1 00:00:00,300 --> 00:00:12,240 Os digo, si alguien tiene algún inconveniente en que se haga esta grabación, me lo decís y yo lo retiro la grabación, ¿vale? 2 00:00:14,339 --> 00:00:21,699 Bueno, dicho eso, el otro día os puse una derivada que a mí siempre me gusta hacer, las derivadas sucesivas. 3 00:00:21,699 --> 00:00:25,160 la di en una clase 4 00:00:25,160 --> 00:00:27,100 no sé si la del lunes o la del miércoles 5 00:00:27,100 --> 00:00:29,339 pero como a mí me parece muy importante 6 00:00:29,339 --> 00:00:33,820 bueno, de todas formas quiero repetirla 7 00:00:33,820 --> 00:00:36,439 porque creo que tiene la suficiente importancia 8 00:00:36,439 --> 00:00:39,060 como para que os salga bien 9 00:00:39,060 --> 00:00:42,359 por las reglas de derivación 10 00:00:42,359 --> 00:00:45,359 como se simplifica este tipo de derivada 11 00:00:45,359 --> 00:00:50,100 a ver, acordaos que la derivada del cociente 12 00:00:50,100 --> 00:00:56,340 es la derivada del numerador por el denominador sin derivar 13 00:00:56,340 --> 00:01:00,659 menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador 14 00:01:00,659 --> 00:01:03,140 partido por el denominador al cuadrado. 15 00:01:03,859 --> 00:01:06,579 Entonces, si yo hago la derivada, 16 00:01:06,719 --> 00:01:09,500 si quiero calcular la derivada de esta función 17 00:01:09,500 --> 00:01:11,760 que es racional a un cociente de polinomios, 18 00:01:12,500 --> 00:01:13,659 derivo el numerador. 19 00:01:14,140 --> 00:01:16,019 La derivada del numerador es 2x. 20 00:01:16,659 --> 00:01:19,120 Ahora, por el denominador sin derivar, 21 00:01:19,120 --> 00:01:21,780 que es 2x más 1 menos 22 00:01:21,780 --> 00:01:25,239 ahora el numerador 23 00:01:25,239 --> 00:01:26,560 lo dejo sin derivar 24 00:01:26,560 --> 00:01:31,359 y lo multiplico por la derivada del denominador 25 00:01:31,359 --> 00:01:37,500 que es 2. Acordaos que se pone 26 00:01:37,500 --> 00:01:40,560 el denominador sin derivar al cuadrado 27 00:01:40,560 --> 00:01:43,840 y aquí se hacen las operaciones. Esta parte 28 00:01:43,840 --> 00:01:46,579 generalmente no tenéis problemas 29 00:01:46,579 --> 00:01:49,739 pero aún así lo que tenéis que recuperar es la primera evaluación 30 00:01:49,739 --> 00:01:53,459 Esto es un buen repaso. 2x por más 1 es 2x. 31 00:01:54,180 --> 00:02:01,099 Y ahora, con cuidado estos signos. Si queréis hacerlo aquí encima, porque aquí os equivoquéis mucho con los signos. 32 00:02:01,640 --> 00:02:06,519 Esto sería menos 2x cuadrado menos 2, pero con el menos delante. 33 00:02:07,340 --> 00:02:13,439 De tal forma que queda menos 2x cuadrado más 4. 34 00:02:13,439 --> 00:02:16,240 y bueno, denominador ya os dije 35 00:02:16,240 --> 00:02:18,400 que dejarlo así, que está factorizado 36 00:02:18,400 --> 00:02:21,099 y está mucho mejor así 37 00:02:21,099 --> 00:02:23,180 luego simplificáis 38 00:02:23,180 --> 00:02:25,099 los términos de x cuadrado 39 00:02:25,099 --> 00:02:28,919 y lo demás no se puede simplificar 40 00:02:28,919 --> 00:02:31,360 entonces esta derivada 41 00:02:31,360 --> 00:02:32,539 más o menos 42 00:02:32,539 --> 00:02:36,039 y esta es la que me gusta 43 00:02:36,039 --> 00:02:37,259 que penséis 44 00:02:37,259 --> 00:02:39,020 porque para 45 00:02:39,020 --> 00:02:41,319 si sabéis esto, sabéis prácticamente 46 00:02:41,319 --> 00:02:43,020 todas las rondas de derivación 47 00:02:43,439 --> 00:02:46,919 A ver, vuelvo a hacer la derivada del numerador. 48 00:02:47,599 --> 00:02:51,400 La derivada del numerador es, bajo el 2, ¿no? 49 00:02:51,740 --> 00:02:55,099 4, y si hubiera x cuadrado, ahora es x elevado a 1. 50 00:02:55,520 --> 00:02:59,080 Más la derivada de 2x, que es 2. 51 00:02:59,659 --> 00:03:02,180 Más la derivada de un número, que es 0. 52 00:03:03,599 --> 00:03:06,639 Ahora, por el denominador sin derivar. 53 00:03:09,759 --> 00:03:13,699 Menos el numerador, lo dejo sin derivar. 54 00:03:13,699 --> 00:03:19,370 y ahora tengo que derivar esto 55 00:03:19,370 --> 00:03:21,449 y para derivar esto 56 00:03:21,449 --> 00:03:23,930 tengo que utilizar la regla de la cadena 57 00:03:23,930 --> 00:03:33,550 ¿por qué? 58 00:03:33,810 --> 00:03:35,449 porque esto está elevado al cuadrado 59 00:03:35,449 --> 00:03:37,389 ¿cuál es la derivada de elevado al cuadrado? 60 00:03:40,189 --> 00:03:41,069 se baja el 2 61 00:03:41,069 --> 00:03:43,250 y lo de dentro 62 00:03:43,250 --> 00:03:45,770 queda en vez de elevado a 2 63 00:03:45,770 --> 00:03:46,909 elevado a 1 64 00:03:46,909 --> 00:03:48,810 por 65 00:03:48,810 --> 00:03:52,349 la derivada de lo de dentro 66 00:03:52,349 --> 00:03:54,310 la derivada de lo de dentro es 67 00:03:54,310 --> 00:03:55,969 es 2 68 00:03:55,969 --> 00:04:07,330 Y aquí abajo queda 2x más 1 elevado a, como está elevado, hay que elevar al cuadrado, una cosa que está elevada al cuadrado queda elevado a 4. 69 00:04:08,870 --> 00:04:23,689 Entonces, llegados aquí, hay gente que dice, de aquí qué he hecho, 2x más 1 dos veces y de aquí una, entonces 2 y 1, 3, pues lo tacho con esto y me queda 1. 70 00:04:23,689 --> 00:04:34,569 Eso no se puede hacer, porque como os dije el otro día, para simplificar factores en una fracción tienen que ser factores comunes. 71 00:04:35,050 --> 00:04:51,889 Entonces, si yo quito de aquí 1 y quito de aquí 1 2x menos 1, que es como si me hubiera sacado factor común, solo quito 1 de abajo, porque arriba solo he podido sacar factor común a un factor 2x más 1. 72 00:04:51,889 --> 00:05:15,649 Y después de esto tenéis unas cuentas que tienen que salir bien. La parte de abajo afortunadamente no hay que trabajarla y aquí sería 4x por 2x que es 8x cuadrado, 4x por más 1 que es más 4x, 2 por 2 que sería 4x, 2 por 1, 2. 73 00:05:15,649 --> 00:05:19,290 todas estas cuentas que salgan bien 74 00:05:19,290 --> 00:05:22,730 y ahora aquí, si os fijáis, tengo 75 00:05:22,730 --> 00:05:25,689 2 por 2, 4 76 00:05:25,689 --> 00:05:28,629 y aquí hay un menos, ¿no? 77 00:05:29,350 --> 00:05:33,509 Si no lo hacéis con seguridad, haced como aquí. 78 00:05:34,149 --> 00:05:36,470 Yo sé que tengo que multiplicar todo por menos 4. 79 00:05:36,730 --> 00:05:40,029 Menos 4 por 2x cuadrado, menos 8x cuadrado. 