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00:00:12,269 --> 00:00:17,510
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,510 --> 00:00:21,890
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,890 --> 00:00:26,769
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.

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00:00:31,109 --> 00:00:35,789
En la videoclase de hoy estudiaremos la función de distribución de una variable aleatoria

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00:00:35,789 --> 00:00:36,170
normal.

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00:00:47,420 --> 00:00:53,659
En esta videoclase vamos a estudiar la función de distribución normal. Esta se va a determinar

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00:00:53,659 --> 00:00:59,679
a partir de la función de densidad de probabilidad como la integral entre menos infinito y x de la

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00:00:59,679 --> 00:01:03,880
función de densidad de probabilidad, en la misma manera que habíamos visto para el caso de una

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00:01:03,880 --> 00:01:09,620
variable aleatoria continua general. A la vista de cuál es la definición de la función de densidad

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00:01:09,620 --> 00:01:13,939
de probabilidad por una variable normal, la distribución gaussiana, lo que tenemos es,

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00:01:14,099 --> 00:01:19,700
para el caso de una normal con media mu y desviación típica sigma, 1 partido de la

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00:01:19,700 --> 00:01:25,780
raíz cuadrada de 2pi la varianza, la integral de menos infinito a x, de e elevado a menos

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00:01:25,780 --> 00:01:31,480
la variable menos la media al cuadrado dividido entre dos veces la varianza. En el caso de

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00:01:31,480 --> 00:01:35,340
una variable aleatoria normal, estándar, con media igual a 0 y desviación típica

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00:01:35,340 --> 00:01:41,359
igual a 1, bien con varianza igual a 1, obtenemos esta función de distribución que corresponde

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00:01:41,359 --> 00:01:46,640
a la anterior en el caso en el que hacemos sigma igual a 1 y la media igual a 0. Podemos

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00:01:46,640 --> 00:01:52,560
representarlas gráficamente para distintos valores de la media y distintos valores de la

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00:01:52,560 --> 00:01:58,620
varianza y vemos un comportamiento similar al que podríamos esperar para el caso de una variable

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00:01:58,620 --> 00:02:06,060
aleatoria continua genérica. Para el caso de la variable aleatoria normal podemos tabular los

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00:02:06,060 --> 00:02:12,639
distintos valores de la función de distribución y habitualmente tendremos tablas como esta que

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00:02:12,639 --> 00:02:19,060
tenemos aquí para valores de z mayores o iguales que cero. Fijaos la forma tan peculiar en la que

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00:02:19,060 --> 00:02:27,259
tenemos tabulados los valores. Los valores de z vienen representados en este encabezado de filas

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00:02:27,259 --> 00:02:34,099
y en este encabezado de columnas. Aquí lo que tenemos que buscar es la parte entera y el decimal,

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00:02:34,599 --> 00:02:41,900
la cifra decimal de z, y aquí lo que tendremos que buscar es la segunda cifra decimal, la cifra

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00:02:41,900 --> 00:02:46,719
de las centésimas. De tal forma que si estamos buscando el valor de la función de distribución

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00:02:46,719 --> 00:02:54,139
de la normal estándar cuando z vale 1,28, por ejemplo, tendríamos que buscar en esta columna

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00:02:54,139 --> 00:03:01,240
1,2, tendríamos que buscar en las columnas la cifra de las centésimas que sea 8 y buscar la

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00:03:01,240 --> 00:03:13,680
intersección 1,2 en unidades y décimas y buscamos el 8 en centésimas y este 0,8997 se corresponde

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00:03:13,680 --> 00:03:20,620
con el valor de f de z función de distribución de la variable aleatoria normal estándar y

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00:03:20,620 --> 00:03:27,319
corresponde con la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un

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00:03:27,319 --> 00:03:35,340
valor menor o igual que 1,28, ese valor de zeta que hemos buscado en la tabla. A partir de los

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00:03:35,340 --> 00:03:40,560
valores tabulados en la tabla que acabamos de discutir podemos determinar probabilidades de

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00:03:40,560 --> 00:03:47,319
distintos intervalos siempre haciendo uso de una variable aleatoria normal estándar. El caso que

