1
00:00:00,840 --> 00:00:06,200
Hola, vamos a ver el ejercicio 4-2 del modelo de la EBAU de este año.

2
00:00:06,700 --> 00:00:09,640
Es el típico ejercicio en el que me dan un sistema de ecuaciones,

3
00:00:09,779 --> 00:00:13,339
de tres ecuaciones con tres incógnitas, que depende de un parámetro.

4
00:00:13,800 --> 00:00:17,100
Y lo primero que me piden es discutir el sistema en función de ese parámetro

5
00:00:17,100 --> 00:00:19,980
y luego resolverlo para un valor concreto.

6
00:00:20,460 --> 00:00:23,940
Entonces, bueno, voy a repasar un poquito la teoría,

7
00:00:24,920 --> 00:00:28,100
que es lo que tenemos que saber y de lo que tenemos que partir.

8
00:00:28,100 --> 00:00:35,539
¿Vale? Entonces, a ver, lo primero, vamos a recordarlo, voy a ir escribiendo, bueno, lo voy a poner aquí a la derecha, tiene que ver con los rangos de las matrices, ¿vale?

9
00:00:35,880 --> 00:00:43,960
Voy a llamar A, cuando escriba A es la matriz de coeficientes y A con una rayita arriba es la matriz ampliada, ¿vale?

10
00:00:44,460 --> 00:00:53,439
No sé si vosotros lo llamáis en clase A, C, a veces a la matriz de coeficientes se le llama C, a la ampliada A da lo mismo, ¿vale?

11
00:00:53,439 --> 00:00:55,960
Cada uno utiliza la nomenclatura que quiere.

12
00:00:56,439 --> 00:00:59,579
Pero lo que tenemos que tener en cuenta, que es el teorema de Ruche-Frobenius,

13
00:00:59,960 --> 00:01:05,379
o el teorema de Ruche, lo que me dice es que si el rango de la matriz de coeficientes

14
00:01:05,379 --> 00:01:08,540
coincide con el rango de la matriz ampliada,

15
00:01:09,920 --> 00:01:13,099
y además coincide con el número de incógnitas,

16
00:01:15,370 --> 00:01:19,049
entonces estamos en un sistema compatible y determinado.

17
00:01:19,530 --> 00:01:21,150
Bueno, esto es un sí, solo sí, ¿vale?

18
00:01:21,150 --> 00:01:39,629
Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada, pero es menor que el número de incógnitas o directamente es distinto, como lo queráis poner, entonces es un sistema compatible e indeterminado.

19
00:01:39,629 --> 00:01:46,329
Es decir, para que sea sistema compatible, los rangos de la matriz de coeficientes y ampliada tienen que ser iguales, ¿vale?

20
00:01:46,810 --> 00:01:53,269
Os recuerdo que compatible determinado significa una solución, ¿vale?

21
00:01:53,390 --> 00:01:57,129
Y compatible indeterminado significa infinitas soluciones, ¿vale?

22
00:01:57,670 --> 00:01:59,390
La solución sería una recta.

23
00:01:59,390 --> 00:02:17,990
Y por último, cuando los rangos son distintos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, entonces, en este caso, el sistema es incompatible, ¿vale? Es decir, es el caso en el que no existe solución.

24
00:02:17,990 --> 00:02:25,870
De acuerdo, pues esto es lo que nosotros tenemos que tener en cuenta a la hora de resolver un sistema

25
00:02:25,870 --> 00:02:30,349
La verdad es que ahora mismo no recuerdo si en los otros vídeos que os he puesto del curso pasado

26
00:02:30,349 --> 00:02:33,849
Si también la llamaba A y A barrita o la llamaba C y A

27
00:02:33,849 --> 00:02:39,129
Pero bueno, en principio da un poco lo mismo, ya os digo, simplemente es cuestión de nomenclatura

28
00:02:39,129 --> 00:02:41,949
Entonces, se pueden hacer de diferentes formas

29
00:02:41,949 --> 00:02:46,069
De hecho he estado viendo las soluciones de cómo vienen los problemas de la EBAU

30
00:02:46,069 --> 00:02:47,889
Y directamente empiezan con el rango

31
00:02:48,810 --> 00:02:53,689
Yo prefiero empezar por el determinante, es decir, para que el rango sea máximo,

32
00:02:53,949 --> 00:02:59,810
tenemos que pensar, estamos en un sistema 3x3, ¿cuál es el rango máximo que puede tener este sistema?

33
00:03:00,250 --> 00:03:07,129
3. Para que la matriz de coeficientes tenga rango 3, lo que tiene que ocurrir es que el determinante

34
00:03:07,129 --> 00:03:11,430
tiene que ser distinto de 0. Entonces yo siempre empiezo desde ese lado, ¿vale?

35
00:03:11,430 --> 00:03:14,729
O sea, calculando el determinante porque me parece más sencillo.

36
00:03:14,729 --> 00:03:19,909
A ver, que hay veces, bueno, no es que sea más sencillo, depende un poco de cada uno de cómo lo veamos, ¿vale?

37
00:03:20,789 --> 00:03:23,069
Pero ya os digo que a mí me gusta partir de ahí.