80 00:05:41,009 --> 00:05:44,089 Menos 4 por 2x, menos 8x. 81 00:05:44,089 --> 00:06:05,589 Y menos 4 por 4, menos 16. Entonces, aquí puedo tachar 8x cuadrado con menos 8x cuadrado. Este 4 más 4, que es 8x, se me va con esto, ¿no? Y me queda solo menos 14x. 82 00:06:05,589 --> 00:06:08,550 ¿Daba esto el otro día? 83 00:06:09,269 --> 00:06:13,769 Yo sé que sale el número, pero no me suena que sea el 14 84 00:06:13,769 --> 00:06:16,009 Pero vamos, están bien en cuenta 85 00:06:16,009 --> 00:06:25,490 Bueno, entonces, que sepáis que para mí este ejercicio tiene mucho valor 86 00:06:25,490 --> 00:06:32,629 Porque indica que sepáis hacer, que sabéis utilizar las reglas de derivación 87 00:06:32,629 --> 00:06:39,610 Luego el otro tema es que os sepáis la tabla de derivadas. Que la tabla de derivadas, los de ciencias, la tenéis bastante completa. 88 00:06:42,430 --> 00:07:04,029 Bueno, y dicho esto, vamos a la parte más agradable que es la de aplicaciones. Yo en este curso os voy a pedir monotonía prácticamente y a partir de la monotonía que es crecimiento y decrecimiento y fundamentalmente, sobre todo, la aplicación a las gráficas. 89 00:07:04,129 --> 00:07:22,769 De esto hablamos el otro día. Os voy a poner el ejemplo otra vez. No era exactamente este, el del otro día. Pero quiero que veáis esta función. Y quiero que recordéis que la derivada era la pendiente de la recta tangente. 90 00:07:23,589 --> 00:07:32,009 Aquí, ¿la derivada es positiva o negativa? Aquí es positiva porque la recta tangente es creciente. Aquí es positiva o negativa. 91 00:07:36,079 --> 00:07:37,100 ¿Esto sube o baja? 92 00:07:39,519 --> 00:07:41,959 Si es horizontal, tiene pendiente cero. 93 00:07:42,300 --> 00:07:44,160 O sea que no es ni positiva ni negativa. 94 00:07:44,939 --> 00:07:46,560 Aquí, como veis, también es cero. 95 00:07:47,259 --> 00:07:48,259 Aquí también, ¿no? 96 00:07:48,500 --> 00:07:52,240 Estos puntos van a ser importantes, los puntos en los que la derivada es cero, 97 00:07:54,899 --> 00:08:00,680 porque nos van a separar los trozos donde la pendiente es positiva o negativa. 98 00:08:01,399 --> 00:08:06,699 Bueno, yo este trozo de función, como no sé cómo va, lo voy a dejar un poquito así. 99 00:08:06,699 --> 00:08:26,560 Bueno, aquí habría un punto también que la derivada es... lo voy a llamar c, ¿no? Bueno, entonces, si os fijáis, la función es creciente desde aquí a aquí, ¿no? No, aquí es decreciente, ¿no? 100 00:08:26,560 --> 00:08:29,879 Este trozo de gráfica lo voy a ignorar. 101 00:08:30,339 --> 00:08:32,299 ¿En este intervalo cómo es la función? 102 00:08:34,539 --> 00:08:35,700 ¿Creciente o decreciente? 103 00:08:36,000 --> 00:08:36,600 Decreciente. 104 00:08:37,779 --> 00:08:38,659 ¿Creciente, no? 105 00:08:39,100 --> 00:08:39,659 ¿Sí? 106 00:08:40,200 --> 00:08:41,580 ¿Y en este trozo? 107 00:08:43,080 --> 00:08:43,980 Decreciente, ¿no? 108 00:08:44,519 --> 00:08:44,700 ¿Sí? 109 00:08:45,159 --> 00:08:50,299 Bueno, pues yo sé que f es creciente. 110 00:08:51,620 --> 00:08:54,919 Esto se mira en la x, entre x3 y x5. 111 00:08:54,919 --> 00:08:59,750 En el intervalo x3, x5. 112 00:08:59,889 --> 00:09:26,039 F es, no, es decreciente, perdón. ¿Entre X5 y X6 cómo es? Creciente. Entre X5 y X6. ¿Y qué pasa entre X6 y C? O sea, unión X6-C. 113 00:09:26,039 --> 00:09:38,870 ¿No? ¿Sí? Bueno, pues aquí la derivada va a ser negativa. Aquí la derivada va a ser positiva. 114 00:09:39,710 --> 00:09:53,129 Y ahora, ¿qué pasa si la derivada es cero? Pueden pasar tres cosas. Voy a decir en un punto, ¿sí? 115 00:09:53,129 --> 00:10:27,970 Aquí, ¿qué pasa? Que tengo una cima, ¿no? Bueno, pues a una cima se le llama máximo. Máximo en, ¿no? Bueno, aquí puede haber un máximo. ¿Qué pasa aquí? Que hay un mínimo. Puede que la función sea creciente o decreciente. 116 00:10:27,970 --> 00:10:51,470 Os voy a poner un ejemplo. Esto es lo que se llama un punto de inflexión, pero bueno, esto no lo doy en este curso. Si yo tengo una función así, esta función no para de crecer, ¿verdad? Pero aquí la tangente es cero, ¿no? ¿Sí? Entonces, puede ser creciente o decreciente. 117 00:10:51,470 --> 00:11:14,259 No sé si alguien quiere preguntar algo. Bueno, entonces, esto es lo básico. El estudio de la monotonía va a ser el estudio del signo de la derivada. Y esto es para que veáis esa cuenta tan rara que para algunos la visteis por primera vez el otro día, pues ¿para qué sirve? 118 00:11:14,259 --> 00:11:33,440 Y es muy importante saber si tenéis una empresa, si los beneficios crecen o no decrecen, o si los gastos suben o bajan, ¿no? O cómo conseguir los gastos mínimos o los beneficios máximos, ¿no? Bueno, esto es el resumen de lo que os he dicho ahora, ¿vale? 119 00:11:33,440 --> 00:11:49,200 Entonces, vamos a ver cómo se aplica esto. Bueno, el del polinomio debería resultar sencillo y luego una función racional y prácticamente esto es la clase de hoy. 120 00:11:49,200 --> 00:12:16,720 Bueno, vamos a ver. Estudio de la monotonía. Esta función. Esta función es polinómica. Estos los tenéis que hacer perfectos, con un polinomio. A ver, monotonía quiere decir decidir dónde es creciente, dónde es decreciente y calcular si tiene máximos o mínimos. 121 00:12:16,720 --> 00:12:35,870 Los máximos y mínimos pueden ser, esto por ejemplo, este es un máximo absoluto y este es un máximo relativo. 122 00:12:35,870 --> 00:12:54,990 Este es relativo. Supongo que lo veis, ¿no? El absoluto es que es el más alto de todos. El Everest es el más alto, ¿no? Pero si tenéis el Anapurna, pues este es un máximo en una región, pero tiene al lado el Everest, donde la altura es más alta. 123 00:12:54,990 --> 00:13:01,769 Entonces, ¿cómo se hace esto? 124 00:13:01,769 --> 00:13:14,139 ¿Cómo se hace? Pues importante, primero se estudia el dominio, se estudia el dominio, 125 00:13:14,139 --> 00:13:45,779 Luego, se iguala a cero la derivada y luego se decide el signo de la derivada en cada intervalo. 126 00:13:45,779 --> 00:14:15,779 Entonces, primera parte. ¿De qué tipo es esta función? Polinómica. ¿Y si es polinómica? ¿Cuál es el dominio? Son todos los números reales, ¿no? Se puede sustituir en cualquier punto. 127 00:14:15,779 --> 00:14:18,360 Segundo, segunda parte 128 00:14:18,360 --> 00:14:21,139 ¿Cuál es la derivada de esta función? 