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00:03:47,319 --> 00:03:52,699
he mencionado hace un momento es este primero que tenemos aquí. Probabilidad de que mi variable

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00:03:52,699 --> 00:03:58,419
aleatoria normal estándar sea menor o igual que un cierto valor z0 mayor o igual que 0. Hemos

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00:03:58,419 --> 00:04:04,259
mencionado el caso de probabilidad de que z sea menor o igual que 1,28 y hemos dicho que se puede

37
00:04:04,259 --> 00:04:11,680
leer directamente en la tabla. Busco 1,28. Recordad que la cifra de las centésimas está en el

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00:04:11,680 --> 00:04:20,399
encabezado de columnas 1,28 y esa probabilidad es 0,8997. Insisto en que porque aquí tenemos

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00:04:20,399 --> 00:04:27,639
representados z mayores o iguales que 0. ¿Qué ocurre si, como tenemos aquí esa abscisa para la

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00:04:27,639 --> 00:04:33,019
cual estoy preguntándome probabilidad de que z sea menor o igual que ella fuera negativa. ¿Qué

41
00:04:33,019 --> 00:04:37,360
ocurre si, por ejemplo, estoy preguntándome por la probabilidad de que z sea menor o igual que

42
00:04:37,360 --> 00:04:43,639
menos 1,28? En ese caso necesitamos hacer dos transformaciones para poder leer directamente

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00:04:43,639 --> 00:04:49,259
en la tabla que tenemos. Primero tenemos que pensar en que la función de densidad de probabilidad es

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00:04:49,259 --> 00:04:56,620
simétrica, de tal forma que la probabilidad de que z sea menor o igual que este z0 negativo va a ser

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00:04:56,620 --> 00:05:02,420
igual a la probabilidad de que z sea mayor o igual que menos z0. Y pensad en que si z0

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00:05:02,420 --> 00:05:09,759
es negativo, menos z0 con el signo cambiado va a ser positivo. Este menos z0, que ahora

47
00:05:09,759 --> 00:05:15,160
es positivo, sí está en la tabla de antes, pero en la tabla yo lo que tengo son lo que

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00:05:15,160 --> 00:05:20,279
se llaman las colas de la izquierda, las probabilidades de que z sea menor o igual que lo que tengo

49
00:05:20,279 --> 00:05:25,540
en la tabla. Nosotros lo que necesitamos es la probabilidad de que z sea mayor que un

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00:05:25,540 --> 00:05:30,259
valor de estos que tenemos en la tabla. ¿Qué es lo que tenemos que hacer entonces? Pues aplicar la

51
00:05:30,259 --> 00:05:35,399
segunda transformación que es considerar la probabilidad del suceso contrario. La probabilidad

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00:05:35,399 --> 00:05:41,019
de que z sea mayor o igual que un cierto valor positivo es 1 menos la probabilidad del suceso

53
00:05:41,019 --> 00:05:47,860
contrario que z sea menor que ese valor negativo. Si yo empezaba por probabilidad de que z sea menor

54
00:05:47,860 --> 00:05:57,839
igual que menos 1,28, he acabado con 1 menos la probabilidad de que z sea menor que 1,28, positivo.

55
00:05:58,399 --> 00:06:04,040
Y eso sí lo puedo encontrar en la tabla. Si nos preguntamos por las probabilidades de que z sea

56
00:06:04,040 --> 00:06:12,000
mayor que una z abstisa, z0, las colas de la derecha, como he dicho antes, en el caso en el que este z0

57
00:06:12,000 --> 00:06:17,920
sea mayor o igual que cero, tengo que hacer una transformación. Me pregunto por la probabilidad

58
00:06:17,920 --> 00:06:23,240
de que z sea mayor o igual que 1,28. En la tabla tengo la probabilidad de que z sea menor o igual

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00:06:23,240 --> 00:06:28,660
que 1,28. Son sucesos contrarios. Bueno, pues la transformación que tengo que hacer es precisamente

60
00:06:28,660 --> 00:06:34,339
esa. La probabilidad de que z sea mayor o igual que este valor positivo es 1 menos la probabilidad

61
00:06:34,339 --> 00:06:39,220
del suceso contrario, que z sea menor que ese valor positivo, que puedo leer en la tabla

