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00:00:00,000 --> 00:00:12,000
En este vídeo vamos a estudiar la división de polinomios, la aplicación de la regla

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00:00:12,000 --> 00:00:20,000
de Ruffini. Es importante recalcar que esta regla de Ruffini sólo se puede aplicar cuando

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00:00:20,000 --> 00:00:30,000
el divisor es un binomio de grado 1, de la forma x-a, donde a es un número real. Vamos

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00:00:30,000 --> 00:00:44,000
a ver cómo es el proceso dividiendo el polinomio x³-2x más 1 entre el binomio x-1. Voy a llamar

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00:00:44,000 --> 00:00:55,000
con la letra de mayúscula al polinomio dividendo, en este caso x³-2x más 1, y el polinomio

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00:00:55,000 --> 00:01:05,000
divisor le voy a llamar con la letra de minúscula, en este caso sería x-1. Empezamos ordenando

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00:01:05,000 --> 00:01:14,000
y completando los polinomios dividendo y divisor. Es decir, en este caso, este polinomio de

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00:01:14,000 --> 00:01:24,000
grado 3, vemos que le falta el término de grado 2, por lo tanto nos quedaría x³-0x²-2x

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00:01:24,000 --> 00:01:32,000
más 1. Y el polinomio divisor, ya está ordenado y completo, es un polinomio de grado 1, tiene

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00:01:32,000 --> 00:01:41,000
el término de grado 1 y el término de grado 0.

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00:01:41,000 --> 00:01:51,000
Bien, ahora para empezar a realizar el método de Ruffini lo que hacemos es trazar dos rectas

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00:01:51,000 --> 00:02:04,000
secantes de esta forma, y aquí arriba vamos a ir colocando los coeficientes del polinomio

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00:02:04,000 --> 00:02:12,000
dividendo. ¿A qué me refiero con los coeficientes? Son los números que multiplican a las letras,

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00:02:12,000 --> 00:02:22,000
es decir, a x³, a x², a x, y luego tendríamos el término independiente. Esos números son

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00:02:22,000 --> 00:02:29,000
el 1, recordad que cuando no hay nada multiplicando a una letra se entiende que es el 1, luego

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00:02:29,000 --> 00:02:41,000
tendríamos el 0, el menos 2, y luego tendríamos el 1. Fijaros que hay que poner el signo correcto,

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00:02:41,000 --> 00:02:47,000
y voy a poner aquí arriba para recordar que el 1 es el coeficiente de la x³, el 0 es

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00:02:47,000 --> 00:02:54,000
el coeficiente de la x², el menos 2 es el coeficiente del término que lleva la x, y

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00:02:54,000 --> 00:03:08,000
el 1 es el término independiente de grado 0. Aquí en la esquina vamos a poner el número

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00:03:08,000 --> 00:03:18,000
opuesto a lo que viene en el polinomio divisor, es decir, aquí tenemos x-1, ¿lo veis? Hay que

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00:03:18,000 --> 00:03:29,000
poner el opuesto en este caso de menos 1, que es 1. Si hubiese sido, por ejemplo, el polinomio divisor

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00:03:29,000 --> 00:03:39,000
x-2, ¿vale? En la esquina hubiésemos puesto el opuesto de más 2, que en ese caso sería menos 2.

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00:03:42,000 --> 00:03:51,000
Muy bien, entonces aquí abajo, con el proceso que vamos a describir a continuación, aquí abajo,

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00:03:51,000 --> 00:03:58,000
vamos a obtener los coeficientes del polinomio cociente, y luego el resto que siempre va a ser

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00:03:58,000 --> 00:04:04,000
de grado 0, es decir, va a ser un número que no lleva ninguna letra. Entonces, para hallar los

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00:04:04,000 --> 00:04:14,000
coeficientes, el proceso de Ruffini es el siguiente. El primer número lo bajamos tal como viene, es

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00:04:14,000 --> 00:04:20,000
decir, en este caso hay un 1, pues aquí ponemos aquí abajo 1, ¿de acuerdo? Ahora lo que hacemos

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00:04:20,000 --> 00:04:28,000
es multiplicar este número, lo multiplicamos por el número de la esquina, es decir, 1 por 1, 1, y

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00:04:28,000 --> 00:04:38,000
entonces lo colocamos justo debajo del 0. Y ahora lo que realizamos es la suma de 0 más 1, 1.

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00:04:40,000 --> 00:04:45,000
Otra vez que tenemos este número, lo volvemos a multiplicar por el número que está en la esquina,

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00:04:45,000 --> 00:04:56,000
es decir, 1 por 1, 1. Y otra vez volvemos a sumar menos 2 más 1, menos 2 más 1 nos queda menos 1.

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00:04:57,000 --> 00:05:04,000
Otra vez volvemos a multiplicar por el número que está en la esquina, fijaros que menos por

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00:05:04,000 --> 00:05:16,000
más es menos, 1 por 1, 1, nos queda menos 1. Y estos dos los sumamos, 1 más menos 1 nos queda 0.

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00:05:19,000 --> 00:05:25,000
Este último número que hemos obtenido, que en este caso da 0, es el resto de la división.

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00:05:29,000 --> 00:05:32,000
Esto implica que la división ha sido exacta.