129 00:14:25,470 --> 00:14:26,769 Bajo el 3, ¿no? 130 00:14:27,950 --> 00:14:29,669 3x cuadrado menos 131 00:14:29,669 --> 00:14:32,169 menos 27, ¿no? 132 00:14:32,850 --> 00:14:33,009 ¿Sí? 133 00:14:34,490 --> 00:14:35,509 Igualo a cero 134 00:14:35,509 --> 00:14:39,559 ¿Entendéis por qué igualo a cero? 135 00:14:39,659 --> 00:14:42,879 Porque, ¿os acordáis del esquema que os he hecho en la otra figura? 136 00:14:43,700 --> 00:14:46,759 Que había localizado los puntos donde la derivada es cero 137 00:14:46,759 --> 00:14:50,919 Porque ahí es donde puede cambiar de creciente a decreciente o al revés. 138 00:14:52,000 --> 00:14:56,100 Bueno, pues queda 3x cuadrado menos 27 igual a 0. 139 00:14:57,840 --> 00:14:58,899 ¿Cómo resuelvo esto? 140 00:15:00,399 --> 00:15:04,480 3x cuadrado igual a 27. 141 00:15:05,360 --> 00:15:12,250 Entonces, x cuadrado es 27 entre 3, que es 9, ¿no? 142 00:15:12,990 --> 00:15:16,889 Y ahora, pensadlo antes de decirlo. 143 00:15:16,990 --> 00:15:17,549 ¿Cuánto vale? 144 00:15:17,549 --> 00:15:30,289 Ahí estamos. 3 o menos 3. No os olvidéis de la solución negativa. 145 00:15:32,919 --> 00:15:40,789 ¿Sí? La tercera parte es tomar un segmento. 146 00:15:43,590 --> 00:15:45,210 A ver, ¿dónde puedo hacer esto? 147 00:15:45,210 --> 00:15:55,639 Aquí. Tomo la recta. Señalo el 3. 148 00:15:56,919 --> 00:15:58,860 Y el menos 3. 149 00:16:00,360 --> 00:16:08,740 Elijo un punto aquí, por ejemplo, el menos 4, ¿está bien? 150 00:16:09,940 --> 00:16:16,480 Vale, pues hago 3 por menos 4 al cuadrado menos 27. 151 00:16:17,259 --> 00:16:24,320 Esto lo hago con la calculadora y me sale 21. 152 00:16:25,259 --> 00:16:26,259 ¿Es positivo? 153 00:16:27,200 --> 00:16:28,700 Esto es positivo. 154 00:16:29,360 --> 00:16:32,860 ¿Qué quiere decir? ¿La función aquí es creciente o decreciente? 155 00:16:33,879 --> 00:16:34,399 Crece. 156 00:16:36,899 --> 00:16:39,159 Elijo un punto entre menos 3 y 3. 157 00:16:39,299 --> 00:16:45,019 Por ejemplo, tú eliges el 2, pero yo elijo el 0 porque es más cómodo. 158 00:16:46,019 --> 00:16:50,539 3 por 0 al cuadrado, menos 27. 159 00:16:50,919 --> 00:16:53,740 Sale menos 27, menor que 0. 160 00:16:53,899 --> 00:16:57,879 Entonces, aquí digo que la función es decreciente. 161 00:16:57,879 --> 00:17:01,840 hay gente que le gusta poner la flecha así 162 00:17:01,840 --> 00:17:04,799 la flecha así 163 00:17:04,799 --> 00:17:07,099 bueno, esto es un esquema cada uno que lo haga como quiera 164 00:17:07,099 --> 00:17:11,000 y aquí por ejemplo tomo el 4 165 00:17:11,000 --> 00:17:14,839 pues sale 3 por 4 al cuadrado 166 00:17:14,839 --> 00:17:17,539 menos 27 167 00:17:17,539 --> 00:17:18,920 que sale 21 168 00:17:18,920 --> 00:17:22,279 o sea que aquí la función crece 169 00:17:22,279 --> 00:17:25,180 y ahora que no se os olvide 170 00:17:25,180 --> 00:17:27,859 después de haber hecho esta cuenta la compro 171 00:17:27,859 --> 00:17:51,799 ¿Dónde empieza este intervalo? En menos infinito. Bueno, f es creciente desde menos infinito hasta menos 3. 172 00:17:51,799 --> 00:18:11,549 ¿Y algún otro trozo donde es creciente? Entre 3 e infinito. Ahora, ¿dónde es decreciente? A ver, ¿de menos 3 a dónde? 173 00:18:13,349 --> 00:18:20,849 A ver, de aquí a aquí, ¿no? O sea, de menos 3 a 3, ¿no? 174 00:18:24,009 --> 00:18:36,150 Lo siguiente lo voy a hacer por lógica. Si aquí es creciente y aquí es decreciente, aquí queda un máximo o un mínimo o nada. Aquí hay un máximo. 175 00:18:36,150 --> 00:19:02,119 Y si aquí decrece y luego crece, habrá un mínimo. Efectivamente. Pues tiene un máximo en x igual a 3. Muchas veces me interesa saber cuál es ese máximo. 176 00:19:02,119 --> 00:19:07,319 O sea, yo puedo decir, ah no, es en x igual a menos 3, ¿no? 177 00:19:09,660 --> 00:19:15,119 Y yo quiero dibujar ese punto donde tengo que sustituir en la derivada o en la función. 178 00:19:18,240 --> 00:19:20,500 En la función, efectivamente. 179 00:19:21,259 --> 00:19:30,700 Y de menos 3 es menos 3 al cubo menos 27 por menos 3. 180 00:19:30,700 --> 00:19:34,680 Y esto, si lo hacéis, sale 54. 181 00:19:36,059 --> 00:19:43,420 Pues entonces, de aquí saco que el máximo es el menos 3, 54. 182 00:19:47,200 --> 00:19:54,140 Y ahora, hay un mínimo en x igual a 3. 183 00:19:54,799 --> 00:20:02,960 Y de 3 es 3 al cubo menos 27 por 3. 184 00:20:02,960 --> 00:20:05,519 Que yo sé que esto es menos 54. 185 00:20:05,619 --> 00:20:07,759 pues hay un mínimo 186 00:20:07,759 --> 00:20:10,319 en menos 3 187 00:20:10,319 --> 00:20:11,839 perdón, en 3 188 00:20:11,839 --> 00:20:16,200 3 menos 50 189 00:20:16,200 --> 00:20:17,339 ¿vale? 190 00:20:18,259 --> 00:20:20,599 entonces, esto es estudiar la monotonía 191 00:20:20,599 --> 00:20:21,240 de una función 192 00:20:21,240 --> 00:20:24,740 primero, que no se os olvide 193 00:20:24,740 --> 00:20:26,380 siempre pedirle el DNI 194 00:20:26,380 --> 00:20:28,140 a la función, que es su dominio 195 00:20:28,140 --> 00:20:29,380 y 196 00:20:29,380 --> 00:20:36,680 y luego estudiar el signo de la derivada 197 00:20:36,680 --> 00:20:39,519 y, por último, sacar las conclusiones correspondientes. 198 00:20:40,160 --> 00:20:53,420 Bueno, como siempre os digo, nos metemos en el ceocebra, en la calculadora gráfica, 199 00:20:53,420 --> 00:21:04,579 y la función que era, a ver, x cubo menos 27x, ¿no? 200 00:21:04,579 --> 00:21:15,700 Bueno, pues si ponéis aquí x elevado a 3 menos 27x, os sale esta función. 201 00:21:20,079 --> 00:21:24,180 No sé si veis que este es el máximo, menos 354. 202 00:21:24,180 --> 00:21:57,829 Lo voy a poner aquí. Voy a poner máximo de F entre 5 y 5. Aquí te piden valor. Ahí va, porque sale menos 3,9998. 