62
00:06:39,220 --> 00:06:45,819
directamente. En el caso en el que el z0, esta abscisa, fuera negativa, además de

63
00:06:45,819 --> 00:06:49,740
esta transformación, en lugar de esta transformación, perdón, necesitaría hacer

64
00:06:49,740 --> 00:06:53,600
la transformación que corresponde a la simetría. Yo en la tabla no tengo valores

65
00:06:53,600 --> 00:06:57,939
de abscisas negativas, sólo los tengo positivos. En este caso lo que tengo que

66
00:06:57,939 --> 00:07:01,939
hacer es pensar que esa probabilidad de que z sea mayor o igual que ese z0

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00:07:01,939 --> 00:07:06,500
negativo por simetría corresponde a la probabilidad de que z sea menor o igual

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00:07:06,500 --> 00:07:12,319
que esté menos z0. Al cambiar el signo a esta abscisa negativa tendré una abscisa positiva y

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00:07:12,319 --> 00:07:19,500
eso sí lo puedo leer directamente en la tabla. Así pues, antes de continuar, vamos a recapitular. Si

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00:07:19,500 --> 00:07:24,139
me piden las colas de la izquierda, probabilidad de que z sea menor o igual que una cierta abscisa

71
00:07:24,139 --> 00:07:30,240
y esa abscisa es positiva, se lee en la tabla. Si esa abscisa es negativa, tengo que hacer dos

72
00:07:30,240 --> 00:07:36,000
transformaciones y será 1 menos la probabilidad de que z sea menor que el

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00:07:36,000 --> 00:07:40,439
correspondiente valor positivo. Aquí tengo el signo menos que me indica que le he

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00:07:40,439 --> 00:07:45,000
cambiado el signo. Si me piden las colas de la derecha, en el caso en el que la

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00:07:45,000 --> 00:07:49,959
abstisa sea positiva, tengo que hacer una transformación y la calcularé como 1

76
00:07:49,959 --> 00:07:55,319
menos la probabilidad de que z sea menor que esa abstisa positiva, que puedo leer

77
00:07:55,319 --> 00:08:00,860
la tabla. Mientras que si la abscisa es negativa, la transformación que tengo que hacer es

78
00:08:00,860 --> 00:08:05,879
distinta. La probabilidad de que z sea mayor que esa abscisa positiva es la probabilidad

79
00:08:05,879 --> 00:08:11,319
de que z sea menor o igual que la abscisa que es positiva al cambiarle el signo. Aquí

80
00:08:11,319 --> 00:08:16,439
tenemos este signo menos que me indica la transformación. En el caso en el que tenga

81
00:08:16,439 --> 00:08:20,759
que calcular la probabilidad para un cierto intervalo, que la variable aleatoria normal

82
00:08:20,759 --> 00:08:26,100
estándar esté comprendido entre estos valores z1 y z2, lo que tengo que hacer es aplicar la

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00:08:26,100 --> 00:08:30,800
probabilidad que se deduce de la regla de Barrow, del segundo teorema fundamental del cálculo

84
00:08:30,800 --> 00:08:35,860
integral, y calcularé estas probabilidades como la probabilidad de que z sea menor o igual que

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00:08:35,860 --> 00:08:41,360
el extremo superior, z2, menos la probabilidad de que z sea menor que el extremo inferior, z1.

86
00:08:42,179 --> 00:08:47,220
Estas dos probabilidades se determinarán teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente,

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00:08:47,220 --> 00:09:00,659
De tal forma que, dependiendo de cuáles sean esos valores z1 o z2, ambos positivos, uno positivo y uno negativo o los dos negativos, nos encontraremos con distintas situaciones que vienen aquí, resumidas en estas fórmulas.

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00:09:01,360 --> 00:09:15,080
Con esto que hemos visto, ya se pueden resolver estos ejercicios 5, 6, 7 y estos otros ejercicios 8, 9 y 10 que resolveremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior.

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00:09:15,080 --> 00:09:23,549
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios

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00:09:23,549 --> 00:09:28,389
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

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00:09:28,389 --> 00:09:34,009
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

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00:09:34,009 --> 00:09:35,909
Un saludo y hasta pronto