00:55:16,579 ¿Eh? 844 00:55:16,900 --> 00:55:19,219 Y el más frío sería el primer punto de toque, 845 00:55:19,280 --> 00:55:20,420 ¿no? Que es la coruña, bolero. 846 00:55:22,019 --> 00:55:22,719 ¿Lo veis o no? 847 00:55:24,519 --> 00:55:24,880 Vale. 848 00:55:25,780 --> 00:55:27,340 Entonces tú con las curvas 849 00:55:27,340 --> 00:55:29,340 ISO, lo que sea, puedes calcular 850 00:55:29,340 --> 00:55:30,179 el máximo y el mínimo. 851 00:55:31,320 --> 00:55:32,519 Vale, vamos al ejercicio 852 00:55:32,519 --> 00:55:36,849 tipo. Va a dar tiempo a verlo 853 00:55:36,849 --> 00:55:37,909 con bastante detalle. 854 00:55:38,809 --> 00:56:17,269 qué es este de aquí vamos a vamos a cargar la hoja de problemas momento el próximo día 855 00:56:17,269 --> 00:56:24,469 veremos todo este tema de límites que se quedó un poco a medias y mónica no empezaremos con 856 00:56:24,469 --> 00:56:29,090 las técnicas de cálculo de límites en ejercicios entonces vamos a saltar este momento y vamos a un 857 00:56:29,090 --> 00:56:39,929 problema de curvas bueno pues vamos a fijarnos en en este de aquí vale nos dan un conjunto 858 00:56:40,489 --> 00:56:53,829 Lo primero es representar el conjunto, su frontera, su interior, discutir si es abierto, cerrado, acotado, compacto y o convexo, razonando tus respuestas. 859 00:56:55,050 --> 00:57:07,800 Pues nada, la primera parte es algo que yo sé y es que tengo que saber dibujar. 860 00:57:07,800 --> 00:57:13,000 De estos hay, bueno, muchos no 861 00:57:13,000 --> 00:57:14,760 Todos los exámenes tienen alguno así, ¿no? 862 00:57:15,119 --> 00:57:17,159 Con un conjunto, unas curvas, etc. 863 00:57:18,820 --> 00:57:20,940 Pues a ver, el apartado A 864 00:57:20,940 --> 00:57:25,039 De este problema 10 865 00:57:25,039 --> 00:57:32,380 Pues nos da un conjunto x y 866 00:57:32,380 --> 00:57:36,940 De los números que están 867 00:57:36,940 --> 00:57:39,300 Los puntos que están en el plano 868 00:57:39,300 --> 00:57:45,900 Y satisfacen 0 menor que y menor que el logaritmo de x 869 00:57:45,900 --> 00:57:55,809 Y, cuando ponemos una coma, es como si pusiéramos una Y 870 00:57:55,809 --> 00:57:58,789 Además, el 1 está entre 1 y 2 871 00:57:58,789 --> 00:58:07,590 O sea, la X está entre 1 y... 872 00:58:07,590 --> 00:58:09,389 Bueno, como lo primero es pintar el conjunto 873 00:58:09,389 --> 00:58:12,070 Pues a ver, ya vosotros sabéis un poco cómo va esto, ¿no? 874 00:58:12,929 --> 00:58:16,449 A ver, primero se pinta la ecuación 875 00:58:16,449 --> 00:58:19,909 Y luego se elige la zona, ¿de acuerdo? 876 00:58:20,650 --> 00:58:24,329 Pues a ver, vamos a hacerlo un poquito más rápido que cuando lo hemos hecho en clase 877 00:58:24,329 --> 00:58:25,650 Paso a paso, que sería, a ver 878 00:58:25,650 --> 00:58:50,849 Esta desigualdad me da una igualdad, ¿cuál es? 0 igual a, esta desigualdad me da otra igualdad, ¿qué es cuál? Igual a logaritmo de, esta desigualdad me da una igualdad, que es x igual a 1. 