38
00:03:23,229 --> 00:03:27,550
Entonces, para el apartado A, yo me empiezo a escribir mi matriz de coeficientes.

39
00:03:27,669 --> 00:03:34,099
Mi matriz A, que es 1, 2, 1, 2.

40
00:03:34,699 --> 00:03:41,159
Mis landas son un poco raras, ¿vale? Os lo aviso también, pero bueno, ya estéis acostumbrados a que mis letras son un poco raras en general.

41
00:03:41,159 --> 00:03:48,300
Esta es mi lambda, 2, menos 1, 1 y lambda, ¿vale?

42
00:03:49,740 --> 00:03:51,740
Esta es mi matriz A, ¿vale?

43
00:03:51,860 --> 00:03:57,379
Yo lo que quiero, esta es la matriz, a ver, que aunque sea A, es mi matriz de coeficientes,

44
00:03:57,520 --> 00:04:00,780
la matriz ampliada yo le llamo A sombrerito, ¿vale?

45
00:04:01,319 --> 00:04:04,780
Esta es mi matriz ampliada, pero yo lo que quiero calcular es el determinante de A.

46
00:04:04,780 --> 00:04:06,840
entonces voy a ser un poco vaga

47
00:04:06,840 --> 00:04:12,520
y tenía que haber empezado poniendo el determinante

48
00:04:12,520 --> 00:04:14,080
que es lo que he dicho que iba a calcular

49
00:04:14,080 --> 00:04:20,500
vale, entonces el determinante de A lo calculamos

50
00:04:20,500 --> 00:04:22,879
a ver, yo para calcular el determinante

51
00:04:22,879 --> 00:04:25,100
utilizo digamos lo que es la estrella

52
00:04:25,100 --> 00:04:28,319
no pongo las dos filas debajo y lo voy calculando

53
00:04:28,319 --> 00:04:31,100
pero vosotros por el método que queráis

54
00:04:31,100 --> 00:04:34,360
todos los métodos son válidos

55
00:04:34,360 --> 00:04:38,920
Entonces, primero empiezo, no sé si este se iba borrando cada vez que lo iba poniendo,

56
00:04:39,540 --> 00:04:41,100
diagonal principal, ¿vale?

57
00:04:41,319 --> 00:04:45,959
1 por lambda por lambda, es decir, lambda cuadrada.

58
00:04:46,519 --> 00:04:51,759
Ahora, seguimos sumándole, digamos, los que son paralelos a ellos.

59
00:04:52,680 --> 00:04:56,500
Este 2 por 2, 4, por el menos 1, menos 4.

60
00:04:58,829 --> 00:05:00,529
Y los otros que me sobran en paralelo.

61
00:05:00,670 --> 00:05:02,509
Daros cuenta que siempre tienen que ser tres números.

62
00:05:03,230 --> 00:05:05,930
2 por 1, 2, por 1, 2.

63
00:05:06,050 --> 00:05:07,970
¿Vale? Más 2

64
00:05:07,970 --> 00:05:12,209
Hemos sumado los de la diagonal principal

65
00:05:12,209 --> 00:05:15,310
Ahora se restan los de la diagonal secundaria

66
00:05:15,310 --> 00:05:17,850
Vamos a ponerlo en otro color, ¿vale?

67
00:05:18,649 --> 00:05:22,050
La diagonal secundaria, este de aquí

68
00:05:22,050 --> 00:05:25,250
1 por lambda por menos 1 sería menos 1

69
00:05:25,250 --> 00:05:28,149
Pero como hemos dicho que se resta, sería más 1

70
00:05:28,149 --> 00:05:33,649
Siguiente, 2 por 2, 4 por lambda sería 4 lambda

71
00:05:33,649 --> 00:05:45,930
como restamos, menos 4 lambda, y el último que me falta es 2 por 1, 2, por 1, 2, por tanto, menos 2, ¿vale?

72
00:05:46,149 --> 00:05:55,509
Y ahora simplemente operamos, y esto que me queda, lambda cuadrado, menos 4 lambda, y yo creo que en algún sitio

73
00:05:55,509 --> 00:05:56,730
Yo me he comido una lambda, ¿verdad?

74
00:06:00,259 --> 00:06:01,279
No, a ver.

75
00:06:03,019 --> 00:06:03,300
Vale.

76
00:06:04,019 --> 00:06:09,939
Lambda cuadrado menos 4 lambda y me queda aquí, a ver, que se me va el 2 con el 2.

77
00:06:10,980 --> 00:06:12,779
Menos 4 más 1, menos 3.

78
00:06:15,949 --> 00:06:16,209
¿Vale?

79
00:06:16,329 --> 00:06:18,790
Y yo lo que quiero es que esto sea igual a 0.

80
00:06:20,129 --> 00:06:20,449
Vale.

81
00:06:21,009 --> 00:06:22,149
Efectivamente lo que os decía.

82
00:06:23,110 --> 00:06:25,750
Sabía yo que algo había hecho mal porque no me sonaba.