203 00:22:07,180 --> 00:22:21,759 Sí, no, no, es que aquí no lo pone exactamente. Es una cosa curiosísima. Ah, ya, ya, ya. A ver, es entre menos 5 y menos 1. Creo que es por esto. 204 00:22:21,759 --> 00:22:26,319 no sé por qué 205 00:22:26,319 --> 00:22:29,480 está dando aquí un valor que no es exactamente 206 00:22:29,480 --> 00:22:31,759 menos 3, porque el valor exacto es menos 3 207 00:22:31,759 --> 00:22:33,079 no sé por qué 208 00:22:33,079 --> 00:22:34,720 entonces voy a quitarlo de aquí 209 00:22:34,720 --> 00:22:37,480 para que la gráfica sea bien, no sé por qué 210 00:22:37,480 --> 00:22:38,539 esto nunca me 211 00:22:38,539 --> 00:22:42,220 deja, pero 212 00:22:42,220 --> 00:22:44,819 vamos que hay algo 213 00:22:44,819 --> 00:22:46,859 por ahí en la programación de esto 214 00:22:46,859 --> 00:22:47,220 que 215 00:22:47,220 --> 00:22:50,220 que fascina un poquito 216 00:22:50,220 --> 00:22:52,660 bueno, entonces 217 00:22:52,660 --> 00:22:54,759 esto lo pongo como 218 00:22:54,759 --> 00:23:01,900 carácter y vamos al siguiente. Este siguiente, este es el que os dice ya si el tema de derivadas 219 00:23:01,900 --> 00:23:10,359 y la parte de función, porque es una función racional. Entonces, vamos a estudiar la monotonía 220 00:23:10,359 --> 00:23:20,240 de esta función. Esta función ya hemos dicho que es racional. El mismo esquema de antes, 221 00:23:20,599 --> 00:23:28,769 punto uno, dominio. Bueno, la función ya os he dicho que es racional. ¿Qué quiere 222 00:23:28,769 --> 00:23:44,740 decir que es racional. ¿Cuál es su dominio? Excepto los valores que anulan el denominador. 223 00:23:48,140 --> 00:23:56,140 Esto, acordaos, esto es del primer día que empezamos funciones. Los dominios, incluso 224 00:23:56,140 --> 00:24:02,240 creo que han caído en algún ejercicio de examen, son fundamentales, por lo menos, de 225 00:24:02,240 --> 00:24:06,180 funciones polinómicas, que son todos los números reales, 226 00:24:06,259 --> 00:24:09,940 eso lo sabíais, las racionales, las que tienen radical 227 00:24:09,940 --> 00:24:13,799 y las logarítmicas, ¿no? 228 00:24:14,480 --> 00:24:20,799 Bueno, ahora, segunda parte. Ah, bueno, 229 00:24:20,799 --> 00:24:24,799 no he terminado. ¿En qué valores 230 00:24:24,799 --> 00:24:31,809 el denominador es cero? En x igual a cero. 231 00:24:34,769 --> 00:24:37,809 Bueno, segunda parte. Derivo 232 00:24:37,809 --> 00:24:50,109 la función. ¿Cómo se deriva esta función? Derivada del numerador, que es 1, por denominador 233 00:24:50,109 --> 00:25:00,450 sin derivar, menos numerador sin derivar por derivada del denominador. Y aquí partido 234 00:25:00,450 --> 00:25:02,069 por el denominador al cuadrado. 235 00:25:02,750 --> 00:25:03,950 Hacemos las cuentas. 236 00:25:04,390 --> 00:25:06,930 X menos X menos 1 237 00:25:06,930 --> 00:25:09,049 partido por X cuadrado. 238 00:25:09,170 --> 00:25:10,289 O sea, queda menos 1 239 00:25:10,289 --> 00:25:11,650 partido por X cuadrado. 240 00:25:12,650 --> 00:25:12,769 ¿Sí? 241 00:25:13,630 --> 00:25:15,549 ¿Qué hago con esa derivada? 242 00:25:18,079 --> 00:25:19,440 La tengo que igualar a 243 00:25:19,440 --> 00:25:20,940 a cero. 244 00:25:21,900 --> 00:25:23,839 Esto que os parece tan difícil 245 00:25:23,839 --> 00:25:25,960 es muy sencillo porque lo que está 246 00:25:25,960 --> 00:25:26,900 dividiendo pasa 247 00:25:26,900 --> 00:25:28,799 multiplicando. 248 00:25:29,319 --> 00:25:31,759 Menos 1. ¿Y cuánto es X cuadrado por cero? 249 00:25:32,140 --> 00:25:56,299 Esto no tiene solución, ¿no? Pues ahora me diréis, a ver, el apartado 3 consiste en dibujar la recta y señalar los puntos donde la derivada es 0. ¿Qué puntos tengo que señalar? Ninguno. 250 00:25:56,299 --> 00:25:58,920 entonces uno podría decir 251 00:25:58,920 --> 00:26:01,400 si no hay ningún punto es siempre creciente 252 00:26:01,400 --> 00:26:02,880 o siempre decreciente 253 00:26:02,880 --> 00:26:05,140 pero aquí 254 00:26:05,140 --> 00:26:07,599 hay que tener en cuenta 255 00:26:07,599 --> 00:26:14,849 que hay un punto 256 00:26:14,849 --> 00:26:16,210 que no es del dominio 257 00:26:16,210 --> 00:26:18,829 y si hay un punto que no es 258 00:26:18,829 --> 00:26:19,569 del dominio 259 00:26:19,569 --> 00:26:22,990 hay que señalarlo como un punto hueco 260 00:26:22,990 --> 00:26:24,769 porque si aquí 261 00:26:24,769 --> 00:26:26,890 la función no es continua 262 00:26:26,890 --> 00:26:28,910 puede que en un trozo la derivada 263 00:26:28,910 --> 00:26:30,829 tenga un signo y en el otro tenga otro 264 00:26:31,769 --> 00:26:44,000 Entonces, ya tengo dos trozos. Por ejemplo, elijo un número aquí. El, pues el menos uno, por ejemplo, ¿no? 265 00:26:45,759 --> 00:26:54,400 Un número más pequeño que el cero, o sea, que sería menos uno partido por menos uno al cuadrado. Esto vale menos uno, que es negativo, ¿no? 266 00:26:54,839 --> 00:26:56,059 ¿Cómo es la función aquí? 267 00:26:59,680 --> 00:27:01,059 ¿Creciente o decreciente? 268 00:27:01,059 --> 00:27:03,480 decreciente 269 00:27:03,480 --> 00:27:07,329 o sea que va para abajo 270 00:27:07,329 --> 00:27:10,470 y ahora si calculo la derivada 271 00:27:10,470 --> 00:27:11,049 en el 1 272 00:27:11,049 --> 00:27:14,210 me sale menos 1 partido por 1 al cuadrado 273 00:27:14,210 --> 00:27:15,470 también sale menos 1 274 00:27:15,470 --> 00:27:18,089 negativo, entonces aquí es 275 00:27:18,089 --> 00:27:20,910 decreciente 276 00:27:20,910 --> 00:27:25,329 y aquí en el 0 277 00:27:25,329 --> 00:27:26,849 ¿qué hay? ¿máximo o mínimo? 278 00:27:27,869 --> 00:27:28,849 no hay nada 279 00:27:28,849 --> 00:27:30,269 por dos motivos 280 00:27:30,269 --> 00:27:32,769 primero porque si crece y sigue 281 00:27:32,769 --> 00:27:34,970 si decrece y sigue bajando 282 00:27:34,970 --> 00:27:36,910 no puede haber un mínimo 283 00:27:36,910 --> 00:27:37,910 ¿no? pero 284 00:27:37,910 --> 00:27:40,450 ese no es el verdadero motivo 285 00:27:40,450 --> 00:27:42,630 el verdadero motivo es que como no está 286 00:27:42,630 --> 00:27:44,910 definida la función no puede haber 287 00:27:44,910 --> 00:27:46,549 nada, entonces 288 00:27:46,549 --> 00:27:48,190 pasamos a la conclusión 289 00:27:48,190 --> 00:27:50,430 ¿cuál sería la conclusión? 290 00:27:53,079 --> 00:27:53,960 que f es 291 00:27:53,960 --> 00:27:58,180 decreciente ¿dónde? 292 00:28:03,980 --> 00:28:05,359 de aquí a aquí ¿no? 293 00:28:06,559 --> 00:28:07,799 de menos infinito 294 00:28:07,799 --> 00:28:08,460 a cero 295 00:28:08,460 --> 00:28:11,799 en el cero no existe con lo cual 296 00:28:11,799 --> 00:28:13,119 el intervalo es abierto 297 00:28:13,119 --> 00:28:19,500 y lo de cero infinito. 298 00:28:20,059 --> 00:28:25,500 Aquí, en este caso, el estudio de la monotonía parece más corto. 