879 00:58:50,849 --> 00:58:54,090 y esta de aquí me da otra desigualdad 880 00:58:54,090 --> 00:58:57,679 que es x igual a 2 881 00:58:57,679 --> 00:58:58,500 vale 882 00:58:58,500 --> 00:59:03,980 los pasos son, como son desigualdades 883 00:59:03,980 --> 00:59:05,619 los pasos son dibujar las 884 00:59:05,619 --> 00:59:07,340 desigualdades y elegir la zona 885 00:59:07,340 --> 00:59:10,139 pues esto yo creo que 886 00:59:10,139 --> 00:59:13,079 no tiene mucho misterio 887 00:59:13,079 --> 00:59:14,539 pero vamos a intentar hacerlo con cuidado 888 00:59:14,539 --> 00:59:19,699 pinto unos ejes para hacer el boceto 889 00:59:19,699 --> 00:59:22,119 de lo que tengo que representar 890 00:59:22,119 --> 00:59:23,619 vamos a coger otro color 891 00:59:23,619 --> 00:59:28,960 aquí vamos a ver pues a ver la equis igual a 1 es una recta vertical que pasa por él 892 00:59:30,380 --> 00:59:53,780 y la equis igual a 2 pero a la derecha si la equis igual a 1 y la equis igual a 2 hemos cogido 893 00:59:53,780 --> 01:00:08,630 cuatro cuadritos pasos vale de esta de esta primera pues cuál zona creéis que es la que 894 01:00:08,630 --> 01:00:16,130 te interesa aquí salen tres zonas izquierda centro y derecha no damos puntos y bueno 895 01:00:16,130 --> 01:00:27,690 casi se ve sin hacer nada no es la zona de la zona de los puntos no en la zona del medio 896 01:00:28,989 --> 01:00:34,269 voy con la siguiente para la siguiente hay que representar 897 01:00:37,050 --> 01:00:44,239 las siguientes funciones igual a cero igual a cero es el eje 898 01:00:44,239 --> 01:01:32,719 x, pues nada, lo pinto, y igual a, el y igual a cero, y igual a cero, luego represento y igual a logaritmo de x, bueno, vamos a ver, justo pasa por aquí el logaritmo, esto es el único detalle en el que tienes que tener un poquito de cuidado, pues nada, y igual a logaritmo de x, bueno, pues como antes, habría que, habría que elegir, 899 01:01:32,719 --> 01:01:45,699 es decir, salen ahora como, bueno, tenemos de las zonas, las zonas que pueden servirnos, ¿no? 900 01:01:46,219 --> 01:01:49,360 ¿Vale? La i tiene que ser menor que el logaritmo, ¿no? 901 01:01:50,039 --> 01:01:53,099 Dice, pues tendríamos que es por aquí debajo, ¿no? 902 01:01:58,190 --> 01:02:01,610 Y al mismo tiempo tiene que ser mayor que esto. 903 01:02:06,480 --> 01:02:08,940 Bueno, pues ya casi lo tenéis la zona, ¿no? ¿Lo veis, no? 904 01:02:08,940 --> 01:02:18,260 vamos a sacarla de aquí y la hacemos más esquemática el recinto es un recinto que 905 01:02:18,260 --> 01:02:32,039 está aquí entre el punto vamos a poner el punto 1 0 se viene por aquí hasta el 2 0 906 01:02:33,820 --> 01:02:41,900 sube por aquí hasta el 2 logaritmo de 2 y esto lo conectas así con un trocito de curva 907 01:02:45,559 --> 01:02:58,960 Y lo que yo quiero es todo el recinto y, como eran desigualdades, las fronteras. 908 01:02:59,659 --> 01:03:02,340 Pues nada, a ver, si ustedes no sabéis en qué hacen. 