83
00:06:25,750 --> 00:06:42,850
Cuando he empezado por la primera diagona secundaria, era esta que he dibujado, una por lambda por menos uno, pero eso es menos lambda, y yo que he escrito en lugar del menos lambda sería más lambda porque se pone el negativo, me he comido aquí la lambda, ¿vale?

84
00:06:42,850 --> 00:06:48,490
Sabía yo que en algún sitio había puesto algún valor que no correspondía

85
00:06:48,490 --> 00:06:50,370
Entonces, a ver, vamos a ver

86
00:06:50,370 --> 00:06:53,550
Esto es lo típico que suele pasar, ¿vale?

87
00:06:54,509 --> 00:06:58,509
El lambda, ahora sería más lambda menos 4 lambda es menos 3 lambda

88
00:06:58,509 --> 00:07:02,410
El 2 con el menos 2 se me va y me queda el menos 4

89
00:07:02,410 --> 00:07:06,610
¿Vale? Y ahora, ¿qué es lo que, para qué había calculado yo el determinante?

90
00:07:06,610 --> 00:07:09,670
Porque quiero saber cuándo el rango es máximo, cuándo el rango es 3

91
00:07:09,670 --> 00:07:14,069
Para que el rango sea 3, el determinante tiene que ser distinto de 0

92
00:07:14,069 --> 00:07:19,050
Por lo tanto, como no sé resolver cuando algo es distinto, calculo cuando algo es igual

93
00:07:19,050 --> 00:07:23,350
Perdón, al que me han llamado a la puerta y he tenido que parar el vídeo, así que me he perdido un poco

94
00:07:23,350 --> 00:07:29,170
Lo que creo que se estaba diciendo es que lo que quiero calcular es cuando el determinante es distinto

95
00:07:29,170 --> 00:07:36,550
O sea, para saber cuando es distinto de 0, lo que hago es ver cuando es igual a 0 y luego calculo lo contrario

96
00:07:36,550 --> 00:07:40,629
En definitiva, calculo el determinante y lo igualo a 0

97
00:07:40,629 --> 00:07:45,660
Aquí resolvemos la ecuación de segundo grado

98
00:07:45,660 --> 00:07:49,680
O, si nos damos cuenta también, por cardanobieta, por el truquito

99
00:07:49,680 --> 00:07:52,959
Dos números cuyo producto sea menos 4 y su suma sea 3

100
00:07:52,959 --> 00:07:59,220
Son lambda igual 4 y lambda igual menos 1

101
00:07:59,220 --> 00:08:02,980
Y de esta manera yo ya tengo los números

102
00:08:02,980 --> 00:08:06,339
O sea, los valores del parámetro que yo busco

103
00:08:06,339 --> 00:08:10,339
que me van a definir las diferencias del tipo de sistema.

104
00:08:10,579 --> 00:08:13,180
Entonces, una vez que ya he calculado estos dos números,

105
00:08:13,600 --> 00:08:16,860
fijaos que por ahora no he tocado nada todavía de rangos ni nada,

106
00:08:16,959 --> 00:08:19,899
simplemente es en lo que me he basado en lo que significa que sea rango máximo.

107
00:08:20,339 --> 00:08:21,759
Ahora ya empezamos a discutir.

108
00:08:22,319 --> 00:08:24,120
Primer caso, el más sencillo.

109
00:08:25,079 --> 00:08:28,459
Si mi valor lambda es distinto de 4

110
00:08:28,459 --> 00:08:33,879
y lambda es distinto de menos 1,

111
00:08:33,879 --> 00:08:41,019
¿Vale? Tiene que ser distinto de los dos números. Si lambda es distinto de 4 y lambda es distinto de menos 1, entonces ¿qué ocurre?

112
00:08:42,240 --> 00:08:48,779
Bueno, pues hemos dicho que el determinante de A, lo voy a escribir todo aunque ya lo sabemos, el determinante de A sería distinto de 0,

113
00:08:50,100 --> 00:08:54,440
lo que significaría que el rango de A es máximo, en este caso es 3.

114
00:08:55,179 --> 00:09:02,139
Como la matriz ampliada, el rango máximo que tiene es 3, coincide con el rango de la matriz ampliada.

115
00:09:02,139 --> 00:09:09,080
Y además, ¿cuántas incógnitas tenemos? Tres. Pues coincide con el número de incógnitas.

116
00:09:09,740 --> 00:09:18,940
Por lo tanto, por el sistema, perdón, por el teorema de Rouchet o de Rouchet-Frouvenius, el que tenemos arriba, sabemos que el sistema va a ser compatible y determinado.

117
00:09:19,879 --> 00:09:23,059
¿Vale? Y ahora, ¿qué tenemos que hacer? Estudiar cada uno de los casos.

118
00:09:23,559 --> 00:09:30,340
¿Qué ocurre, por ejemplo, si la lambda vale cuatro? Bueno, pues en este caso, si la lambda es cuatro, ¿nosotros qué sabemos?

