1 00:00:00,000 --> 00:00:02,520 Hola, soy Iván García Cirujano y voy a explicar qué es el rango de una matriz. 2 00:00:02,839 --> 00:00:09,259 Bien, el rango de una matriz es la cantidad de tanto columnas como filas independientes. 3 00:00:09,599 --> 00:00:13,859 Que sean independientes implica que no guardan ningún tipo de relación, ni directa ni indirecta, 4 00:00:14,000 --> 00:00:17,620 o de patrón dentro de la matriz con ningún tipo de otra fila. 5 00:00:18,719 --> 00:00:25,960 Además, también voy a explicar tanto sus usos, aplicaciones y funciones, como cómo obtener el rango de una matriz. 6 00:00:25,960 --> 00:00:36,780 Bien, también, aparte de filas independientes, podemos encontrar las filas dependientes, que son aquellas que guardan algún tipo de relación con alguna otra fila o columna. 7 00:00:36,859 --> 00:00:46,140 Como podemos ver aquí, podemos encontrarnos con que tanto la fila 1 como la fila 2 son independientes, sin embargo, la fila 3, 4, 5 y 6 vamos a ir viendo cómo son dependientes. 8 00:00:46,140 --> 00:00:51,579 Por ejemplo, la fila 3 es la multiplicación por 2 de la fila 1 9 00:00:51,579 --> 00:00:56,159 Como podemos comprobar, porque 5 por 2 es 10, 2 por 2 es 4 y 1 por 2 es 2 10 00:00:56,159 --> 00:00:59,000 Entonces quedaría claro que la fila 3 es dependiente 11 00:00:59,000 --> 00:01:02,960 Además, también podemos ver que la fila 4 es dependiente de la fila 2 y de la fila 3 12 00:01:02,960 --> 00:01:08,359 Debido a que la suma de ambas, 4 más 10 es 14, menos 3 más 4 es 1 y 8 más 2 es 10 13 00:01:08,359 --> 00:01:13,200 También podemos ver que la fila 5, al ser entera de ceros 14 00:01:13,200 --> 00:01:23,760 En este caso, siempre las filas de ceros van a ser dependientes debido a que cualquiera del resto de filas multiplicadas por cero van a dar igual a la fila 5 en este caso. 15 00:01:24,400 --> 00:01:32,719 También la fila 6 en este caso es dependiente ya que es exactamente igual que la fila 1, por lo tanto sería como la fila 1 por 1, entonces también es dependiente. 16 00:01:33,200 --> 00:01:37,500 Así a plena vista podríamos ver que el rango de esta matriz es 2. 17 00:01:37,500 --> 00:01:50,560 Sin embargo, no podemos confirmarlo totalmente, ya que esto es solo de manera visual, no es 100%, por lo tanto, si tuviéramos una matriz mucho más grande, probablemente no podríamos verlo tan fácilmente. 18 00:01:50,620 --> 00:01:57,099 Por lo tanto, hay varios métodos para determinar el rango de una matriz. En este caso, te voy a explicar cuál es el método de Gauss. 19 00:01:57,319 --> 00:02:05,620 Con el método de Gauss, lo que vamos a buscar es hacer una pirámide en diagonal, salvando el primer término, de ceros, creando una estructura parecida a esta. 20 00:02:07,500 --> 00:02:12,039 con el objetivo de sacar el rango. En este caso he decidido eliminar tanto la fila 5 21 00:02:12,039 --> 00:02:17,539 como la fila 6, ya que vemos claramente que son dependientes, por lo tanto no van a entrar 22 00:02:17,539 --> 00:02:22,180 dentro del rango posible, entonces no hay que meterlas o incluirlas dentro del método 23 00:02:22,180 --> 00:02:28,259 de Gauss. Bien, el método de Gauss sigue el siguiente procedimiento, que es tratar 24 00:02:28,259 --> 00:02:32,639 de conseguir que sean ceros. En este caso empezaríamos por F2 buscando que este 4 se 25 00:02:32,639 --> 00:02:37,860 convierta en cero. Lo que vamos a hacer es siempre tratar de multiplicar, sumar, restar 26 00:02:37,860 --> 00:02:45,520 alguna fila superior para obtener esos ceros tan buscados. En este caso, para obtener que 27 00:02:45,520 --> 00:02:52,520 este 4 se convierta en cero, haríamos que f1 por 4 menos f2 por 5 nos otorgaría este 28 00:02:52,520 --> 00:02:59,580 cero. Así que