909 01:03:02,820 --> 01:03:07,289 ¿Abierto o cerrado? Cerrado. 910 01:03:08,769 --> 01:03:12,780 Pues abierto. ¿Acotado? 911 01:03:14,360 --> 01:03:16,059 Sí. Puedo meter dentro de una bola. 912 01:03:16,059 --> 01:03:19,619 Ahí es la bola de radio 8, ahora que no queda el teléfono actual. 913 01:03:21,480 --> 01:03:31,980 compacto y cerrado y agotado convexo no te puede salir 914 01:03:36,900 --> 01:03:42,179 por mucho que amplíes esto como te sales de aquí 915 01:03:45,599 --> 01:03:54,219 no pero es que el conjunto es esto un punto por aquí un punto por aquí 916 01:03:54,219 --> 01:03:56,880 Segmento, no te sales, ¿vale? 917 01:03:57,639 --> 01:04:00,179 Entonces, ¿sabéis que lo que escribiríamos es convexo? 918 01:04:00,300 --> 01:04:04,000 Como siempre, porque para todo PQ del conjunto, el segmento está. 919 01:04:05,159 --> 01:04:12,320 Repito, las explicaciones un poquito más complejas de convexidad se pueden dar cuando uno sabe algo ya del tema, 920 01:04:12,400 --> 01:04:17,219 casi el último tema del curso, y aceptamos como explicación la definición, ¿vale? 921 01:04:18,000 --> 01:04:21,599 Sin embargo, si no es convexo, acordaros, hay que dar dos puntos que te los tropean. 922 01:04:22,079 --> 01:04:23,239 Dos puntos convexos, ¿vale? 923 01:04:23,239 --> 01:04:26,360 Pues nada, esto es lo que dice el problema 924 01:04:26,360 --> 01:04:27,539 Primera parte 925 01:04:27,539 --> 01:04:29,320 Vamos a la segunda parte 926 01:04:29,320 --> 01:04:33,239 Bueno, pues la segunda parte dice 927 01:04:33,239 --> 01:04:38,880 Bueno, demuestra que la función tiene un máximo y un mínimo en A 928 01:04:38,880 --> 01:04:40,500 Bueno, lo de demuestra 929 01:04:40,500 --> 01:04:44,760 Lo vais a ver hoy con Mónica, según tengo entendido 930 01:04:44,760 --> 01:04:47,440 Que es el teorema de Bayes-Strauss 931 01:04:47,440 --> 01:04:51,239 Que a lo mejor habéis visto en una variable con el profesor de intro 932 01:04:51,239 --> 01:04:53,699 ¿Os suena esto de Bayes-Strauss? 933 01:04:55,320 --> 01:05:00,320 bueno, pero en dos no lo habéis visto 934 01:05:00,320 --> 01:05:01,440 según me dijo Mónica 935 01:05:01,440 --> 01:05:05,920 es muy sencillo pero me lo voy a saltar 936 01:05:05,920 --> 01:05:07,380 para no adelantarme a Mónica 937 01:05:07,380 --> 01:05:09,480 el tema de las extras, uno comprueba 938 01:05:09,480 --> 01:05:12,179 que la función es continua y el conjunto es compacto 939 01:05:12,179 --> 01:05:14,199 desde la función es continua 940 01:05:14,199 --> 01:05:15,639 sí, el conjunto es compacto, sí 941 01:05:15,639 --> 01:05:16,480 y lo haces 942 01:05:16,480 --> 01:05:19,840 o bueno, si quieres lo dejamos escrito 943 01:05:19,840 --> 01:05:25,889 bueno, no nos vamos a adelantar 944 01:05:25,889 --> 01:05:26,989 al apartado B 945 01:05:26,989 --> 01:05:30,110 lo vamos a ver el próximo día 946 01:05:30,110 --> 01:05:32,849 se basa en el teorema 947 