119
00:09:30,340 --> 00:09:34,860
nosotros sabemos que el determinante de A es 0

120
00:09:34,860 --> 00:09:40,860
por lo tanto lo que sabemos es que el rango de A va a ser menor que 3

121
00:09:40,860 --> 00:09:43,220
eso ya lo sabemos

122
00:09:43,220 --> 00:09:49,620
entonces ahora en estos casos concretos podemos ir calculando el rango directamente de la ampliada

123
00:09:49,620 --> 00:09:56,960
o directamente podemos coger un menor de orden 2 para ver el rango de A

124
00:09:56,960 --> 00:10:01,320
y un menor de orden 3 para ver el rango de la ampliada, ¿vale?

125
00:10:01,580 --> 00:10:05,279
O también podemos coger, yo creo que a veces se ve también así fácil,

126
00:10:06,000 --> 00:10:08,620
directamente pongo la r de rango, ¿vale?

127
00:10:08,620 --> 00:10:11,059
No sé eso cómo lo escribís vosotros, quiero calcular el rango

128
00:10:11,059 --> 00:10:15,039
y voy a escribir la matriz ampliada para lambda igual a 4,

129
00:10:15,039 --> 00:10:30,019
es decir, 1, 2, 1, 2, 4, 2, menos 1, 1, 4, y el término independiente, 2, 7, 2, ¿vale?

130
00:10:31,039 --> 00:10:41,039
Estamos calculando rangos, fijaos en la columna, a ver, vamos a coger, fijaos en la columna 1 y la columna 2,

131
00:10:41,039 --> 00:11:03,059
¿Qué le pasa? Que son, una es el doble de la otra, ¿verdad? Por lo tanto, en cuestión para los rangos, puedo olvidarme de una de ellas, luego el rango de esa matriz coincide con el rango de la matriz, 1, voy a coger la más sencilla, 1, 2, 1, menos 1, 1, 4, 2, 7, 2, ¿vale?

132
00:11:03,059 --> 00:11:17,960
Y aquí ya para calcular este rango, este sería el rango de la ampliada, para calcular este rango, que es lo único que tendríamos que hacer, o bien hago ceros para ver si se puede triangular, o bien calculo el determinante, ya que estoy con el rango voy a hacer ceros, ¿vale?

133
00:11:17,960 --> 00:11:24,960
Es decir, quiero eliminar este número, este número y este número, ¿vale?

134
00:11:25,980 --> 00:11:26,840
Para hacer ceros.

135
00:11:27,519 --> 00:11:32,860
Bien, pues esto va a ser igual al rango de la primera fila la mantengo igual

136
00:11:32,860 --> 00:11:38,759
y ahora, para la segunda columna, lo que tendremos que hacer es multiplicar la primera fila por 2

137
00:11:38,759 --> 00:11:39,639
y se la resto.

138
00:11:40,200 --> 00:11:41,820
2 menos 2 es 0.

139
00:11:42,559 --> 00:11:45,220
Menos 2 menos 1 es menos 3.

140
00:11:45,220 --> 00:11:49,500
4 menos 7 es menos 3

141
00:11:49,500 --> 00:11:49,940
¿Vale?

142
00:11:50,340 --> 00:11:52,059
Para eliminar el 1 de abajo

143
00:11:52,059 --> 00:11:54,240
Pues directamente resto la primera y la tercera

144
00:11:54,240 --> 00:11:56,820
1 menos 1, 0

145
00:11:56,820 --> 00:12:01,580
Menos 1 menos 4, menos 5

146
00:12:01,580 --> 00:12:06,100
Y 2 menos 2, 0

147
00:12:06,100 --> 00:12:08,789
¿Vale?

148
00:12:10,129 --> 00:12:10,649
¿Si no?

149
00:12:10,649 --> 00:12:14,230
Y fijaos, para calcular, a ver

150
00:12:14,230 --> 00:12:19,909
Podríamos moverla también si queréis

151
00:12:19,909 --> 00:12:22,190
O bueno, no, hemos dicho que me faltaría

152
00:12:22,190 --> 00:12:25,190
Sí, las puedo mover porque ya que tengo el 0 abajo

153
00:12:25,190 --> 00:12:27,129
Este, el rango va a ser el mismo

154
00:12:27,129 --> 00:12:29,830
De si pongo 1, 0, 0

155
00:12:29,830 --> 00:12:32,830
2, menos 3, 0

156
00:12:32,830 --> 00:12:37,490
Menos 1, menos 3, menos 5, ¿verdad?

157
00:12:38,950 --> 00:12:40,470
¿Y este qué rango va a ser?

158
00:12:41,049 --> 00:12:43,210
Pues a ver, ya tenemos la matriz triangulada, ¿no?

159
00:12:43,210 --> 00:12:49,610
tengo un escalón, dos escalones, tres escalones, luego esto va a ser rango 3, ¿vale?

160
00:12:50,710 --> 00:12:53,429
Este es el rango de la matriz ampliada, ¿vale?

161
00:12:53,429 --> 00:12:57,330
Lo puedo poner aquí que no lo he puesto, el rango de mi matriz ampliada.

162
00:12:58,169 --> 00:13:03,750
De la matriz A no lo he dicho, pero se veía, es decir, lo podríamos haber hecho aquí directamente,

163
00:13:03,889 --> 00:13:10,929
el rango de A es menor que 3, lo voy a poner aquí, calculo, cojo un menor de orden 2, ¿vale?