nos quedaría f2' como 0, 23 y menos 36, que lo dejamos aquí expresado 29 00:02:59,580 --> 00:03:06,319 en la matriz. Bien, luego tendríamos que, para obtener, ya pasaríamos a F3, por lo 30 00:03:06,319 --> 00:03:12,900 tanto, tendríamos que buscar primero, convertir este 10 en 0 y luego este 4 en 0. Multiplicaríamos 31 00:03:12,900 --> 00:03:19,520 en este caso F1 por 2 y F3 se lo restaríamos. ¿Qué pasa? En este caso nos saldrían los 32 00:03:19,520 --> 00:03:23,879 tres ceros. Tiene mucho sentido ya que anteriormente ya hemos dicho que multiplicándolo por 2 33 00:03:23,879 --> 00:03:27,199 esta fila es dependiente 34 00:03:27,199 --> 00:03:29,000 por lo tanto, al salirnos aquí 35 00:03:29,000 --> 00:03:31,419 los tres ceros, dejamos claro que es dependiente 36 00:03:31,419 --> 00:03:33,259 al ser dependiente tampoco va a participar 37 00:03:33,259 --> 00:03:34,219 en el rango, claramente 38 00:03:34,219 --> 00:03:36,819 por lo tanto, no tendríamos que calcular el otro cero 39 00:03:36,819 --> 00:03:38,080 ya que ya lo hemos obtenido aquí 40 00:03:38,080 --> 00:03:40,919 por lo tanto, sería dependiente 41 00:03:40,919 --> 00:03:43,500 y así se dejaría claro a través del método de Gauss 42 00:03:43,500 --> 00:03:45,060 siempre que sea dependiente nos van a salir 43 00:03:45,060 --> 00:03:46,539 los tres ceros en este caso 44 00:03:46,539 --> 00:03:49,360 y si tuviera más columnas y filas, pues los ceros que hicieran falta 45 00:03:49,360 --> 00:03:51,620 luego, con la F4 46 00:03:51,620 --> 00:03:53,259 también habíamos visto que era dependiente 47 00:03:53,259 --> 00:04:06,500 Sin embargo, tendremos que confirmarlo. Por lo tanto, aquí decidimos hacer f1 por 14 menos f4 por 5, que nos acaba saliendo el primer 0 de f4', que es 0, 23 y menos 36. 48 00:04:06,919 --> 00:04:18,879 Aquí, al ver ya que f2 y f4 coincidirían, en este caso, ambas primas, únicamente tendríamos que restarlas para que nos salieran los tres ceros y dejar claro que es dependiente. 49 00:04:18,879 --> 00:04:27,959 Por lo tanto, nos quedaría que las únicas dos filas independientes serían la primera y la segunda, y todo el resto serían dependientes. 50 00:04:28,220 --> 00:04:33,740 Nos hubiera salido también que F5 y F6 nos habrían salido también todos ceros, por lo tanto también serían dependientes. 51 00:04:34,899 --> 00:04:42,519 Entonces, podríamos concluir que en base a todas estas pruebas, ya que solo estos dos son independientes, el rango de la matriz A es 2. 52 00:04:42,519 --> 00:04:51,379 Al ser la matriz de 6x3, ya que tiene 6 filas y 3 columnas, el rango máximo siempre va a ser como máximo el número más pequeño de estos dos. 53 00:04:51,620 --> 00:04:53,600 Por lo tanto, en este caso el rango máximo va a ser 3. 54 00:04:54,139 --> 00:05:00,259 Una vez hemos visto cómo determinar el rango de una matriz, ahora vamos a ver sus aplicaciones y usos. 55 00:05:00,980 --> 00:05:05,899 Las principales son las siguientes, que serían, la primera de ellas, el análisis de datos y estadística 56 00:05:05,899 --> 00:05:14,660 para verificar la independencia o dependencia o relación o patrones existentes dentro de la información contenida en las matrices. 57 00:05:15,300 --> 00:05:20,500 Luego, los sistemas de ecuaciones lineales, principalmente para determinar si tienen solución o no. 58 00:05:21,019 --> 00:05:27,399 Y además, también en programación. En programación podemos ver a través del procesamiento de señales e imágenes, 59 00:05:27,899 --> 00:05:32,540 ya que el rango de la matriz describe las principales características de una matriz de datos. 60 00:05:32,540 --> 00:05:38,720 En ingeniería, pues tal y como pone aquí, serviría para la controlabilidad y observabilidad de un sistema dinámico.