1 00:00:01,010 --> 00:00:09,169 Para estudiar los puntos de difresión y la concavidad y la convesidad de esta función, vamos a realizar lo siguiente. 2 00:00:09,890 --> 00:00:15,910 Lo primero que tenemos que hacer para el apartado A es mirar las posibles asíntotas verticales. 3 00:00:16,570 --> 00:00:22,309 En este caso, como es un polinomio, no tenemos, porque es imposible que se haga cero el denominador. 4 00:00:23,050 --> 00:00:27,170 A continuación, una vez que ya hemos puesto eso, vamos a hacer la primera derivada. 5 00:00:28,690 --> 00:00:35,450 Como es un polinomio, 4x elevado a 3 menos 12x al cuadrado menos 3. 6 00:00:35,990 --> 00:00:41,390 Y hacemos la segunda derivada, porque es donde vamos a estudiar la concavidad y la convexidad. 7 00:00:41,810 --> 00:00:46,869 Es igual a 12x al cuadrado menos 24x. 8 00:00:48,030 --> 00:00:51,969 Una vez que ya tenemos esto, vamos a buscar los posibles puntos de inflexión, 9 00:00:51,969 --> 00:01:02,109 que es cuando la f segunda de x se hace 0, eso es decir, cuando 12x cuadrado menos 24x es igual a 0, 10 00:01:02,689 --> 00:01:15,989 cuando 12x, x menos 2 es igual a 0, es decir, cuando x es igual a 0 o cuando x menos 2 es igual a 0, 11 00:01:16,430 --> 00:01:18,109 Es decir, cuando x es igual a 2. 12 00:01:18,969 --> 00:01:23,030 Estos dos puntos son los posibles puntos de inflexión. 13 00:01:23,430 --> 00:01:25,670 ¿Cómo podemos saber si son puntos de inflexión o no? 14 00:01:25,989 --> 00:01:27,609 Pues nos vamos a hacer una tabla para ello. 15 00:01:28,849 --> 00:01:31,250 Menos infinito hasta el 0. 16 00:01:32,870 --> 00:01:35,829 Ponemos aquí en la tabla los posibles puntos de inflexión. 17 00:01:36,549 --> 00:01:38,950 Ponemos las asíntotas verticales, en este caso no tenemos. 18 00:01:39,310 --> 00:01:41,549 Y entonces ponemos los intervalos. 19 00:01:41,549 --> 00:01:48,939 Y tenemos que ver el signo que tiene la derivada segunda. 20 00:01:50,260 --> 00:02:00,540 En este caso, como la derivada segunda es una ecuación de segundo grado, tenemos que es una parábola más menos más. 21 00:02:02,079 --> 00:02:02,920 ¿Qué significa eso? 22 00:02:03,420 --> 00:02:09,819 Que por aquí va hacia arriba, por aquí va así, y por aquí positivo, sonría, negativo, triste. 23 00:02:09,819 --> 00:02:26,169 ¿Vale? Entonces, ya, poniendo las soluciones, tenemos que es cóncavo, vamos a llamar cóncavo a este de aquí, a 0, 2. 24 00:02:26,689 --> 00:02:38,719 Y es conveso, vamos a llamar conveso a este de aquí, desde menos infinito hasta 0, y desde el 2 hasta el infinito. 25 00:02:39,360 --> 00:02:44,979 Ahora, vamos a ver el 0 y el 2, precisamente como cambia la convexidad, la concavidad, 26 00:02:45,800 --> 00:02:47,139 pues son puentes de inflexión. 27 00:02:47,639 --> 00:02:53,520 Vamos a calcular cuánto vale f de 0 y vamos a calcular cuánto vale f de 2. 28 00:02:55,099 --> 00:02:59,379 Tanto en f de 0, en f de 0, miramos, hacemos las cuantas, 29 00:02:59,819 --> 00:03:05,960 sustituimos en el x4, menos 4x3, menos 3x, menos 12, y obtenemos que es el menos 12. 