164
00:13:10,929 --> 00:13:34,389
Y vemos a ver si es distinto de 0, por ejemplo, voy a coger ahora el menor, pues este de aquí que, ¿vale? Voy a coger este menor, 1 menos 1, a ver, cuando escribimos el menor directamente cojo el que sé que no va a ser 0, si hubiera cogido los dos primeros me hubiera dado 0.

165
00:13:34,389 --> 00:13:38,789
Esto será 1 menos menos 2, es decir, 1 más 2 es 3

166
00:13:38,789 --> 00:13:40,929
Esto es distinto de 0

167
00:13:40,929 --> 00:13:45,590
Luego esto significa que el rango de A es 2, ¿vale?

168
00:13:45,950 --> 00:13:48,370
Esto lo podríamos haber calculado antes, se me ha pasado

169
00:13:48,370 --> 00:13:50,350
Pero bueno, da igual antes que después

170
00:13:50,350 --> 00:13:53,370
Por lo tanto, ¿qué es lo que hemos obtenido en este caso?

171
00:13:53,370 --> 00:13:57,929
Pues en este caso hemos obtenido que el rango de A es 2

172
00:13:57,929 --> 00:14:00,129
Que es distinto de 3

173
00:14:00,129 --> 00:14:03,049
Que es el rango de la matriz ampliada, ¿verdad?

174
00:14:03,049 --> 00:14:06,169
por lo tanto, por el teorema de Rouchet

175
00:14:06,169 --> 00:14:10,149
este sistema es un sistema incompatible

176
00:14:10,149 --> 00:14:12,850
y ahora me falta por último

177
00:14:12,850 --> 00:14:15,269
estudiar el caso

178
00:14:15,269 --> 00:14:18,210
si la lambda es igual a menos uno

179
00:14:18,210 --> 00:14:20,929
que además observar el apartado B

180
00:14:20,929 --> 00:14:22,990
justamente es lo que me están diciendo

181
00:14:22,990 --> 00:14:26,009
resolver el sistema cuando la lambda es igual a menos uno

182
00:14:26,009 --> 00:14:29,929
no podemos asegurarlo, ¿vale?

183
00:14:29,950 --> 00:14:30,850
pero normalmente

184
00:14:30,850 --> 00:14:33,230
si en el primer caso es compatible o determinado

185
00:14:33,230 --> 00:14:35,269
en el otro caso es incompatible

186
00:14:35,269 --> 00:14:37,649
y ya que me piden resolver en este caso

187
00:14:37,649 --> 00:14:39,830
lo más seguro es que sea compatible o indeterminado

188
00:14:39,830 --> 00:14:42,809
pero tenemos que verificarlo por si acaso

189
00:14:42,809 --> 00:14:44,250
¿de acuerdo?

190
00:14:44,350 --> 00:14:46,830
o sea, porque no podemos coger y decir directamente

191
00:14:46,830 --> 00:14:48,350
va, va a ser compatible o indeterminado

192
00:14:48,350 --> 00:14:49,710
sería lo más normal

193
00:14:49,710 --> 00:14:53,529
ya que justamente es lo que nos están pidiendo resolver

194
00:14:53,529 --> 00:14:56,289
vale, pues entonces si la lambda es igual a menos uno

195
00:14:56,289 --> 00:14:59,029
vuelvo a empezar como antes, ¿vale?

196
00:14:59,029 --> 00:15:10,070
Bien, nosotros ya sabemos, en este caso, sabemos que el determinante de A es 0 y por lo tanto que el rango de A va a ser menor que 3.

197
00:15:10,710 --> 00:15:13,889
Si queréis, cogemos ya directamente un menor de orden 2.

198
00:15:14,529 --> 00:15:24,190
Si sustituimos los dos primeros, los de arriba, la primera y segunda fila, sería 1, 2, 1, 2, con lambda menos 1 sería 2, menos 1.

199
00:15:24,190 --> 00:15:27,269
esto sería menos 1 menos 4

200
00:15:27,269 --> 00:15:28,309
que es menos 5

201
00:15:28,309 --> 00:15:30,409
distinto de 0

202
00:15:30,409 --> 00:15:32,210
por lo tanto

203
00:15:32,210 --> 00:15:33,870
es un sistema

204
00:15:33,870 --> 00:15:36,990
ah, perdón, estoy con los rangos

205
00:15:36,990 --> 00:15:39,389
el rango de A

206
00:15:39,389 --> 00:15:41,129
es 2

207
00:15:41,129 --> 00:15:41,950
¿vale?

208
00:15:43,570 --> 00:15:44,250
bien, ¿no?