299 00:28:26,299 --> 00:28:29,460 Si queréis dibujar la función de un geogebra, pues la podéis dibujar 300 00:28:29,460 --> 00:28:32,799 y ya veréis que es una función que siempre es decreciente. 301 00:28:37,500 --> 00:28:40,799 Bueno, entonces, vamos ya a lo último de hoy, que no es poco, 302 00:28:41,000 --> 00:28:42,500 porque estas cosas hay que practicarlas, 303 00:28:43,420 --> 00:28:45,599 que es la representación gráfica de funciones. 304 00:28:46,440 --> 00:28:58,259 A ver, en el libro os habla de varias cosas. Os habla de si la función es par o impar. Yo no os lo voy a pedir. Yo solo os voy a pedir el dominio que ya lo hemos estudiado. 305 00:28:59,240 --> 00:29:05,599 Los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas, que es bastante sencillo. 306 00:29:07,940 --> 00:29:15,039 Y el cálculo de las asíntotas, que ya lo hemos visto, y el estudio de la monotonía y los puntos críticos. 307 00:29:15,039 --> 00:29:18,000 Los puntos críticos, que sepáis que son los máximos o mínimos. 308 00:29:20,759 --> 00:29:28,720 Bueno, entonces, este ejercicio, que a mí me parece sorprendente, este ejercicio es de Bau y es un ejercicio de primero. 309 00:29:30,740 --> 00:29:35,599 Aquí os tengo que decir que no voy a hacer los cortes con los ejes porque no salen exactos. 310 00:29:36,079 --> 00:29:37,740 Y, de hecho, el ejercicio no lo pide. 311 00:29:38,619 --> 00:29:42,500 Pero vamos, entonces, estrategia aquí. 312 00:29:42,500 --> 00:29:50,960 El dominio. Como es una función polinómica, el dominio es todos los números reales. 313 00:29:52,640 --> 00:29:56,740 Puntos de corte no los pide, no los voy a hacer porque no saben exactos. 314 00:29:57,079 --> 00:29:59,180 Asíntotas. ¿Qué asíntotas tienen polinomio? 315 00:30:00,839 --> 00:30:04,400 Acordaos, un polinomio no tiene asíntotas. 316 00:30:04,859 --> 00:30:08,519 Y por último, monotonía. 317 00:30:08,740 --> 00:30:11,819 Pues la monotonía es lo que le vamos a dar más importancia aquí. 318 00:30:11,819 --> 00:30:39,450 ¿Vale? Entonces, vamos a ver cómo se representa esta función. Primero, uno, el dominio. ¿Cuál es el dominio? Todos los números del control. ¿Sí? Bueno, cortes no los piden. Luego, en el otro sí que lo haremos, ¿no? No los piden. Hay veces que no piden todo. 319 00:30:39,450 --> 00:30:44,089 Y asíntotas no tiene porque es un polinomio. 320 00:30:47,119 --> 00:30:48,400 Porque es polinómica. 321 00:30:51,049 --> 00:30:56,190 Porque es polinómica. 322 00:30:58,650 --> 00:31:01,390 Bueno, pues nos vamos directamente a lo que hemos hecho antes. 323 00:31:01,769 --> 00:31:02,690 ¿Qué tengo que hacer ahora? 324 00:31:04,009 --> 00:31:05,049 La derivada, ¿no? 325 00:31:05,849 --> 00:31:09,569 La derivada de esta función es 3. 326 00:31:13,480 --> 00:31:14,619 La 0. 327 00:31:14,619 --> 00:31:47,299 Tomo la derivada y la igualo a 0. ¿Qué me sale? 3x cuadrado igual a más 3. x cuadrado es 3 partido por 3, que es 1. ¿Y cuánto vale x? Vale la raíz de 1, pero que puede ser o más o menos. 328 00:31:47,299 --> 00:31:49,980 acordaos que hay dos posibilidades 329 00:31:49,980 --> 00:31:51,599 menos uno, menos uno 330 00:31:51,599 --> 00:31:54,019 y ahora, tercera parte 331 00:31:54,019 --> 00:31:56,519 me voy a la recta 332 00:31:56,519 --> 00:31:58,279 que está 333 00:31:58,279 --> 00:32:00,180 y señalo el 334 00:32:00,180 --> 00:32:02,019 menos uno 335 00:32:02,019 --> 00:32:03,099 y el uno 336 00:32:03,099 --> 00:32:05,900 como el dominio es todo R, no tengo que poner 337 00:32:05,900 --> 00:32:07,799 puntos huecos, y ahora por ejemplo 338 00:32:07,799 --> 00:32:08,779 aquí, ¿qué diríamos? 339 00:32:10,119 --> 00:32:11,339 y' en 340 00:32:11,339 --> 00:32:14,079 menos dos, por ejemplo 341 00:32:14,079 --> 00:32:15,440 ¿cuánto sale? 342 00:32:15,440 --> 00:32:20,279 3 por menos 2 al cuadrado 343 00:32:20,279 --> 00:32:21,680 menos 3 344 00:32:21,680 --> 00:32:23,960 bueno, mano calculadora 345 00:32:23,960 --> 00:32:26,160 3 por 4, 12 menos 3 es 9 346 00:32:26,160 --> 00:32:27,960 conclusión aquí 347 00:32:27,960 --> 00:32:29,700 flecha para arriba o para abajo 348 00:32:29,700 --> 00:32:33,660 para arriba 349 00:32:33,660 --> 00:32:36,059 por ejemplo aquí 350 00:32:36,059 --> 00:32:37,079 en el 0 351 00:32:37,079 --> 00:32:40,460 saldrá la derivada 352 00:32:40,460 --> 00:32:42,160 menos 3 353 00:32:42,160 --> 00:32:44,220 ¿no? porque es 0 menos 3 354 00:32:44,220 --> 00:32:45,259 menos 3, ¿qué pongo? 355 00:32:47,140 --> 00:32:49,259 decreciente 356 00:32:49,259 --> 00:32:51,579 y por ejemplo en el 2 357 00:32:51,579 --> 00:32:54,240 calculo 3 358 00:32:54,240 --> 00:32:56,140 por 2 al cuadrado menos 3 359 00:32:56,140 --> 00:32:57,140 y sale 9 360 00:32:57,140 --> 00:32:57,960 y pongo 361 00:32:57,960 --> 00:33:01,819 creciente, que sepáis que no siempre 362 00:33:01,819 --> 00:33:03,500 es arriba, abajo, arriba, abajo 363 00:33:03,500 --> 00:33:05,539 por ejemplo en la anterior era abajo, abajo 364 00:33:05,539 --> 00:33:07,359 bueno, entonces 365 00:33:07,359 --> 00:33:08,480 conclusión 366 00:33:08,480 --> 00:33:17,640 f es creciente, ¿dónde? 367 00:33:19,579 --> 00:33:28,059 en este trozo 368 00:33:28,059 --> 00:33:30,460 ¿y este trozo cuál es? 369 00:33:30,640 --> 00:33:32,740 de menos infinito 370 00:33:32,740 --> 00:33:36,599 ¿hay algún otro trozo en que sea creciente? 371 00:33:39,279 --> 00:33:42,000 ¿desde dónde? 372 00:33:44,579 --> 00:33:45,900 ¿dónde empieza a subir? 373 00:33:49,079 --> 00:33:51,079 desde 1 hasta el infinito 374 00:33:51,079 --> 00:33:53,980 ¿ahora dónde es decreciente la función? 375 00:33:57,059 --> 00:34:01,359 en el intervalo menos 1, 1 376 00:34:01,359 --> 00:34:03,200 ¿y ahora qué pasa aquí? 377 00:34:04,160 --> 00:34:34,860 Sí sube y baja. Aquí hay máximo. ¿Y aquí? Pues todo eso lo pongo. X igual a menos 1, hay un máximo, ¿no? ¿Cómo calculo la Y? Sustituyendo aquí, ¿no? 378 00:34:34,860 --> 00:34:38,039 menos 1 elevado al cubo 379 00:34:38,039 --> 00:34:40,139 menos 3 por menos 1 380 00:34:40,139 --> 00:34:41,440 más 1 381 00:34:41,440 --> 00:34:42,280 y esto sale 382 00:34:42,280 --> 00:34:48,090 menos 1 383 00:34:48,090 --> 00:34:51,210 sale 3, ¿no? 384 00:34:53,409 --> 00:34:55,090 Entonces, al máximo 385 00:34:55,090 --> 00:34:56,650 lo llamo m matriz. 386 00:34:58,070 --> 00:34:59,469 La x vale menos 1 387 00:34:59,469 --> 00:35:00,769 y la y vale 3. 