1
00:00:13,419 --> 00:00:21,059
Hola, hoy vamos a ver la distancia desde un punto P a una recta R.

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00:00:21,859 --> 00:00:31,000
La recta R nos la van a dar en forma general o implícita y vamos a definir un punto P externo a la recta, por supuesto,

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00:00:31,960 --> 00:00:36,380
que tenga de coordenadas x0 y 0.

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00:00:36,380 --> 00:00:45,679
Lo primero que vamos a utilizar es un vector normal a la recta que podríamos darle coordenadas como sabéis a b

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00:00:45,679 --> 00:00:53,759
Cualquier vector a b con los coeficientes de la x y de la y es perpendicular a la recta como hemos visto en otros vídeos

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00:00:53,759 --> 00:01:01,679
Además vamos a utilizar un punto r que tenga de coordenadas x1 y y1

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00:01:01,679 --> 00:01:26,480
De tal manera que podríamos al final tener el vector rp que tendría de coordenadas x0-x1, porque serían las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, x0-x1 y y0-y1.

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00:01:26,480 --> 00:01:35,060
Para calcular la distancia del punto a la recta lo que vamos a hacer es aplicar la trigonometría

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00:01:35,060 --> 00:01:41,280
Vamos a hallar el segmento perpendicular a la recta, por eso definimos n

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00:01:41,280 --> 00:01:46,959
que pasa o que llega hasta el punto P

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00:01:46,959 --> 00:01:51,500
Tened en cuenta que la distancia de un punto a una recta realmente no está definida

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00:01:51,500 --> 00:01:56,379
porque podría unir el punto P con cualquier punto de la recta

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00:01:56,379 --> 00:01:59,420
y nos daría una distancia diferente en cada ocasión.

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00:01:59,840 --> 00:02:03,000
Lo que nosotros nos referimos cuando decimos la distancia de un punto a una recta

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00:02:03,000 --> 00:02:06,099
es la distancia más corta entre el punto y la recta

16
00:02:06,099 --> 00:02:10,379
y por tanto tiene que ser perpendicular a la recta.

17
00:02:11,139 --> 00:02:15,439
Vamos a hacer el producto escalar de n por rp

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00:02:15,439 --> 00:02:21,180
que sería el módulo de n por el módulo de rp

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00:02:21,180 --> 00:02:25,300
por el coseno del ángulo que forman esos dos vectores.

20
00:02:25,300 --> 00:02:31,340
entonces si nosotros vemos en la gráfica lo que es el coseno

21
00:02:31,340 --> 00:02:35,919
pues en ese triángulo podríamos definir el coseno

22
00:02:35,919 --> 00:02:43,819
como la distancia del punto a la recta partido por el vector r, p

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00:02:45,979 --> 00:02:50,259
lógicamente no va a depender del punto r que hemos cogido de la recta

24
00:02:50,259 --> 00:02:53,379
porque como veis se cancela

25
00:02:53,379 --> 00:03:09,360
De esa manera, la distancia del punto a la recta la podríamos hacer como el módulo de n por el vector rp partido por, por eso estoy dividiendo, el módulo del vector n.

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00:03:09,360 --> 00:03:13,599
el denominador es la cosa más sencilla del mundo

27
00:03:13,599 --> 00:03:16,500
porque como además es estrictamente positivo

28
00:03:16,500 --> 00:03:20,479
no voy a poner las barras del módulo

29
00:03:20,479 --> 00:03:24,280
sería a cuadrado más b cuadrado

30
00:03:24,280 --> 00:03:30,340
y en el numerador pues utilizaremos la otra versión del producto escalar

31
00:03:30,340 --> 00:03:35,159
es decir, lo que haremos será multiplicar las coordenadas de n

32
00:03:35,159 --> 00:03:38,099
por las coordenadas de rp

33
00:03:38,099 --> 00:03:48,099
Y eso me quedaría a por x0 menos x1 más b por x0 menos y1.

34
00:03:49,300 --> 00:04:02,879
Vale, si seguimos trabajando con esta expresión, dejamos el denominador como está y en el numerador nos quedaría a x0 más b y 0,

35
00:04:02,879 --> 00:04:11,780
le he dado un poquito la vuelta, y luego nos quedaría menos ax1 menos bi1.

36
00:04:12,340 --> 00:04:19,819
Bueno, como el punto x1 y 1 pertenece a nuestra recta,

37
00:04:20,379 --> 00:04:28,620
tenemos que tener en cuenta que ax1 más bi1 más c tiene que ser cero.

38
00:04:28,620 --> 00:04:32,899
repito, el punto X1 y 1 pertenece a la recta

39
00:04:32,899 --> 00:04:35,199
así que debe cumplir su ecuación

40
00:04:35,199 --> 00:04:38,819
de tal manera que si yo estas dos cosas

41
00:04:38,819 --> 00:04:41,699
las paso a la derecha y me quedan negativas

42
00:04:41,699 --> 00:04:47,139
son estas dos cosas y valdrán exactamente menos C

43
00:04:47,139 --> 00:04:51,459
que con el menos de delante me quedaría más C

44
00:04:51,459 --> 00:04:56,819
de tal manera que la distancia del punto a una recta

45
00:04:56,819 --> 00:05:01,519
me queda en el denominador a cuadrado más b cuadrado

46
00:05:01,519 --> 00:05:10,240
y en el numerador el valor absoluto del resultado ax0 más bi0 más c

47
00:05:10,240 --> 00:05:15,220
es decir, parece que es, para que lo recordéis en la memoria

48
00:05:15,220 --> 00:05:17,519
como la ecuación de la recta R

49
00:05:17,519 --> 00:05:20,939
pero sustituyendo el punto x0 y 0

50
00:05:20,939 --> 00:05:24,899
y en el denominador simplemente el teorema de Pitágoras

51
00:05:24,899 --> 00:05:29,220
del vector n

52
00:05:29,220 --> 00:05:31,699
y esto nos va a proporcionar

53
00:05:31,699 --> 00:05:34,939
la distancia de un punto a una recta

54
00:05:34,939 --> 00:05:37,160
ahora veremos un ejemplo

55
00:05:37,160 --> 00:05:38,699
en el próximo vídeo

56
00:05:38,699 --> 00:05:41,300
calculando esto