01:05:32,849 --> 01:05:34,570 de 948 01:05:34,570 --> 01:05:46,079 apartado C 949 01:05:46,079 --> 01:05:48,000 y último 950 01:05:48,000 --> 01:05:50,300 bueno, pues el apartado C 951 01:05:50,300 --> 01:05:52,679 nos dice que yo tengo una función 952 01:05:52,679 --> 01:05:55,300 que es esta 953 01:05:55,300 --> 01:05:56,840 vale 954 01:05:56,840 --> 01:05:58,780 x 955 01:05:58,780 --> 01:06:01,519 y cuadrado 956 01:06:01,519 --> 01:06:02,000 más 957 01:06:02,000 --> 01:06:06,320 x menos 1 cuadrado 958 01:06:06,320 --> 01:06:15,159 bueno, entonces lo que nos dicen es 959 01:06:15,159 --> 01:06:24,079 Hace unas curvas de nivel, lo que acabamos de hacer, y demuestra que la función alcanza un máximo y un mínimo sobre este conjunto. 960 01:06:25,320 --> 01:06:31,519 Bueno, vamos a ver, vamos a hacer la curva de nivel, por ejemplo, 1. 961 01:06:39,420 --> 01:06:44,440 Bueno, pues a ver, esto es una circunferencia, claro, tienes que acordarte de que es una circunferencia. 962 01:06:44,440 --> 01:06:45,739 centro 963 01:06:45,739 --> 01:06:49,829 1 964 01:06:49,829 --> 01:06:52,250 0, radio 965 01:06:52,250 --> 01:06:57,079 raíz de 1, es decir, ¿cuánto? 966 01:06:57,800 --> 01:06:58,739 1, ¿no? ¿lo veis? 967 01:06:59,539 --> 01:07:01,079 al ver la ecuación tenéis que 968 01:07:01,079 --> 01:07:01,940 ahora, que es la incumplencia 969 01:07:01,940 --> 01:07:04,019 vemos circunferencias centradas 970 01:07:04,019 --> 01:07:07,099 vale, pues no sé, podemos ver también 971 01:07:07,099 --> 01:07:07,500 la 972 01:07:07,500 --> 01:07:10,320 vamos a poner un poquito de picardía, vamos a hacer 973 01:07:10,320 --> 01:07:12,579 pone acá la 2 974 01:07:12,579 --> 01:07:21,530 bueno, pues nada, centro 975 01:07:21,530 --> 01:07:25,190 1, 0 976 01:07:25,190 --> 01:07:27,230 y el radio 977 01:07:27,230 --> 01:07:29,949 raíz de 2. 978 01:07:31,389 --> 01:07:33,309 Aquí si queréis, bueno, decir que es aproximadamente 979 01:07:33,309 --> 01:07:34,170 1,4. 980 01:07:38,170 --> 01:07:39,469 Vamos a ver una más, si queréis. 981 01:07:40,190 --> 01:07:40,630 C4. 982 01:07:51,010 --> 01:07:53,130 Bueno, pues esta circunferencia es una familia, 983 01:07:53,230 --> 01:07:55,190 ¿no? En el mismo centro 984 01:07:55,190 --> 01:07:55,969 que no cambia. 985 01:07:56,829 --> 01:07:57,769 Y el radio 986 01:07:57,769 --> 01:07:59,789 raíz de 4. 987 01:08:01,210 --> 01:08:01,989 Es decir, 988 01:08:02,789 --> 01:08:03,269 2. 989 01:08:04,630 --> 01:08:09,289 Bueno, pues a ver, y esto es lo que uno tiene que entender. 990 01:08:10,110 --> 01:08:11,469 A ver, ¿qué es lo que está pasando aquí? 991 01:08:11,650 --> 01:08:15,949 Lo que está pasando es que tú, en el plano XY, ¿vale? 992 01:08:16,689 --> 01:08:22,460 Tú tienes un trocito de conjunto, ¿no? 993 01:08:23,520 --> 01:08:23,939 ¿Lo ves? 994 01:08:25,079 --> 01:08:30,800 Y sobre este plano de XY hay una función. 