388 00:35:01,670 --> 00:35:03,090 Y en x igual a 1 389 00:35:03,090 --> 00:35:04,349 hay un mínimo, ¿no? 390 00:35:06,650 --> 00:35:08,690 Si la x vale 1 391 00:35:08,690 --> 00:35:09,829 la y vale 392 00:35:09,829 --> 00:35:11,989 1 al cubo 393 00:35:11,989 --> 00:35:14,389 menos 3 por 1 394 00:35:14,389 --> 00:35:16,650 más 1. 395 00:35:17,949 --> 00:35:18,590 Y esto sale 396 00:35:18,590 --> 00:35:20,070 menos 1, ¿no? 397 00:35:21,650 --> 00:35:23,670 O sea, que el mínimo es 398 00:35:23,670 --> 00:35:24,989 1 399 00:35:24,989 --> 00:35:26,829 menos 1. 400 00:35:26,829 --> 00:35:27,469 ¿Sí? 401 00:35:27,969 --> 00:35:30,429 Bueno, pues ahora, ¿cómo uso esta función? 402 00:35:33,090 --> 00:35:34,469 Porque la última parte 403 00:35:34,469 --> 00:35:35,610 es representar la función. 404 00:35:36,909 --> 00:35:38,449 Lo voy a hacer en otra 405 00:35:38,449 --> 00:35:42,429 de esta porque si no es un fobio. 406 00:35:47,840 --> 00:35:48,019 Vale. 407 00:35:49,280 --> 00:35:50,840 Bueno, máximo en 408 00:35:50,840 --> 00:35:52,320 uno menos uno. 409 00:35:53,519 --> 00:35:55,179 Bueno, pues con estos 410 00:35:55,179 --> 00:35:56,980 datos se puede hacer un esbozo 411 00:35:56,980 --> 00:35:57,619 de la función. 412 00:35:58,780 --> 00:36:01,460 ¿De qué forma? Dibujo los ejes 413 00:36:01,460 --> 00:36:05,800 y hemos 414 00:36:05,800 --> 00:36:07,440 dicho que había un mínimo 415 00:36:07,440 --> 00:36:08,800 en uno menos uno. 416 00:36:09,420 --> 00:36:10,599 Es este punto. 417 00:36:11,480 --> 00:36:13,360 Como es mínimo, se lo pongo 418 00:36:13,360 --> 00:36:14,800 la m pequeña de base. 419 00:36:15,559 --> 00:36:17,519 ¿Y el máximo estaba en qué punto? 420 00:36:21,869 --> 00:36:24,409 No, era más grande. A ver, ¿era el? 421 00:36:26,449 --> 00:36:27,510 Menos 1, 3. 422 00:36:29,449 --> 00:36:30,789 Menos 1, 3. 423 00:36:32,650 --> 00:36:36,170 Como es un máximo, le pongo una M mayúscula y se la pongo arriba. 424 00:36:37,150 --> 00:36:39,250 Entonces, ¿qué sé yo de esta función? 425 00:36:39,989 --> 00:36:46,409 Que aquí hay un máximo, que aquí hay un mínimo, y luego lo uno como pueda. 426 00:36:46,869 --> 00:36:56,530 Pues, ¿cómo uniría esto con esto? Pues más o menos así, de la forma más suave posible, y aquí remonta hacia arriba y esto hacia abajo. 427 00:36:57,250 --> 00:37:03,409 Los puntos de corte en este caso son difíciles de calcular, por eso no os lo pide este ejercicio. 428 00:37:04,289 --> 00:37:09,250 De todas formas, en el siguiente sí voy a hacerlo para que veáis. 429 00:37:09,250 --> 00:37:28,050 Tenéis un montón de actividades propuestas. Algunas están resueltas también en el libro para que tengáis una referencia. Yo insisto, os voy a pedir dominio, puntos de corte, asíntotas y monotonía, que es lo que más he dado. 430 00:37:28,050 --> 00:37:31,250 las simetrías y no sé si la periodicidad 431 00:37:31,250 --> 00:37:33,150 pues no 432 00:37:33,150 --> 00:37:37,510 os la voy a preguntar. Si queréis leerosla, pues siempre es interesante. 433 00:37:38,289 --> 00:37:40,190 Bueno, y aquí voy a intentar hacer 434 00:37:40,190 --> 00:37:43,090 el estudio completo de la función. Me quedan 435 00:37:43,090 --> 00:37:45,489 15 minutos, con lo cual se me da tiempo. 436 00:37:46,510 --> 00:37:48,210 Y además, bueno, al menos está 437 00:37:48,210 --> 00:37:56,219 vale. Vamos a ver. 438 00:37:56,900 --> 00:37:59,639 Tenemos esta función real de variables 439 00:37:59,639 --> 00:38:02,000 reales, de esos números reales 440 00:38:02,000 --> 00:38:03,980 definida por 441 00:38:03,980 --> 00:38:07,400 esta función aquí. Entonces vamos a hacer 442 00:38:07,400 --> 00:38:09,539 primero el dominio, 443 00:38:13,639 --> 00:38:14,539 luego los cortes 444 00:38:14,539 --> 00:38:15,400 con los ejes, 445 00:38:18,269 --> 00:38:19,510 luego las asíntotas 446 00:38:19,510 --> 00:38:25,820 y luego por último la monocamera. 447 00:38:30,619 --> 00:38:32,300 ¿Cómo empiezo con el dominio? 448 00:38:39,849 --> 00:38:41,030 ¿De qué tipo es esa función? 449 00:38:41,969 --> 00:38:43,110 Polinómica, racional, 450 00:38:43,409 --> 00:38:43,769 radical, 451 00:38:44,869 --> 00:38:45,670 logarítmica. 452 00:38:47,090 --> 00:38:48,449 Es racional, ¿no? 453 00:38:48,449 --> 00:38:50,250 O sea que son todos los números 454 00:38:50,250 --> 00:39:09,599 reales excepto los valores que anulan el denominador pues hago el cálculo aquí 455 00:39:09,599 --> 00:39:11,920 hay que hacer la ecuación de segundo grado completa 456 00:39:11,920 --> 00:39:28,019 esto si no me equivoco si recordáis de la primera evaluación os recomendaba que 457 00:39:28,019 --> 00:39:33,960 esto lo hicierais con la calculadora sale 16 la raíz de 16 es 4 lo dividís 458 00:39:33,960 --> 00:39:35,820 entre 2 y hay dos posibilidades 459 00:39:35,820 --> 00:39:42,739 Menos 2 más 4 entre 2, que es 2 entre 2, que es 1 460 00:39:42,739 --> 00:39:47,460 Y menos 2 menos 4 entre 2, que sale menos 3 461 00:39:47,460 --> 00:39:55,360 O sea que el dominio de la función son todos los números reales excepto el menos 3 y el 1 462 00:39:55,360 --> 00:40:00,420 Esto no es un intervalo, son dos puntos sueltos, el menos 3 y el 1 463 00:40:00,420 --> 00:40:10,480 Bien, la segunda parte de cortes con los ejes es sencilla, pero tenéis que acordaros. 464 00:40:11,000 --> 00:40:16,019 Los cortes con los ejes se producen o bien cuando x es igual a 0. 465 00:40:17,559 --> 00:40:28,300 Si x es igual a 0, tengo que calcular la y, que es f de 0, que es 10 partido por 0 al cuadrado más 2 por 0 menos 3. 466 00:40:28,300 --> 00:40:32,739 Y esto, si no me equivoco, sale menos 10 tercios. 467 00:40:33,980 --> 00:40:45,760 O sea que el primer punto de corte es aquel en el que la X vale 0 y la Y vale menos 10 tercios. 468 00:40:51,320 --> 00:40:59,860 Hay otros cortes que son con el eje de la X, que es cuando la Y vale 0. 469 00:40:59,860 --> 00:41:05,900 ¿Cuándo la i vale cero? Pues cuando la función vale cero. 470 00:41:06,900 --> 00:41:18,840 Y como siempre aquí, veis esto, parece que es una cosa complicadísima, pero lo que estamos dividiendo pasa multiplicando. 471 00:41:20,099 --> 00:41:24,039 Entonces cero es igual a diez. ¿Y qué significa cero igual a diez? 472 00:41:26,639 --> 00:41:31,260 Eso es imposible, ¿no? Efectivamente no tiene solución. 