209
00:15:44,289 --> 00:15:45,590
habéis visto lo que he hecho, he cogido

210
00:15:45,590 --> 00:15:48,370
es que no he puesto, no he escrito la matriz

211
00:15:48,370 --> 00:15:50,350
directamente sustituyéndola, pero la he cogido

212
00:15:50,350 --> 00:15:51,629
de arriba, de la matriz de arriba

213
00:15:51,629 --> 00:15:55,889
Vale, y ahora para calcular el rango de la ampliada voy a hacer exactamente lo mismo

214
00:15:55,889 --> 00:16:00,110
Ya os digo que se puede hacer todo por matrices, o sea, por determinantes

215
00:16:00,110 --> 00:16:02,649
Escojo los determinantes, busco uno distinto de cero y ya está

216
00:16:02,649 --> 00:16:08,350
En el caso incompatible está bien, porque el momento que encuentro, o sea, porque va a haber alguno que sea distinto de cero

217
00:16:08,350 --> 00:16:12,850
Pero claro, si es compatible indeterminado, a lo mejor me toca hacer muchos determinantes

218
00:16:12,850 --> 00:16:16,909
Para comprobar que no hay ninguno que sea cero, ¿vale?

219
00:16:16,909 --> 00:16:23,110
Entonces, de esta forma también así con el rango con matrices no es difícil y además así también nos sirve para repasar.

220
00:16:23,850 --> 00:16:28,129
Venga, pues vamos a calcular la matriz ampliada con la lambda igual a menos 1.

221
00:16:28,129 --> 00:16:41,110
Pues esta es 1, 2, 1, 2, menos 1, 2, menos 1, 1, menos 1 y el término independiente es el 2, 7, 2.

222
00:16:45,559 --> 00:16:50,220
Fijaos, de esta manera lo tenemos ya, no tenemos que hacer ningún cálculo porque aquí ocurre,

223
00:16:50,659 --> 00:16:53,919
¿Qué le pasa a la primera fila y a la tercera fila?

224
00:16:54,340 --> 00:16:56,259
Que son exactamente lo mismo.

225
00:16:56,759 --> 00:17:03,340
Por lo tanto, el rango de esta matriz es el mismo que la matriz que obtenemos quitando una de las filas.

226
00:17:03,460 --> 00:17:04,779
Podemos olvidarnos de la tercera.

227
00:17:05,779 --> 00:17:09,319
Y me queda aquí la 2 menos 1, 1, 7.

228
00:17:10,200 --> 00:17:10,480
¿Vale?

229
00:17:10,480 --> 00:17:19,740
Y está claro que este, el rango es 2, pues entre otras cosas porque está justamente este menor, que es el que he cogido antes.

230
00:17:19,740 --> 00:17:26,440
¿Veis que es el mismo que he cogido antes?

231
00:17:26,920 --> 00:17:28,259
Si no, ¿qué tendríamos que hacer?

232
00:17:28,420 --> 00:17:32,400
Pues multiplicar la de arriba por 2 para eliminar este número

233
00:17:32,400 --> 00:17:35,059
Y veríamos que se nos va

234
00:17:35,059 --> 00:17:36,660
Pero bueno, en este caso ya no haría falta

235
00:17:36,660 --> 00:17:40,000
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Qué es lo que hemos obtenido con todo esto?

236
00:17:40,480 --> 00:17:44,599
Lo que hemos obtenido con todo esto es que los dos rangos son iguales

237
00:17:44,599 --> 00:17:48,319
Por lo tanto, es un sistema compatible indeterminado

238
00:17:48,319 --> 00:17:55,500
Es lo que os decía que era lo que tenía un poquito como más de sentido justamente por lo que me estaban pidiendo

239
00:17:55,500 --> 00:17:57,519
Y ahora el apartado B

240
00:17:57,519 --> 00:18:00,299
Vamos con el apartado B

241
00:18:00,299 --> 00:18:01,980
Voy a dejar la matriz para ver cómo es

242
00:18:01,980 --> 00:18:05,180
Para ver cómo es

243
00:18:05,180 --> 00:18:10,680
El apartado B me piden resolverlo para lambda igual a menos 1

244
00:18:10,680 --> 00:18:14,319
Por lo tanto la matriz ampliada en este caso

245
00:18:14,319 --> 00:18:22,519
La matriz ampliada es la 1, 2, 1, 2, menos, es la que tengo arriba, ¿vale?

246
00:18:22,519 --> 00:18:23,819
La estoy simplemente copiando

247
00:18:23,819 --> 00:18:28,599
2, 1, 2, 7, 2

248
00:18:28,599 --> 00:18:30,819
Esta es mi matriz ampliada, ¿vale?

249
00:18:30,960 --> 00:18:32,579
Para tener un poquito más de espacio

250
00:18:32,579 --> 00:18:35,240
¿Nosotros qué tendríamos que decir en el apartado E?

251
00:18:35,680 --> 00:18:37,880
Pues que por el apartado A

252
00:18:37,880 --> 00:18:39,880
A ver si me escribe

253
00:18:39,880 --> 00:18:41,660
Por el apartado A

254
00:18:41,660 --> 00:18:49,079
si la lambda es igual a menos 1, entonces es un sistema compatible indeterminado, ¿vale?

255
00:18:49,299 --> 00:18:53,619
Y por lo que hemos visto en el fondo, el sistema, para resolver el sistema,

256
00:18:53,740 --> 00:18:57,799
nos podemos olvidar de la tercera ecuación, ¿vale?

