1
00:00:06,900 --> 00:00:10,939
En este vídeo vamos a calcular la energía potencial gravitatoria.

2
00:00:11,400 --> 00:00:19,710
Para ello vamos a dibujarnos un planeta, por ejemplo podría ser la Tierra,

3
00:00:21,329 --> 00:00:26,510
y vamos a dibujarnos un satélite, vamos a decir que es un satélite artificial,

4
00:00:27,469 --> 00:00:31,969
y en lugar de quererlo aquí, lo queremos llevar aquí.

5
00:00:34,530 --> 00:00:40,380
En este caso, el desplazamiento va a ser como este,

6
00:00:40,380 --> 00:00:51,609
y vamos a tener asociado un vector diferencial de R como este.

7
00:00:52,929 --> 00:00:56,270
Vamos a dibujarnos la fuerza que actúa sobre el satélite.

8
00:00:56,270 --> 00:01:01,149
La fuerza que actúa es la fuerza gravitatoria que, si la recordamos,

9
00:01:03,149 --> 00:01:09,780
tiene que ir de centro a centro aproximadamente así

10
00:01:09,780 --> 00:01:14,920
y es una fuerza atractiva, es una fuerza que va a ir hacia acá.

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00:01:14,920 --> 00:01:26,140
Esta es la fuerza gravitatoria y aquí la fuerza gravitatoria sería menor porque está más lejos.

12
00:01:28,159 --> 00:01:35,540
Pues bien, ahora lo que vamos a hacer es calcularnos el trabajo de desplazar el satélite a esta distancia

13
00:01:35,540 --> 00:01:42,040
porque recordamos que en las fuerzas conservativas el trabajo es menos el incremento de la energía potencial.

14
00:01:42,040 --> 00:01:47,120
Podremos escribir entonces el resultado de este trabajo como un signo menos

15
00:01:47,120 --> 00:01:51,640
Algo que dependa del estado final y algo que dependa del estado inicial

16
00:01:51,640 --> 00:01:54,659
Pues bien, vamos allá

17
00:01:54,659 --> 00:02:02,930
La fuerza gravitatoria, recordamos que es una fuerza cuya ecuación es un signo menos

18
00:02:02,930 --> 00:02:05,090
La constante de la gravitación universal

19
00:02:05,090 --> 00:02:07,769
La masa de la Tierra

20
00:02:07,769 --> 00:02:10,009
La masa del satélite

21
00:02:10,009 --> 00:02:16,469
dividido entre la distancia entre la Tierra y el satélite al cuadrado

22
00:02:16,469 --> 00:02:21,750
y por un vector unitario que va desde la Tierra hasta el satélite,

23
00:02:21,849 --> 00:02:26,069
desde el que genera la fuerza hacia el que la recibe.

24
00:02:27,949 --> 00:02:30,389
Observamos que este vector unitario, R gorrito,

25
00:02:30,389 --> 00:02:35,569
y este vector diferencial de R de camino son vectores paralelos.

26
00:02:35,569 --> 00:02:56,189
Por lo tanto el producto escalar R gorrito por diferencial de R va a ser el módulo del primero que es 1, el módulo del segundo que es diferencial de R, el 1 ya no lo pongo, por el coseno del ángulo que forman pero como son paralelos es el coseno de 0 grados y el coseno de 0 grados es 1.

27
00:02:56,189 --> 00:03:20,699
Por lo tanto cuando hagamos el producto escalar fuerza gravitatoria producto escalar con diferencial de r tendremos que será menos g masa de la tierra masa del satélite entre r al cuadrado r gorrito producto escalar con diferencial de r.

28
00:03:20,699 --> 00:03:26,280
Y hemos visto que esto de aquí es directamente el módulo de diferencial de R.

29
00:03:27,099 --> 00:03:28,919
Vamos entonces a hacer la integral.

30
00:03:29,520 --> 00:03:39,379
El trabajo va a ser la integral desde R1, que es este punto de aquí, esta distancia de aquí, es R1,

31
00:03:40,159 --> 00:03:44,800
hasta R2, que es la nueva distancia donde queremos llevarlo, R2,

32
00:03:44,800 --> 00:03:49,020
de este producto escalar que ya tenemos aquí desarrollado

33
00:03:49,020 --> 00:03:53,099
menos g, masa de la tierra, masa del satélite

34
00:03:53,099 --> 00:03:58,800
dividido entre R2 y este producto escalar que hemos visto que era diferencial de R

35
00:03:58,800 --> 00:04:01,199
sacamos todas las constantes fuera

36
00:04:01,199 --> 00:04:09,759
y nos queda que es menos g, masa de la tierra, masa del satélite

37
00:04:09,759 --> 00:04:17,459
por la integral desde R1 hasta R2 de diferencial de R dividido entre R2.