995 01:08:32,199 --> 01:08:32,640 ¿Vale? 996 01:08:32,640 --> 01:08:32,659 ¿Vale? 997 01:08:32,659 --> 01:08:33,079 Yo te explico. 998 01:08:33,079 --> 01:09:05,619 Claro, este conjunto tendrá aquí unos, un conjunto de, a ver, habrá unos, ¿cómo se dice? Se proyecta ahí arriba, ¿no? ¿Lo veis? 999 01:09:05,619 --> 01:09:14,340 Y aquí arriba, pues tú tienes que buscar de todos estos valores de aquí arriba, ¿no? 1000 01:09:16,199 --> 01:09:17,760 El mayor y el menor. 1001 01:09:18,720 --> 01:09:20,260 Y esto parece difícil, ¿no? 1002 01:09:20,779 --> 01:09:22,159 Pero ¿por qué se hace fácil? 1003 01:09:22,819 --> 01:09:23,960 Por las curvas de nivel. 1004 01:09:24,619 --> 01:09:26,140 Porque lo que se hace es lo siguiente, mirad. 1005 01:09:26,880 --> 01:09:27,840 Y esto siempre es igual. 1006 01:09:28,159 --> 01:09:31,300 Podéis ver 40 ejercicios que siempre lo mismo. 1007 01:09:32,020 --> 01:09:36,859 A ver, yo voy a pintar las curvas de nivel, ¿no? 1008 01:09:41,449 --> 01:09:43,430 Me da dos pintando curvas de nivel, a ver. 1009 01:09:48,930 --> 01:09:53,569 Entonces son círculos que tienen centro, el 1-0. 1010 01:09:53,729 --> 01:09:56,930 Vamos a ponerle el 1-0, por ejemplo, aquí. 1011 01:10:00,760 --> 01:10:02,859 La primera tiene radio 1, ¿no? Pues venga, la pinto. 1012 01:10:06,500 --> 01:10:07,779 Curva de nivel 1. 1013 01:10:09,180 --> 01:10:09,439 Vale. 1014 01:10:11,899 --> 01:10:15,640 La siguiente, curva de nivel, radio 1,4 aproximadamente, pues venga. 1015 01:10:15,640 --> 01:10:25,489 y la última curva de nivel que he pintado 1016 01:10:25,489 --> 01:10:26,170 era la que tenía 1017 01:10:26,170 --> 01:10:29,630 la curva 4, que tenía radio 1018 01:10:29,630 --> 01:10:34,569 2, ¿vale? 1019 01:10:47,310 --> 01:10:48,729 bueno, estos son círculos, ¿no? 1020 01:10:50,569 --> 01:10:51,229 ¿lo veis? 1021 01:10:53,069 --> 01:10:55,010 está claro que la curva 0,5 1022 01:10:55,010 --> 01:10:55,670 ¿por dónde estará? 1023 01:10:57,170 --> 01:10:58,329 si la queréis pintar 1024 01:10:58,329 --> 01:11:00,649 pues por aquí en algún sitio, ¿no? 1025 01:11:01,409 --> 01:11:12,020 esas son las curvas de nivel de mi función 1026 01:11:12,020 --> 01:11:14,300 de la función de aquí arriba 1027 01:11:14,300 --> 01:11:19,939 sobre esto pintamos el conjunto 1028 01:11:19,939 --> 01:11:23,119 vamos a pintar el conjunto, bueno pues el conjunto estaba aquí 1029 01:11:23,119 --> 01:11:27,819 el conjunto era, salía de aquí 1030 01:11:27,819 --> 01:11:31,500 llegaba hasta el 1031 01:11:31,500 --> 01:11:32,899 Hasta el 2, ¿no? 1032 01:11:35,949 --> 01:11:52,460 Y luego subía por aquí hasta el punto 2, logaritmo de 2, 1, 0. 1033 01:11:53,300 --> 01:11:58,520 Y este era el punto que habíamos dicho que correspondía con el 2, 0, ¿no? 1034 01:12:01,260 --> 01:12:01,939 Vale. 1035 01:12:11,680 --> 01:12:17,319 Entonces mi conjunto es todo lo que hay aquí dentro, ¿no? 1036 01:12:17,319 --> 01:12:29,270 Vale 1037 01:12:29,270 --> 01:12:30,569 Pues a ver 1038 01:12:30,569 --> 01:12:32,909 ¿Dónde está el máximo y dónde está el mínimo? 