257
00:18:57,900 --> 00:19:01,900
He escrito la matriz, pero en el fondo, si queréis, puedo escribir directamente el sistema, ¿vale?

258
00:19:01,900 --> 00:19:22,200
Mi sistema era x más 2y menos z igual 2, 2x menos y más z igual 7 y la tercera ecuación es exactamente igual que la primera, ¿vale?

259
00:19:22,200 --> 00:19:34,519
Por lo tanto, resolver este sistema es lo mismo que resolver el sistema como nos ha pasado antes con el rango, simplemente con estas dos ecuaciones, ¿vale?

260
00:19:34,920 --> 00:19:49,740
Es decir, si sabemos que el sistema es compatible e indeterminado, va a haber una ecuación, si el rango es 2, va a haber una ecuación que nos sobra, si el rango es 1, va a haber dos ecuaciones, es decir, todas las ecuaciones van a ser la misma.

261
00:19:50,400 --> 00:19:52,980
Entonces, a ver, ¿cómo vamos a resolver este sistema?

262
00:19:54,119 --> 00:19:57,980
Yo, bueno, se podría hacer también por Kramer, así con truquitos y tal,

263
00:19:58,079 --> 00:20:00,819
pero bueno, yo creo que la forma más sencilla es,

264
00:20:01,180 --> 00:20:02,720
sabéis que tiene que haber un parámetro, ¿vale?

265
00:20:02,980 --> 00:20:04,259
Pues entonces, ¿qué vamos a hacer?

266
00:20:04,359 --> 00:20:09,079
A ese parámetro va a ser, por ejemplo, nuestra zeta, ¿vale?

267
00:20:09,740 --> 00:20:11,619
Entonces, lo que voy a hacer es pasar la zeta,

268
00:20:11,680 --> 00:20:13,759
que para mí no va a ser algo incógnito, va a ser un parámetro,

269
00:20:13,759 --> 00:20:17,400
lo voy a pasar a la derecha y voy a transformarlo en un sistema de dos ecuaciones,

270
00:20:17,400 --> 00:20:29,579
es x más 2y igual a 2 más z, y 2x menos y igual a 7 menos z, ¿vale?

271
00:20:30,920 --> 00:20:33,980
Y entonces, para resolver el sistema, ¿qué es lo que vamos a hacer?

272
00:20:34,299 --> 00:20:40,579
Pues voy a llamar z, ¿vale? Va a ser mi parámetro, por ejemplo, t.

273
00:20:41,019 --> 00:20:45,079
Ya sabéis que cuando es indeterminado es como si fuera una recta, luego tiene que depender de un parámetro.

274
00:20:45,079 --> 00:20:47,140
vale, si z es igual a t

275
00:20:47,140 --> 00:20:49,200
¿qué me queda en el sistema?

276
00:20:49,299 --> 00:20:52,200
mi sistema sería x más 2y

277
00:20:52,200 --> 00:20:53,720
voy a volver a escribir lo mismo pero con t

278
00:20:53,720 --> 00:20:55,599
igual a 2 más t

279
00:20:55,599 --> 00:20:58,400
y la otra ecuación sería

280
00:20:58,400 --> 00:21:00,680
2x menos y

281
00:21:00,680 --> 00:21:03,279
igual a 7 menos t

282
00:21:03,279 --> 00:21:06,140
y ahora ¿qué tenemos que hacer?

283
00:21:06,240 --> 00:21:07,099
pues vamos a resolver

284
00:21:07,099 --> 00:21:10,299
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

285
00:21:10,299 --> 00:21:12,259
puedo hacer directamente reducción

286
00:21:12,259 --> 00:21:14,039
por eso os digo que podríamos hacer también

287
00:21:14,039 --> 00:21:16,819
viéndolo de esta manera también podríamos utilizar

288
00:21:16,819 --> 00:21:18,839
crame pero a lo mejor es un poquito más

289
00:21:18,839 --> 00:21:20,680
vamos a ir a muy sencillo porque son

290
00:21:20,680 --> 00:21:22,359
determinantes de orden 2

291
00:21:22,359 --> 00:21:24,720
pero venga, vamos a aplicar

292
00:21:24,720 --> 00:21:27,200
aquí directamente una reducción

293
00:21:27,200 --> 00:21:28,900
vamos a multiplicar la de arriba

294
00:21:28,900 --> 00:21:30,460
por 2 para que se nos vaya la x

295
00:21:30,460 --> 00:21:32,460
y me queda 2x menos 2x

296
00:21:32,460 --> 00:21:34,539
se me va, 4y menos

297
00:21:34,539 --> 00:21:36,720
menos y me queda 5y

298
00:21:36,720 --> 00:21:38,559
y aquí por un lado

299
00:21:38,559 --> 00:21:40,460
sumamos los números y por otro las t

300
00:21:40,460 --> 00:21:42,680
estamos multiplicando la de arriba por 2

301
00:21:42,680 --> 00:21:54,559
2 por 2, 4, 4 menos 7 es menos 3, y 2t menos menos t es 3t, más 3t. Por lo tanto, de aquí