30 00:03:05,960 --> 00:03:08,479 sustituimos ahora por 2 31 00:03:08,479 --> 00:03:10,460 2 elevado a 4 32 00:03:10,460 --> 00:03:13,560 y haciendo las cuentas utilizamos que es el menos 34 33 00:03:13,560 --> 00:03:16,520 por tanto el punto 0 menos 12 34 00:03:16,520 --> 00:03:19,719 y el punto 2 menos 34 35 00:03:19,719 --> 00:03:24,520 son puntos de inflexión 36 00:03:24,520 --> 00:03:31,900 con eso tenemos hecho el apartado A 37 00:03:31,900 --> 00:03:34,879 vamos ahora a realizar el apartado B 38 00:03:34,879 --> 00:03:37,639 en el apartado B nos dice calcular el área comprendida 39 00:03:37,639 --> 00:03:39,039 en tres funciones 40 00:03:39,039 --> 00:03:46,699 Pues lo primero que tenemos que hacer es la resta. Tenemos que hacer f de x menos g de x. 41 00:03:47,759 --> 00:03:56,340 Entonces, vamos a ver el apartado b. Y lo primero que vamos a hacer es h de x, f de x menos g de x. 42 00:03:57,139 --> 00:04:05,219 Es igual a 2x cubo más x menos 1 menos 2x cubo. 43 00:04:05,219 --> 00:04:11,400 Como estamos restando, tenemos que cambiar de signo todo esto, más 3x menos 2. 44 00:04:12,020 --> 00:04:18,319 Esto es igual a menos x al cuadrado más 4x menos 3. 45 00:04:19,939 --> 00:04:28,819 Una vez que ya tenemos la función diferencia entre las dos del área que queremos encontrar, vamos a ver en qué valores se hace 0. 46 00:04:28,819 --> 00:04:35,399 Es decir, cuando menos x cuadrado más 4x menos 3 es igual a 0. 47 00:04:36,259 --> 00:04:42,319 Resolvemos esa ecuación de segundo grado y tenemos que sé que x igual a 1 y x igual a 3. 48 00:04:43,540 --> 00:04:54,019 Luego ya tenemos que hacer la integral entre 1 y 3 de menos x cuadrado más 4x menos 3 diferencial de x. 49 00:04:54,959 --> 00:04:56,740 De la función h de x. 50 00:04:56,740 --> 00:05:02,560 Esa menos x cuadrado es menos x cubo partido por 3 51 00:05:02,560 --> 00:05:07,939 4x, 4x al cuadrado partido por 2, es decir, 2x al cuadrado 52 00:05:07,939 --> 00:05:09,560 Y menos 3x 53 00:05:09,560 --> 00:05:12,660 Todo eso lo tenemos que valorar entre 1 y 3 54 00:05:12,660 --> 00:05:17,120 Sustituimos primero por 3, menos sustituir por 1 55 00:05:17,120 --> 00:05:24,139 Igual a menos 3 al cubo partido por 3 56 00:05:24,139 --> 00:05:40,120 más 2 por 3 al cuadrado, menos 3 por 3, menos 1 al cubo partido por 3, más 2 por 1 al cuadrado, menos 3 por 1. 57 00:05:41,199 --> 00:05:48,399 Haciendo estas cuentas, nos sale 4 tercios, unidades cuadradas. 58 00:05:48,860 --> 00:05:52,779 Como nos ha salido positivo, no tenemos que poner valor absoluto. 59 00:05:52,779 --> 00:05:57,560 Si nos hubiese salido negativo, teníamos que haber tomado valor absoluto en cada uno de ellos. 60 00:05:58,279 --> 00:06:03,279 Podríamos haberlo puesto desde el principio, que el área es igual al valor absoluto de esto, 61 00:06:03,839 --> 00:06:10,639 valor absoluto aquí también, valor absoluto aquí, y el resultado que nos da. 62 00:06:11,160 --> 00:06:15,079 Entonces ya tenemos hecho el ejercicio, 4 tercios de unidades cuadradas.