473 00:41:32,179 --> 00:41:37,039 Entonces, solo hay un punto de corte y es cuando x igual a cero. 474 00:41:37,159 --> 00:41:41,780 Cuando x igual a cero, pues desgraciadamente o afortunadamente no hay punto de corte. 475 00:41:43,460 --> 00:41:49,380 Seguimos con las asíntotas. Esto, como veis, es un repaso de este tema y del anterior. 476 00:41:50,940 --> 00:41:55,840 Asíntotas. A ver, ¿puede tener asíntotas verticales? 477 00:41:59,909 --> 00:42:02,369 ¿Dónde se buscan las asíntotas verticales? 478 00:42:02,369 --> 00:42:07,550 en los puntos que no son del dominio, ¿no? 479 00:42:08,610 --> 00:42:18,869 Candidatos, pues por una parte, en x igual a menos 3, ¿no? 480 00:42:19,590 --> 00:42:24,489 Tengo que hacer el límite cuando x tiende a menos 3 de la función 481 00:42:24,489 --> 00:42:38,679 y esto sale 10 partido por 0. 482 00:42:39,780 --> 00:42:42,519 ¿Qué pasa si sale 10 partido por 0? 483 00:42:43,000 --> 00:42:48,800 Que el límite es o más o menos infinito. 484 00:42:48,800 --> 00:42:50,679 Pues aquí hay asíntota vertical. 485 00:42:51,800 --> 00:42:53,159 Asíntota vertical. 486 00:42:53,820 --> 00:42:57,719 No sé si va hacia un lado o hacia otro, pero ya veréis cómo lo vamos a sacar. 487 00:42:58,579 --> 00:43:02,619 Pues la asíntota vertical es x igual a menos 3. 488 00:43:04,179 --> 00:43:05,800 ¿Cuál es el otro candidato? 489 00:43:08,329 --> 00:43:20,170 x igual a 1, ¿no? 490 00:43:21,789 --> 00:43:23,230 x igual a 1. 491 00:43:23,809 --> 00:43:40,750 Pues vamos a ver, el límite cuando x tiende a 1 de la función, bueno, esto lo he escrito mal, lo voy a dejar así, lo correcto es ponerlo así. 492 00:43:41,570 --> 00:43:47,030 Esto sale 10 y aquí hago 1 más 2, 3 menos 3, 0. 493 00:43:47,769 --> 00:43:50,550 O sea que de nuevo hay otra asíntota vertical. 494 00:43:52,840 --> 00:43:58,460 Hay una asíntota vertical en x igual a menos 3 y una asíntota vertical en x igual a. 495 00:43:59,340 --> 00:44:00,800 Y lo último. 496 00:44:02,639 --> 00:44:06,659 ¿Hay asíntota horizontal, oblicua o ninguna? 497 00:44:06,659 --> 00:44:11,639 hay asíntota 498 00:44:11,639 --> 00:44:13,780 horizontal, yo lo sé 499 00:44:13,780 --> 00:44:15,960 porque el grado del numerador es más pequeño 500 00:44:15,960 --> 00:44:17,519 o igual que el del denominador 501 00:44:17,519 --> 00:44:18,599 pero 502 00:44:18,599 --> 00:44:21,420 si no lo sé 503 00:44:21,420 --> 00:44:23,420 tengo que hacer el límite 504 00:44:23,420 --> 00:44:24,900 cuando x tiende a infinito 505 00:44:24,900 --> 00:44:27,519 de 10 partido por 506 00:44:27,519 --> 00:44:30,019 x cuadrado más 2x 507 00:44:30,019 --> 00:44:30,960 menos 3 508 00:44:30,960 --> 00:44:33,579 acordaros, se toma el término 509 00:44:33,579 --> 00:44:36,119 de mayor grado del numerador y del denominador 510 00:44:36,119 --> 00:44:38,059 y cuántos 511 00:44:38,059 --> 00:44:39,420 10 partido por infinito? 512 00:44:40,920 --> 00:44:42,000 Si yo divido 513 00:44:42,000 --> 00:44:43,840 10 euros entre infinitas personas, 514 00:44:44,000 --> 00:44:46,159 ¿a cuánto toca? A cero, 515 00:44:46,239 --> 00:44:47,920 ¿no? Pues 516 00:44:47,920 --> 00:44:50,119 entonces hay una asíntota 517 00:44:50,119 --> 00:44:51,679 horizontal en 518 00:44:51,679 --> 00:44:53,019 i igual a cero. 519 00:44:53,960 --> 00:44:55,860 Como es racional, sé que va a ser 520 00:44:55,860 --> 00:44:57,599 por la izquierda y por la derecha. 521 00:44:57,599 --> 00:44:59,519 En infinito y en más infinito. 522 00:45:00,300 --> 00:45:01,280 Bueno, pues entonces 523 00:45:01,280 --> 00:45:03,420 ya tengo ahí un montón de cosas. 524 00:45:03,639 --> 00:45:04,840 Tengo dos asíntotas 525 00:45:04,840 --> 00:45:06,039 y tengo 526 00:45:06,039 --> 00:45:31,159 Y tengo un punto de corte, ¿no? Vale. Entonces, voy a coger la función de nuevo, que no se me olvide. 527 00:45:31,159 --> 00:45:40,369 que sea hasta ahora 528 00:45:40,369 --> 00:45:43,650 pues que tengo 529 00:45:43,650 --> 00:45:44,670 una función 530 00:45:44,670 --> 00:45:49,980 que tiene una asíntota 531 00:45:49,980 --> 00:45:50,980 vertical 532 00:45:50,980 --> 00:45:53,340 en x igual a 1 533 00:45:53,340 --> 00:46:00,679 tiene una asíntota vertical 534 00:46:00,679 --> 00:46:02,420 en x igual a menos 3 535 00:46:02,420 --> 00:46:03,019 era el otro 536 00:46:03,019 --> 00:46:10,769 y además tiene dos asíntotas vertical 537 00:46:10,769 --> 00:46:12,949 asíntota vertical 538 00:46:12,949 --> 00:46:14,750 y tiene una asíntota 539 00:46:14,750 --> 00:46:15,590 horizontal 540 00:46:15,590 --> 00:46:18,730 que os dije que en una función racional 541 00:46:18,730 --> 00:46:21,090 si está por la izquierda, también vale por la derecha. 542 00:46:22,289 --> 00:46:24,250 Si me vale por la derecha, vale por la izquierda. 543 00:46:24,789 --> 00:46:28,010 Que había un punto de corte que era el 0 menos 10 tercios. 544 00:46:28,670 --> 00:46:31,710 Menos 10 tercios sabéis que es 3, algo, ¿no? 545 00:46:32,949 --> 00:46:35,789 Bueno, pues este es el único punto de corte que hay. 546 00:46:37,550 --> 00:46:37,989 ¿Sí? 547 00:46:39,349 --> 00:46:42,690 Bueno, yo si quisiera dibujar esta función, yo sé cómo va. 548 00:46:43,429 --> 00:46:45,110 Yo sé que esta función va así. 549 00:46:45,110 --> 00:46:47,250 Lo que no sé es dónde está el máximo o el mínimo. 550 00:46:47,409 --> 00:46:47,969 ¿Sabéis por qué? 551 00:46:49,650 --> 00:46:51,389 Porque no tiene más puntos de corte. 552 00:46:52,050 --> 00:46:57,150 Entonces, si va hacia arriba, tiene que cortar a este S. 553 00:46:57,329 --> 00:46:58,449 Yo sé que va a ir así. 554 00:46:58,929 --> 00:46:59,809 Luego lo vamos a ver. 555 00:47:00,449 --> 00:47:02,750 Y por aquí no tengo ni idea de cómo va a ir. 556 00:47:03,110 --> 00:47:06,090 Pero lo voy a saber porque me falta estudiar la anatomía. 557 00:47:08,659 --> 00:47:09,579 Derivo la función. 558 00:47:14,230 --> 00:47:15,769 ¿Cuál es la derivada de esta función? 559 00:47:15,769 --> 00:47:19,489 La derivada del numerador, que es cero. 560 00:47:19,909 --> 00:47:37,230 por el denominador sin derivar, menos 10 por 2x más 2, y aquí partido por el denominador al cuadrado. 