302
00:21:54,559 --> 00:22:06,170
me sale que la i vale, despejamos, menos 3 más 3t entre 5. ¿Vale? Ya tenemos, fijaos,

303
00:22:06,170 --> 00:22:15,230
Ya tenemos el valor de z, tenemos también el valor de y, me falta simplemente el valor de la x

304
00:22:15,230 --> 00:22:19,289
Pues para la x ¿qué vamos a hacer? Pues lo mismo, pero eliminando la y

305
00:22:19,289 --> 00:22:26,730
A ver, podríamos estar despejando, pero como tenemos fracciones, como queda un poquito más de pereza

306
00:22:26,730 --> 00:22:30,490
Entonces directamente voy a ser vaga, voy a venir aquí arriba

307
00:22:30,490 --> 00:22:35,069
¿Y qué voy a hacer? Voy a multiplicar la de abajo por 2 y sumarla

308
00:22:35,069 --> 00:23:05,329
Y que me quedaría x más 4x, 5x. 2y menos 2y, ay que aquí no se me ha quedado, se me iría, igual a, recordad que estamos multiplicando por 2 la de abajo y lo estamos sumando, luego esto sería 2 más 14, 16, y sería z menos 2z, bueno sería t, vale, he sido un poquito vaga, pero bueno, sería menos t, vale.

309
00:23:06,450 --> 00:23:17,369
No sé, no me he dado cuenta que estaba puesto la t, entonces, bueno, a ver, no os quiero, que no estaba puesto la t, estaba la z, no os quiero liar, ¿vale?

310
00:23:17,369 --> 00:23:20,990
Que de repente digáis, ¿y por qué ahora lo está haciendo con la otra y tal?

311
00:23:21,950 --> 00:23:24,569
Simplemente es porque hay ciertas cosas que las podemos hacer de cabeza.

312
00:23:25,089 --> 00:23:31,829
Venga, pues entonces, a ver, vuelvo a escribir lo que teníamos, x más 2y igual a 2 más t.

313
00:23:31,829 --> 00:23:34,890
voy a hacer exactamente lo mismo que he hecho

314
00:23:34,890 --> 00:23:38,289
menos y igual a 7 menos t

315
00:23:38,289 --> 00:23:39,950
así que espero que me dé el mismo resultado

316
00:23:39,950 --> 00:23:43,470
y entonces aquí hemos dicho que lo que vamos a hacer es multiplicar

317
00:23:43,470 --> 00:23:46,109
por 2 la de abajo y sumar

318
00:23:46,109 --> 00:23:49,349
entonces sería 1 más 4, 5x

319
00:23:49,349 --> 00:23:51,930
más 2 menos 2, se me va

320
00:23:51,930 --> 00:23:58,250
y sería 2 más 14, 16

321
00:23:58,250 --> 00:24:03,430
y 1, o sea, t menos 2t menos t.

322
00:24:04,309 --> 00:24:06,029
Sinceramente espero que antes a mí me diera lo mismo.

323
00:24:06,930 --> 00:24:12,130
Y despejamos la x y que me queda que la x es 16 menos t partido de 5.

324
00:24:12,809 --> 00:24:13,190
¿Vale?

325
00:24:13,849 --> 00:24:16,650
Y ya tenemos las tres, es decir, ¿cuál va a ser nuestra solución?

326
00:24:16,930 --> 00:24:26,410
Pues nuestra solución va a ser x igual a 16 menos t partido de 5.

327
00:24:26,410 --> 00:24:42,930
la i va a ser menos 3 más 3t partido de 5 y mi z va a ser t, teniendo en cuenta que t es un número real, ¿vale?

328
00:24:43,150 --> 00:24:48,470
Si habéis mirado las soluciones, veréis que la solución de este sistema no lo ponen de esta manera,

329
00:24:48,609 --> 00:24:55,650
sino que lo ponen como un punto más el vector, o sea, más el parámetro por otro punto, ¿vale?

330
00:24:56,190 --> 00:24:59,809
Simplemente es porque lo que estamos obteniendo es una ecuación de una recta.

331
00:25:00,329 --> 00:25:03,970
Y si retrocedéis a cuarto de la ESO, que seguro que ya nos acordáis,

332
00:25:05,150 --> 00:25:08,930
veíamos las diferentes formas de escribir las ecuaciones de una recta.

333
00:25:09,230 --> 00:25:12,490
Esta era la ecuación paramétrica, la que depende de un parámetro.

334
00:25:13,049 --> 00:25:16,029
La que ponen ellos como solución es la ecuación vectorial,

335
00:25:16,430 --> 00:25:18,130
pero en el fondo es la misma, ¿vale?

336
00:25:18,569 --> 00:25:20,809
Sirve igual de una manera que de otra.

337
00:25:21,750 --> 00:25:24,109
Sé que a lo mejor ha sido un poquito el ejercicio largo,

338
00:25:24,109 --> 00:25:29,230
pero porque me he enrollado bastante diciéndolo, pero en el fondo no es muy complicado, ¿vale?

339
00:25:29,630 --> 00:25:31,349
Venga, luego intento hacer alguno más.