38
00:04:18,120 --> 00:04:25,540
Si hacemos esta integral de aquí, nos queda menos 1 entre R, menos G, masa de la Tierra,

39
00:04:26,300 --> 00:04:33,819
masa del satélite, por menos 1 entre R, de R1 a R2,

40
00:04:33,819 --> 00:04:42,230
que podemos escribir como menos g masa de la Tierra, masa del satélite

41
00:04:42,230 --> 00:04:51,689
y sustituyendo en el punto final menos 1 entre R2 menos menos 1 entre R1.

42
00:04:54,100 --> 00:04:57,220
Voy a dejar los signos menos indicados así sin multiplicar

43
00:04:57,220 --> 00:05:01,560
porque me va a venir bien tener este signo menos aquí cuando quiera identificar el incremento.

44
00:05:02,120 --> 00:05:07,600
Entonces, si introduzco otra vez todos los términos adentro, el signo menos se queda afuera

45
00:05:07,600 --> 00:05:29,089
para que sea este signo menos de aquí y me va a quedar este signo menos g más a masa dividido entre r2 menos que es este menos

46
00:05:29,089 --> 00:05:39,980
y ahora viene este otro menos g más a masa de nuevo dividido entre r1.

47
00:05:39,980 --> 00:05:49,899
observamos que tenemos un término que sólo depende del estado final y un término que sólo depende del estado inicial

48
00:05:49,899 --> 00:06:02,550
por lo tanto la energía potencial gravitatoria cuando estemos en distancias muy muy grandes

49
00:06:02,550 --> 00:06:12,709
y tengamos que utilizar esta fuerza de aquí va a ser menos g la masa del planeta la masa del satélite

50
00:06:12,709 --> 00:06:15,670
dividido entre la distancia.

51
00:06:17,250 --> 00:06:22,009
Observamos que se parece bastante a la fórmula de la fuerza.

52
00:06:23,009 --> 00:06:28,790
La fuerza gravitatoria, que la tenemos escrita arriba, pero la escribo aquí para que se pueda comparar mejor,

53
00:06:30,009 --> 00:06:39,089
masa de la Tierra, masa del satélite, entre R2 por R gorrito, tiene una serie de diferencias que vamos a señalar ahora.

54
00:06:39,089 --> 00:07:07,589
La primera diferencia y más importante que vamos a darnos cuenta es que aquí hay un cuadrado y aquí no hay un cuadrado, por lo tanto recordemos que la energía potencial no tiene cuadrado abajo y la fuerza sí, esto tiene mucho sentido porque recordamos que fuerza se mide en newton y energía potencial se mide en julios porque es una energía que es newton multiplicado por metro,

55
00:07:07,589 --> 00:07:12,889
Por lo tanto, si le falta una r abajo, es que como si multiplicásemos por una distancia,

56
00:07:13,269 --> 00:07:16,009
newton multiplicado por metro, será julio.

57
00:07:16,689 --> 00:07:23,329
La segunda cosa que nos vamos a fijar es que aquí hay un vector unitario y aquí no.

58
00:07:24,449 --> 00:07:28,649
Y relacionado con ello, este tiene una flecha y este no.

59
00:07:29,470 --> 00:07:34,189
La fuerza es un vector, por eso tiene un vector unitario.

60
00:07:34,889 --> 00:07:40,670
La energía potencial no es un vector, por eso no tiene flecha y no tiene vector unitario.

61
00:07:41,529 --> 00:07:51,910
Hay una cosa más en la que tenemos que fijarnos y es que cuando hacemos el módulo de la fuerza, el módulo es una cantidad definida positiva.

62
00:07:52,209 --> 00:07:58,670
Es decir, este signo menos desaparece cuando hacemos el módulo, pero este signo menos de aquí nunca desaparece.

63
00:08:00,029 --> 00:08:02,110
Nunca desaparece.

64
00:08:02,110 --> 00:08:16,439
Y por lo tanto la energía potencial gravitatoria es siempre negativa y solamente va a ser cero cuando R tienda a infinito.