1039 01:12:35,979 --> 01:12:36,420 Es lo de antes 1040 01:12:36,420 --> 01:12:37,779 ¿Dónde hace más frío y dónde hace más calor? 1041 01:12:40,140 --> 01:12:40,859 Tienes que ver 1042 01:12:40,859 --> 01:12:45,960 Se va hacia afuera, muy bien 1043 01:12:45,960 --> 01:12:49,399 ¿Y el punto más lejano en tocar una curva de nivel cuál es? 1044 01:12:50,420 --> 01:12:50,979 Muy bien 1045 01:13:02,750 --> 01:13:06,010 ¿Vale? 1046 01:13:07,470 --> 01:13:09,010 ¿Y el mundo más frío cuál es? 1047 01:13:09,890 --> 01:13:10,789 El 1, 0. 1048 01:13:15,079 --> 01:13:16,859 Este era el 2, logaritmo de 2. 1049 01:13:32,630 --> 01:13:34,850 Yo creo que se llama el estudio gráfico. 1050 01:13:35,109 --> 01:13:40,710 O sea, tú, viendo las curvas de nivel, ves el mayor y el menor. 1051 01:13:41,529 --> 01:13:41,829 ¿De acuerdo? 1052 01:13:42,970 --> 01:13:43,470 ¿Sí o no? 1053 01:13:44,569 --> 01:13:45,810 Entonces, ahí se alcanza. 1054 01:13:46,850 --> 01:13:48,609 ¿Y tenéis ahora la clase a qué hora? 1055 01:13:49,409 --> 01:13:50,090 El cuarto. 1056 01:13:52,810 --> 01:13:53,529 ¿Hay cuarto? 1057 01:13:55,829 --> 01:13:56,909 Ya, ya, vale, entonces. 1058 01:13:57,670 --> 01:13:58,609 Bueno, solamente una cosa. 1059 01:14:01,630 --> 01:14:02,970 Una cosa es el punto. 1060 01:14:04,229 --> 01:14:04,949 Se suele decir así. 1061 01:14:05,010 --> 01:14:05,670 ¿El punto cuál es? 1062 01:14:05,729 --> 01:14:06,270 El 1, 0. 1063 01:14:06,630 --> 01:14:07,510 ¿Y el otro cuál es? 1064 01:14:08,109 --> 01:14:09,130 2 logaritmo de 2. 1065 01:14:09,689 --> 01:14:10,390 Esto es xy. 1066 01:14:11,050 --> 01:14:11,829 Como una tabla. 1067 01:14:11,930 --> 01:14:13,090 ¿Y f de xy cuánto es? 1068 01:14:13,909 --> 01:14:14,949 Pues nada, lo metes ahí. 1069 01:14:15,430 --> 01:14:21,949 Sería y cuadrado, que es 0 al cuadrado más 1. 1070 01:14:22,430 --> 01:14:24,369 menos 0 al cuadrado, el mínimo está en 1071 01:14:24,369 --> 01:14:26,369 temperatura, ¿cuánto? 0, ¿no? 1072 01:14:26,810 --> 01:14:27,989 ¿Y el máximo cuál es? 1073 01:14:28,449 --> 01:14:30,210 Pues los metes aquí. Logaritmo de 2 1074 01:14:30,210 --> 01:14:32,289 al cuadrado 1075 01:14:32,289 --> 01:14:34,430 más 2 menos 1076 01:14:34,430 --> 01:14:36,329 1 al cuadrado. ¿Vale? Ya tienes 1077 01:14:36,329 --> 01:14:38,109 el punto y el vano. 1078 01:14:39,149 --> 01:14:39,449 ¿De acuerdo? 1079 01:14:40,250 --> 01:14:42,569 Eso se llama la solución gráfica. 1080 01:14:43,529 --> 01:14:44,350 Hay que saber dibujar 1081 01:14:44,350 --> 01:14:45,369 un poquito, ¿eh? Como habéis visto. 1082 01:14:46,270 --> 01:14:48,250 Vale. Haremos uno más de estos 1083 01:14:48,250 --> 01:14:50,069 en el próximo vídeo, ¿vale? Y hay montones 1084 01:14:50,069 --> 01:14:51,810 en las hojas de... O sea, 1085 01:14:51,810 --> 01:14:54,050 en los finales de la sinagoga. 1086 01:14:57,630 --> 01:14:58,689 Vamos a irnos.