561 00:47:38,349 --> 00:47:44,789 Que no cunda el pánico, porque esto queda muy fácil, queda menos 20x menos 20, 562 00:47:44,789 --> 00:47:51,969 partido por 563 00:47:51,969 --> 00:47:54,550 lo de abajo no se opera, ¿verdad? 564 00:47:58,019 --> 00:48:00,900 Entonces, si tomo la derivada 565 00:48:00,900 --> 00:48:02,780 y la igualo a cero, 566 00:48:12,489 --> 00:48:14,309 ¿cómo se desarrolla esto? 567 00:48:15,309 --> 00:48:18,230 Esto que está dividiendo, multiplicando, ¿no? 568 00:48:18,909 --> 00:48:21,329 Menos 20x menos 20 569 00:48:21,329 --> 00:48:24,230 igual a cero. Con lo cual 570 00:48:24,230 --> 00:48:27,670 menos 20x es igual a 20 571 00:48:27,670 --> 00:48:29,050 como cual 572 00:48:29,050 --> 00:48:32,269 x es 20 dividido entre menos 20 573 00:48:32,269 --> 00:48:33,409 que es menos 1 574 00:48:33,409 --> 00:48:35,670 entonces 575 00:48:35,670 --> 00:48:37,409 dibujo la recta 576 00:48:37,409 --> 00:48:39,670 esto es lo que llevamos haciendo toda la clase 577 00:48:39,670 --> 00:48:42,170 dibujo la recta 578 00:48:42,170 --> 00:48:44,010 ¿qué punto tengo que señalar? 579 00:48:47,019 --> 00:48:47,780 el 1 ¿no? 580 00:48:49,619 --> 00:48:50,320 ah, menos 1 581 00:48:50,320 --> 00:48:51,199 perdón, menos 1 582 00:48:51,199 --> 00:48:53,159 menos 1 583 00:48:53,159 --> 00:48:55,539 pero es que el 1 había 584 00:48:55,539 --> 00:48:58,659 ¿os acordáis del dominio? que el 1 no estaba en el dominio 585 00:48:58,659 --> 00:49:07,719 Y el menos 3 tampoco estaba en el dominio. Pues tengo 4 trocitos en los cuales tengo que sustituir la derivada. 586 00:49:08,360 --> 00:49:21,420 Pues por ejemplo, en menos 4, y prima en menos 4 es menos 20 por menos 4 menos 20 partido por no sé qué elevado al cuadrado. 587 00:49:21,420 --> 00:49:24,820 Bueno, yo sé que esto es positivo. ¿Sabéis por qué? 588 00:49:27,079 --> 00:49:29,840 Porque el denominador va a ser positivo, ¿no? 589 00:49:30,519 --> 00:49:35,059 Y el numerador es 20 por 4, que es 80, menos 20, 60, ¿no? 590 00:49:35,539 --> 00:49:38,719 O sea, bueno, esto lo hacéis con calma si tenéis alguna duda. 591 00:49:39,360 --> 00:49:42,820 Aquí hacéis la derivada y prima. ¿En dónde? 592 00:49:44,019 --> 00:49:45,800 En menos 2, por ejemplo, ¿no? 593 00:49:45,800 --> 00:49:48,960 bueno, si lo hacéis en menos 2 594 00:49:48,960 --> 00:49:51,619 os va a salir también positiva 595 00:49:51,619 --> 00:49:57,019 y si lo hacéis en el 0, ¿qué sale? 596 00:50:00,769 --> 00:50:02,949 aquí sale 0, aquí sale menos 20 597 00:50:02,949 --> 00:50:05,789 y lo de abajo es positivo, pues aquí va a salir negativa 598 00:50:05,789 --> 00:50:10,980 y por último, en el 2 599 00:50:10,980 --> 00:50:15,219 ¿qué sale? menos 40, menos 20 600 00:50:15,219 --> 00:50:17,460 menos 60, como el denominador es positivo 601 00:50:17,460 --> 00:50:18,679 menos entre más, menos 602 00:50:18,679 --> 00:50:23,500 entonces, conclusión 603 00:50:23,960 --> 00:50:48,019 ¿Conclusión? ¿F dónde es creciente? De menos infinito a menos 3. Y el menos 3 no existe, sino podría empalmar unión menos 3 menos 1. ¿Dónde es decreciente? 604 00:50:48,019 --> 00:51:03,230 De menos 1 a 1, en el 1 no existe, no está en el dominio, unión 1 infinito. 605 00:51:03,849 --> 00:51:05,750 ¿Y aquí qué hay? ¿Máximo o mínimo? 606 00:51:07,190 --> 00:51:08,829 Nada, porque el punto es huevo. 607 00:51:09,769 --> 00:51:11,949 Aquí sí hay un máximo, ¿no? 608 00:51:14,940 --> 00:51:16,239 Y aquí no hay nada. 609 00:51:16,579 --> 00:51:19,840 Bueno, hay un máximo en x igual a menos 1, ¿no? 610 00:51:20,360 --> 00:51:23,840 Si x es igual a menos 1, tengo que calcular y. 611 00:51:23,840 --> 00:51:26,159 ¿Cuánto vale y de menos 1? 612 00:51:27,380 --> 00:51:29,179 Pues 10 dividido entre 613 00:51:29,179 --> 00:51:30,820 menos 1 al cuadrado 614 00:51:30,820 --> 00:51:33,059 más 2 por menos 1 615 00:51:33,059 --> 00:51:34,239 menos 3 616 00:51:34,239 --> 00:51:36,059 ¿Y esto cuánto sale? 617 00:51:37,440 --> 00:51:37,920 1 618 00:51:37,920 --> 00:51:41,300 menos 619 00:51:41,300 --> 00:51:45,039 partido por menos 4 620 00:51:45,039 --> 00:51:45,219 ¿No? 621 00:51:46,440 --> 00:51:48,460 O sea, menos 2,5 622 00:51:48,460 --> 00:51:48,639 ¿No? 623 00:51:49,780 --> 00:51:51,340 Pues hay un máximo 624 00:51:51,340 --> 00:51:54,179 es el punto menos uno 625 00:51:54,179 --> 00:51:57,440 menos dos coma cinco. 626 00:51:59,559 --> 00:52:01,639 Hay un máximo que es menos uno 627 00:52:01,639 --> 00:52:04,380 menos dos coma cinco. Más o menos por aquí. 628 00:52:07,000 --> 00:52:08,380 ¿Sabéis pintar la función? 629 00:52:11,199 --> 00:52:12,440 Yo sé que aquí hay un máximo. 630 00:52:14,380 --> 00:52:16,159 Que tengo que unirlo con esto. 631 00:52:17,300 --> 00:52:19,440 Que por aquí la función es decreciente 632 00:52:19,440 --> 00:52:22,000 con lo cual se tiene que ir hacia abajo en la asíntota. 633 00:52:23,440 --> 00:52:25,159 Por aquí es creciente 634 00:52:25,159 --> 00:52:34,079 decreciente, con lo cual tiene que venir de menos infinito. ¿Y cómo la pinto aquí? A ver, 635 00:52:34,219 --> 00:52:48,420 aquí podría ser de dos formas, o así o así. ¿Cómo es? Pues entonces es así. ¿Y del otro lado? 636 00:52:51,300 --> 00:52:57,679 Decreciente. Pues eso, tengo la asíntota vertical, la tengo aquí decreciente y sale así de bonita 637 00:52:57,679 --> 00:53:13,079 Esto para vacaciones es un... Bueno, que las tenga, claro. Es que sí puedo decirlo para vacaciones, pero claro, cada uno tiene sus circunstancias. 638 00:53:13,079 --> 00:53:34,300 A ver, todo esto son ejercicios súper completos que deberíais mirar. Aquí hay un montón de actividades propuestas, sabéis que están en el solucionario y, vamos, con estas gráficas, con estos cuatro tutoriales, yo creo que ya tenéis bastante referencia para tirar con esto. 639 00:53:34,300 --> 00:53:59,079 Pero que sepáis, esto hay que trabajarlo bastante. Lo único que os tengo que decir es que el último tema es muy sencillo. Es una parte de estadística que a ver si os lo puedo abrir para que podáis hacer los cálculos con calculadora porque como cada uno tiene una, tiene que aprender a hacerlo con la suya. 640 00:53:59,079 --> 00:54:11,099 Bueno, pues nada, que tengáis unos días lo más agradable posible y hasta pronto. El tiempo de repito la clase, por cierto.