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00:05:35,000 --> 00:05:45,000
Si no hubiese dado 0, la división sería inexacta o entera. El cociente o el polinomio cociente,

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00:05:45,000 --> 00:05:55,000
que era el que buscábamos, está formado por estos coeficientes que hemos obtenido aquí abajo.

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00:05:55,000 --> 00:06:02,000
¿Qué pasa? Que ahora para escribir el polinomio tenemos que escribir los coeficientes y las letras

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00:06:02,000 --> 00:06:09,000
que los acompañan siempre comienzan con un grado menos que el polinomio dividendo,

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00:06:09,000 --> 00:06:15,000
es decir, el polinomio dividendo, fijaros que era de grado 3, pues tenemos que empezar a

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00:06:15,000 --> 00:06:22,000
completar el polinomio cociente con un grado menos, es decir, con grado 2. Por lo tanto,

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00:06:22,000 --> 00:06:30,000
el resultado sería una x cuadrado más, pongo un más porque el número siguiente que tenemos aquí

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00:06:30,000 --> 00:06:39,000
es positivo, sería más x menos 1. Este sería el polinomio cociente.

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00:06:41,000 --> 00:06:47,000
Podemos comprobar que la división está bien hecha dado que en toda división se tiene que cumplir

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00:06:47,000 --> 00:06:56,000
que el polinomio dividendo es igual al producto del polinomio divisor por el cociente más el

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00:06:56,000 --> 00:07:03,000
polinomio resto, en este caso que el resto es cero. Entonces lo que vamos a hacer ahora es comprobar

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00:07:06,000 --> 00:07:13,000
que la división está bien hecha multiplicando el polinomio cociente por el polinomio divisor.

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00:07:16,000 --> 00:07:22,000
Escribo de nuevo el polinomio cociente que hemos obtenido, que era x al cuadrado más x

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00:07:22,000 --> 00:07:31,000
menos 1, y el polinomio divisor que era el binomio x menos 1.

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00:07:34,000 --> 00:07:40,000
Para multiplicar los polinomios recordar que tienen que estar ordenados y completos los dos factores.

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00:07:53,000 --> 00:08:04,000
Comenzamos por el término de la derecha y multiplicamos primero los signos, después los números y por último las letras.

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00:08:04,000 --> 00:08:13,000
Es decir, realizamos menos por menos más uno por uno, uno. Aquí en este caso no hay letra.

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00:08:13,000 --> 00:08:22,000
Ahora realizamos menos uno por la x. Esto se realiza con los signos primero, menos por más, menos.

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00:08:24,000 --> 00:08:30,000
Uno por uno, uno. Y ninguna letra por la letra x pues sería la letra x.

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00:08:30,000 --> 00:08:37,000
Después realizamos menos uno por x al cuadrado, es decir, menos por más, menos.

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00:08:38,000 --> 00:08:51,000
Uno por uno, que tiene la x al cuadrado. Recordar que si no hay nada a la izquierda de la x al cuadrado se entiende que hay un uno, por lo tanto, uno por uno, uno.

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00:08:51,000 --> 00:08:55,000
Y ninguna letra por x al cuadrado sería x al cuadrado.

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00:08:55,000 --> 00:09:01,000
Una vez completada la primera fila, seguimos con la siguiente fila.

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00:09:01,000 --> 00:09:08,000
Ahora hay que multiplicar la x por menos uno, es decir, más por menos, menos.

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00:09:11,000 --> 00:09:17,000
Uno por uno, uno. Y la letra x por nada pues sería x.

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00:09:18,000 --> 00:09:25,000
Después tenemos los signos más por más, más.

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00:09:27,000 --> 00:09:38,000
Uno por uno, uno. Y x por x sería x al cuadrado. Recordar que se suman los exponentes y la letra x tiene exponente uno.

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00:09:39,000 --> 00:09:49,000
Ahora realizamos el producto de x por x al cuadrado, es decir, más por más, más.

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00:09:53,000 --> 00:10:01,000
Uno por uno, uno. Y x por x al cuadrado sumando los exponentes teníamos que dos más uno son tres.

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00:10:02,000 --> 00:10:07,000
Ya tenemos las dos filas, entonces ahora lo que vamos a hacer es sumar término a término.

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00:10:07,000 --> 00:10:11,000
Es decir, ponemos aquí una raya y vamos sumando término a término.

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00:10:11,000 --> 00:10:18,000
Uno más cero, uno. Menos x, menos x, o sea, menos una x, menos una x.

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00:10:18,000 --> 00:10:25,000
Recordar los enteros que cuando tienen el mismo signo se suman y se pone el signo común, por eso da menos dos x.

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00:10:26,000 --> 00:10:33,000
Menos una x al cuadrado más una x al cuadrado nos da cero x al cuadrado.

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00:10:33,000 --> 00:10:38,000
Y una x al cubo, pues tendríamos aquí uno x al cubo.

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00:10:40,000 --> 00:10:50,000
Este resultado, fijaros que se puede escribir como x al cubo menos dos x más uno,

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00:10:50,000 --> 00:10:57,000
que es exactamente el polinomio dividendo que teníamos al principio.

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00:11:00,000 --> 00:11:06,000
Aquí lo tenemos. Luego, hemos comprobado que la división está realizada correctamente,

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00:11:08,000 --> 00:11:15,000
dado que el resto era cero, por lo tanto, no tenemos que sumar a este resultado ningún polinomio.